文档文本内容
秘籍 13 能量守恒热点问题综合
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 选择题、实验题、计算题☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 结合力的平衡、牛顿定律、变力功、动能定理、动量定理考查
力的平衡、牛顿定律、变力功、动能定理、动量定理、内能、电磁感应
摩擦生热的计算，弹性势能的变化分析，焦耳热的计算。
一、单物机械能守恒
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
2．表达式：mgh ＋mv2＝mgh ＋mv2.
1 1 2 2
3．机械能守恒的条件
(1)系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力．
(2)系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功．
(3)系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零．
(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内外也没有机械能与其他形式的能发生转化．
例1、如图所示，倾角为37°的斜面与一竖直光滑圆轨道相切于A点，轨道半径R＝1 m，将滑块由B点无
初速度释放，滑块恰能运动到圆周的 C点，OC水平，OD竖直，x ＝2 m，滑块可视为质点，取g＝10
AB
m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)滑块在斜面上运动的时间；
(2)若滑块能从D点抛出，滑块仍从斜面上无初速度释放，释放点至少应距A点多远．
例2、如图所示，有一内壁光滑的闭合椭圆形管道，置于竖直平面内，MN是通过椭圆中心O点的水平线．已知一小球从M点出发，初速率为v ，沿管道MPN运动，到N点的速率为v ，所需时间为t ；若该小球
0 1 1
仍由M点以初速率v 出发，而沿管道MQN运动，到N点的速率为v，所需时间为t，则( )
0 2 2
A．v＝v，t>t B．v<v，t>t
1 2 1 2 1 2 1 2
C．v＝v，t<t D．v<v，t<t
1 2 1 2 1 2 1 2
二、有弹性势能参与的机械能守恒
含弹簧类机械能守恒问题
1．由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的
内力不做功，系统机械能守恒．
2．在相互作用过程特征方面，弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的
速度，弹性势能最大．
3．如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有
最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放)．
例3、(多选)如图所示，一根轻弹簧一端固定在O点，另一端固定一个带有孔的小球，小球套在固定的竖
直光滑杆上，小球位于图中的A点时，弹簧处于原长，现将小球从A点由静止释放，小球向下运动，经过
与A点关于B点对称的C点后，小球能运动到最低点D点，OB垂直于杆，则下列结论正确的是( )
A．小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g
B．小球从B点运动到C点的过程，小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和可能增大
C．小球运动到C点时，重力对其做功的功率最大
D．小球在D点时弹簧的弹性势能一定最大
例4、轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧
被压缩到最短时，弹簧长度为l.现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接．
AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示．
物块P与AB间的动摩擦因数μ＝0.5.用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g.
(1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的
距离；
(2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围．
三、连接体机械能守恒
从能量转化角度更容易判断。
例5、如图所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆L 、L ，两杆不接触，且两杆间的距离忽略不计．两
1 2
个小球a、b(视为质点)质量均为m，a球套在竖直杆L 上，b球套在水平杆L 上，a、b通过铰链用长度为l
1 2
的刚性轻杆L连接，将a球从图示位置(轻杆与L 杆夹角为45°)由静止释放，不计一切摩擦，已知重力加速
2
度为g.在此后的运动过程中，下列说法中正确的是( )
A．a球和b球所组成的系统机械能不守恒
B．b球的速度为零时，a球的加速度大小为零
C．b球的最大速度为
D．a球的最大速度为
例6、如图所示，左侧为一个半径为R的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O点为球心，碗的内
表面及碗口光滑．右侧是一个固定光滑斜面，斜面足够长，倾角θ＝30°.一根不可伸长的不计质量的细绳跨
在碗口及光滑斜面顶端的光滑定滑轮两端上，绳的两端分别系有可视为质点的小球m 和m ，且m ＞m.开
1 2 1 2
始时m 恰在碗口水平直径右端A处，m 在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜面平
1 2
行且恰好伸直．当m 由静止释放运动到圆心O的正下方B点时细绳突然断开，不计细绳断开瞬间的能量
1
损失．
(1)求小球m 沿斜面上升的最大距离s；
2(2)若已知细绳断开后小球m 沿碗的内侧上升的最大高度为，求.(结果保留两位有效数字)
1
四、能量守恒定律的应用
能量守恒定律
1．内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别
的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．
2．表达式：ΔE ＝ΔE
减 增．
3．基本思路
（1）．分清有多少种形式的能量[如动能、势能(包括重力势能、弹性势能、电势能)、内能等]在变化．
（2）．明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减小，并且列出减少的能量ΔE 和增加的能量ΔE 的
减 增
表达式．
（3）．列出能量守恒关系：ΔE ＝ΔE
减 增．
例7、如图，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点相切，半圆形导轨的半径为R.一个质量为m
