考向19等差数列及其前n项和（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习

考向 19 等差数列及其前 n 项 和 1.（2022年乙卷文科第13题）记 为等差数列 的前 项和.若 ，则公差 ． 【答案】2 【解析】因为 ，所以 ，即 ，所以 . 2.（2022年北京卷第6题） 设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】设等差数列 的公差为 ，则 ，记 为不超过 的最大整数. 若 为单调递增数列，则 ， 若 ，则当 时， ；若 ，则 ， 由 可得 ，取 ，则当 时， ， 所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”； 若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，假设 ，令 可得 ，且 ， 当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数列. 所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”. 所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件. 故选：C. 3.（2022新课标1卷第17题） 记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为 的等差数列． （1）求 得通项公式； （2）证明： ． 【解析】（1） ，所以 ， 所以 是首项为 ，公差为 的等差数列， 所以 ，所以 ． 当 时， ， 所以 ，即 （ ）； 累积法可得： （ ），又 满足该式， 所以 得通项公式为 ．（2） ． 4. （ 2022 新 课 标 2 卷 第 17 题 ） 已 知 为 等 差 数 列 ， 是 公 比 为 2 的 等 比 数 列 ， 且 （1）证明： ； （2）求集合 中元素的个数． 【答案】（1）见解析；（2）9． 【解析】（1）设等差数列 公差为 由 ，知 ，故 由 ，知 ， 故 ；故 ，整理得 ，得证． （2）由（1）知 ，由 知： 即 ，即 ， 因为 ，故 ，解得 故集合 中元素的个数为9个． 5.（2022年甲卷理科第17题，文科第18题）记 为数列 的前 项和.已知 . （1）证明： 是等差数列；（2）若 成等比数列，求 的最小值. 【答案】（1）略；（2） 【解析】（1）由于 ，变形为 ，记为①式， 又 ，记为②式， ①-②可得 即 ，所以 是等差数列； （2）由题意可知 ，即 ，解得 ，所以 ，其中 ， 则 的最小值为 . {a } S {a } 6.（2021年甲卷理科第18题）已知数列 n 的各项为正数，记 n为 n 的前n项和，从下面①②③中选 出两个条件，证明另一个条件成立． {a } {√S } a =3a ①数列 n 为等差数列；②数列 n 为等差数列；③ 2 1． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】见解析． 【解析】一、选择条件①③ {a } a =2a d a =3a =a +d d=2a 已知 n 为等差数列， 2 1，设公差为 则 2 1 1 ，即 1 ， n(n−1) 因为 S n =na 1 + 2 d=n2a 1 则 √S n =√a 1 ⋅n (a 1 >0) ， {√S } 所以数列 n 为等差数列 二、选择条件①② {a } {√S } d 已知 n 为等差数列，数列 n 为等差数列，设公差为n(n−1) 1 d S =na+ d= n2d+(a − )n a =a +(n−1)d n 1 2 2 1 2 则 n 1 ， d {√S } a 1 = 2 a =a +d=3a 若数列 n 为等差数列，则 所以 2 1 1 ， 三、选择条件②③ {√S } a =3a d 已知数列 n 为等差数列， 2 1设公差为 √S −√S =d √4a −√a =d 则 2 1 ，即 1 1 a =d2√S =√S +(n−1)d=nd 则 1 n 1 S =n2d a =S −S =2dn−d 则 n n n n−1 ， {a } 所以 n 为等差数列 7.（2021年全国一卷第19题）记 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积.已知 . （1）证明：数列 是等差数列； （2）求 的通项公式. 【答案】（1）见解析；（2） . 【解析】（1）当 时， ，易得 . 当 时， ，代入 消去 得， ，化简得 ， 是以 为首项， 为公差的等差数列. （2）易得 .由（1）可得 ，由 可得 .当 时， ，显然 不满足该式； . 8.（2021年新高考2卷第17题）记 是公差不为0的等差数列 的前 项和，若 ． （1）求数列 的通项公式 ； （2）求使 成立的 的最小值． 【答案】（1） ；（2） ． 即： 【解析】（1）由题意知： 所以数列 的通项公式为 ． 故 （2）由（1）知 又 即 1.