第35讲数列的求和（原卷版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型（新高考专用）

第 35 讲 数列求和 【基础知识全通关】 1．等差数列的前n项和 首 项 为 ， 末 项 为 ， 项 数 为 n 的 等 差 数 列 的 前 n 项 和 公 式 ： ． 令 ， ，可得 ，则 当 ，即 时， 是关于n的二次函数，点 是 的图象上 一系列孤立的点； 当 ，即 时， 是关于n的一次函数 ，即 或常函数 ， 即 ，点 是直线 上一系列孤立的点． 我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n项和的相关问题． 2．用前n项和公式法判定等差数列 等差数列的前n项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若 数列 的前n项和 ，那么当且仅当 时，数列 是以 为首项， 为公差的等差数列；当 时，数列 不是等差数列． 3．等差数列的常用性质 由等差数列的定义可得公差为 的等差数列 具有如下性质： （1）通项公式的推广： ， ． a +a =a +a （2）若 ，则 m n p q ． 特别地，①若 ，则 ； ②若 ，则 ． ③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即 （3）下标成等差数列的项 组成以md为公差的等差数列． （4）数列 是常数 是公差为td的等差数列． （5）若数列 为等差数列，则数列 是常数 仍为等差数列． （6）若 ，则 ． 4．与等差数列各项的和有关的性质 利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质： 设等差数列 （公差为d）和 的前n项和分别为 ， （1）数列 是等差数列，首项为 ，公差为 ． （2） 构成公差为 的等差数列． （3）若数列 共有 项，则 ， ． （ 4 ） 若 数 列 共 有 项 ， 则 ， ． （5） ， ． 5.等比数列的前n项和公式 首 项 为 ， 公 比 为 的 等 比 数 列 的 前 项 和 的 公 式 为（1）当公比 时，因为 ，所以 是关于 n 的正比例函数，则数列 的图象是正比例函数 图象上的一群孤立的点． （2）当公比 时，等比数列的前 项和公式是 ，即 ， 设 ， 则 上 式 可 写 成 的 形 式 ， 则 数 列 的图象是函数 图象上的一群孤立的点． 由此可见，非常数列的等比数列的前n项和 是一个关于n的指数型函数与一个常数的 和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数． 6、等比数列及其前n项和的性质 若数列 是公比为 的等比数列，前n项和为 ，则有如下性质： （ 1 ） 若 ， 则 ； 若 ， 则 ． 推 广 ： 若 ， 则 ． （2）若 成等差数列，则 成等比数列． （3）数列 仍是公比为 的等比数列；数列 是公比为 的等比数列； 数列 是公比为 的等比数列； 若数列 是公比为 的等比数列，则数列 是公比为 的等比数列． （4） 成等比数列，公比为 ． （5）连续相邻 项的和（或积）构成公比为 或 的等比数列． （6）当 时， ；当 时， ． （7） ． （8）若项数为 ，则 ，若项数为 ，则 ． （9）当 时，连续 项的和（如 ）仍组成等比数列 （公比为 ， ）．注意：这里连续m项的和均非零． 【考点研习一点通】 考点一 求解等差数列的通项及前n项和 1.已知数列 中， ，当 时， ，求数列 的通项公式． a =7,S =16 【变式1-1】已知 为等差数列 的前n项和，且 4 4 . （1）求数列 的通项公式；1 b = （2）设 n a a ，求数列 的前n项和T . n n+1 n 考点二 数列 的前n项和的求解 {a } S =−3n2 +49n 2.已知数列 n 的前n项和为 n . {a } （1）请问数列 n 是否为等差数列？如果是，请证明； b =|a | {b } （2）设 n n ，求数列 n 的前n项和. 【变式2-1】设数列 满足 ． （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前n项和 ．考点三 求解等比数列的通项及前n项和 3.若等比数列 的前 项和为 ,且 5，则 等于 A．5 B．16 C．17 D．25 【变式3-1】已知等比数列 的各项均为正数，且 ， . （1）求数列 的通项公式； （2）若数列 满足： ，求数列 的前 项和 .考点四 等比数列的性质的应用 4.在等比数列 中， 是方程 的根，则 A． B．2 C．1 D． 【变式 4-1】已知等比数列 的前 n 项和为 ，若 ， ，则 _______． 【考点易错】 1.等差数列 的前30项之和为50，前50项之和为30，求 。 2.设 为数列 的前n项和，且 .求证：数列 为等差数列． 1 2 3.设{a}是等差数列,证明以b= (n∈N*)为通项公式的数列{b}是等差数 n n n 列. 4．等差数列 的前n项和为 ,若 , , . （1）求公差d的取值范围； （2）n为何值时，S 最大，并说明理由。 n5.若数列 满足 ，则称数列 为“平方递推数列”．已知数列 中， ，点 在函数 的图象上，其中n为正整数． （1）证明：数列 是“平方递推数列”，且数列 为等比数列； （2）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为 ，求 ； （3）在（2）的条件下，记 ，设数列 的前n项和为 ，求使 成立的n的最小值． 6.若数列 的前 项和 满足 . （1）求证：数列 是等比数列； （2）设 ，求数列 的前 项和 .7.已知等比数列 满足 . （1）求 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和. 【巩固提升】 1． 和 是两个等差数列，其中 为常值， ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2.已知数列 满足 .记数列 的前n项和为 ，则（） A． B． C． D． 3.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格 为 的长方形纸，对折1次共可以得到 ， 两种规格 的图形，它们的面积之和 ，对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，它们的面积之和 ，以此类推，则对折4次共 可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折 次，那么 ______ . 9 4.已知数列 a n  的前n项和为 S n ， a 1  4 ，且 4S n1 3S n 9 . a  （1）求数列 n 的通项； b  3b (n4)a 0 b  T T b （2）设数列 n 满足 n n ，记 n 的前n项和为 n，若 n n对任意 nN  恒成立，求 的范围. R a  a  p0 a  p0 nN,a a 5.定义 p数列 n ：对实数p，满足：① 1 ， 2 ；② 4n1 4n；③a a a  p,a a  p1 m,nN mn m n m n ， ． R （1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是 2数列吗？说明理由； a  R a （2）若 n 是 0数列，求 5的值； R a  nN,S S （3）是否存在p，使得存在 p数列 n ，对 n 10？若存在，求出所有这样的 p；若不存在，说明理由． a 1,n为奇数, a  n 6.已知数列a 满足 a 1 ， n1  a 2,n为偶数. n 1 n b a b b b  （1）记 n 2n，写出 1， 2，并求数列 n 的通项公式； a  （2）求 n 的前20项和. 2 1  2 7.记S 为数列 a  的前n项和，b 为数列 S  的前n项积，已知S b ． n n n n n n b  （1）证明：数列 n 是等差数列;a  （2）求 n 的通项公式．