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专题7.12 平面直角坐标系（全章分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23·24八年级上·河南驻马店·期中）小明在教室中的座位为第 行第 列，记为 ，小亮在第
行第 列，记为（ ）
A． B． C． D．
2．（22·23七年级下·河南郑州·期末）已知点Q的坐标为 ，点P的坐标为 ，若直线
轴，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（22·23八年级下·河北唐山·期中）将 各顶点的横、纵坐标乘 得到 下列说法正确的
是（ ）
A． B．两个三角形关于 轴对称
C．两个三角形的形状改变，大小也改变 D．各对应顶点的连线相交于一点
4．（21·22七年级下·河南商丘·期中）在平面直角坐标系中，下列说法：①若点 在坐标轴上，
则 ；②若 为任意实数，则点 一定在第一象限；③若点 到 轴的距离与到 轴的距离均为
2，则符合条件的点 有2个；④已知点 ，点 ，则 轴．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④
5．（22·23七年级下·福建厦门·期末）在平面直角标系中，将横、纵坐标之和为 的点称为“吉祥点”，
现有以下结论：
第一象限内有无数个“吉祥点”；
第三象限内不存在“吉样点”；
已知点 ， ，若点 是“吉祥点”且在坐标轴上，则点 到直线 的距离为 ；已知点 ， ，若点 是第一象限内的“吉祥点”三角形 的面积记为 ，则
．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（22·23八年级上·陕西西安·期中）已知 是平面直角坐标系内一点，点 与 的
连线平行于 轴，则 ， 两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（22·23八年级上·福建宁德·期中）已知 ，则下面结论中正确的是（ ）
A．A，B两点关于y轴对称 B．点A到y轴距离是3
C．点B到x轴距离是1 D． 轴
8．（22·23七年级下·福建厦门·期末）在平面直接坐标系中，点 ， ， ，
轴，点 的纵坐标为 ．则以下说法错误的是（ ）
A．当 ，点 是线段 的中点
B．当 ，点 一定在线段 上
C．存在唯一一个 的值，使得
D．存在唯一一个 的值，使得
9．（23·24七年级上·山东济宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，下列说法：①有序实数对和坐标平
面内的点是一一对应的；②若 ，则点 在第一、三象限角平分线上；③已知点 ，点
，则 轴；④若点P到x轴的距离是2，到y轴的距离为3，则点P的坐标 ；⑤若点
在坐标轴上，则 ；⑥点 在直角坐标系的y轴上，则点P的坐标为 ；⑦若
，则 ，其中正确的有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．610．（21·22七年级下·福建龙岩·期末）如图，平面直角坐标系 中，点A坐标为 ，过点A作
轴于点B，过点A作 轴于点C．点E从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向
运动，同时，点D从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴负方向运动，设运动时间为 ，当
时，则t应满足（ ）
A． B． C． 或 D． 或
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（22·23七年级上·全国·单元测试）如图，点O，M，A，B，C在同一平面内．若规定点A的位置
记为 ，点B的位置记为 ，则点C的位置应记为 ．
12．（21·22八年级下·河北邯郸·阶段练习）点 在第一象限，且到y轴的距离为3，直线
轴，且 ．
（1）点A的坐标为 ；
（2）点C的坐标为 ．
13．（20·21七年级下·全国·课时练习）点 不在第 象限．如果点B坐标为且 轴，则线段 的中点C的坐标为 ．
14．（2023·江苏无锡·模拟预测）已知一平面直角坐标系内有点 ，点 ，点 ，若
在该坐标系内存在一点D，使 轴，且 ，点D的坐标为 ．
