文档内容
第2讲 等差数列及其前n项和
最新考纲 考向预测
1.通过生活中的实例，理解等 等差数列的基本运算、基本性质，等差数
差数列的概念和通项公式的 列的证明是考查的热点．本讲内容在高考
意义. 中既可以以选择、填空的形式进行考查，
命题
2.探索并掌握等差数列的前n 也可以以解答题的形式进行考查．解答题
趋势
项和公式，理解等差数列的 往往与数列的计算、证明、等比数列、数列
通项公式与前n项和公式的 求和、不等式等问题综合考查，难度中低
关系. 档.
3.能在具体的问题情境中，发
现数列的等差关系，并解决
核心
相应的问题. 数学抽象、逻辑推理
素养
4.体会等差数列与一元一次
函数的关系．
1．等差数列与等差中项
(1)等差数列的定义：
①文字语言：一个数列从 第 2 项 起，每一项与它的前一项的差都等于同一个
常数；
②符号语言：a － a ＝ d(n∈N*，d为常数)．
n＋1 n
(2)等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A 叫做a，b的等差中项．
2．等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式：a ＝a ＋ ( n － 1 ) d．
n 1
(2)前n项和公式：S ＝na ＋d＝．
n 1
3．等差数列的性质
已知数列{a }是等差数列，S 是其前n项和．
n n
(1)通项公式的推广：a ＝a ＋ ( n － m ) d (n，m∈N*)．
n m
(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a ＋ a ＝ a ＋ a ．
k l m n
(3)若{a }的公差为d，则{a }也是等差数列，公差为 2 d ．
n 2n
(4)若{b }是等差数列，则{pa ＋qb }也是等差数列．
n n n(5)数列S ，S －S ，S －S ，…构成等差数列．
m 2m m 3m 2m
常用结论
1．等差数列与函数的关系
(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式a ＝a ＋(n－1)d＝dn＋a
n 1 1
－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d＞0，则为递增数列，若
公差d＜0，则为递减数列．
(2)前n项和：当公差d≠0时，S ＝na ＋d＝n2＋n是关于n的二次函数且常数
n 1
项为0.
2．两个常用结论
(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
①若项数为2n，则S －S ＝nd，＝；
偶 奇
②若项数为2n－1，则S ＝(n－1)a ，S ＝na ，S －S ＝a ，＝.
偶 n 奇 n 奇 偶 n
(2)两个等差数列{a }，{b }的前n项和S ，T 之间的关系为＝.
n n n n
常见误区
1．当公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一次函数；当公差d＝0时，a
n
为常数．
2．注意利用“a －a ＝d”时加上条件“n≥2”．
n n－1
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列
是等差数列．( )
(2)已知数列{a }的通项公式是a ＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a }一定
n n n
是等差数列．( )
(3)数列{a }为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．( )
n
(4)数列{a }为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a ＝a ＋a .(
n n＋1 n n＋2
)
(5)等差数列{a }的单调性是由公差d决定的．( )
n
(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)×
2．已知S 为等差数列{a }的前n项和，a ＝2，S ＝14，则S 等于( )
n n 2 4 6
A．32 B．39
C．42 D．45解析：选B.设公差为d，由题意得
解得所以S ＝6a ＋d＝39.
6 1
3．已知{a }为等差数列，其前n项和为S ，若a ＝1，a ＝5，S ＝64，则n＝(
n n 1 3 n
)
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选C.因为d＝＝2，S ＝na ＋d＝n＋n(n－1)＝64，解得n＝8(负值舍去)．
n 1
故选C.
4．(易错题)已知数列{a }中，a ＝1，a ＝a ＋(n≥2)，则数列{a }的通项公式
n 1 n n－1 n
为__________．
解析：当n≥2时，a ＝a ＋，所以{a }是首项为1，公差为的等差数列，则a
n n－1 n n
＝1＋(n－1)×＝n＋.
