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第 4 节 复 数
考试要求 1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的
代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数
形式的加、减运算的几何意义.
1.复数的有关概念
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做
复数z的虚部(i为虚数单位).
(2)分类：
项目 满足条件(a，b为实数)
a＋bi为实数⇔ b ＝ 0
复数的分类 a＋bi为虚数⇔ b ≠ 0
a＋bi为纯虚数⇔ a ＝ 0 且 b ≠ 0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di a ＝ c 且 b ＝ d (a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：a＋bi与c＋d
⇔
i共轭⇔ a ＝ c ， b ＝－ d (a，b，c，d∈R).
(5)模：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝
(a，b∈R).
2.复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi 复平面内的点 Z ( a ， b ) (a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量OZ.
3.复数的运算
(1)运算法则：设z ＝a＋bi，z ＝c＋di，a，b，c，d∈R.
1 2
z ±z ＝(a＋bi)±(c＋di)＝ ( a ± c ) ＋ ( b ± d )i .
1 2
z ·z ＝(a＋bi)(c＋di)＝ ( ac － bd ) ＋ ( bc ＋ ad )i .
1 2
＝＝＋i(c＋di≠0).(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图所示给出的平行四边形 OZ ZZ 可以直观地反映出复数加减法的几何意义，
1 2
即OZ＝ OZ1 ＋ OZ2 ，Z1Z2＝ OZ2 － OZ1 .
1.i的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
2.(1±i)2＝±2i，＝i；＝－i.
3.复数的模与共轭复数的关系
z·z＝|z|2＝|z|2.
4.两个注意点
(1)两个虚数不能比较大小；
(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( )
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( )
(3)原点是实轴与虚轴的交点.( )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应
的向量的模.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
解析 (1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小.
2.(2021·全国Ⅱ卷)复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 A
解 ＝＝＝，所以该复数在复平面内对应的点为，该点在第一象限.3.(2021·新高考Ⅰ卷)已知z＝2－i，则z(z＋i)＝( )
A.6－2i B.4－2i
C.6＋2i D.4＋2i
答案 C
解析 因为z＝2－i，所以z(z＋i)＝(2－i)·(2＋2i)＝6＋2i，故选C.
4.(2021·全国甲卷)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝( )
A.－1－i B.－1＋i
C.－＋i D.－－i
答案 B
解析 z＝＝＝＝－1＋i.
5.(易错题)已知复数z 满足(2－i)z ＝6＋2i，z 与z ＝m－2ni(m，n∈R)互为共轭
1 1 1 2
复数，则z 的虚部为________，m＋n＝________.
1
答案 2 3
解析 由(2－i)z ＝6＋2i，得z ＝＝＝＝2＋2i，则z ＝2－2i，则m＝2，n＝1，
1 1 2
所以m＋n＝3.
6.如图所示，在复平面内，复数z 和z 对应的点分别是A和B，则＝________.
1 2
答案 －－i
解析 由题图得z ＝－2－i，z ＝i，
1 2
所以＝＝
＝＝－－i.
考点一 复数的相关概念
1.(2021·浙江卷)已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i为虚数单位)，则a＝( )
A.－1 B.1 C.－3 D.3
答案 C解析 因为(1＋ai)i＝－a＋i＝3＋i，
所以－a＝3，即a＝－3.故选C.
2.(2021·全国乙卷)设2(z＋z)＋3(z－z)＝4＋6i，则z＝( )
A.1－2i B.1＋2i C.1＋i D.1－i
答案 C
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，代入2(z＋z)＋3(z－z)＝4＋6i，可得
4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.故选C.
3.(2021·西安调研)下面关于复数z＝－1＋i(其中i为虚数单位)的结论正确的是(
)
A.对应的点在第一象限
B.|z|<|z＋1|
C.z的虚部为i
D.z＋z<0
答案 D
解析 ∵z＝－1＋i，∴＝＝＝－－.则对应的点在第三象限，故A错误；
|z|＝，|z＋1|＝1，故B错误；
z的虚部为1，故C错误；
z＋z＝－2<0，故D正确.