15．（22·23七年级下·河南驻马店·期中）已知线段 的中点为 ，若 经过平移到达
，则点 的对应点 为 ．
16．（20·21七年级下·全国·课时练习）（1）点 到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标
为 ；
（2）正方形的两边与x，y轴的负方向重合，其中正方形的一个顶点坐标为 ，则点C的
坐标为 ．
17．（22·23七年级下·辽宁抚顺·期中）天文学家以流星雨辐射所在的天空区域中的星座给流星命名，
狮子座流星雨就是流星雨辐射点在狮子座中．如图，把狮子座的星座图放在网格中，若点A的坐标是 ，
点C的坐标是 ，则点B的坐标是 ．
18．（20·21八年级上·陕西西安·期中）已知， 、 ，点C在x轴上， 的面积为
10，请在图中所示的平面直角坐标系内画出 ，并写出C的坐标： ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23·24八年级上·广东梅州·期中）建立平面直角坐标系，在坐标系中描出下列各点，并
写出各点所在的象限或坐标轴． ．
20．（8分）（22·23七年级下·重庆·期末）在学习了“数形结合”讨论问题后，某校数学兴趣小组开
展“你命我解”互助学习活动．其中有一组的同学给出了这样一个问题：在平面直角坐标系 中，点
中x，y的值若满足 ，则称点Q为“直线点”，请你来解答这位同学提出的问题：
（1）判断点 是否为“直线点”，并说明理由；
（2）若点 是“直线点”，请通过计算判断点M在第几象限？
21．（10分）（22·23七年级下·辽宁铁岭·期末）如图， 点坐标为 点坐标为 ．
（1）作图，将 沿 轴正方向平移4个单位，得到 ，延长 交 轴于点C，过点 作
，垂足为 ；
（2）在（1）的条件下，求证： ；
（3）求运动过程中线段 扫过的图形的面积．22．（10分）（20·21七年级下·广东惠州·期中）如图1，平面直角坐标系中，直线 交 轴于点
，交 轴于点 ，且 ，
（1）求 、 的值并写出 、 两点的坐标；
（2）点 在 轴上，三角形 的面积是三角形 面积的一半，求点 的坐标；
（3）如图2，点 在 轴负半轴， ，交 轴于点 ，直接写出点 的坐标．
23．（10分）（21·22七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， ， ，
点 在线段 上，且 ： ： 已知 ．
（1）求点 、 的坐标；（2）已知点 且 ，平移线段 到 ，点 对应点 ， ，求点 的坐标；
（3）已知点 且 ， ，则 的取值范围是______．
24．（12分）（22·23七年级下·福建南平·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 ，
过点A，C分别作y轴，x轴的平行线，交点为B．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）点D为y轴正半轴上任意一点．
① 当点D在线段 上，且 时，求 的大小；
② 当点D在线段 延长线上时，判断 ， ， 之间的数量关系，并证明．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了数对表示位置的方法，掌握数对表示位置的方法是解答本题的关键．
根据数对表示位置的方法，第一个数字表示第几行，第二个数字表示第几列，由此得到答案．解：根据题干分析可得：
小明在教室中的座位为第 行第 列，记为 ，
小亮在第 行第 列，记为 ．
故选： ．
2．C
【分析】利用直角坐标系中垂直于 轴或平行于 轴的直线上的点的纵坐标相同的特点进行计算即可．
解：∵点Q的坐标为 ，点P的坐标为 ，直线 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点P的坐标为 ．
故选：C．
【点拨】本题考查了坐标与图形的性质，解题的关键是掌握坐标系中点的坐标的特点和图形的性质．
3．D
【分析】根据题意，不妨设作出任意一个 ，设出坐标，按要求得到 ，逐项验证即可得到
答案．
解：不妨设 的顶点 在原点， ，将 各顶点的横、纵坐标乘 得到
，则 的顶点 在原点， ，如图所示：A、 ； ，则 ，
故A选项错误，不符合题意；
B、两个三角形都在第一象限，不关于 轴对称，故B选项错误，不符合题意；
C、两个三角形的形状未改变，仍为三角形，大小也改变，故C选项错误，不符合题意；