的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右的速度后脱离弹簧，当它经过 B
点进入导轨的瞬间对轨道的压力为其重力的8倍，之后向上运动恰能到达最高点C.不计空气阻力，重力加
速度为g，试求：
(1)物体在A点时弹簧的弹性势能；
(2)物体从B点运动至C点的过程中产生的内能．
例8、如图所示，质量相等的物体A、B通过一轻质弹簧相连，开始时B放在地面上，A、B均处于静止状
态．现通过细绳将A向上缓慢拉起，第一阶段拉力做功为W 时，弹簧变为原长；第二阶段拉力再做功W
1 2
时，B刚要离开地面．弹簧一直在弹性限度内，则( )
A．两个阶段拉力做的功相等
B．拉力做的总功等于A的重力势能的增加量
C．第一阶段，拉力做的功大于A的重力势能的增加量D．第二阶段，拉力做的功等于A的重力势能的增加量
五、热学中的能量守恒
例9、（陕西省咸阳市武功县普集高级中学2022-2023学年高三下学期二轮强化检测）（多选）一定质量
的理想气体从状态a开始，先经历过程1到状态b、再经历过程2到达状态c，再经历过程3到达状态d，
最后经历过程4回到状态a，其体积V与热力学温度T的关系图像如图所示，且 与V轴平行， 延长
线过原点， 与T轴平行。对于这四个过程，下列说法正确的是（ ）
A. 在过程1中，外界对气体做功，气体对外放热
B. 在过程2中，气体温度先逐渐降低后逐渐升高
C. 在过程3中，气体对外做功，气体分子平均动能不变
D. 在过程4中，气体不对外界做功，但对外界放热
E. 在a、b、c、d四个状态中，d状态压强最大
六、电磁感应中的能量守恒
例10、（华大新高考联盟2022-2023学年高三下学期3月教学质量测评）（多选）如图，竖直光滑圆弧轨
道与水平光滑轨道平滑连接，圆弧部分和左侧水平部分间距相等，为3L，右侧水平部分间距为L，导轨水
平部分位于竖直向下的匀强磁场中，ab、cd是质量分别为6m和m的两根导体棒，两导体棒连入两导轨间
的电阻相等，cd导体棒静止在右侧水平部分，与两水平导轨垂直。现让ab导体棒从圆弧轨道静止释放，
释放前ab导体棒与圆弧导轨垂直，距水平面的高度为h，导轨左侧水平部分和右侧水平部分足够长，导轨
电阻不计，运动过程中两导体棒始终与导轨接触良好，则下列说法正确的是（ ）A. 最终ab、cd两导体棒产生的感应电动势大小之比为3:1
B. 最终ab、cd两导体棒的动量之比为2:1
C. 整个过程在导体棒ab上产生的焦耳热为
D. 整个过程通过导体棒ab的电荷量为
1.（四川省成都市石室中学2023届高三下学期4月第一次阶段性测试）在冰雪冲浪项目中，安全员将小朋
友（可视为质点）从A点沿左侧圆弧切线方向推入滑道，小朋友获得 的初速度，圆弧所在圆的
半径 ，圆弧AB所对应的圆心角 ，B为轨道最低点，冰滑道视为光滑。小朋友和滑板总质
量为 ，右侧平台比左侧平台高9.45m。小朋友冲上右侧平台后做减速运动，滑板与平台间动摩擦因
数为 ，重力加速度 。求：
（1）小朋友和滑板在圆弧形冰滑道最低点B时的速率v及其对冰道的压力 ；
（2）小朋友和滑板在右侧雪道滑行的距离d。
2.（四川省成都市石室中学2023届高三下学期4月第二次阶段性测试）某同学用图甲的装置验证机械能守
恒定律。大小相同的两小球P、Q分别固定在轻杆两端，轻杆可绕固定于中点O的光滑水平轴在竖直面内
转动，O点正下方有一光电计时器，小球通过计时器时其球心恰好与光电门等高。已知小球的直径为d，
两球球心间的距离为L，P球质量是Q球质量的2倍，重力加速度为g。现将轻杆拉至水平位置并由静止释
放，当P球第一次通过光电门时，计时器显示的遮光时间为 。回答下列问题：（1）用游标卡尺测量d时如图乙所示，则 ______cm；
（2）小球P经过光电门时速度的表达式为 ______（用已知和测得量的符号表示）；
（3）若此过程中P、Q构成的系统机械能守恒，则需要验证的关系式为______（用已知和测得量的符号表
示）。
3.（四川省成都市第七中学2023届高三下学期三诊模拟）如图所示，一个固定在竖直平面内的光滑四分之
一圆弧，轨道半径 ，下端恰好与光滑水平面 平滑连接，质量为 的铁球（可视为质点）
由圆弧轨道顶端无初速度释放，后从 点冲上倾角为 的光滑斜面且无机械能损失，铁球在斜面上运
动 后在B点冲出斜面。（ ， ，重力加速度取 ）求：
（1）铁球运动到圆弧轨道底端时对圆弧轨道的压力大小；
（2）斜面的长度；
（3）在 点左侧 处放置一足够高的竖直挡板，铁球与挡板碰撞时的速度大小。
4.（四川省成都市第七中学2023届高三下学期4月第一次阶段性测试）（多选）一抛物线形状的光滑固定
导轨竖直放置，O为抛物线导轨的顶点，O点离地面的高度为 两点相距 ，轨道上套有一个小球
M，小球M通过轻杆与光滑地面上的小球N相连，两小球的质量均为m，轻杆的长度为 ，现将小球M
由距地面竖直高度 处由静止释放，则（ ）A．小球M将做平抛运动
B．小球M即将落地时，小球N的动能为
C．小球M即将落地时速度大小为
D．小球M即将落地时，小球N的速度大小为
5.（四川省成都市第七中学2023届高三下学期4月第一次阶段性测试）如图，水平桌面上一个质量
的物体（视为质点）将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得一向右速度后脱
离弹簧，之后从桌子边缘B点平抛出去，并从C点沿CD方向进入竖直平面内，由斜直轨道CD和圆弧形
轨道DEFGH平滑连接而成的光滑轨道上运动，CD与水平面成 角，EG为竖直直径，FH为水平直
径。已知物块刚好能沿圆轨道经过最高点G，AB间的距离 ，物体与桌面间的动摩擦因数 ，
C点距离桌面的水面距离 ，B、C两点间的高度差 ，C、D两点间的高度差 ，
重力加速度g取 ， ， ，求：
（1）弹簧被压缩至A点时的弹性势能 ；
（2）圆弧轨道半径R；
（3）当物体从D点进入圆弧轨道后，撤去斜直轨道CD，物体从H点落到水平面的时间t。6.（四川省成都市第七中学2023届高三下学期4月第二次阶段性测试）（多选）如图所示，两面与水平面
平滑连接，物体与两面和水平面间动摩擦因数相同，物体从斜面上A点静止沿AB下滑，最终停在水平面
上的P点，则从同一点A静止沿曲面AC下滑，曲面弧AC的长度等于斜面AB的长度，下列说法正确的是
（ ）
A．沿AC下滑，物体仍将停在P点
B．沿AC下滑，物体停在P点左侧
C．两次下滑直到停止，所消耗的机械能是不相等的
D．从斜面下滑到 B点时的动能，大于从斜面滑到C点时的动能
7.（南京市、盐城市2023届高三年级第一次模拟考试）某物理兴趣小组想利用如图所示的装置来测量物体
的质量，已知导热气缸内部光滑，轻质活塞的面积为S且封有一定质量的理想气体，开始时活塞距气缸底
部的距离为d，气缸的水平长度为L，活塞通过轻绳连接了一个轻质托盘，轻绳跨在定滑轮上，大气压强
为p，外界的温度为T，重力加速度为g，求：
0 0
（1）此装置可以测的最大质量是多少？
（2）保持托盘中存放最大质量，缓慢逐渐降低温度，直到活塞回到原来的位置，此过程气体的内能减少
了△U，则气体放出的热量Q是多少？
8.（内江六中2022-2023学年度下期高2023届第六次月考）（多选）如图所示，带电粒子M、N质量相同，
以相同的初速度沿垂直于电场的方向射入两平行板间的匀强电场，M从两极板正中央射入，N从下极板边
缘处射入，最后都打在同一点。不计粒子的重力，从开始射入到打到上板的过程中，两粒子（ ）.