等差数列的基本运算的解题策略 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a ，a ，d，n，S ，知其中三个就能求另外两个，体 1 n n 现了方程思想． (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 和d是等差数列的两个基本量，用 1它们表示已知量和未知量是常用方法． 2.等差数列的判定与证明方法 （1）定义法：如果一个数列{a}从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么可以判断数 n 列{a}为等差数列； n （2）等差中项法：如果一个数列{a}对任意的正整数n都满足2a =a+a ，那么可以判断{a}为等差数列； n n+1 n n+2 n （3）通项公式法：如果一个数列{a}的通项公式满足a=p+q（p，q为常数）的形式，那么可以得出{a} n n n n 是首项为p+q，公差为p的等差数列; （4）前n项和公式法:如果一个数列{a}的前n项和公式满足S=An2+Bn（A，B为常数）的形式，那么可 n n 以得出数列{a}是首项为A+B，公差为2A的等差数列. n 1．等差数列与函数的关系 (1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式a＝a＋(n－1)d＝dn＋a－d是关于n的一次函数， n 1 1 且一次项系数为公差d.若公差d＞0，则为递增数列，若公差d＜0，则为递减数列． (2)前n项和：当公差d≠0时，S＝na＋d＝n2＋n是关于n的二次函数且常数项为0. n 1 2．两个常用结论 (1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n，则S －S ＝nd，＝； 偶 奇 ②若项数为2n－1，则S ＝(n－1)a，S ＝na，S －S ＝a，＝. 偶 n 奇 n 奇 偶 n (2)两个等差数列{a}，{b}的前n项和S，T 之间的关系为＝. n n n n 1．当公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一次函数；当公差d＝0时，a 为常数． n 2．注意利用“a－a ＝d”时加上条件“n≥2”． n n－1 1．已知S 为等差数列{a}的前n项和，a＝2，S＝14，则S 等于( ) n n 2 4 6 A．32 B．39 C．42 D．45 【答案】B【解析】设公差为d，由题意得 解得所以S＝6a＋d＝39. 6 1 2．已知{a}为等差数列，其前n项和为S，若a＝1，a＝5，S＝64，则n＝( ) n n 1 3 n A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解析】因为d＝＝2，S＝na＋d＝n＋n(n－1)＝64，解得n＝8(负值舍去)． n 1 3．设等差数列{a}的前n项和为S，若a＋S＝2，S＝14，则a ＝( ) n n 4 5 7 10 A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】C 【解析】设{a}的公差为d，由可得解得所以a ＝－4＋9×2＝14，选C. n 10 4．已知数列{a}的前n项和S＝an2＋bn(a，b∈R)且a＝3，a＝11，则S 等于( ) n n 2 6 7 A．13 B．49 C．35 D．63 【答案】B 【解析】由S ＝an2＋bn(a，b∈R)可知数列{a}是等差数列，依题意得，d＝＝＝2，则a ＝a ＋(n－2)d＝2n n n n 2 －1，即a＝1，a＝13，所以S＝×7＝×7＝49. 1 7 7 5．数列{a}满足2a＝a ＋a (n≥2)，且a＝－6，a＝6，S 是数列{a}的前n项和，则( ) n n n－1 n＋1 2 6 n n A．S＜S B．S＝S C．S＞S D．S＝S 4 3 4 3 4 1 4 1 【答案】B 【解析】数列{a}满足2a＝a ＋a (n≥2)，则数列{a}是等差数列， n n n－1 n＋1 n 设等差数列{a}的公差为d. n 因为a＝－6，a＝6， 2 6 所以4d＝a－a＝12，即d＝3. 6 2 所以a＝－6＋3(n－2)＝3n－12， n 所以S＝a＝－9，S＝a＋a＋a＝－9－6－3＝－18， 1 1 3 1 2 3 S＝a＋a＋a＋a＝－9－6－3＋0＝－18， 4 1 2 3 4 所以S＜S，S＝S. 4 1 3 4 6.在等差数列{a}中，a，a 是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则＝( ) n 2 14 A．－ B．－3 C．－6 D．2 【答案】A 【解析】因为a ，a 是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，所以a ＋a ＝－6，aa ＝2，由等差数列的性质 2 14 2 14 2 14 可知，a＋a ＝2a＝－6，所以a＝－3，则＝，故选A. 2 14 8 8 7.已知等差数列{a}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( ) n A．100 B．120 C．390 D．