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第 02 讲 等差数列及其前 n 项和
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在等差数列 中，已知 ，且 ，则当 取最大值时，
（ ）
A．10 B．11 C．12或13 D．13
【答案】C
【解析】因为在等差数列 中，
所以
，
所以 ，
又因为 ，
所以可知等差数列为递减数列，且前12项为正，第13项以后均为负，
所以当 取最大值时， 或13．
故选：C．
2．（2023·江苏南通·统考模拟预测）现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和
为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（ ）
A．0.25升 B．0.5升 C．1升 D．1.5升
【答案】B
【解析】设九只茶壶按容积从小到大依次记为 ，
由题意可得 ，
所以 ，
故选：B
3．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ， ，则 （ ）
A．54 B．71 C．80 D．81
【答案】D
【解析】设等差数列 的公差为 ，
因为 ，可得 ，解得 ，
所以 .
故选：D.4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列 是等差数列，其前 项和为
，则 等于（ ）
A．63 B． C．45 D．
【答案】D
【解析】因为数列 是等差数列，则 ，可得 ，
且 ，可得 ，
所以 .
故选：D.
5．（2023·北京海淀·校考三模）已知等差数列 的公差为 ，数列 满足 ，则“
”是“ 为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为 ，所以 且 ，则 ，
若 ，不妨令 ，则 ， ， ， ， ， ，
显然 不单调，故充分性不成立，
若 为递减数列，则 不是常数数列，所以 单调，
若 单调递减，又 在 ， 上单调递减，则 为递增数列，矛盾；
所以 单调递增，则 ，且 ，其中当 ， 时也不能满足 为递减数列，故必要性成
立，
故“ ”是“ 为递减数列”的必要不充分条件.
故选：B
6．（2023·河南郑州·统考模拟预测）公差不为零的等差数列 中， ，则下列各式一定成立的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ,所以 ,因为 公差不为零, ,所以 ，B正确，A错误，
取 ,则 ,此时 ,C,D均不正确,
故选：B.
7．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）设 为等差数列 的前n项和，且 ，都有
，若 ，则（ ）
A． 的最小值是 B． 的最小值是
C． 的最大值是 D． 的最大值是
【答案】A
【解析】由 ，得 ，即 ，
所以数列 为递增的等差数列.
因为 ，所以 ，即 ，
则 ， ，所以当 且 时， ；
当 且 时， .因此， 有最小值，且最小值为 .
故选：A.
8．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知数列 中， ，当 时， ，
， 成等差数列.若 ，那么 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ， ， 成等差数列，则 ，
由于 ，则 ，
故选：D.
9．（多选题）（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考二模）已知 为等差数列，前 项和为 ， ，
公差d = −2 ，则（ ）
A． =
B．当n = 6或7时， 取得最小值
C．数列 的前10项和为50D．当n≤2023时， 与数列 （m N）共有671项互为相反数．
【答案】AC
【解析】对于A，等差数列 中， ，公差 ，则 ，
，故A正确；
对于B，由A的结论， ，则 ，由d = −2当 时， ， ，当 时， ，
则当 或6时， 取得最大值，且其最大值为 ，B错误；
对于C,
,故C正确，
对于D，由 ，则 ，
则数列 中与数列 中的项互为相反数的项依次为： ， ， ， ， ，
可以组成以 为首项， 为公差的等差数列，设该数列为 ，则 ，
若 ，解可得 ，即两个数列共有670项互为相反数，D错误．
故选：AC．
10．（多选题）（2023·江苏盐城·统考三模）已知数列 对任意的整数 ，都有 ，
则下列说法中正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ， ，则
C．数列 可以是等差数列
D．数列 可以是等比数列
【答案】BC
【解析】若 ，
当 时， ，
解得 ，故A错；
若 ， ，
当 时， ，
解得 ，
当 时， ，
解得 ，
，根据递推关系可知，
当 为奇数，即 时，
，故B正确；
若 ，
则 成立，
故数列 可以是等差数列，即C正确；
若数列 是等比数列，假设公比为 ，
则由 ，
得 ，
两式相除得， ，
即 ，
解得 ，不符合题意，
则假设不成立，故D错.