D、由图可知，延长 交于 处，即各对应顶点的连线相交于一点，故D选项正确，不符
合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查图形与坐标，任意举出一个例子，按要求作图验证是解决问题的关键．
4．A
【分析】根据在 轴上的点的纵坐标等于0、在 轴上的点的横坐标等于0即可判断①；根据 即
可判断②；根据点到坐标轴的距离可得点 的横、纵坐标均等于 ，由此即可判断③；根据点 的纵
坐标相同即可判断④．
解：若点 在坐标轴上，则 中至少有一个等于0，
所以 ，说法①正确，符合题意；
若 为任意实数，则 ，
所以点 在第一象限上或 轴正半轴上，说法②错误，不符合题意；
若点 到 轴的距离与到 轴的距离均为2，则点 的横、纵坐标均等于 ，
所以符合条件的点 的坐标为 ， ， ， ，共有4个，说法③错误，不符合题
意；
因为点 ，点 的纵坐标相同，
所以 轴，说法④正确，符合题意；
综上，正确的是①④，
故选：A．
【点拨】本题考查了点的坐标、点到坐标轴的距离、坐标与图形，熟练掌握点的坐标的特征是解题关
键．
5．D【分析】根据平面直角标系中象限的特点，逐一判断即可．
解：由横、纵坐标之和为 的点称为“吉祥点”，
则 第一象限内有无数个“吉祥点”，故说法 正确；
∵第三象限的横、纵坐标都为负数，
∴第三象限内不存在“吉样点”，故说法 正确；
∵ ， ，
∴ 轴，
∵点 是“吉祥点”且在坐标轴上，
∴点 或 ，
则 到直线 的距离为 或 ，故说法 错误；
∵ ， ，
∴ 轴， ，
∵点 是第一象限内的“吉祥点”，
∴设 ，则有： ，
根据题意可知： ，
则： ，故说法 正确；
综上可知，说法 正确；
故选 ．
【点拨】此题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
6．D
【分析】根据平行于 轴的直线上的点坐标特征得到 ，解得 ，所以 ，然后计算
点 ， 的横坐标之差即可．
解： 点 与 的连线平行于 轴，
，
解得 ，
，．
故选：D．
【点拨】本题考查两点间的距离：平行于 轴的直线上的点的纵坐标相等，则两点之间的距离等于横
坐标之差的绝对值．
7．D
【分析】直接利用点的坐标意义结合两个点的横坐标相同，纵坐标符号不同，进而分析得出答案．
解：A． 两点关于x轴对称，故选项错误，不符合题意；
B．点A到y轴距离是1，故选项错误，不符合题意；
C．点B到x轴距离是3，故选项错误，不符合题意；
D． 轴，故选项正确，符合题意；
故选：D．
【点拨】此题主要考查了关于坐标轴对称点的性质，点到坐标轴的距离等知识，正确掌握横纵坐标的
符号关系是解题关键．
8．D
【分析】根据已知点的坐标，即可判断A，B选项，根据 的坐标分别求得 ，进而判断
C，D选项．
解：∵点 ， ， ，
当 ，则 ， ， ，
∵ ，即点 是线段 的中点，故A选项正确；
∵点 ， ， ，
当 ，则 ，则点 在 点的右侧，
又 ，即点 在店 的左侧，
∴当 ，点 一定在线段 上，故B选项正确；
∵ 轴，点 的纵坐标为 ，
∴ ，∵ ， ，
当 时，
则 （无解）或
解得： ，故C选项正确；
当 时，则 或
解得： 或 ，故D选项错误，符合题意，
故选：D．
【点拨】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．
9．C
【分析】本题考查了平面直角坐标系、坐标与图形性质、算术平方根的非负性、有理数的乘方；根据
平面直角坐标系、坐标与图形性质可判断①②③④⑤⑥；根据算术平方根的非负性求出 ，可得 的值，
再计算 即可判断⑦．
解：①有序实数对和坐标平面内的点是一一对应的，正确；
②若 ，则点 在第二、四象限角平分线上，原说法错误；
③已知点 ，点 ，则 轴，正确；
④若点P到x轴的距离是2，到y轴的距离为3，
则点P的横坐标为 或 ，点P的纵坐标为 或 ，
则点P的坐标为 或 或 或 ，原说法错误；
⑤若点 在坐标轴上，
则 或 ，
则 ，正确；
⑥∵点 在直角坐标系的y轴上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点P的坐标为 ，正确；
⑦∵ ，且 ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，正确；
综上，正确的有5个，
故选：C．
10．D
【分析】分两种情况，利用运动表示出OD，OE，进而表示出△AOD和△AOE的面积，建立不等式求
