文档内容
第 02 讲 等差数列及其前 n 项和
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：等差数列的有关概念.........................................................................................................4
知识点2：等差数列的有关公式.........................................................................................................4
知识点3：等差数列的常用性质.........................................................................................................5
解题方法总结........................................................................................................................................6
题型一：等差数列的基本量运算........................................................................................................7
题型二：等差数列的判定与证明........................................................................................................9
题型三：等差数列的性质..................................................................................................................12
题型四：等差数列前n项和的性质..................................................................................................13
题型五：等差数列前n项和的最值..................................................................................................17
题型六：等差数列的实际应用..........................................................................................................19
题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论......................................................................................22
题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题..................................................................................26
题型九：利用等差数列的单调性求解..............................................................................................31
题型十：等差数列中的范围与恒成立问题......................................................................................35
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................39
05课本典例·高考素材........................................................................................................................41
06易错分析·答题模板........................................................................................................................44
易错点：忽视数列的首项..................................................................................................................44考点要求 考题统计 考情分析
2024年甲卷（文）第5题，5
分
2024年II卷第12题，5分
（1）等差数列的概念 （1）选择题、填空题多单独考查基本量
2023年甲卷（文）第5题，5
（2）等差数列的通项 的计算．
分
公式与求和 （2）解答题多与等比数列结合考查，或
2023年I卷第7题，5分
（3）等差数列的性质 结合实际问题或其他知识考查．
2022年上海卷第10题，5分
2022年乙卷（文）第13题，5
分
复习目标：
（1）理解等差数列的概念．
（2）掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．
（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．
（4）了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．知识点1：等差数列的有关概念
（1）等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做
等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 表示，定义表达式为 （常数）
．
（2）等差中项
若三个数 ， ， 成等差数列，则 叫做 与 的等差中项，且有 ．
【诊断自测】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且 ．证明：数列
是等差数列；
【解析】（1）当 时， ，
当 时， ，
所以 ，所以 （常数），
故数列 是以 为首项，2为公差的等差数列．
知识点2：等差数列的有关公式
（1）等差数列的通项公式
如果等差数列 的首项为 ，公差为 ，那么它的通项公式是 ．
（2）等差数列的前 项和公式
设等差数列 的公差为 ，其前 项和 ．【诊断自测】（2024·四川凉山·二模）设等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则
．
【答案】27
【解析】等差数列 中，由 ，得 ，解得 ，而 ，则 ，
于是数列 的公差 ， ，
所以 .
故答案为：27
知识点3：等差数列的常用性质
已知 为等差数列， 为公差， 为该数列的前 项和．
（1）通项公式的推广： ．
（2）在等差数列 中，当 时， ．
特别地，若 ，则 ．
（3） ，…仍是等差数列，公差为 ．
（4） ，…也成等差数列，公差为 ．
（5）若 ， 是等差数列，则 也是等差数列．
（6）若 是等差数列，则 也成等差数列，其首项与 首项相同，公差是 公差的 ．
（7）若项数为偶数 ，则 ； ； ．
（8）若项数为奇数 ，则 ； ； ．
（9）在等差数列 中，若 ，则满足 的项数 使得 取得最大值 ；若
，则满足 的项数 使得 取得最小值 ．
（10） ．数列 是等差数列⇔ （ 为常数）．
（11）等差数列的前n项和的最值公差 为递增等差数列， 有最小值；
公差 为递减等差数列， 有最大值；
公差 为常数列．
特别地
若 ，则 有最大值（所有正项或非负项之和）；
若 ，则 有最小值（所有负项或非正项之和）．
（12）若已知等差数列 ，公差为 ，前 项和为 ，则：
①等间距抽取 为等差数列，公差为 ．
②等长度截取 为等差数列，公差为 ．
③算术平均值 为等差数列，公差为 ．
【诊断自测】已知数列 为等差数列， ，则 ．
【答案】12
【解析】解法一 ：因为 ，所以 ．
解法二 ：设数列 的公差为d，则 ，
从而 ．
故答案为：12
解题方法总结
（1）等差数列 中，若 ，则 ．
（2）等差数列 中，若 ，则 ．
（3）等差数列 中，若 ，则 ．
（4）若 与 为等差数列，且前 项和为 与 ，则 ．题型一：等差数列的基本量运算
【典例1-1】（2024·西藏林芝·模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ，若 ，则
（ ）
A．3 B．7 C．11 D．23
【答案】C
【解析】 ，解得 ，
.