感悟提升 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为
实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；
若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.
2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
3.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为z＝a－bi，则z·z＝|z|2＝|z|2，即|z|＝|z|＝，
若z∈R，则z＝z.
利用上述结论，可快速、简洁地解决有关复数问题.
考点二 复数的几何意义
例1 (1)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A.(x＋1)2＋y2＝1 B.(x－1)2＋y2＝1
C.x2＋(y－1)2＝1 D.x2＋(y＋1)2＝1
(2)(2022·渭南质检)已知＝－1＋bi，其中a，b是实数，则复数a－bi在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 (1)C (2)B
解析 (1)由已知条件，可设z＝x＋yi(x，y∈R).
∵|z－i|＝1，∴|x＋yi－i|＝1，
∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
(2)由＝－1＋bi，
得a＝(－1＋bi)(1－i)＝(b－1)＋(b＋1)i，
∴即a＝－2，b＝－1，
∴复数a－bi＝－2＋i在复平面内对应点(－2，1)，位于第二象限.
感悟提升 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b)
OZ＝(a，b).
2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合
的方法，可把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.
训练1 (1)如图，若向量OZ对应的复数为z，则z＋表示的复数为( )
A.1＋3i B.－3－i
C.3－i D.3＋i
(2)(2021·郑州模拟)已知复数z ＝在复平面内对应的点为A，复数z 在复平面内对
1 2
应的点为B，若向量AB与虚轴垂直，则z 的虚部为________.
2
答案 (1)D (2)－
解析 (1)由图知OZ＝(1，－1)，∴z＝1－i，
∴z＋＝1－i＋＝1－i＋＝3＋i.
(2)z ＝＝＝－i，
1
所以A，
设复数z 对应的点B(x ，y )，
2 0 0则AB＝.
又向量AB与虚轴垂直，
∴y ＋＝0，故z 的虚部y ＝－.
0 2 0
考点三 复数的四则运算
例2 (1)(2021·全国乙卷)设iz＝4＋3i，则z＝( )
A.－3－4i B.－3＋4i
C.3－4i D.3＋4i
(2)(2020·新高考山东卷)＝( )
A.1 B.－1 C.i D.－i
答案 (1)C (2)D
解析 (1)法一(转化为复数除法运算)
因为iz＝4＋3i，所以z＝＝＝＝3－4i.故选C.
法二(利用复数的代数形式) 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由iz＝4＋3i，可得i(a＋
bi)＝4＋3i，即－b＋ai＝4＋3i，所以即所以z＝3－4i.故选C.
法三(巧用同乘技巧) 因为iz＝4＋3i，
所以iz·i＝(4＋3i)·i，所以－z＝4i－3，
所以z＝3－4i，故选C.
(2)法一 ＝＝＝－i.
法二 利用i2＝－1进行替换，则＝＝＝＝－i，选D.
感悟提升 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分
子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.
2.记住以下结论，可提高运算速度：
(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i；(3)＝－i；(4)－b＋ai＝i(a＋bi)；(5)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2
＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N).
训练2 (1)(1＋2i)(2＋i)＝( )
A.－5i B.5i C.－5 D.5
(2)(2022·乌鲁木齐模拟)已知复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则等于( )
A.2＋2i B.2－2i C.2i D.－2i
答案 (1)B (2)B
解析 (1)(1＋2i)(2＋i)＝2＋i＋4i＋2i2＝2＋5i－2＝5i，故选B.(2)＝＝＝＝2－2i.
1.(2020·浙江卷)已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝( )
A.1 B.－1 C.2 D.－2
答案 C
解析 因为a－1＋(a－2)i是实数，
所以a－2＝0，所以a＝2.