解，即可得出结论．
解：∵点A坐标为（6，4）， 轴于B， 轴于C，∠COB=90°，
∴四边形ABOC为矩形，
∴AC=OB=6，AB=OC=4，
由运动知， ， ，
当点D在OB上时，即 ，
则 ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
当点D在BO的延长线上时，即 ，
则 ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
综上所述，t应满足 或 ．故选：D．
【点拨】本题主要考查了动点问题，点的坐标，三角形的面积，理解利用了坐标系中点的坐标与图形
的线段长度的关系来求解是解答关键．
11．
【分析】根据已知点的坐标意义得出横坐标为线段长度，纵坐标为其与 夹角的度数即可解答．
解：∵定点A的位置记为 ，点B的位置记为 ．
∴图中点C的位置应记为 ．
故选： ．
【点拨】本题主要考查了用坐标确定位置，理解已知得出点的坐标意义是解题关键．
12． （3，4）； （3，7）或（3，1）/（3,1）或（3,7）；
【分析】（1）由点到坐标轴的距离，以及点在第一象限的符号特征，即可求出答案；
（2）结合点A的坐标，以及 轴， ，即可求出答案；
解：（1）∵点 在第一象限，
∴ ，
∵点A到y轴的距离为3，
∴ ，
∴点A的坐标为（3，4）；
（2）∵直线 轴，
∴点C的横坐标为3，
∵ ，
∴点C的坐标为：（3，7）或（3，1）；
故答案为：（3，4）；（3，7）或（3，1）；
【点拨】本题考查了点到坐标轴的距离，点在象限的符号特征等知识，解题的关键是掌握所学的知识，
正确的进行解题．
13． 二 ．【分析】根据 解得 即可判断点A不在第二象限，由 轴，可得 ，由
此求解即可．
解：当 ，
解得 ，
∴此时a不存在，即点 不在第二象限；
∵点B坐标为 且 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴中点C的横坐标 ，
∴ ，
故答案为：二； ．
【点拨】本题主要考查了坐标与图形，根据点的坐标判断点所在的象限，解不等式组，解题的关键在
于能够熟练掌握相关知识进行求解．
14． 或 / 或
【分析】将点 ，点 ，点 的坐标在平面直角坐标系中标出来，由点A和点B的
坐标可知， 轴，从而可求得 的长；再由点C的坐标及 轴，可知点D的横坐标，设点D的纵坐标为m；然后根据 ，可得关于m的方程，解得m的值即可．
解：将点 ，点 ，点 的坐标在平面直角坐标系中标出来，如图所示：
∵点 ，点 ，
∴ 轴，
∴ ，
∵点 ， 轴，
∴点D的横坐标为 ，设点D的纵坐标为m，
∵ ，
∴ ，
∴ 或7．
∴点D的坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了平面直角坐标系中的坐标与图形的性质，明确平面直角坐标系中点的坐标特点并
数形结合是解题的关键．
15．【分析】由点 经过平移到达 ，可知线段 的平移规律，然后确定点 坐标即可．
解：由点 经过平移到达 ，
可知线段 向右平移3个单位长度，向上平移4个单位长度得的 ，
所以，点 的对应点 坐标为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了图形的平移与坐标，弄清线段 的平移规律是解题关键．
16．
【分析】（1）根据点 到两坐标轴的距离相等，可得 ，当点P在第一或第
三象限时 或当点P在第二或第四象限时 ，解方程即可；
（2）由正方形的两边与x，y轴的负方向重合，当点C在第三象限时，当点C在x轴上，与y轴上分
类列方程与解方程即可．
解：（1）∵点 到两坐标轴的距离相等，
∴ ，
当点P在第一或第三象限时
解得 ，
当 时， ，
∴点 ，
当点P在第二或第四象限时
解得
当 时， ，
∴点 ，
故答案为（3，3），（6，-6）；
（2）∵正方形的两边与x，y轴的负方向重合，
当点C在第三象限时， ，
∴ ，解得 ，
当 时， ，
点 ．
当点C在x轴上时，
∴
解得
当 时，
点 ；
当点C在y轴上时， ，
解得
当 时， 不合题意舍去
故答案为 ， （-1，-1）．
【点拨】本题考查点到两坐标轴的距离问题，根据坐标的符号分类构建方程是解题关键．
17．
【分析】根据点A和点C的坐标，建立平面直角坐标系，即可得出点B的坐标．
解：∵点A的坐标是 ，点C的坐标是 ，
∴建立如图所示平面直角坐标系，
由图可知， ，