故选：BC
11．（多选题）（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，
且 ， 成等比数列，则（ ）
A． B．
C．当 时， 是 的最大值 D．当 时， 是 的最小值
【答案】ACD
【解析】因为 ， ， 成等比数列，所以 ，即 ，
整理得 ，因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，故A正确、B错误；
当 时 单调递减，此时 ，
所以当 或 时 取得最大值，即 ，故C正确；
当 时 单调递增，此时 ，
所以当 或 时 取得最小值，即 ，故D正确；故选：ACD
12．（多选题）（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知数列 ，下列结论正确的有（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ，则数列 是等比数列
D．若 为等差数列 的前 项和，则数列 为等差数列
【答案】ABD
【解析】对于选项A，由 ，得 ，
则 ，
故A项正确；
对于选项B，由 得 ，
所以 为等比数列，首项为 ，公比为2，
所以 ，所以 ，故B项正确；
对于选项C，因为 ，
当 时， ，
当 时， ，
将 代入 ，得 ，
所以 ，所以数列 不是等比数列，故C项错误.
对于选项D，设等差数列的公差为d，
由等差数列前 项和公式可得 ，
所以 与n无关，
所以数列 为等差数列，故D项正确.
故选：ABD.
13．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将
堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1
个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个 第n层放 个物体堆成的堆垛，则
______．
【答案】 /
【解析】依题意，在数列 中， ，
当 时， ， 满足上式，
因此 ， ，数列 的前 项和为 ，
则 ，
所以 .
故答案为：
14．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）设随机变量 的分布列如下：
1 2 3 4 5 6
P
其中 ， ，…， 构成等差数列，则 ___________.
【答案】
【解析】因为 ， ，…， 构成等差数列，
所以 ，
因为 ，所以 ，
故答案为：15．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ，公差d为奇数，
且同时满足：① 存在最大值；② ；③ ．则数列 的一个通项公式可以为 ______．
（写出满足题意的一个通项公式）
【答案】 （答案不唯一）
【解析】由 得 ，即 ．
因为数列 是等差数列，所以由等差数列的性质可知 ．
设等差数列 的公差为d，则 ， ．
因为 存在最大值，所以公差 ，又因为d为奇数且 ，
故可取 ．当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ．
故答案为： （答案不唯一）
16．（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）已知 ， ，将数列 与数列
的公共项从小到大排列得到新数列 ，则 ______.
【答案】
【解析】因为数列 是正奇数列，
对于数列 ，当 为奇数时，设 ，则 为偶数；
当 为偶数时，设 ，则 为奇数，
所以 ，则 ，
所以 .
故答案为： .
17．（2023·湖南·校联考模拟预测）记等差数列 的前n项和为 ，已知 ， ．
(1)求 的通项公式；(2)设 ，数列 的前n项和为 ，若 ，求m的值．
【解析】（1）设 的公差为d，因为 ，
所以 ，解得 ，
又 ，所以 ．
所以 ．
（2）因为 ，
所以
，
由 ，解得 ，
所以 ．
18．（2023·江苏·校联考模拟预测）设数列 的前n项和为 ，且满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明：数列 中的任意不同的三项均不能构成等差数列.
【解析】（1）令 ，得 .
当 时， ①，
又 ②，
①②两式相减，得 ，
所以 .
所以数列 是首项为－3，公比为2的等比数列，
所以
（2）假设数列 中存在三项数列 ， ， （其中 ）成等差数列，
则 ，
由（1）得 ，即 ，
两边同时除以 ，得 （*），
因为（*）式右边为奇数，左边为偶数，所以（*）式不成立，假设不成立.
所以数列 中得任意不同的三项均不能构成等差数列.
19．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知正项等比数列 和数列 ，满足 是 和 的等差中项，
.
(1)证明：数列 是等差数列，
(2)若数列 的前 项积 满足 ，记 ，求数列 的前20项和.
【解析】（1）由题知， 是等比数列，
设其公比为 ，
由 ，
可得：当 时， ，
两式相减得， ，
故数列 是等差数列.
（2）由 知：
当 时， ，
又 ，所以 ，
由（1）设 的公差为 ，
则 ，
由 ，
则 ， ，
所以
.