故选：C
【典例1-2】（2024·广东汕头·三模）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，若
，则 （ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【解析】由 ， ，得 ，解得 ，则等差数列 的公差 ，
于是 ，由 ，得 ，
所以 .
故选：B
【方法技巧】
等差数列基本运算的常见类型及解题策略：
（1）求公差 或项数 ．在求解时，一般要运用方程思想．
（2）求通项． 和 是等差数列的两个基本元素．
（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．
（4）求前 项和．利用等差数列的前 项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．
【变式1-1】已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】方法一：利用等差数列的基本量
由 ，根据等差数列的求和公式， ，
又 .故选：D
方法二：利用等差数列的性质
根据等差数列的性质， ，由 ，根据等差数列的求和公式，
，故 .
故选：D
方法三：特殊值法
不妨取等差数列公差 ，则 ，则 .
故选：D
【变式1-2】（2024·天津滨海新·三模）已知数列 为各项不为零的等差数列， 为数列 的前 项和，
，则 的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【解析】设等差数列 公差为 ，∵ ，
∴当 时， ，解得 ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【变式1-3】（2024·辽宁·模拟预测）等差数列 的前 项和记为 ，若 ， ，则
（ ）
A．51 B．102 C．119 D．238
【答案】B
【解析】等差数列 中， ， ，即 ，
所以 ，
则 .
故选：B.
【变式1-4】（2024·北京·模拟预测）记等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，若 ，且
，则该数列的公差 为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】因为 ，则 ，
又 ，所以 ，
所以 ．
故选：B．
题型二：等差数列的判定与证明
【典例2-1】已知数列 的前n项和为 ，若 ， .记 判断
是否为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由.
【解析】因为 ，
当 时， ，又因为 ，所以
当 时，因为 ，
由 ，得 ①，
所以 ②，
所以①- 得： ， ,
所以 ② ， ， ，
但
所以 不是等差数列.
【典例2-2】（2024·全国·模拟预测）数列 的前 项和 满足 ．证明：
是等差数列；
【解析】由题意 （*），
两边同加 项，得： ，
由（*）式可得：
，
所以 ，
得 ，
即 成立，当 时， ，得 ；
综上， 恒成立，所以 是以2为公差的等差数列．
【方法技巧】
判断数列 是等差数列的常用方法
（1）定义法：对任意 是周一常数．
（2）等差中项法：对任意 ，湍足 ．
（3）通项公式法：对任意 ，都满足 为常数）．
（4）前 项和公式法：对任意 ，都湍足 为常数）．
【变式2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列 满足 .
证明：数列 是等差数列；
【解析】证明：令 ，又 ，则有
，
又 ，所以
所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列
【变式2-2】已知数列 有 ， （常数 ），对任意的正整数n， ，并
有 满足 ．
(1)求a的值；
(2)试确定数列 是不是等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由．
【解析】（1）由已知，得 ，
所以 .
（2）由 得 ，则 ，
所以 ，即 ，
于是有 ，并且有 ，
所以 ，
即 ，
而 是正整数，则对任意正整数 都有 ，
所以数列 是等差数列，
因为 ， ，所以公差
所以通项公式是 .
【变式2-3】已知数列 满足 ，且
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)求 的前 项和 .
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列；
（2）由（1）得 ，
所以 ，
则 ，
所以 .
【变式2-4】（2024·重庆·三模）已知数列 的前 项和为 ，满足 ， .
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)若数列 的公差不为0，数列 中的部分项组成数列 ， ， ，…， 恰为等比数列，其中
， ， ，求数列 的通项公式.
【解析】（1）证明：由 ，得 ，所以 ，即 ，
所以 ，
两式相减得 ，
所以 .
所以数列 成等差数列.
（2）等差数列 的公差 ，其子数列 恰为等比数列，
其中 ， ， ，可得 ， ， ，
且有 ，即 ，
化为 ，则 ，
子数列 为首项为 ，公比为 的等比数列，
则 ，可得 .
题型三：等差数列的性质
【典例3-1】（2024·高三·上海·期中）已知等差数列 的前 项的和为 ，且 ， ，
则正整数 的值为 .
【答案】
【解析】在等差数列 中，由 ，得 ，因为 成立，由对称性知， ，
则 ，
所以
所以
所以 ，
即 ，解得 .
