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6.1 等差数列（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 等差中项
【例1】（2022·青海）已知等差数列 中， ， 是方程 的两根，则 的前21项的和为（ ）
A．6 B．30 C．63 D．126
【答案】C
【解析】 ， 是方程 的两根，由韦达定理得： ，
所以等差数列 的前21项的和 ．故选：C
【一隅三反】
1．（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列 的前n项和为 ，已知 ，则
（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【解析】因为 ，又 ，所以 ，所以 ，即
，
设等差数列 的公差为 ，则 ，所以 ，又 ，所以
，
所以 ．故选：C.
2．（2022·江西）设等差数列 的前 项和为 ， ，则 （ ）
A．56 B．63 C．67 D．72
【答案】B
【解析】设 的公差为 ，则 ，所以 ，所以
.故选：B
3．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，若则 的值是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【解析】由等差中项的性质可得 ，由等比中项的性质可得
，因此， .故选：B.
4.（2022·安徽滁州）已知 是公差不为零的等差数列，若 ，则
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解析】由等差数列的性质得， 所以 ,即 故选:A
考点二 等差数列的前n项和性质
【例2-1】（2022·青海）已知等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．－10 B．－20 C．－120 D．－110
【答案】C
【解析】 ，
，则 .故选：C
【例2-2】．（2022·全国·高三专题练习）两个等差数列 和 的前 项和分别为 、 ，且
，则 等于（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】两个等差数列 和 的前 项和分别为 、 ，且 ，
所以 .故选：A
【例2-3】（2022·全国·高三专题练习）等差数列 的前 项和为 ，若 且 ，则
( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 的公差为d，∵ ∴ ，
即{ }为等差数列，公差为 ，由 知 ，故
故选：A﹒
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A．8 B．12 C．14 D．20
【答案】D
【解析】等差数列 的前n项和为 ， ，
则 ， ， ， 构成首项为2，公差为2的等差数列
则 +( )+ ( )+ ( )=2+4+6+8=20故选：D2．（2022·湖北武汉·模拟预测）设公差不为零的等差数列 的前n项和为 ， ，则
（ ）
A． B．-1 C．1 D．
【答案】C
【解析】在等差数列 中， ， ，故 ，
又 ，故 ，则 ，故 .故选：C.
3．（2022·全国·模拟预测）设等差数列 与等差数列 的前n项和分别为 ， .若对于任意的正整数
n都有 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ， ， .则 ，
，所以 .故选：B.
4．（2022·广东习）等差数列 中， ，前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．1011 B．2022 C． D．
【答案】B
【解析】数列 公差为 ， ， ，所以 ，
则 ，故选：B．
考点三 等差数列的最值【例3-1】（2022·北京）设等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则当 取最大值n等于
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】设公差为 则 ，
因此 ，所以当 时， 取最大值故选：B
【例3-2】．（2022·陕西）设等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则当 （ ）时，
最大.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
根据等差数列性质，因为 ，即 ，
又因为 ，即 ；所以得 且 ，
所以等差数列 为递减的数列，所以当 时， 最大.故选：B.
【例3-3】（2022·全国·高三专题练习（理））已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，
，则下面结论错误的是（ ）
A． B． C． D． 与 均为 的最小值
【答案】C
【解析】对于A选项，由 可得 ，A选项正确；对于C选项，由 可得 ，∴ ，C选项错误；
对于D选项，由 可得 ，且 ， ， ，
所以，当 且 时， ，且 ，则 与 均为 的最小值，D选项正确；
对于B选项，∵ ， ，当 时， ，
所以， ，B选项正确．故选：C．
【一隅三反】
1．（2022·内蒙古包头·高一期末）等差数列 的前n项和为 ，公差为d，已知 且 ．
则使 成立的最小正整数n的值为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．9
【答案】D
【解析】因为 ， ，所以 ，又 ，
由 ，可得 ，即 ，所以使 成立的最小正整数n的值为9.故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习（文））在等差数列 中， 为 的前n项和， ， ，则无
法判断正负的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设公差为 ，因为 ， ，可知： ，且 ， ，所以 ，从而
， 不确定正负， ，
故选：B3．（2022·河南许昌）已知 是等差数列 的前n项和，若对任意的 ，均有 ．成立，则
的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【解析】由题意，等差数列 ，对任意的 ，均有 成立，
即 是等差数列 的前n项和中的最小值，必有 ，公差 ，
当 ，此时 ， 、 是等差数列 的前n项和中的最小值，
此时 ，即 ，则 .
当 ， ，此时 是等差数列 的前n项和中的最小值，
此时 ， ，即 ，
则 ，则有 ， ， ， ，
，综合可得 ，所以 的最小值为 .故选：D .
4．（2022·湖北·荆州中学高三开学考试）已知等差数列 的公差不等于0．其前 为项和为 ．若
，则 的最大值为（ ）
A．18 B．20
C．22 D．24
【答案】B
【解析】设等差数列 的公差为 ，则 ，， ，因 ，即 ，
显然 ，否则 ，矛盾，于是得 ，又 ，否则 ，公差 ，矛盾，
因此， ，解得 ，而 ，则公差 ， ，
由 得， ，于是有等差数列 是递减数列，其前5项都是非负的，从第6项起为负，
当 或 时， ，
所以 的最大值为20.故选：B
考点四 等差数列的综合运用
【例4】（2022·广东深圳·高三期末）（多选）已知d为等差数列 的公差， 为其前n项和，若 为
递减数列，则下列结论正确的为（ ）
A．数列 为递减数列 B．数列 是等差数列
C． ， ， 依次成等差数列 D．若 ， ，则
【答案】BD
【解析】由题意可知数列 是等差数列，且递减，则 ，
不妨举例如：
则 ，这三项不构成递减数列，故A错；
而 ,这三项不构成等差数列，说明C错；
对于B， ，是关于n的一次函数，
因此 是等差数列，故B正确；
对于D， ，则 ，，则 ，
故 ，故D正确，故选：BD.