A 运动时间
B. 加速度之比
C. 所带电荷量之比
D. 电势能的变化量之比
9.（内江六中2022-2023学年度下期高2023届第六次月考）如图所示，AB为倾角θ=37°的光滑斜面轨道，
通过一小段光滑圆弧与光滑水平轨道BC相连接，质量为m 的小球乙静止在水平轨道上，此时小球乙与斜
2
面底端B的距离d =2m。质量为m 的小球甲以某一未知速度v 与乙球发生弹性正碰，使乙球获得6m/s的
1 0
速度。若m:m=1:2，且轨道足够长，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
1 2
（1）第二次碰撞前小球乙在斜面运动的时间；
（2）两球发生第二次碰撞时的位置到斜面底端B的距离。
10.（2022-2023学年度下学期高三第二次模拟考试试题）如图所示，在水平地面的两边有相距为L的两块
固定挡板M、N，在两块挡板间的中点处并排放着两个质量分别为 、 的小滑块1和2（可看成质点），
它们与地面间动摩擦因数分别是 和 ， 。现让小滑块1向左，小滑块2向右以大小
相等的初速度 同时开始运动，小滑块与挡板碰撞不损失机械能，滑块之间发生的碰撞为弹性碰撞，碰撞
时间极短，均可忽略。（重力加速度g取10 ）（1）若小滑块1、2刚好不发生相碰，求小滑块1所走的路程是多少？
（2）若小滑块1、2恰在小滑块1第一次停止时发生碰撞，则它们第一次碰前运动了多长时间？出发时
的值为多大？
（3）若小滑块1、2出发时的速度大小取（2）问中的 值， ，且小滑块1、2仅能发生一次碰撞，
求 应满足的条件。
11、（吉林省延边州2022-2023学年高三下学期教学质量检测）如图甲所示，一不可伸长的绝缘细绳上端
固定在铁钉上，下端系在质量为m、半径为r的由粗细均匀导线制成的圆形硬质金属框上，圆形金属框静
止在倾角为θ的绝缘光滑固定斜面上，细绳与斜面平行。金属框的下半部分处于垂直于斜面向上的匀强磁
场中，上半部分位于磁场外。已知构成金属框的材料的电阻率为ρ，金属框的总体积为V。在 到
时间内，磁感应强度大小随时间t的变化规律如图乙所示，重力加速度为g。求：
（1） 时，金属框所受绳拉力 大小；
的
（2）从 到 时间内，金属框产生的焦耳热。
12.（华大新高考联盟2022-2023学年高三下学期3月教学质量测评）某物理实验小组用如图甲所示的装置
验证机械能守恒定律，所用的气垫导轨与滑块之间的摩擦阻力很小。在气垫导轨上固定一个光电门，调节
气垫导轨与水平面的夹角为30°，滑块上固定一遮光条，遮光条的宽度为d，现将滑块从A点由静止释放，释放滑块时遮光条距光电门的距离为L，由数字计时器读出遮光条通过光电门的时间为t，已知重力加速度
为g。
（1）实验过程中用游标卡尺测量遮光条的宽度d，游标卡尺读数如图乙所示，读出遮光条的宽度为d=
______mm。
（2）若在误差允许范围内等式_______成立，则验证了机械能守恒定律。由于滑块在运动过程中受到微弱
的气垫导轨的阻力和空气阻力，造成滑块和遮光条下滑过程的机械能有微小的损失，以遮光条通过光电门
时滑块所在的位置为重力势能的零点，则损失的机械能与初始位置的机械能之比为______（均用题设给出
的物理量符号以及测量物理量符号表示）。参考答案
一、单物机械能守恒
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
2．表达式：mgh ＋mv2＝mgh ＋mv2.
1 1 2 2
3．机械能守恒的条件
(1)系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力．
(2)系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功．
(3)系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零．
(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内外也没有机械能与其他形式的能发生转化．
例1、如图所示，倾角为37°的斜面与一竖直光滑圆轨道相切于A点，轨道半径R＝1 m，将滑块由B点无
初速度释放，滑块恰能运动到圆周的 C点，OC水平，OD竖直，x ＝2 m，滑块可视为质点，取g＝10
AB
m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)滑块在斜面上运动的时间；
(2)若滑块能从D点抛出，滑块仍从斜面上无初速度释放，释放点至少应距A点多远．
答案 (1)1 s (2)5.75 m
解析 (1)设滑块到达A点的速度为v ，从A到C过程机械能守恒有
A
mv＝mgRcos 37°
从B到A过程，滑块做匀加速直线运动，由匀变速直线运动规律可知v＝2ax
AB
v ＝at
A
联立各式解得a＝4 m/s2，t＝1 s
(2)设滑块能从D点抛出的最小速度为v ，在D点，由重力提供向心力，有mg＝m
D
从A到D由机械能守恒有
mv ′2＝mgR(1＋cos 37°)＋mv
A
v ′2＝2ax′
A
联立各式解得x′＝5.75 m.