故答案为：
【典例3-2】（2024·上海·模拟预测）记等差数列 的前 项和为 ， ，则 .
【答案】78
【解析】因为 为等差数列，所以 .故答案为：78.
【方法技巧】
如果 为等差数列，当 时， ．因此，出现
等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与 （或其他项）有关的条件；若求 项，可
由 转化为求 的值．
【变式3-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则
.
【答案】
【解析】由 ，得 ，
则 .
故答案为： .
【变式3-2】已知数列 是等差数列， 是其前n项和．若 ，则 ．
【答案】16
【解析】设等差数列 的公差为 ，由 ，得 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，
故答案为：16．
题型四：等差数列前n项和的性质
【典例4-1】（2024·高三·天津宁河·期末）已知等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，且
，则 ．
【答案】
【解析】因为 ，
所以.
故答案为：
【典例4-2】在等差数列 中， ，其前 项和为 ，若 ，则 .
【答案】
【解析】设等差数列 的前 项和为 ，则 ，所以 是等差数列．
因为 ，所以 的公差为 ，又 ，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，所以 .
故答案为：
【方法技巧】
在等差数列中， ，…仍成等差数列； 也成等差数列．
【变式4-1】等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若对任意的正整数 都有 ，
则 .
【答案】
【解析】 .
故答案为： .
【变式4-2】已知两个等差数列 和 的前n项和分别为 和 ，且 ，则使得 为整数的
正整数n的集合是 .
【答案】【解析】由
，
因为 为整数且 ，所以 .
故答案为： .
【变式4-3】已知等差数列 的前 项和分别为 和 ，若 ，且 是整数，则 的值
为 .
【答案】15
【解析】由题意得 ，
设等差数列 的公差分别为 ，
， ，故 ，
故 ，又 ，
故 ，即 ，
，又 ，
，即 ，
联立 ，化简得 ，
解得
又 是整数，即 是整数，
设 ，故 ，即 ，
解得 ，令 ，解得 ，且 ，
当 时， 满足要求，
当 时， 不合要求，
当 时， 不合要求，
当 时， 不合要求，
当 时， 不合要求，
综上， 的值为15.
故答案为：15
【变式4-4】已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 .
【答案】16
【解析】因为等差数列 的前 项和为 ,所以 , , , 成等差数列,
所以 ，即
解得 ，所以 ，所以 ，
解得 ，
故答案为：16
【变式4-5】（2024·江西上饶·一模）已知数列 、 均为正项等比数列， 、 分别为数列 、
的前 项积，且 ，则 的值为 .
【答案】
【解析】推导出数列 、 为等差数列，由此可得出 ，即可得解.设等比数列 的公
比为 ，则 （常数），
所以，数列 为等差数列，同理可知，数列 也为等差数列，
因为 ，
同理可得 ，因此， .故答案为： .
题型五：等差数列前n项和的最值
【典例5-1】（2024·辽宁葫芦岛·二模）等差数列 中， ， ，则使得前n项的和最大的n值
为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解析】在等差数列 中， ，由 ，可得 ，
， ，且数列 为递减数列，
所以使得前n项的和最大的n值为8.
故选：B.
【典例5-2】（2024·山东泰安·三模）已知 为等差数列 的前 项和， ， ，则 的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 的公差为 ，因为 ， ，
可得 ，解得 ，所以 ，
可得 ，
所以当 时， 取得最小值 .
故选：D.
【方法技巧】
求等差数列前 项和 最值的2种方法
（1）函数法：利用等差数列前 项和的函数表达式 ，通过配方或借助图象求二次函数最
值的方法求解．
（2）邻项变号法：①若 ，则满足 的项数 使得 取得最大值 ；②若 ，则满足 的项数 使得 取得最小值 ．
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知 为等差数列 的前 项和，若 ， ，
则当 取最小值时， （ ）
A．9 B．10 C．10或11 D．11
【答案】B
【解析】由等差数列的性质知 ， 即 ．
又 ，故 ，则 ， ，则 ，
则当 取最小值时， .