2.设z＝－3＋2i，则在复平面内z对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 C
解析 z＝－3－2i，故z对应的点(－3，－2)位于第三象限.
3.(2022·昆明诊断)在复平面内，复数z＝1＋i的共轭复数对应的向量OZ′为
答案 C
解析 由题意，得z＝1－i，其在复平面内对应的点为(1，－1)，所以OZ′＝(1，
－1).故选C.
4.已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，是实数，那么复数z的实部与虚部满足的关系式
为( )
A.a＋b＝0 B.a－b＝0
C.a－2b＝0 D.a＋2b＝0答案 B
解析 因为z＝a＋bi(a，b∈R)，＝＝＝∈R，
所以b－a＝0，即a－b＝0.故选B.
5.如图，复数z ，z 在复平面上分别对应点A，B，则z ·z ＝( )
1 2 1 2
A.0 B.2＋i
C.－2－i D.－1＋2i
答案 C
解析 由复数几何意义，知z ＝－1＋2i，z ＝i，∴z ·z ＝i(－1＋2i)＝－2－i.
1 2 1 2
6.(2021·全国甲卷)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝( )
A.－1－i B.－1＋i
C.－＋i D.－－i
答案 B
解析 z＝＝＝＝＝－1＋i.故选B.
7.(2021·河南部分重点高中联考)若复数a＋(a∈R)是纯虚数，则a＝( )
A.－3 B.－2 C.2 D.3
答案 B
解析 a＋＝a＋＝a＋2－i为纯虚数.则a＋2＝0，解得a＝－2.
8.已知i是虚数单位，若z－＝，则|z|＝( )
A.1 B. C.2 D.
答案 C
解析 ＝＝－i，＝＝＝－i，所以＝(－i)2 021＝(－i)505×4＋1＝－i，所以由z－＝，
得z＋i＝－i，z＝－2i，所以|z|＝2.故选C.
9.i是虚数单位，复数＝________.
答案 3－2i
解析 依题意得＝＝＝3－2i.
10.已知复数z＝1－2i(i为虚数单位)，则|z|＝________.答案
解析 由z＝1－2i，得|z|＝＝.
11.(2022·江西省八校联考)已知复数z满足(z＋i)i＝2－3i，则|z|＝________.
答案 3
解析 因为(z＋i)i＝2－3i，所以zi－1＝2－3i，所以zi＝3－3i，所以z＝＝－3－
3i，所以|z|＝3.
12.在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝
－x的对称点为B，则向量OB对应的复数为________.
答案 －2＋i
解析 因为A(－1，2)关于直线y＝－x的对称点B(－2，1)，所以向量OB对应的
复数为－2＋i.
13.(2021·哈尔滨调研)已知z的共轭复数是z，且|z|＝z＋1－2i(i为虚数单位)，则
复数z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 D
解析 设z＝x＋yi(x，y∈R)，
因为|z|＝z＋1－2i，
所以＝x－yi＋1－2i
＝(x＋1)－(y＋2)i，
所以解得
所以复数z在复平面内对应的点为，此点位于第四象限.
14.(2022·合肥质检)设复数z满足|z－1|＝|z－i|(i为虚数单位)，z在复平面内对应
的点为(x，y)，则( )
A.y＝－x
B.y＝x
C.(x－1)2＋(y－1)2＝1
D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
答案 B解析 z在复平面内对应的点为(x，y)，则z＝x＋yi(x，y∈R)，又|z－1|＝|z－i|，
所以(x－1)2＋y2＝x2＋(y－1)2，所以y＝x.故选B.
15.已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－2|＝，则的最大值为________.
答案
解析 因为|z－2|＝＝，
所以(x－2)2＋y2＝3.
由图可知＝＝.
16.设f(n)＝＋(n∈N*)，则集合{f(n)}中元素的个数为________.
答案 3
解析 f(n)＝＋＝in＋(－i)n，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…，
所以集合{f(n)}中共有3个元素.