即数列 的前20项和为 .
20．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知数列 满足： ， ， ，从第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．
(1)求 ；
(2)设 ，若 恒成立，求 的取值范围．
【解析】（1）由题意得， ， ，…，
数列 是以 为首项，公差 的等差数列，
，
， ， ，…， ，
将所有上式累加可得 ， ．
又 也满足上式， ．
（2）由（1）得， ，则
，
恒成立， ，
恒成立， ，即 的取值范围是 ．
1．（2020•新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石
板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环
比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则
三层共有扇面形石板（不含天心石）A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【答案】
【解析】方法一：设每一层有 环，由题意可知，从内到外每环上扇面形石板数之间构成等差数列，上层
中心的首项为 ，且公差 ，
由等差数列的性质可得 ， ， 成等差数列，
且 ，
则 ，
则 ，
则三层共有扇面形石板 块，
方法二：设第 环天心石块数为 ，第一层共有 环，
则 是以9为首项，9为公差的等差数列， ，
设 为 的前 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为 ， ， ，
下层比中层多729块，
，
，
，解得 ，
，故选： ．
2．（2020•北京）在等差数列 中， ， ．记 ，2， ，则数列
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】
【解析】设等差数列 的公差为 ，由 ， ，得 ，
．
由 ，得 ，而 ，
可知数列 是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值．
可知 ， ， ， 为最大项，
自 起均小于0，且逐渐减小．
数列 有最大项，无最小项．
故选： ．
3．（2022•上海）已知等差数列 的公差不为零， 为其前 项和，若 ，则 ，2， ，
中不同的数值有 个．
【答案】98．
【解析】 等差数列 的公差不为零， 为其前 项和， ，
，解得 ，
，
， ，1， ， 中 ，
， ，
其余各项均不相等，
， ， 中不同的数值有： ．
故答案为：98．
4．（2022•乙卷（文））记 为等差数列 的前 项和．若 ，则公差 ．
【答案】2．
【解析】 ，
，为等差数列，
，
，解得 ．
故答案为：2．
5．（2021•上海）已知等差数列 的首项为3，公差为2，则 ．
【答案】21．
【解析】因为等差数列 的首项为3，公差为2，
则 ．
故答案为：21．
6．（2020•上海）已知数列 是公差不为零的等差数列，且 ，则 ．
【答案】 ．
【解析】根据题意，等差数列 满足 ，即 ，变形可得 ，
所以 ．
故答案为： ．
7．（2020•海南）将数列 与 的公共项从小到大排列得到数列 ，则 的前 项和为
．
【答案】 ．
【解析】将数列 与 的公共项从小到大排列得到数列 ，
则 是以1为首项、以6为公差的等差数列，
故它的前 项和为 ，
故答案为： ．
8．（2021•新高考Ⅱ）记 是公差不为0的等差数列 的前 项和，若 ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式 ；
（Ⅱ）求使 成立的 的最小值．
【解析】（Ⅰ）数列 是公差 不为0的等差数列 的前 项和，若 ， ．
根据等差数列的性质， ，故 ，
根据 可得 ，整理得 ，可得 不合题意），
故 ．
（Ⅱ） ， ，
，
，即 ，
整理可得 ，
当 或 时， 成立，
由于 为正整数，
故 的最小正值为7．
9．（2021•甲卷（理））记 为数列 的前 项和，已知 ， ，且数列 是等差数列，
证明： 是等差数列．
【解析】证明：设等差数列 的公差为 ，
由题意得 ； ，
则 ，所以 ，
所以 ①；
当 时，有 ②．
由①②，得 ③，
经检验，当 时也满足③．
所以 ， ，
当 时， ，
所以数列 是等差数列．
10．（2021•乙卷）记 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积，已知 ．
（1）证明：数列 是等差数列；
（2）求 的通项公式．
【解析】（1）证明：当 时， ，
由 ，解得 ，
当 时， ，代入 ，消去 ，可得 ，所以 ，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列．
（2）由题意，得 ，
由（1），可得 ，
由 ，可得 ，
当 时， ，显然 不满足该式，
所以 ．