故选：B．
【变式5-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 是等差数列， 是其前 项的和，则下列结论错误
的是（ ）
A．若 ，则 取最小值时 的值为12
B．若 ，则 的最大值为108
C．若 ，则必有
D．若首项 ， ，则 取最小值时 的值为9
【答案】D
【解析】对于A，因为 ，所以 ，
所以 ，
所以当 时， 取得最小值，正确；
对于B，因为 ，所以 ，
所以 ，
所以当 或 时， 取得最大值为 ，正确；
对于C，若 ，则 ，又 ，
所以 ，所以 ，正确；
对于D，若 ，则 ，
又 ，所以 ，所以 ，所以等差数列 为递减数列，所以 ，
所以 取最大值时 的值为9，错误.
故选：D
【变式5-3】（2024·山东·二模）已知数列 ．求：
(1)数列 的通项公式；
(2)数列 的前 项和 的最大值．
【解析】（1）由 ，可知 ，
所以数列 是以13为首项，以 为公差的等差数列，
所以 ；
（2）由（1）可知 ，
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
即数列从第5项开始小于0，所以数列 的前4项和最大，
最大值为 ．
题型六：等差数列的实际应用
【典例6-1】（2024·云南曲靖·二模）小明同学用60元恰好购买了3本课外书，若三本书的单价既构成等
差数列，又构成等比数列，则其中一本书的单价必然是（ ）
A．25元 B．18元 C．20元 D．16元
【答案】C
【解析】因为这3本书的单价既是等差数列，又是等比数列，
所以该数列为非零常数列，
则每本书的单价为 元.
故选：C.
【典例6-2】中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行
任务．运送“神十八”的长征二号 运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为 ，以后每秒钟通过的路
程都增加 ，在达到离地面 的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需
要的时间是（ ）秒．A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【解析】设出每一秒钟的路程为数列 ，
由题意可知 为等差数列，
则数列首项 ，公差 ，
所以 ，
由求和公式有 ，解得 ，
故选：C．
【方法技巧】
利用等差数列的通项公式与求和公式求解.
【变式6-1】（2024·高三·浙江嘉兴·期末）卫生纸是人们生活中的必需品，随处可见．卫生纸形状各异，
有单张四方型的，也有卷成滚筒形状的．某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为40mm，卫
生纸厚度为0.1mm．若未使用时直径为90mm，使用一段时间后直径为60mm，则这个卷筒卫生纸大约已
经使用了（ ）
A．25.7m B．30.6m C．35.3m D．40.4m
【答案】C
【解析】未使用时，可认为外层卫生纸的长度为： ，
可认为每层纸的长度为等差数列，使用到现在，相当于等差数列的项数为： ，
且 .
由等差数列的求和公式得：
故选：C
【变式6-2】（2024·山西晋城·一模）生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动
（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若
某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开
始，到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（ ）
A．3月5日或3月16日 B．3月6日或3月15日
C．3月7日或3月14日 D．3月8日或3月13日
【答案】D
【解析】若他连续打卡，则从打卡第1天开始，逐日所得积分依次成等差数列，且首项为1，公差为2，第
天所得积分为 ．
假设他连续打卡 天，第 天中断了，则他所得积分之和为
，化简得 ，
解得 或12，所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日．
故选：D
【变式6-3】蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学
软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段 ，作一个等边三角形 ，然后以
点B为圆心， 为半径逆时针画圆弧交线段 的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，
为半径逆时针画圆弧交线段 的延长线于点E，再以点A为圆心， 为半径逆时针画圆弧……以此类推，
当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意每段圆弧的中心角都是 ，每段圆弧的半径依次增加1，
则第 段圆弧的半径为 ，弧长记为 ，则 ，
所以 .
故选：D．
【变式6-4】（2024·河北唐山·模拟预测）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次
在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球
赛.某网站全程转播了该次世界杯，为纪念本次世界杯，该网站举办了一针对本网站会员的奖品派发活动，
派发规则如下：①对于会员编号能被2整除余1且被7整除余1的可以获得精品足球一个；②对于不符合
①中条件的可以获得普通足球一个.已知该网站的会员共有1456人（编号为1号到1456号，中间没有空
缺），则获得精品足球的人数为（ ）
A．102 B．103 C．104 D．105
【答案】C
【解析】将能被2整除余1且被7整除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为 ，
由已知 是 的倍数，也是 的倍数，故 为 的倍数，
所以 首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，
令 ，可得 ，又
解得 ，且 ，
故获得精品足球的人数为 .
故选：C.