例2、如图所示，有一内壁光滑的闭合椭圆形管道，置于竖直平面内，MN是通过椭圆中心O点的水平线．已知一小球从M点出发，初速率为v ，沿管道MPN运动，到N点的速率为v ，所需时间为t ；若该小球
0 1 1
仍由M点以初速率v 出发，而沿管道MQN运动，到N点的速率为v，所需时间为t，则( )
0 2 2
A．v＝v，t>t B．v<v，t>t
1 2 1 2 1 2 1 2
C．v＝v，t<t D．v<v，t<t
1 2 1 2 1 2 1 2
答案 A
解析 根据机械能守恒定律可知v ＝v ，再根据速率变化特点知，小球由M到P再到N，速率先减小至最
1 2
小，再增大到原速率．小球由M到Q再到N，速率先增大至最大，再减小到原速率．由两球运动速率特点
以及两条路径的路程相等可画出如图所示图象，由图象可知小球沿MQN路径运动的平均速率大，所以
t>t，故选项A正确．
1 2
二、有弹性势能参与的机械能守恒
含弹簧类机械能守恒问题
1．由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的
内力不做功，系统机械能守恒．
2．在相互作用过程特征方面，弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的
速度，弹性势能最大．
3．如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有
最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放)．
例3、(多选)如图所示，一根轻弹簧一端固定在O点，另一端固定一个带有孔的小球，小球套在固定的竖
直光滑杆上，小球位于图中的A点时，弹簧处于原长，现将小球从A点由静止释放，小球向下运动，经过
与A点关于B点对称的C点后，小球能运动到最低点D点，OB垂直于杆，则下列结论正确的是( )A．小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g
B．小球从B点运动到C点的过程，小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和可能增大
C．小球运动到C点时，重力对其做功的功率最大
D．小球在D点时弹簧的弹性势能一定最大
答案 AD
解析 在B点时，小球的加速度为g，在BC间弹簧处于压缩状态，小球在竖直方向除受重力外还有弹簧弹
力沿竖直方向向下的分力，所以小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度 g，
故A正确；由机械能守恒可知，小球从B点运动到C点的过程，小球做加速运动，即动能增大，所以小球
的重力势能和弹簧的弹性势能之和一定减小，故B错误；小球运动到C点时，由于弹簧的弹力为零，合力
为重力G，所以小球从C点往下还会加速一段，所以小球在C点的速度不是最大，即重力的功率不是最大，
故C错误；D点为小球运动的最低点，即速度为零，弹簧形变量最大，所以小球在 D点时弹簧的弹性势能
最大，故D正确．
例4、轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧
被压缩到最短时，弹簧长度为l.现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接．
AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示．
物块P与AB间的动摩擦因数μ＝0.5.用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运
动，重力加速度大小为g.
(1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的
距离；
(2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围．
答案 (1) 2l (2)m≤M<m
解析 (1)依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至 l时，质量为5m的物体的动能为零，其重力势能转化
为弹簧的弹性势能．由机械能守恒定律知，弹簧长度为l时的弹性势能为E＝5mgl
p
①
设P到达B点时的速度大小为v ，由能量守恒定律得
B
E＝mv 2＋μmg(5l－l) ②
p B
联立①②式，并代入题给数据得
v ＝ ③
B
若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小v应满足－mg≥0 ④
设P滑到D点时的速度为v ，由机械能守恒定律得
D
mv 2＝mv 2＋mg·2l ⑤
B D
联立③⑤式得v ＝ ⑥
D
v 满足④式要求，故P能运动到D点，并从D点以速度v 水平射出．设P落回到轨道AB所需的时间为t，
D D
由运动学公式得2l＝gt2 ⑦
P落回到AB上的位置与B点之间的距离为s＝v t ⑧
D
联立⑥⑦⑧式得s＝2l ⑨
(2)设P的质量为M，为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于零．由①②式可知
5mgl>μMg·4l ⑩
要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C.由机械能守恒定律有
Mv ′2≤Mgl ⑪
B
E＝Mv ′2＋μMg·4l ⑫
p B
联立①⑩⑪⑫式得m≤M<m.