【一隅三反】
1．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）（多选）记数列 是等差数列，下列结论中不恒成立的是
（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ACD
【解析】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，则
对于A，由数列 是等差数列及 ，所以可取 ，所以 不成立，故
A正确；
对于B，由数列 是等差数列，所以 ，所以 恒成立，故B不正确；
对于C, 由数列 是等差数列， 可取 ，所以 不成立，故C正确；
对于D，由数列 是等差数列，得 ，无论 为何值，均有
所以若 ，则 恒不成立，故D正确.故选：ACD.
2．（2022·广东湛江·高三阶段练习）（多选）设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则下列
结论正确的是（ ）
A．数列 是递增数列 B．
C．当 时， D．
【答案】BC【解析】等差数列 的前 项和为 ，若 ，
可得 ，可得B正确；
故数列为递减数列，故A错误；
因为 ， ，
因为数列是递减数列，当 时， ，
故当 时， ，C是正确的；
，故D错误；
故选：BC
3．（2022·全国·高三专题练习）（多选）在等差数列 中，其前 的和是 ，若 ， ，则
（ ）
A． 是递增数列 B．其通项公式是
C．当 取最小值时， 的值只能是 D． 的最小值是
【答案】ABD
【解析】由 ，可知等差数列 为递增数列，A正确；
由题设， ，B正确；
，故当 或 时， 取最小值且为 ，故C错误，D正确.
故选：ABD
4．（2022·福建漳州·三模）（多选）已知数列{ }的前n项和为 ，则下列说法正确的是
（ ）．
A． 是递增数列 B． 是递减数列C． D．数列 的最大项为 和
【答案】BCD
【解析】因为 ，所以数列 的最大项为 和 ，故D正确；
当 时， ，
当 时，由 ，得 ，
两式相减得： ， 又 ，适合上式，所以 ，故C正确；
因为 ，所以 是递减数列，故A错误，B正确；故选：BCD
考点五 等差数列的实际运用
【例5-1】（2022·湖北·模拟预测）（多选）在新加坡举行的2020世界大学生辩论赛中，中国选手以总分
230.51分获得冠军．辩论赛有7位评委进行评分，首先7位评委各给出某队选手一个原始分数，评定该队
选手的成绩时从7个原始分数中去掉一个最高分、去掉一个最低分，得到5个有效评分．若某队选手得到
的7个原始分成等差数列，且公差不为零，则5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是（
）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差
【答案】AB
【解析】7个原始分成公差 的等差数列，设为 ， ， ， ， ， ， ，
则中位数及平均数均为a，方差为 ，极差为
则5个有效分为 ， ， ， ， ，中位数及平均数均为a，方差为
，极差为
∴A、B正确，C、D错误．故选：AB．
【例5-2】（2021·全国·高二单元测试）数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三
三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将同时满足“三三数之剩二，五五
数之剩三”的正整数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则满足 的正整数 的最小值为（ ）
A．132 B．135 C．136 D．138
【答案】C
【解析】由题意归纳可知，数列为8，23，38，…，即所求数列是首项为8公差为15的等差数列，
故 ，令 ，解得 ，
所以 的最小值为136.故选：C
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作
《孙子算经》卷下中的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，
七七数之剩二问物几何？现有一个相关的问题：将1到2022这2022个自然数中被3除余2且被5除余4的
数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列14，29，44，…，则该数列的项数为（ ）
A．132 B．133 C．134 D．135
【答案】C
【解析】由题意得：新数列14，29，44，…是首项为14，公差为15的等差数列，
设新数列为 ，则通项公式为 ，令 ，解得： ，
因为 ，所以这个数列的项数为134.故选：C
2．（2022·福建·莆田华侨中学模拟预测）2022年4月26日下午，神州十三号载人飞船返回舱在京完成开
舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号” 遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千
米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过
程需要的时间大约是（ ）
A．10秒 B．13秒 C．15秒 D．19秒
【答案】D
【解析】设每秒钟通过的路程构成数列 ，则 是首项为2，公差为2的等差数列，
由求和公式有 ，解得 ．故选：D.
3．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））5G基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至2021年7
月底，A地区已经累计开通5G基站300个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进5G网络建设．已
知2021年8月该地区计划新建50个5G基站，以后每个月比上一个月多建40个，预计A地区累计开通
4640个5G基站要到（ ）A．2022年10月底 B．2022年9月底
C．2022年8月底 D．2022年7月底
【答案】B
【解析】由题意得，2021年8月及之后该地区每个月建设的5G基站数量为等差数列，则公差为40，
假设要经过k个月，则 ，
解得： ，所以预计A地区累计开通4640个5G基站要到2022年9月底，故选：B．
4．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）“中国剩余定理”是关于整除的问题.现有这样一个问题“将1~2030
这2030个自然数中，能被3整除余1且能被4整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ，
则该数列共有（ ）
A．170项 B．171项 C．168项 D．169项
【答案】A
【解析】能被3整除余1且能被4整除余1的数即被12整除余1的数，故 ，由题意，
，故 ，故当 时成立，共170项.
故选：A