答案：a ＝n＋
n
5．(2020·高考全国卷Ⅱ)记S 为等差数列{a }的前n项和．若a ＝－2，a ＋a
n n 1 2 6
＝2，则S ＝____________．
10
解析：通解：设等差数列{a }的公差为d，则由a ＋a ＝2，得a ＋d＋a ＋5d＝
n 2 6 1 1
2，即－4＋6d＝2，解得d＝1，所以S ＝10×(－2)＋×1＝25.
10
优解：设等差数列{a }的公差为d，因为a ＋a ＝2a ＝2，所以a ＝1，所以d＝
n 2 6 4 4
＝＝1，所以S ＝10×(－2)＋×1＝25.
10
答案：25
等差数列的基本运算
(1)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记S 为等差数列{a }的前n项和．已
n n
知S ＝0，a ＝5，则( )
4 5
A．a ＝2n－5 B．a ＝3n－10
n n
C．S ＝2n2－8n D．S ＝n2－2n
n n
(2)(2020·河南部分重点高中联考)记等差数列{a }的前n项和为S ，若3S －
n n 5
5S ＝135，则数列{a }的公差d＝________．
3 n
【解析】 (1)方法一：设等差数列{a }的公差为d，
n
因为所以解得所以a ＝a ＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，S ＝na ＋d＝n2
n 1 n 1－4n.故选A.
方法二：设等差数列{a }的公差为d，
n
因为所以解得
选项A，a ＝2×1－5＝－3；
1
选项B，a ＝3×1－10＝－7，排除B；
1
选项C，S ＝2－8＝－6，排除C；
1
选项D，S ＝－2＝－，排除D.故选A.
1
(2)因为3S －5S ＝135，所以3－
5 3
5＝135，所以15d＝135，解得d＝9.
【答案】 (1)A (2)9
等差数列的基本运算的解题策略
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a ，a ，d，n，S ，知其中
1 n n
三个就能求另外两个，体现了方程思想．
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 和d
1
是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．
1．(2020·六校联盟第二次联考)设等差数列{a }的前n项和为S ，若a ＋S ＝
n n 4 5
2，S ＝14，则a ＝( )
7 10
A．18 B．16
C．14 D．12
解析：选C.设{a }的公差为d，由可得解得所以a ＝－4＋9×2＝14，选C.
n 10
2．(2020·合肥第一次教学检测)已知等差数列{a }的前n项和为S ，a ＝1，S
n n 1 4
＝4S .
2
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)若a ＋a ＋a ＋…＋a ＝180(m∈N*)，求m的值．
m m＋1 m＋2 m＋9
解：(1)设等差数列{a }的公差为d，
n
由S ＝4S 得，4a ＋6d＝8a ＋4d，整理得d＝2a ，
4 2 1 1 1
又a ＝1，所以d＝2，
1
所以a ＝a ＋(n－1)d＝2n－1(n∈N*)．
n 1
(2)a ＋a ＋a ＋…＋a ＝180可化为10a ＋45d＝20m＋80＝180.
m m＋1 m＋2 m＋9 m
解得m＝5.等差数列的判定与证明
已知数列{a }中，a ＝，其前n项和为S ，且满足a ＝(n≥2)．
n 1 n n
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列{a }的通项公式．
n
【解】 (1)证明：当n≥2时，S －S ＝.
n n－1
整理，得S －S ＝2S S .
n－1 n n n－1
两边同时除以S S ，得－＝2.
n n－1
又＝＝4，所以是以4为首项，以2为公差的等差数列．
(2)由(1)可得数列的通项公式为＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，所以S ＝.
n
当n≥2时，a ＝S －S ＝－＝.