三、连接体机械能守恒
从能量转化角度更容易判断。
例5、如图所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆L 、L ，两杆不接触，且两杆间的距离忽略不计．两
1 2
个小球a、b(视为质点)质量均为m，a球套在竖直杆L 上，b球套在水平杆L 上，a、b通过铰链用长度为l
1 2
的刚性轻杆L连接，将a球从图示位置(轻杆与L 杆夹角为45°)由静止释放，不计一切摩擦，已知重力加速
2
度为g.在此后的运动过程中，下列说法中正确的是( )
A．a球和b球所组成的系统机械能不守恒
B．b球的速度为零时，a球的加速度大小为零
C．b球的最大速度为
D．a球的最大速度为
答案 C
解析 a球和b球组成的系统没有外力做功，只有a球和b球的动能和重力势能相互转换，因此a球和b球
所组成的系统机械能守恒，A错误；设轻杆L和水平杆L 的夹角为θ，由运动关联可知vcos θ＝vsin θ，
2 b a则v ＝vtan θ，可知当b球的速度为零时，轻杆L处于水平位置且与杆L 平行，则此时a球在竖直方向只
b a 2
受重力mg，因此a球的加速度大小为g，B错误；当杆L和杆L 第一次平行时，a球运动到最下方，b球运
1
动到L 和L 交点位置，b球的速度达到最大，此时a球的速度为0，因此由系统机械能守恒有mg(l＋l)＝
1 2
mv，解得v ＝，C正确；当轻杆L和杆L 第一次平行时，由运动的关联可知此时b球的速度为零，由系统
b 2
机械能守恒有mg·l＝mv，解得v＝，此时a球具有向下的加速度g，故此时a球的速度不是最大，a球将继
a
续向下做加速度减小的加速运动，到加速度为0时速度达到最大，D错误．
例6、如图所示，左侧为一个半径为R的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O点为球心，碗的内
表面及碗口光滑．右侧是一个固定光滑斜面，斜面足够长，倾角θ＝30°.一根不可伸长的不计质量的细绳跨
在碗口及光滑斜面顶端的光滑定滑轮两端上，绳的两端分别系有可视为质点的小球m 和m ，且m ＞m.开
1 2 1 2
始时m 恰在碗口水平直径右端A处，m 在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜面平
1 2
行且恰好伸直．当m 由静止释放运动到圆心O的正下方B点时细绳突然断开，不计细绳断开瞬间的能量
1
损失．
(1)求小球m 沿斜面上升的最大距离s；
2
(2)若已知细绳断开后小球m 沿碗的内侧上升的最大高度为，求.(结果保留两位有效数字)
1
答案 (1)R (2)1.9
解析 (1)设重力加速度为g，小球m 到达最低点B时，m、m 速度大小分别为v、v
1 1 2 1 2
如图所示，由运动的合成与分解得v＝v
1 2
对m、m 组成的系统由机械能守恒定律得
1 2
mgR－mgh＝mv2＋mv2
1 2 1 1 2 2
h＝Rsin 30°
联立以上三式得
v＝ ，v＝
1 2
设细绳断开后m 沿斜面上升的距离为s′，对m 由机械能守恒定律得
2 2
mgs′sin 30°＝mv2
2 2 2
小球m 沿斜面上升的最大距离s＝R＋s′
2联立以上两式并代入v 得
2
s＝R＝R
(2)对m 由机械能守恒定律得：
1
mv2＝mg
1 1 1
代入v 得＝≈1.9.
1
四、能量守恒定律的应用
能量守恒定律
1．内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别
的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．
2．表达式：ΔE ＝ΔE
减 增．
3．基本思路
（1）．分清有多少种形式的能量[如动能、势能(包括重力势能、弹性势能、电势能)、内能等]在变化．
（2）．明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减小，并且列出减少的能量ΔE 和增加的能量ΔE 的
减 增
表达式．
（3）．列出能量守恒关系：ΔE ＝ΔE
减 增．
例7、如图，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点相切，半圆形导轨的半径为R.一个质量为m
的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右的速度后脱离弹簧，当它经过 B
点进入导轨的瞬间对轨道的压力为其重力的8倍，之后向上运动恰能到达最高点C.不计空气阻力，重力加
速度为g，试求：
(1)物体在A点时弹簧的弹性势能；
(2)物体从B点运动至C点的过程中产生的内能．
答案 (1)mgR (2)mgR
解析 (1)设物体在B点的速度为v ，所受弹力为F ，由牛顿第二定律得：
B NB
F －mg＝m
NB
由牛顿第三定律知F ＝F ′＝8mg
NB NB
由能量守恒定律可知
物体在A点时的弹性势能E＝mv＝mgR
p
(2)设物体在C点的速度为v ，由题意可知mg＝m
C物体由B点运动到C点的过程中，由能量守恒定律得
Q＝mv－(mv＋2mgR)
解得Q＝mgR.
例8、如图所示，质量相等的物体A、B通过一轻质弹簧相连，开始时B放在地面上，A、B均处于静止状
态．现通过细绳将A向上缓慢拉起，第一阶段拉力做功为W 时，弹簧变为原长；第二阶段拉力再做功W
1 2
时，B刚要离开地面．弹簧一直在弹性限度内，则( )
A．两个阶段拉力做的功相等
B．拉力做的总功等于A的重力势能的增加量
C．第一阶段，拉力做的功大于A的重力势能的增加量
D．第二阶段，拉力做的功等于A的重力势能的增加量
答案 B
五、热学中的能量守恒