题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论
【典例7-1】已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ， 的前n项和，
， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，而 ，
则 ，
于是 ，解得 ， ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）方法1：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .方法2：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时，若 ，则
，显然 满足上式，因此当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
【典例7-2】已知数列 满足 ， ，
(1)求 ；
(2)当 为奇数时，求数列 的前 项和
【解析】（1）因为 ，所以数列 构成首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 .
（2）由 ，所以数列 构成首项为 ，公差为 的等差数列，得到
，
设 ，
则
，
又 ，所以 为奇数时，
【方法技巧】
对于奇偶项通项不统一的数列的求和问题要注意分类讨论．主要是从 为奇数、偶数进行分类．
【变式7-1】已知数列 的通项公式为
(1)求数列 的前 项和 ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）由题意得：，则 为等差数列，首项 ．
∴ ．
（2）
∴ ①
∴ ②
- 得，
① ②
∴
．
【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）已知数列 中， ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求 的前 项和 ．
【解析】（1）当 为奇数时，由 可得 ，
所以数列 的奇数项成等差数列，且公差为2，又由 ，故 ；
当 为偶数时，由 ，可得 ，
所以数列 的偶数项成等比数列，且公比为4，又由 ，故 ，
所以数列 的通项公式为 .
（2）当 为奇数时，
则
，
当 为偶数时，
则
，综上可得， .
【变式7-3】（2024·高三·湖北·期中）已知数列 的各项均为正数，其前 项和为 ，且
.
(1)求 ， ；
(2)设 ，求数列 的前8项和 .
【解析】（1）由原式可得： ，
当 时， ；
当 时， ，
两式作差可得： ，
所以 ，
又因为 ，则 ，所以 ，
所以数列 是首项为1，公差为2的等差数列，
∴ ， ，
∴ ， ；
（2） ，
即 ，
所以
，
即数列 的前8项和 .题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题
【典例8-1】（2024·四川成都·二模）已知数列 的前n项和 ，且 的最大值为 ．
(1)确定常数 ，并求 ；
(2)求数列 的前15项和 ．
【解析】（1）由数列 的前n项和 ，
根据二次函数的性质，可得当 时， 取得最大值，
即 ，解得 ，所以 ，
当 时， ，
当 时， （符合上式），
所以数列 的通项公式为 .
（2）由（1）知 ，可得 ，
且当 且 时，可得 ；当 且 时，可得 ，
所以数列 的前15项和： ．
【典例8-2】（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知数列 的前n项和为 .若 为等差数列，且满足
， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 .
【解析】（1）由题意，设等差数列 的公差为 ，又 ， ，
， ，
，
，则 ， ，，又 ，
， .
（2）由（1）得， ，
当 时， ，
当 时，
，
.
【方法技巧】
由正项开始的递减等差数列 的绝对值求和的计算题解题步骤如下：
（1）首先找出零值或者符号由正变负的项
（2）在对 进行讨论，当 时， ，当 时，
【变式8-1】（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列 满足 是 与 的等差中项．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和．
【解析】（1）因为 ，又 ，所以 ，解得 ，
设 的公比为 ，因为 是 与 的等差中项，
所以 ，
即 ，解得 ，
从而 ，
故等比数列 的通项公式是 ；
（2）由（1）知 ，所以 ，
，
设 的前 项和为 ，
当 时，易知数列 是首项为6，公差为 的等差数列，
所以 ，当 时，易知数列 是首项为1，公差为1的等差数列，
所以
，
所以数列 的前 项和 ．
【变式8-2】（2024·高三·上海·期中）在公差为 的等差数列 中，已知 ，且 ， ， 成
等比数列．
(1)求 ， ；
(2)若 ， ，求 ．
【解析】（1）公差为 的等差数列 中，已知 ，且 ， ， 成等比数列．
所以 ，即
解得 或 ，
①当 时， ．
②当 时， ．
（2）因为 ，所以 ，
令 ，
①当 时， ，
所以 ，
所以 ．
②当 时， ，
所以 ，
，
，
．故 ．
又 ，
且当 时 ，
所以 ，则 ，
解得 或 （舍去）.
所以 .