n n n－1
当n＝1时，a ＝，不适合上式．
1
所以a ＝
n
【引申探究】 (变条件)本例的条件变为：a ＝，S ＝(n≥2)，证明是等差数列．
1 n
证明：因为 S ＝，所以 2S S ＋S ＝S ，即S －S ＝2S S ，故－＝
n n－1 n n n－1 n－1 n n n－1
2(n≥2)，
又＝＝4，因此数列是首项为4，公差为2的等差数列．
等差数列的判定与证明方法
[注意]在解答题中证明一个数列为等差数列时，只能用定义法．
1．已知数列{a }的前n项和S ＝an2＋bn(a，b∈R)且a ＝3，a ＝11，则S 等于(
n n 2 6 7
)
A．13 B．49C．35 D．63
解析：选B.由S ＝an2＋bn(a，b∈R)可知数列{a }是等差数列，依题意得，d＝
n n
＝＝2，则a ＝a ＋(n－2)d＝2n－1，即a ＝1，a ＝13，所以S ＝×7＝×7＝49.
n 2 1 7 7
2．数列{a }满足2a ＝a ＋a (n≥2)，且a ＝－6，a ＝6，S 是数列{a }的前
n n n－1 n＋1 2 6 n n
n项和，则( )
A．S ＜S B．S ＝S
4 3 4 3
C．S ＞S D．S ＝S
4 1 4 1
解析：选B.数列{a }满足2a ＝a ＋a (n≥2)，则数列{a }是等差数列，
n n n－1 n＋1 n
设等差数列{a }的公差为d.
n
因为a ＝－6，a ＝6，
2 6
所以4d＝a －a ＝12，即d＝3.
6 2
所以a ＝－6＋3(n－2)＝3n－12，
n
所以S ＝a ＝－9，S ＝a ＋a ＋a ＝－9－6－3＝－18，
1 1 3 1 2 3
S ＝a ＋a ＋a ＋a ＝－9－6－3＋0＝－18，
4 1 2 3 4
所以S ＜S ，S ＝S .
4 1 3 4
故选B.
等差数列的性质及应用
角度一 等差数列项的性质
(1)在等差数列{a }中，a ，a 是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则＝(
n 2 14
)
A．－ B．－3
C．－6 D．2
(2)(多选)设{a }是等差数列，S 是其前n项的和，且S ＜S ，S ＝S ＞S ，则下列
n n 5 6 6 7 8
结论正确的是( )
A．d＜0
B．a ＝0
7
C．S ＞S
9 5
D．S 与S 均为S 的最大值
6 7 n
【解析】 (1)因为a ，a 是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，所以a ＋a ＝－
2 14 2 14
6，a a ＝2，由等差数列的性质可知，a ＋a ＝2a ＝－6，所以a ＝－3，则＝，故选
2 14 2 14 8 8
A.(2)S ＝S ＋a ＞S ，则a ＞0，S ＝S ＋a ＝S ，则a ＝0，则d＝a －a ＜0，S ＝S
6 5 6 5 6 7 6 7 6 7 7 6 8 7
＋a ＜S ，a ＜0.则a ＋a ＜0，所以S ＝S ＋a ＋a ＋a ＋a ＝S ＋2(a ＋a )＜S ，由
8 7 8 7 8 9 5 6 7 8 9 5 7 8 5
a ＝0，a ＞0知S ，S 是S 中的最大值．从而ABD均正确．
7 6 6 7 n
【答案】 (1)A (2)ABD
如果{a }为等差数列，m＋n＝p＋q，则a ＋a ＝a ＋a (m，n，p，q∈N*)．因此，
n m n p q
若出现a ，a ，a 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a (或其他项)
m－n m m＋n m
有关的条件；若求a 项，可由a ＝(a ＋a )转化为求a ，a 或a ＋a
m m m－n m＋n m－n m＋n m－n m＋n
的值．
角度二 等差数列前n项和的性质
(1)已知等差数列{a }的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20
n
项和为( )
A．100 B．120
C．390 D．540
(2)(2020·山东菏泽一中月考)已知等差数列{a }的公差为4，其项数为偶数，所
n
有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为( )
A．10 B．20
C．30 D．40
【解析】 (1)设S 为等差数列{a }的前n项和，则S ，S －S ，S －S 成等差
n n 10 20 10 30 20
数列，
所以2(S －S )＝S ＋(S －S )，
20 10 10 30 20
又等差数列{a }的前10项和为30，前30项和为210，
n
所以2(S －30)＝30＋(210－S )，解得S ＝100.