例9、（陕西省咸阳市武功县普集高级中学2022-2023学年高三下学期二轮强化检测）（多选）一定质量
的理想气体从状态a开始，先经历过程1到状态b、再经历过程2到达状态c，再经历过程3到达状态d，
最后经历过程4回到状态a，其体积V与热力学温度T的关系图像如图所示，且 与V轴平行， 延长
线过原点， 与T轴平行。对于这四个过程，下列说法正确的是（ ）
A. 在过程1中，外界对气体做功，气体对外放热
B. 在过程2中，气体温度先逐渐降低后逐渐升高
C. 在过程3中，气体对外做功，气体分子平均动能不变
D. 在过程4中，气体不对外界做功，但对外界放热E. 在a、b、c、d四个状态中，d状态压强最大
【答案】ACD
【解析】A．根据题图可知，气体在过程1发生等压变化，气体体积逐渐减小，外界对气体做功，同时温
度降低，气体对外放热，故A正确；
B．在过程2中，气体温度一直升高，故B错误；
C．气体在过程3发生等温变化，气体分子平均动能不变；气体体积逐渐增大，故气体对外做功，故 C正
确；
D．气体在过程4发生等容变化，故气体不对外做功；但温度降低，则气体对外放热，故D正确；
E．由理想气体状态方程 为常数，可知 越小，p越大，则气体在状态c时压强最大，故E错误。
故选ACD。
六、电磁感应中的能量守恒
例10、（华大新高考联盟2022-2023学年高三下学期3月教学质量测评）（多选）如图，竖直光滑圆弧轨
道与水平光滑轨道平滑连接，圆弧部分和左侧水平部分间距相等，为3L，右侧水平部分间距为L，导轨水
平部分位于竖直向下的匀强磁场中，ab、cd是质量分别为6m和m的两根导体棒，两导体棒连入两导轨间
的电阻相等，cd导体棒静止在右侧水平部分，与两水平导轨垂直。现让ab导体棒从圆弧轨道静止释放，
释放前ab导体棒与圆弧导轨垂直，距水平面的高度为h，导轨左侧水平部分和右侧水平部分足够长，导轨
电阻不计，运动过程中两导体棒始终与导轨接触良好，则下列说法正确的是（ ）
A. 最终ab、cd两导体棒产生的感应电动势大小之比为3:1
B. 最终ab、cd两导体棒的动量之比为2:1
C. 整个过程在导体棒ab上产生的焦耳热为
D. 整个过程通过导体棒ab的电荷量为【答案】BD
【解析】A．释放ab导体棒后，ab导体棒沿圆弧轨道向下加速运动，设ab导体棒到达水平轨道时的速度
为 ，下滑过程中，根据机械能守恒定律有
解得
当ab导体棒进入磁场后，切割会产生电动势，由右手定则可知，感应电流为逆时针，由左手定则可知，ab
导体棒受到水平向左的安培力，cd导体棒受到水平向右的安培力，ab导体棒做减速运动，cd导体棒做加
速运动，最终，ab棒和cd棒的感应电动势相同，即
电路中的电流为零，安培力为零，此后，两导体棒做匀速运动，最终ab、cd两导体棒产生的感应电动势大
小之比为1:1，故A错误；,
B．从ab导体棒到达水平轨道到开始做匀速直线运动的过程中，设水平向右为正方向，以 ab导体棒为研
究对象，设ab棒的安培力为 ，根据动量定理有
因为ab棒的长度为cd棒的3倍，所以对cd导体棒同理有
由A选项可知
联立以上各式解得则ab棒和cd棒 的末动量分别为
所以，最终ab、cd两导体棒的动量之比为2:1，故B正确；
C．两导体棒电阻相等，两导体棒中的电流时刻相等，通电时间相同，则两导体棒中产生的热量相同，设
为Q，从ab导体棒开始下滑到两棒都开始做匀速直线运动的过程中，根据能量守恒定律有
联立以上各式解得
故C错误；
D．从ab导体棒到达水平轨道到开始做匀速直线运动的过程中，通过导体棒ab的电荷量
根据动量定理
联立可得
故D正确。
故选BD。
1.（四川省成都市石室中学2023届高三下学期4月第一次阶段性测试）在冰雪冲浪项目中，安全员将小朋友（可视为质点）从A点沿左侧圆弧切线方向推入滑道，小朋友获得 的初速度，圆弧所在圆的
半径 ，圆弧AB所对应的圆心角 ，B为轨道最低点，冰滑道视为光滑。小朋友和滑板总质
量为 ，右侧平台比左侧平台高9.45m。小朋友冲上右侧平台后做减速运动，滑板与平台间动摩擦因
数为 ，重力加速度 。求：
（1）小朋友和滑板在圆弧形冰滑道最低点B时的速率v及其对冰道的压力 ；
（2）小朋友和滑板在右侧雪道滑行的距离d。
【答案】（1） ；650N，方向向下；（2）9m
【详解】（1）从A到B根据机械能守恒定律
代入数据解得
根据牛顿第二定律
解得
根据牛顿第三定律，小朋友和滑板对冰滑道的压力大小为650N，方向向下。
（2）小朋友和滑板从运动到停止的过程中，根据动能定理
代入数据解得2.（四川省成都市石室中学2023届高三下学期4月第二次阶段性测试）某同学用图甲的装置验证机械能守
恒定律。大小相同的两小球P、Q分别固定在轻杆两端，轻杆可绕固定于中点O的光滑水平轴在竖直面内
转动，O点正下方有一光电计时器，小球通过计时器时其球心恰好与光电门等高。已知小球的直径为d，
两球球心间的距离为L，P球质量是Q球质量的2倍，重力加速度为g。现将轻杆拉至水平位置并由静止释
放，当P球第一次通过光电门时，计时器显示的遮光时间为 。回答下列问题：
（1）用游标卡尺测量d时如图乙所示，则 ______cm；
（2）小球P经过光电门时速度的表达式为 ______（用已知和测得量的符号表示）；
（3）若此过程中P、Q构成的系统机械能守恒，则需要验证的关系式为______（用已知和测得量的符号表
示）。
【答案】 0.960
【详解】（1）[1]20分度游标卡尺的精确值为0.05mm，由图乙可得
（2）[2]小球P经过光电门时速度
（3）[3]根据机械能守恒可知
整理得
3.（四川省成都市第七中学2023届高三下学期三诊模拟）如图所示，一个固定在竖直平面内的光滑四分之
一圆弧，轨道半径 ，下端恰好与光滑水平面 平滑连接，质量为 的铁球（可视为质点）由圆弧轨道顶端无初速度释放，后从 点冲上倾角为 的光滑斜面且无机械能损失，铁球在斜面上运