【变式8-3】（2024·高三·河南·期中）已知等差数列 的公差为整数， ，设其前n项和为 ，且
是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【解析】（1）
设 的公差为d，依题意得 ，
所以 ，即 ，
化简得 ，解得 或 （舍去），
故 ，
（2）依题意， ．
当 时， ，故 ；
当 时， ，
故 ．
故
【变式8-4】（2024·安徽宣城·二模）已知数列 是首项为1的等差数列，公差 ，设数列 的前项和为 ，且 ， ， 成等比数列．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）因为 成等比数列，则有 ，
即 ，而 ，解得 ，则 ，
所以 的通项公式是 ．
（2）由（1）知，令 ，则数列 为递增数列，其前4项为负值，从第5项开始为正值，
设 的前 项和为 ，则 ，
若 ， ，
若 ，
，
所以 .
【变式8-5】（2024·重庆万州·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 的前 项和为 ，设 ，求 的最小值.
【解析】（1）因为 ，所以 ，
所以当 时， ，所以 ；
当 时， ，
所以 ，
所以 ，
又 满足上式，
所以数列 的通项公式为 .
（2）由（1）知 ，
当 时， ；当 时，
；
所以 ，
当 时， 递减，所以 ；
当 时， ，
设 ，
则 ，令 得 ，此时 单调递增，
令 得 ，此时 单调递减，
所以 在 时递减，在 时递增，
而 ， ，且 ，
所以 ；
综上， 的最小值为 .
题型九：利用等差数列的单调性求解
【典例9-1】（2024·北京海淀·三模）已知等差数列 的公差为 ，数列 满足 ，则
“ ”是“ 为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为 ，所以 且 ，则 ，
若 ，不妨令 ，则 ， ， ， ， ， ，显然 不单调，故充分性不成立，
若 为递减数列，则 不是常数数列，所以 单调，
若 单调递减，又 在 ， 上单调递减，则 为递增数列，矛盾；
所以 单调递增，则 ，且 ，其中当 ， 时也不能满足 为递减数列，故必要性成
立，
故“ ”是“ 为递减数列”的必要不充分条件.
故选：B
【典例9-2】（2024·贵州铜仁·二模）设 为等差数列 的前 项和，且 ，都有 ，若
，则（ ）
A． 的最小值是 B． 的最小值是
C． 的最大值是 D． 的最大值是
【答案】C
【解析】由 得 ，∴数列 为递减的等差数列，
∵ ，∴ ， ，
∴当 且 时， ，当 且 时， ，
∴ 有最大值，最大值为 .
故选：C.
【方法技巧】
（1）在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列 是递增数列 ，
恒成立”．
（2）数列 的单调性与 ， 的单调性不完全一致．
一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理．但若数列对应的连续函数
是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题．即“离散函数有单调性 连续函数由单调性；
连续函数有单调性 离散函数有单调性”．
【变式9-1】（2024·全国·模拟预测）设 为等差数列 的前 项和，且 ，都有 .若
，则（ ）
A． 的最小值是 B． 的最小值是C． 的最大值是 D． 的最大值是
【答案】A
【解析】由 得： ，即 ，
数列 为递增的等差数列，
， ， ，
当 且 时， ；当 且 时， ；
有最小值，最小值为 .
故选：A.
【变式9-2】已知等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，且 单调递增，若 ，则 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 为等差数列，且 ，所以 ，
因为数列 为递增数列，则 ，即 从第二项开始，各项均为正数，
又因为 恒成立，所以数列 为常数数列或递增数列，所以 ，
则有 ，解可得 ，
综上可得， ，所以实数 的取值范围为 ．
故选：D．
【变式9-3】（2024·四川成都·模拟预测）设公差不为0的无穷等差数列 的前 项和为 ，则“ 为
递减数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为 是公差不为0的无穷等差数列，若“ 为递减数列”，
可得 的通项公式为一次函数且一次性系数小于0，一定存在正整数 ，
当 时,有 ，故存在 ，当 远远大于 时， 时，此时 ，故充分性成立，
若存在正整数 ，当 时， ，故二次函数开口向下，因此 ，故 为递减数列，故必要性成立.
故选：C．
【变式9-4】设 为等差数列 的前n项和，则对 ， ，是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若对 ，都有 ，可得 ，
因为 恒成立，所以 ，即数列 为递增数列，
，
所以 ，即 成立，所以充分性成立；
反之：若对 ，都有 ，即 ，
可得 ，解得 ，所以 ，
即数列 为递增数列，
例如：数列 为递增数列，可得 ，
此时 不成立，即必要性不成立；
所以对 ， ，是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式9-5】已知等差数列 的前n项和为 ，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A．数列 是递增数列 B．
C．当 取得最大值时， D．
【答案】B
【解析】ABC选项， ，
∴ ，
，∴ ，
∴ ，且 ，B正确；
∴公差 ，等差数列 是递减数列，A错误；
时， 取得最大值，C错误；
D选项， ，D错误.