20 20 20
(2)设等差数列{a }的公差为d，项数为n，前n项和为S ，因为d＝4，S ＝15，
n n 奇
S ＝55，所以S －S ＝d＝2n＝40，所以n＝20，即这个数列的项数为20.故选B.
偶 偶 奇
【答案】 (1)A (2)B
等差数列前n项和的性质
在等差数列{a }中，S 为其前n项和，则
n n
(1)S ＝n(a ＋a )＝…＝n(a ＋a )；
2n 1 2n n n＋1
(2)S ＝(2n－1)a ；
2n－1 n
(3)当项数为偶数2n时，S －S ＝nd；项数为奇数2n－1时，S －S ＝a ，S
偶 奇 奇 偶 中∶S ＝n∶(n－1)．
奇 偶
角度三 等差数列的前n项和的最值
(一题多解)(2020·广东省七校联考)已知等差数列{a }的前n项和为S ，
n n
a ＋a ＝6，S －S ＝3，则S 取得最大值时n的值为( )
6 8 9 6 n
A．5 B．6
C．7 D．8
【解析】 方法一：设数列{a }的公差为d，则由题意得，解得所以a ＝－2n＋
n n
17，由于a ＞0，a ＜0，所以S 取得最大值时n的值是8，故选D.
8 9 n
方法二：设数列{a }的公差为d，则由题意得，解得则S ＝15n＋×(－2)＝－(n
n n
－8)2＋64，所以当n＝8时，S 取得最大值，故选D.
n
【答案】 D
求等差数列{a }的前n项和S 的最值的方法
n n
1．等差数列{a }的前n项和为S ，若a ＋a ＋a ＋a ＋a ＝20，则S ＝( )
n n 1 3 5 7 9 9
A．27 B．36
C．45 D．54
解析：选B.依题意a ＋a ＋a ＋a ＋a ＝5a ＝20，a ＝4，所以S ＝×9＝9a ＝
1 3 5 7 9 5 5 9 5
36.
2．(2020·成都市诊断性检测)设公差不为0的等差数列{a }的前n项和为S ，
n n
若a ＝3a ，则＝( )
5 3
A. B.
C. D.
解析：选D.＝＝＝＝×3＝.3．设等差数列{a }的前n项和为S ，且a ＞0，a ＋a ＞0，a a ＜0，则满足S
n n 1 3 10 6 7 n
＞0的最大自然数n的值为( )
A．6 B．7
C．12 D．13
解析：选C.因为在等差数列{a }中a ＞0，a a ＜0，所以a ＞0，a ＜0，等差数
n 1 6 7 6 7
列的公差小于零，又a ＋a ＝a ＋a ＞0，a ＋a ＝2a ＜0，所以S ＞0，S ＜0，所
3 10 1 12 1 13 7 12 13
以满足S ＞0的最大自然数n的值为12.
n
[A级 基础练]
1．若等差数列{a }的公差为d，则数列{a }是( )
n 2n－1
A．公差为d的等差数列
B．公差为2d的等差数列
C．公差为nd的等差数列
D．非等差数列
解析：选B.数列{a }其实就是a ，a ，a ，a ，…，奇数项组成的数列，它们之
2n－1 1 3 5 7
间相差2d.
2．已知数列{a }为等差数列，S 为其前n项和，2＋a ＝a ＋a ，则S ＝( )
n n 5 6 3 7
A．2 B．7
C．14 D．28
解析：选C.因为2＋a ＝a ＋a ，所以2＋a ＋d＝a ＋2d＋a －d.解得a ＝2，所
5 6 3 4 4 4 4
以S ＝＝7a ＝14.