动 后在B点冲出斜面。（ ， ，重力加速度取 ）求：
（1）铁球运动到圆弧轨道底端时对圆弧轨道的压力大小；
（2）斜面的长度；
（3）在 点左侧 处放置一足够高的竖直挡板，铁球与挡板碰撞时的速度大小。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）根据题意，设铁球运动到圆弧轨道底端时速度的大小为 ，铁球从圆弧轨道顶端滑到轨道
底端，根据机械能守恒定律得
解得
小球在最低点由牛顿第二定律有
解得
根据牛顿第三定律可知，铁球运动到圆弧轨道底端对圆弧轨道的压力大小为 。
（2）设铁球在斜面上的加速度大小为 ，由牛顿第二定律得
解得
铁球在斜面上运动时间
由运动学规律得铁球运动到 点的速度斜面的长度
（3）将铁球在 点的速度沿着水平和竖直方向分解有
上升时间
这段时间内，铁球在水平方向的位移
则铁球与挡板碰撞时恰好运动到最高点，竖直方向的速度为零，则铁球与挡板碰撞时的速度大小
4.（四川省成都市第七中学2023届高三下学期4月第一次阶段性测试）（多选）一抛物线形状的光滑固定
导轨竖直放置，O为抛物线导轨的顶点，O点离地面的高度为 两点相距 ，轨道上套有一个小球
M，小球M通过轻杆与光滑地面上的小球N相连，两小球的质量均为m，轻杆的长度为 ，现将小球M
由距地面竖直高度 处由静止释放，则（ ）
A．小球M将做平抛运动
B．小球M即将落地时，小球N的动能为
C．小球M即将落地时速度大小为
D．小球M即将落地时，小球N的速度大小为
【答案】BC【详解】A．小球M运动过程中受重力、轨道对小球的弹力、轻杆对小球的弹力，不满足做平抛运动的条
件，A错误；
CD．小球M即将落地时，设小球M的速度为v，则小球N的速度为 ，以两小球和轻杆组成的系统为
研究对象，根据机械能守恒定律有
可以求出小球M的速度大小为 ，小球N的速度大小为 ，C正确，D错误；
B．小球N的动能为
B正确。
故选BC。
5.（四川省成都市第七中学2023届高三下学期4月第一次阶段性测试）如图，水平桌面上一个质量
的物体（视为质点）将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得一向右速度后脱
离弹簧，之后从桌子边缘B点平抛出去，并从C点沿CD方向进入竖直平面内，由斜直轨道CD和圆弧形
轨道DEFGH平滑连接而成的光滑轨道上运动，CD与水平面成 角，EG为竖直直径，FH为水平直
径。已知物块刚好能沿圆轨道经过最高点G，AB间的距离 ，物体与桌面间的动摩擦因数 ，
C点距离桌面的水面距离 ，B、C两点间的高度差 ，C、D两点间的高度差 ，
重力加速度g取 ， ， ，求：（1）弹簧被压缩至A点时的弹性势能 ；
（2）圆弧轨道半径R；
（3）当物体从D点进入圆弧轨道后，撤去斜直轨道CD，物体从H点落到水平面的时间t。
【答案】（1）0.18J；（2）1m；（3）
【详解】（1）物体从B到C做平抛运动，则竖直方向有
解得
则水平方向有
解得
物体从A运动到B，根据能量守恒定律有
代入数据解得
（2）物块在C点的速度为
由题知物块刚好能沿圆轨道经过最高点G，则有解得
物体从C运动到G，根据动能定理有
由几何关系可得
联立解得
（3）物体从G运动到H，根据动能定理有
解得
从H点下落到地面上，根据运动学公式有
代入数据解得
6.（四川省成都市第七中学2023届高三下学期4月第二次阶段性测试）（多选）如图所示，两面与水平面
平滑连接，物体与两面和水平面间动摩擦因数相同，物体从斜面上A点静止沿AB下滑，最终停在水平面
上的P点，则从同一点A静止沿曲面AC下滑，曲面弧AC的长度等于斜面AB的长度，下列说法正确的是
（ ）
A．沿AC下滑，物体仍将停在P点
B．沿AC下滑，物体停在P点左侧
C．两次下滑直到停止，所消耗的机械能是不相等的D．从斜面下滑到 B点时的动能，大于从斜面滑到C点时的动能
【答案】BD
【详解】ABD．由于沿AC下滑过程中
即物体与斜面间的正压力大于沿AB下滑过程中物体与斜面间的正压力，而
故沿AC下滑过程中摩擦力做功多，根据动能定理可得到达B点时的动能大于到达C点时的动能，在水平
方向上，根据
可知从C点滑出后在水平方向上的位移小于从B点滑出后在水平方向上的位移，所以沿AC下滑，物体停
在P点左侧，A错误，BD正确；
C．两次下滑过程中，消耗的机械能都为 ，所消耗的机械能是相等的，C错误。
故选BD。
7.（南京市、盐城市2023届高三年级第一次模拟考试）某物理兴趣小组想利用如图所示的装置来测量物体
的质量，已知导热气缸内部光滑，轻质活塞的面积为S且封有一定质量的理想气体，开始时活塞距气缸底
部的距离为d，气缸的水平长度为L，活塞通过轻绳连接了一个轻质托盘，轻绳跨在定滑轮上，大气压强
为p，外界的温度为T，重力加速度为g，求：
0 0
（1）此装置可以测的最大质量是多少？
（2）保持托盘中存放最大质量，缓慢逐渐降低温度，直到活塞回到原来的位置，此过程气体的内能减少
了△U，则气体放出的热量Q是多少？
【答案】（1） ；（2）【解析】（1）设可以测量的最大质量为m，则对所封的气体，初态
p=p V=dS
1 0 1
末态 V=LS
2
根据玻意耳定律
解得
（2）活塞再次回到原来位置时，气体进行等压变化，则外界对气体做功
根据热力学第一定律
因为气体的内能减少了△U，则气体放出的热量
8.（内江六中2022-2023学年度下期高2023届第六次月考）（多选）如图所示，带电粒子M、N质量相同，
以相同的初速度沿垂直于电场的方向射入两平行板间的匀强电场，M从两极板正中央射入，N从下极板边
缘处射入，最后都打在同一点。不计粒子的重力，从开始射入到打到上板的过程中，两粒子（ ）
.
