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人教A版数学--数列专题十二
知识点一 等差数列通项公式的基本量计算,求等差数列前n项和,裂项相消法求和
典例1、在① ， ；② ；③ ， 是 与 的等比中项，
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．已知
为等差数列 的前n项和，若________．
（1）求 ；
（2）记 ，已知数列 的前n项和 ，求证：
随堂练习：在① 是 与 的等比中项：② ；③ 这三个条件中任选两个
补充到下面的横线中并解答．问题：已知公差不为零的等差数列 的前 项和
为 ，且满足______．
（1）求 ；（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
注：如果选择多个组合分别作答，按第一个解答计分．典例2、在① 且 ，② 且 ，③正项数列 满足
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题:已
知数列 的前 项和为 ，且______?
（1）求数列 的通项公式:
（2）求证： .
随堂练习：设数列 的前 项和为 ，已知 ，__________.
（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，数列 的前 项和为 ，证明：.
从下列两个条件中任选一个作为已知，补充在上面问题的横线中进行求解（若两个都选，
则按所写的第1个评分）：①数列 是以 为公差的等差数列；②
.
典例3、已知 的前n项和为 ， ，且满足______，现有以下条件：
① ；② ；③
请在三个条件中任选一个，补充到上述题目中的横线处，并求解下面的问题：
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求 的前n项和 ，并证明： ．随堂练习：已知等差数列 与正项等比数列 ，满足 ， ，
.
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个补充在下面的问
题中，并完成求解.若______，求数列 的前 项和.（注：若多选，以选①评
分）
知识点二 由递推关系证明数列是等差数列,错位相减法求和
典例4、已知 为数列 的前 项和, ．
（1）证明:数列 为等比数列;
（2）求数列 的前 项和 ．随堂练习：已知数列 中， ，且满足 .
（1）证明：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
典例5、已知数列 的前n项和为 ．
（1）记 ，证明： 是等差数列，并求 的通项公式；（2）记数列 的前n项和为 ，求 ，并求使不等式 成立的最大正整数n．
随堂练习：已知数列 中， ，数列 的前 项和为 满足 .
（1）证明：数列 为等比数列；
（2）求数列 的前 项和 .
典例6、对于无穷数列 和函数 ，若 ，则称 是数列的母函数．
（1）定义在R上的函数 满足：对任意 ， ，都有 ，且
；又数列 满足 ．
（Ⅰ）求证： 是数列 的母函数； （Ⅱ）求数列 的前n项和 ．
（2）已知 是数列 的母函数，且 ．若数列 的前n项和为
，求证： ．
随堂练习：已知数列
（1）令 ，求证：数列 是等比数列；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．人教A版数学--数列专题十二答案
典例1、答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）选择条件①：设等差数列 的公差为d，
则 ，解得 ， 故 ；
选择条件②： ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，也适合上式，故 ；
选择条件③：设等差数列 的公差为 ，则 ，
解得 、 或 、 （不合题意），故 ．
（2）证明：因为 ，所以 ，
故 ，
得证.
随堂练习：答案： （1） （2）解：（1）方法1：选①和③
，整理得 ，
设等差数列 的公差为 ，则有 ，
整理得 , ，解得 ，
又由 ，可得 ，解得 ，故 ，所以，
方法2：选①和②
， ，所以， ，
设等差数列 的公差为 ，则有 ，
化简得 ，解得 ， ，则 ，
方法3：选②和③，
， 可得， ，
设等差数列 的公差为 ，则有 ，得到方程 ，解
得 ，
故 ，所以等差数列 的通项公式为： .
（2）
，
典例2、答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）选择①当 时， ， ，
两式作差得： ， 整理得 ，
所以 为常数列，因此 ， 所以 .
选择②
得 ，
两式相减得 ，即数列 为隔项等差数列，且公差为 ，
当 时， ，又 ，则 ，
当 为偶数时， ，
当 为奇数时， ， 综合得： ；
选择③
又 ，得 . 当 时， ，
两式相减得： ，即 .
又因为 ，所以 ，故 为公差为1的等差数列，
得 .
（2）证明：由（1）可得
所以因为 所以
因此 .
随堂练习：答案： （1）选择①②，都有 ； （2）证明见解析.
解：（1）若选择①数列 是以 为公差的等差数列，显然其首项为
故 ，故 ；
当 时， ，
当 时， ，满足 . 故 的通项公式为 ；
若选择②
即 ，整理得：
故 ，即数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
与选择①相同，故 的通项公式为 .
（2）根据（1）中所求可得： ，则
故又 ，故可得 .
典例3、答案： （1） ； （2） ；证明见解析.
解：（1）若选择条件①：因为 ，
当 时， ， 两式相减得
，
所以当 时 ，当n＝1时符合， ∴ ；
若选择条件②：因为 ，
当 时 ， 两式相减得 ， ，
∴ 是首项为2，公比为2的等比数列， ∴ ；
若选择条件③：∵ ，
∴ 时， ， 两式相减得 ，
当n＝1时， ，可得 ， ， ∴ 时 成立，
∴ 是首项为2，公比为2的等比数列， ∴ ；
（2）由（1）可知 ，
则 ， 所以，
因为 ， 所以 各项均为正数， 所以 ，
又因为 ， 所以 ．
随堂练习：答案： （1） ， （2）见解析
解：（1）设等差数列 的公差为 ，正项等比数列 的公比为 ，
由已知得 ，则 ，解得 ，
所以 ， ；
（2）选①，则有
即 .
选②，则有 ，设数列 的前 项和为 ，
， ，
两式相减，
，
解得 .
选③，则由 ，
即.
典例4、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明:由题知 , ,
解得: 故 ,
由 , 可得 , ,
两式相减可得: , ,
所以 , , 所以 , ,
所以数列 是以6为首项,2为公比的等比数列;
（2）由(1)得数列 是以6为首项,2为公比的等比数列, 所以 ,
故 , 则 ,
设 ,其前n项和为 ,
则 ①, ②,
①-②可得:
,
所以 ,
所以
,综上: .
随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2）
解：（1） ，
数列 是以 为首项，以5为公比的等比数列.
，
（2） ，
即 ①， ②，
由① ②得： ，
， 化简得： .
典例5、答案： （1）证明过程见解析， ； （2） ；n为
5．
解：（1）由 ，得 ，
即 ，
． 即 ， 又 ，
数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，
；
（2）由（1）知 ．
，①，②
①-②，得
，
， ，
因为 所以 ，所以 是递增
数列，
，
使不等式 成立的最大正整数n为5．
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）当 时， ， ；
当 时， ，
则 ，
又 满足 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（2）由（1）得： ，则 ， ；
，
则 ，，
.
典例6、答案： （1）（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） ； （2）证明见解析.
解：（1）（Ⅰ）由题知 ，
且
．
是数列 的母函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 是首项和公差均为2的等差数列，故
．
①
②
两式相减得： ；
（2）由题知： ， ． ，，从而 是以 为首项，
为公比的等比数列 ．
又 ．
故当 时，
．
随堂练习：答案： （1）见解析 （2）
解：（1）证明：因为 ，所以 ，即 ，
又 ， 所以数列 是以3为首项，3为公比的等比数列；
（2）由（1）得 ，
， 则 ，
，
两式相减得 ， 所以
．