540 【答案】A 【解析】设S 为等差数列{a}的前n项和，则S ，S －S ，S －S 成等差数列， n n 10 20 10 30 20 所以2(S －S )＝S ＋(S －S )， 20 10 10 30 20又等差数列{a}的前10项和为30，前30项和为210， n 所以2(S －30)＝30＋(210－S )，解得S ＝100. 20 20 20 8.已知等差数列{a}的公差为4，其项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数 n 列的项数为( ) A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【解析】设等差数列{a}的公差为d，项数为n，前n项和为S，因为d＝4，S ＝15，S ＝55，所以S － n n 奇 偶 偶 S ＝d＝2n＝40，所以n＝20，即这个数列的项数为20.故选B. 奇 9.(多选)设{a}是等差数列，S 是其前n项的和，且S＜S，S＝S＞S，则下列结论正确的是( ) n n 5 6 6 7 8 A．d＜0 B．a＝0 C．S＞S D．S 与S 均为S 的最大值 7 9 5 6 7 n 【答案】ABD 【解析】S ＝S ＋a ＞S ，则a ＞0，S ＝S ＋a ＝S ，则a ＝0，则d＝a －a ＜0，S ＝S ＋a ＜S ，a ＜0.则 6 5 6 5 6 7 6 7 6 7 7 6 8 7 8 7 8 a＋a＜0，所以S＝S＋a＋a＋a＋a＝S＋2(a＋a)＜S，由a＝0，a＞0知S，S 是S 中的最大值．从 7 8 9 5 6 7 8 9 5 7 8 5 7 6 6 7 n 而ABD均正确． 10．(多选)已知数列{a}是公差不为0的等差数列，前n项和为S ，满足a ＋5a ＝S ，下列选项正确的有( n n 1 3 8 ) A．a ＝0 B．S 最小 C．S＝S D．S ＝0 10 10 7 12 20 【答案】AC 【解析】根据题意，数列{a}是等差数列，若a ＋5a ＝S ，即a ＋5a ＋10d＝8a ＋28d，变形可得a ＝－ n 1 3 8 1 1 1 1 9d，又由a ＝a ＋(n－1)d＝(n－10)d，则有a ＝0，故A一定正确；不能确定a 和d的符号，不能确定S n 1 10 1 10 最小，故B不正确；又由S ＝na ＋＝－9nd＋＝×(n2－19n)，则有S ＝S ，故C一定正确；则S ＝20a ＋d n 1 7 12 20 1 ＝－180d＋190d＝10d，因为d≠0，所以S ≠0，则D不正确． 20 11．已知数列{a n }(n∈N ＋ )是等差数列，S n 是其前n项和，若a 2 a 5 ＋a 8 ＝0，S 9 ＝27，则S 8 的值是________． 【答案】16 【解析】设等差数列{a}的公差为d，则aa ＋a ＝(a ＋d)·(a ＋4d)＋a ＋7d＝a＋4d2＋5ad＋a ＋7d＝0，S n 2 5 8 1 1 1 1 1 9 ＝9a＋36d＝27，解得a＝－5，d＝2，则S＝8a＋28d＝－40＋56＝16. 1 1 8 1 12．已知数列{a n }与均为等差数列(n∈N ＋ )，且a 1 ＝2，则a 20 ＝________． 【答案】40 【解析】设a＝2＋(n－1)d，所以＝＝，由于为等差数列，所以其通项是一个关于n的一次函数，所以(d－ n 2)2＝0，所以d＝2.所以a ＝2＋(20－1)×2＝40. 20 13．若数列{a n }的各项均为正数，对任意n∈N*，a＝a n a n＋2 ＋t，t为常数，且2a 3 ＝a 2 ＋a 4 . (1)求的值； (2)求证：数列{a}为等差数列． n 【解析】(1)因为对任意n∈N*，a＝a n a n＋2 ＋t， 令n＝2，得a＝aa＋t.① 2 4 令n＝1，得a＝aa＋t.② 1 3①－②得a－a＝aa－aa，即a(a＋a)＝a(a＋a)， 2 4 1 3 3 3 1 2 2 4 所以＝＝2. (2)证明：a＝aa ＋t，a＝a a ＋t， n n＋2 n＋1 n＋3 两式相减得＝， 所以数列为常数列，所以＝＝2， 所以a＋a ＝2a ， n n＋2 n＋1 所以数列{a}为等差数列． n 14. 已知数列{a}中，a＝，其前n项和为S，且满足a＝(n≥2)． n 1 n n (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列{a}的通项公式． n 【解析】(1)证明：当n≥2时，S－S ＝. n n－1 整理，得S －S＝2SS . n－1 n n n－1 两边同时除以SS ，得－＝2. n n－1 又＝＝4，所以是以4为首项，以2为公差的等差数列． (2)由(1)可得数列的通项公式为＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，所以S＝. n 当n≥2时，a＝S－S ＝－＝. n n n－1 当n＝1时，a＝，不适合上式． 1 所以a＝ n 一、单选题 1．（2022·北京·人大附中模拟预测）如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准 对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为 ；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记 录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为 ．