故选：B．
题型十：等差数列中的范围与恒成立问题
【典例10-1】（多选题）（2024·高三·山东临沂·期中）公差为 的等差数列 的前 项和为 ，若
，则（ ）
A． B．
C． 中 最大 D．
【答案】CD
【解析】A：由 ，得 ，
由 ，得 ，所以 ，所以 ，故A错误；
B：由选项A的分析知， ，故B错误；
C：因为 ， ， ，所以数列 是递减数列，
其前6项为正，从第7项起均为负，故 最大，故C正确；
D：由选项A的分析知， ， ， ，
所以 ，且 ，即 ，所以 ，故D正确.
故选：CD
【典例10-2】（多选题）公差为d的等差数列 ，其前n项和为 ， ， ，下列说法正确的
有（ ）
A． B． C． 中 最大 D．
【答案】AD
【解析】由 ，得 ，又 ，得， ，
所以 ， ，数列 是递减数列，其前6项为正，从第7项起均为负数，
等差数列 ，公差 ，A选项正确； ，B选项错误；前6项和最大，C选项错误；
由 ， ，有 ，则 ，D选项正确.
故选：AD.
【方法技巧】
等差数列中的范围与恒成立问题是数列研究的重要方面。这类问题通常涉及数列的通项公式、前n
项和公式以及不等式性质的应用。解决这类问题时，需要首先根据题意设定合适的变量，建立等差数列的
通项或前n项和的不等式，然后利用不等式的性质进行推导，最终确定变量的取值范围，使得原不等式恒
成立。
【变式10-1】（多选题）（2024·海南·模拟预测）已知数列 满足 ，且 ，等
差数列 的前n项和为 ，且 ， ，若 恒成立，则实数λ的值可以为（ ）
A．－36 B．－54 C．－81 D．－108
【答案】CD
【解析】由 ，得 ，
由 ，得 ，即 ，
又 ，所以 为等比数列，公比 .
所以 .
由累加法得
，
当 时， 相符，
所以 .
已知等差数列 的前n项和为 ，
则 ，且 ，
解得 ，则 .已知 恒成立，又 ，
则 ，设
因为当 时，
因为当 时， ，
又 ， ， ， ，
故 的最小值为 ，
所以 ，
故选：CD.
【变式10-2】（多选题）已知等差数列 的前n项和为 ，当且仅当 时 取得最大值，则满足
的最大的正整数k可能为（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
【答案】BC
【解析】因为当且仅当 时， 取得最大值，
所以 ，公差 ，且 ， ．
所以 ， ， ，
故 时， ．
当 时， ，则满足 的最大的正整数 为 ；
当 时， ，则满足 的最大的正整数 为 ，
故满足 的最大的正整数 可能为 与 ．
故选：BC．
【变式10-3】（多选题）等差数列 的前 项和为 ，已知 ，则（ ）
A． B． 的前 项和中 最小
C．使 时 的最大值为9 D． 的最大值为0
【答案】BC
【解析】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，因为 ，所以 ，
所以 ， .对于A， ，错误；
对于B，因为 ，所以当 时， 有最小值 ，正确；
对于C，若 ，则 ，又 ，所以 的最大值为9，正确；
对于D，因为 ，所以数列 为关于 的单调递增数列，所以 没有最大值，错误.
故选：BC.
【变式10-4】（多选题）设 是等差数列， 是其前n项和，且 ， ，则下列结论正
确的是（ ）.
A． B．
C． D． 与 均为 的最大值
【答案】BD
【解析】因为 ， ，
则 ，故B正确；
设等差数列 的公差为 ，则 ，故A错误；
可知数列 为递减数列，可得 ，
可得 ，
所以 ，故C错误；
因为 为最后一项正数，根据加法的性质可知： 为 的最大值，
又因为 ，所以 与 均为 的最大值，故D正确；
故选：BD.