故答案为： ．【点拨】本题主要看考查了建立平面直角坐标系，解题的关键是根据已知点的坐标建立平面直角坐标
系．
18． 或 / 或
【分析】设 利用三角形的面积公式列方程求解x，再在坐标系内描点即可．
解：∵点C在x轴上，设 而 ，
的面积为10， ，
解得： 或
或
画图如下：故答案为： 或
【点拨】本题考查的是坐标与图形，三角形的面积的计算，掌握“利用面积公式列绝对值方程”是解
本题的关键．
19．描点见分析， 在第一象限； 在第一象限； 在第二象限； 在第三象限； 在 轴上； 在
轴上
【分析】本题考查图形与坐标，先将各点在平面直角坐标系中标出，再由各象限及坐标轴上点的坐标
特征判定即可得到答案，熟练掌握图形与坐标相关知识是解决问题的关键．
解：如图所示：
；
在第一象限； 在第一象限； 在第二象限； 在第三象限； 在 轴上； 在 轴上．
20．（1）是，理由见分析；（2）点M在第一象限
【分析】（1）由 ，可得 ， ，解得， ， ，由 ，满
足 ，进而可知点 是“直线点”；
（2）由 是“直线点”，可知 ， ，解得， ， ，由
，可得 ，解得， ，即 ，然后判断点M所在的象限即可．
（1）解：点 是“直线点”，理由如下：
∵ ，
∴ ， ，
解得， ， ，
∵ ，∴点 是“直线点”；
（2）解：∵ 是“直线点”，
∴ ， ，
解得， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
∴ ，即点M在第一象限．
【点拨】本题考查了新定义下的实数运算，点坐标，一元一次方程的应用．解题的关键在于理解题意．
21．（1）见分析；（2）见分析；（3）12
【分析】（1）根据题意画出相应的图形，如图所示；
（2）利用同角的余角相等得到一对角相等，再利用对顶角相等，等量代换即可得证；
（3）运动过程中线段 扫过的图形为平行四边形 ，根据平移的距离及 的坐标求出 与
的长，即可求出运动过程中线段 扫过的图形的面积．
（1）解：如图所示，
（2） ， ，
， ，
，
，
；
（3）根据题意得：四边形 为平行四边形，且 ， ，
则运动过程中线段 扫过的图形的面积 ．【点拨】本题考查了坐标与图形，平移作图，对顶角相等，垂直的定义，根据题意画出图形是解题的
关键．
22．（1） ， ， ， ；（2） 或 ；（3）
【分析】（1）利用非负数的性质求出 、 的值即可解决问题；
（2）设点 根据 构建方程求出 即可解决问题；
（3）连接 、 ，由 ，推出 ，由此构建方程求出 即可解决问题．
（1）解： ，
， ，
， ，
， ；
（2） 点 在 轴上，
设点 ，
，
由（1）可知点 ， ，
， ，
，
，
，
，
或者 ；
（3）点 坐标为 ，
理由如下：连接 、 ，如图所示，
，
，
，
，
．
【点拨】本题属于三角形综合题，坐标与图形，考查了三角形的面积，平行线的性质，非负数的性质
等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
23．（1） ， ；（2） ；（3）
【分析】（1）根据非负性得出 ， ，进而得出坐标即可；
（2）设 ，根据三角形的面积关系式得出 ，进而根据平移的性质解答即可；
（3）设 交 于点 ，则 ，根据面积公式得出不等式解答即可．
（1）解： ，
， ，
， ，
， ，
（2）解：连接： ： ，
∴ ，设 ，
则 ， ，
∵ ，
∴
∴
∵
即
∴
解得：
∵根据平移可得，
；
（3）解：如图所示，设 交 于点 ，，则
∴
，
，
，
，
，
故 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题是三角形的综合题，熟练掌握非负性，线段平移的性质是解题的关键．
24．（1） ；（2）① ；② ，见分析
【分析】（1）根据点 ，点 可得答案；
（2）①过点D作 ，证明 ，可得 ， ，从而可得
答案；②过D作 ，证明 ，可得 ， ，结合
，从而可得结论．（1）解：，∵点 ，点 ，过点A，C分别作y轴，x轴的平行线，交点为B．
∴ ．
（2）①过点D作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ．
② ，
理由如下：过D作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查的是坐标与图形，算术平方根的含义，平行线的性质，平行公理的应用，熟记平行
线的性质是解本题的关键．