A 运动时间
B. 加速度之比
C. 所带电荷量之比
D. 电势能的变化量之比
【答案】ABD
【解析】A．根据题意可知，带电粒子在水平方向做匀速运动，由图可知，水平位移相等，由于以相同的
初速度进入，则由 可知，运动时间故A正确；
BC．根据题意可知，竖直方向上，带电粒子做初速度为 0的匀加速直线运动，由公式 结合题图
可得
解得
由牛顿第二定律有
解得所带电荷量之比
故C错误，B正确；
D．根据功能关系可知，电势能的变化量等于电场力做功，由公式 可知，电场对两个带电粒子做
功之比为
则电势能的变化量之比
故D正确。
故选ABD。
9.（内江六中2022-2023学年度下期高2023届第六次月考）如图所示，AB为倾角θ=37°的光滑斜面轨道，
通过一小段光滑圆弧与光滑水平轨道BC相连接，质量为m 的小球乙静止在水平轨道上，此时小球乙与斜
2
面底端B的距离d =2m。质量为m 的小球甲以某一未知速度v 与乙球发生弹性正碰，使乙球获得6m/s的
1 0速度。若m:m=1:2，且轨道足够长，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
1 2
（1）第二次碰撞前小球乙在斜面运动的时间；
（2）两球发生第二次碰撞时的位置到斜面底端B的距离。
【答案】（1）2s；（2）18m
【解析】（1）小球乙在斜面运动，由牛顿第二定律
设在斜面上升时间为t，则
2
小球乙在斜面运动的时间
解得
（2）两球发生弹性正碰，则
解得
负号表示方向向右
设发生第二次碰撞时的位置到斜面底端B的距离为L，则在两次碰撞之间的时间内，甲在水平轨道运动的
路程为（L-d），乙在水平轨道运动的路程为（L+d），于是
解得10.（2022-2023学年度下学期高三第二次模拟考试试题）如图所示，在水平地面的两边有相距为L的两块
固定挡板M、N，在两块挡板间的中点处并排放着两个质量分别为 、 的小滑块1和2（可看成质点），
它们与地面间动摩擦因数分别是 和 ， 。现让小滑块1向左，小滑块2向右以大小
相等的初速度 同时开始运动，小滑块与挡板碰撞不损失机械能，滑块之间发生的碰撞为弹性碰撞，碰撞
时间极短，均可忽略。（重力加速度g取10 ）
（1）若小滑块1、2刚好不发生相碰，求小滑块1所走的路程是多少？
（2）若小滑块1、2恰在小滑块1第一次停止时发生碰撞，则它们第一次碰前运动了多长时间？出发时
的值为多大？
（3）若小滑块1、2出发时的速度大小取（2）问中的 值， ，且小滑块1、2仅能发生一次碰撞，
求 应满足的条件。
【答案】（1） ；（2） ， ；（3）
的
【解析】（1）根据牛顿第二定律可得：滑块1、2 加速度大小分别为
滑块1、2与挡板碰撞之前运动的位移大小均为 ，碰撞时的速度大小分别为 、 ，碰撞后位移大小分别为 、 ，根据匀变速直线运动的位移关系可得
滑块1、2恰不相碰，则
滑块1所走路程
（2）滑块1碰撞后的位移大小为
运动的时间为
滑块2运动的总路程为
解得（3）由（2）可知，碰撞前滑块2的速度
滑块1、2发生弹性碰撞，碰撞后的速度分别为 、 ，由动量守恒、能量守恒可得
解得
滑块1、2碰撞时距离左挡板
由于 ， 方向向左，滑块1、2恰不发生第二次碰撞，应满足
解得
11、（吉林省延边州2022-2023学年高三下学期教学质量检测）如图甲所示，一不可伸长的绝缘细绳上端
固定在铁钉上，下端系在质量为m、半径为r的由粗细均匀导线制成的圆形硬质金属框上，圆形金属框静
止在倾角为θ的绝缘光滑固定斜面上，细绳与斜面平行。金属框的下半部分处于垂直于斜面向上的匀强磁
场中，上半部分位于磁场外。已知构成金属框的材料的电阻率为ρ，金属框的总体积为V。在 到时间内，磁感应强度大小随时间t的变化规律如图乙所示，重力加速度为g。求：
（1） 时，金属框所受绳拉力 大小；
的
（2）从 到 时间内，金属框产生的焦耳热。
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）由法拉第电磁感应定律有
磁通量的变化率为
磁场穿过金属框的有效面积为
由于构成金属框的材料的电阻率为ρ，金属框的总体积为V，圆形金属框的半径为r，因此导线的横截面积
为
金属框的电阻为
由闭合电路欧姆定律可得时金属框所受的安培力为
有效长度
由平衡条件知
联立解得
（2）0~ 时间内金属框产生的焦耳热
解得
12.（华大新高考联盟2022-2023学年高三下学期3月教学质量测评）某物理实验小组用如图甲所示的装置
验证机械能守恒定律，所用的气垫导轨与滑块之间的摩擦阻力很小。在气垫导轨上固定一个光电门，调节
气垫导轨与水平面的夹角为30°，滑块上固定一遮光条，遮光条的宽度为d，现将滑块从A点由静止释放，
释放滑块时遮光条距光电门的距离为L，由数字计时器读出遮光条通过光电门的时间为t，已知重力加速度
为g。（1）实验过程中用游标卡尺测量遮光条的宽度d，游标卡尺读数如图乙所示，读出遮光条的宽度为d=
______mm。
（2）若在误差允许范围内等式_______成立，则验证了机械能守恒定律。由于滑块在运动过程中受到微弱
的气垫导轨的阻力和空气阻力，造成滑块和遮光条下滑过程的机械能有微小的损失，以遮光条通过光电门
时滑块所在的位置为重力势能的零点，则损失的机械能与初始位置的机械能之比为______（均用题设给出
的物理量符号以及测量物理量符号表示）。
【答案】①. 2.25 ②. ③.
【解析】（1）[1]游标卡尺的主尺读数为2mm，游标尺是20分度，游标尺的第5刻度线与主尺的某刻度线
对齐，则游标尺的读数为 ，因此遮光条的宽度为
（2）[2][3]由于滑块通过光电门的时间极短，故瞬时速度约等于平均速度，滑块经过光电门的速度为
设滑块和遮光条的质量为M，以滑块和遮光条为研究对象，根据机械能守恒有
联立以上两式解得验证机械能守恒定律的表达式为
以遮光条通过光电门时滑块所在的位置为重力势能的零点，初始状态的机械能，即初始状态滑块和遮光条的重力势能为
到光电门处的机械能，即滑块和遮光条到光电门处时的动能为
则损失的机械能与初始位置的机械能之比为