【变式10-5】（多选题）（2024·山东德州·模拟预测）设等差数列 的前 项和为 ，公差为 ， ，
， ，下列结论正确的是（ ）
A．
B．当 时， 的最大值为
C．数列 为等差数列，且和数列 的首项、公差均相同
D．数列 前 项和为 ， 最大
【答案】AD【解析】对于A选项，若 ，则 为递增数列，所以， ，与 矛盾，
若 ，则 为常数列，所以， ，与 矛盾，
若 ，则 为递减数列，则 ，由 可得 ，合乎题意，A对；
对于B选项，由A选项可知， ， ， ，
，
所以，当 时， 的最大值为 ，B错；
对于C选项， ，则 ，
所以， ，
所以，数列 为等差数列，且其首项为 ，公差为 ，C错；
对于D选项，由 得 ，由 得 ，
由 得 ，即 ，
令 ， ，则等差数列 为递减数列，
且 ， ， ，
所以，数列 前 项和为 ， 最大，D对.
故选：AD.
1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则
（ ）A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】方法一：利用等差数列的基本量
由 ，根据等差数列的求和公式， ，
又 .
故选：D
方法二：利用等差数列的性质
根据等差数列的性质， ，由 ，根据等差数列的求和公式，
，故 .
故选：D
方法三：特殊值法
不妨取等差数列公差 ，则 ，则 .
故选：D
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，则 ，
则等差数列 的公差 ，故 .
故选：B.
3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记 为等差数列 的前 项和．若 ，
则 （ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
【答案】C
【解析】方法一：设等差数列 的公差为 ，首项为 ，依题意可得，
，即 ,
又 ，解得： ，所以 ．
故选：C.
方法二： ， ，所以 ， ，
从而 ，于是 ，
所以 ．
故选：C.
4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若
，则 （ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【解析】依题意，等差数列 中， ，
显然函数 的周期为3，而 ，即 最多3个不同取值，又
，
则在 中， 或 ，
于是有 ，即有 ，解得 ，
所以 ， .
故选：B
1．在等差数列 中， ， ，且 ，求 ．
【解析】设等差数列 的公差为
则所以
2．已知数列 ， 都是等差数列，公差分别为 ， ，数列 满足 ．
（1）数列 是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．
（2）若 ， 的公差都等于2， ，求数列 的通项公式．
【解析】（1）数列 是等差数列，
证明：因为数列 ， 都是等差数列，公差分别为 ， ，
所以 ，
又因为 ，
故 ，
而 ，所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列.
（2）由（1）知：数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
而 ， ，
所以 .
3．已知一个无穷等差数列 的首项为 ，公差为d．
（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首
项和公差分别是多少？
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公
差分别是多少？
（3）取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论作
出一个猜想吗？
【解析】（1）由题意可知，将无穷等差数列 的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列为：
，这个新数列是等差数列，首项为 ，公差为 .
（2）由题意可知，取出无穷等差数列 中的所有奇数项，组成一个新的数列为：
，这个新数列是等差数列，首项为 ，公差为 .
（3）由题意可知，取出无穷等差数列 中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列为：
，这个新数列是等差数列，首项为 ，公差为 .
猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列.
4．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261．求此数列中间
一项的值以及项数．
【解析】设等差数列的项数为 ，设所有的奇数项和为 ，则 ，
设所有的偶数项和为 ，则 ，
，解得 ，
项数 ，中间项为 ，
由 ，
所以此数列中间一项是 ，项数为 .
5．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”
的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列 ．
（1）写出数列 的一个递推公式；
（2）根据（1）中的递推公式，写出数列 的一个通项公式．
【解析】（1）由题意可知，
，
，
， ，
；
所以数列 的一个递推公式为 ；
（2）由题意， ，
故 ，
所以数列 的一个通项公式为 .
6．已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大
的顺序组成一个新数列．求这个新数列的各项之和．
【解析】有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，
由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，2，14，26，38，50，…，182是两个数列
的相同项.共有 个，也是等差数列，
它们的和为 ，
这个新数列的各项之和为1472
易错点：忽视数列的首项
易错分析：由 求通项公式 ，可用 求解．当 时，如果不适合
，则应写成分段形式．
【易错题1】已知数列 的前n项和为 ，且 ，则数列 通项公式 ．
【答案】
【解析】当 时， ；
当 时， ，
因为 不符合上式，
所以 .
故答案为：
【易错题2】数列 的前 项和 ，则该数列的通项 .
【答案】
【解析】当 时, .
当 时,
.故 .
故答案为：