7 4
3．已知数列{a }满足a ＝15，且3a ＝3a －2，若a ·a <0，则正整数k＝(
n 1 n＋1 n k k＋1
)
A．21 B．22
C．23 D．24
解析：选C.3a ＝3a －2⇒a ＝a －⇒{a }是等差数列，则a ＝－n.因为
n＋1 n n＋1 n n n
a ·a <0，所以<0，所以0知d<0，故S ≥a 等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10.
1 n n
所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．
14．已知公差大于零的等差数列{a }的前n项和为S ，且满足a a ＝65，a ＋a
n n 2 4 1 5
＝18.
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)是否存在常数k，使得数列{}为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，
请说明理由．
解：(1)设公差为d，因为{a }为等差数列，
n
所以a ＋a ＝a ＋a ＝18，又a a ＝65，所以a ，a 是方程x2－18x＋65＝0的两
1 5 2 4 2 4 2 4
个实数根，又公差d＞0，所以a ＜a ，所以a ＝5，a ＝13.
2 4 2 4
所以所以所以a ＝4n－3.
n
(2)存在．由(1)知，S ＝n＋×4＝2n2－n，
n
假设存在常数k，使数列{}为等差数列．
由＋＝2，
得＋＝2，解得k＝1.
所以＝＝n，
当n≥2时，n－(n－1)＝，为常数，
所以数列{}为等差数列．
故存在常数k＝1，使得数列{}为等差数列．
[C级 创新练]
15．多环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，学生钟爱的快餐油炸食品中会
产生苯并芘，它是由苯和芘稠合而成的一类多环芳香烃，长期食用会致癌．下面
是一组多环芳香烃的结构简式和分子式：
名称 萘 蒽 并四苯 … 并n苯
结构简式 … …
分子式 C H C H C H … …
10 8 14 10 18 12
由此推断并十苯的分子式为________．
解析：因为多环芳香烃的分子式中C的下标分别是10，14，18，…，H的下标
分别是8，10，12，…，所以多环芳香烃的分子式中C的下标是公差为4的等差数
列，设C的下标构成的等差数列为{a }，其公差为d ，则a ＝18，d ＝4，故a ＝4n
n 1 4 1 n＋2，所以a ＝42.多环芳香烃的分子式中H的下标是公差为2的等差数列，设H
10
的下标构成的等差数列为{b }，其公差为d ，则b ＝12，d ＝2，故b ＝2n＋4.所以
n 2 4 2 n
b ＝24，所以并十苯的分子式为C H .
10 42 24
答案：C H
42 24
16．已知定义：在数列{a }中，若a－a＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则称{a }为
n n
等方差数列．下列命题正确的是( )
A．若{a }是等方差数列，则{a}是等差数列
n
B．{(－1)n}是等方差数列
C．若{a }是等方差数列，则{a }(k∈N*，k为常数)不可能还是等方差数列
n kn
D．若{a }既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
n
解析：选ABD.若{a }是等方差数列，则a－a＝p，故{a}是等差数列，故A正
n
确；a ＝(－1)n时，a－a＝(－1)2n－(－1)2(n－1)＝0，故B正确；若{a }是等方差数列，
n n
则由A知{a}是等差数列，从而{a}(k∈N*，k为常数)是等差数列，设其公差为d，
则有a－a＝d，由定义知{a }是等方差数列，故C不正确；若{a }既是等方差数列，
kn n
又是等差数列，则a－a＝p，a －a ＝d，所以a－a＝(a －a )(a ＋a )＝d(a ＋
n n－1 n n－1 n n－1 n
a )＝p，若d≠0，则a ＋a ＝.又a －a ＝d，解得a ＝，{a }为常数列；若d＝
n－1 n n－1 n n－1 n n
0，该数列也为常数列，故D正确．