已知标准对数视力 对应的国际标准视力准 确值为 ，则标准对数视力 对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（ ） （参考数据： ）A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，以标准对数视力 为左边数据组的等差数列的首项，其公差为-0.1，标准对数视力 为该数列第3项， 标准对数视力 对应的国际标准视力值1.0为右边数据组的等比数列的首项，其公比为 ， 因此，标准对数视力 对应的国际标准视力值为该等比数列的第3项，其大小为 . 故选：D 2．（2022·河北·模拟预测）有一道民间源自于《孙子算法》的题目，筐内鸡蛋若干，三三数之余一，五五 数之余二，….若已知该筐最多装200个鸡蛋，则筐内鸡蛋总数最多有（ ） A．184 B．186 C．187 D．188 【答案】C 【解析】设筐内鸡蛋为 个，则 ， 对于A， ，解得 ，不合题意，错误； 对于B， ，解得 ，不合题意，错误； 对于D， ，解得 ，不合题意，错误； 对于C， ，解得 ， ，解得 ，符合题意，正确. 故选：C. 3．（2022·上海杨浦·二模）数列{ }为等差数列， 且公差 ，若 ， ， 也是等差数列，则其公差为（ ） A．1gd B．1g2d C．lg D．1g 【答案】D 【解析】因为 ， ， 是等差数列， 所以 ， 所以 ，又因为 且公差 ， 所以 ，可得 ， 所以公差 ， 故选：D. 4．（2022·贵州·模拟预测（理））十七世纪法国数学家费马猜想形如“ （ ）”是素数， 我们称 为“费马数”．设 a n log 2 F n 1 ， b n 2log 2 a n， nN ，数列 a n  与 b n  的前n项和分别为 S T n与 n，则下列不等关系一定成立的是（ ） a b a b A． n n B． n n S T S T C． n n D． n n 【答案】D F 22n 1 nN 【解析】因为 n （ ）， 所以 a n log 2 F n 1log 2 (22n 11)2n ，nN b 2log a 2log 2n 2n nN 所以 n 2 n 2 ， ， n2 a 22 4,b 224 当 时， 2 2 ， 所以AB错误，a 2n1 n1  2,b b 2(n1)2n2 因为 a 2n n1 n ， n a  b  所以数列 n 是以2为公比，2为首项的等比数列， n 是以2为公差，2为首项的等差数列， 2(12n) n(22n) 所以S  2n12，T  n2n， n 12 n 2 n1 S T 2 n2 S T 6 当 时， 1 1 ，当 时， 2 2 ， n3 S 15,T 12 n3 S T 当 时， 3 3 ，由此可得当 时， n n，下面用数学归纳法证明 当n3时，显然成立， nk k 3,kN* S T 2k12k2k 假设当 （ ）时， k k成立，即 ，则 nk1 S 2k222(2k12)2 当 时， k1 2(k2k)2 (k1)2k21 (k1)2(k1) S T ，即 k1 k1， n3 S T S T 综上，当 时， n n，所以 n n， 所以C错误，D正确， 故选：D 5．（2022·陕西西安·三模（文））小金是一名文学爱好者，他想利用业余时间阅读莫言的两本著作—— 《红高粱》《檀香刑》.假设他读完这两本书共需50个小时，第1天他读了15分钟，从第2天起，他每天 阅读的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读完这两本书的时间为（ ） A．第23天 B．第24天 C．第25天 D．第26天 【答案】B 【解析】根据题意，小金第n天的阅读时间（单位：分钟）依次构成等差数列，且首项为15，公差为10， n(n1) 则15n 105060，整理得 . 2 n22n6000f nn22n600  nN* 设 ，易知f（n）为递增数列，因为 ，所以他恰好读完这两 本书的时间为第24天. 故选：B. 6．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））若数列 为等差数列，数列 为等比数列，则下列不等 式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若 ，则 可得： ，故选项A错误； 若 ，则 可得： ，故选项B错误； 若 ，则 可得： ，故选项C错误； 不妨设 的首项为 ，公差为 ，则有： 则有： ，故选项D正确 故选：D 7．（2022·浙江·模拟预测）已知函数 ，下列条件，能使得（m，n）的轨迹存在实轴和虚轴相等的双曲线的是（ ） A． 成等差数列 B． 成等比数列 C． 成等差数列 D． 成等比数列 【答案】C 【解析】对A，若 成等差数列，则 ，即 ，整理可得 ，则当 时， 的轨迹为圆， 时， 的轨迹不存在，故A错误； 对B，若 成等比数列，则 ，即 ，整 理可得 ，方程不能表示双曲线，故B错误； 对C，若 成等差数列，则 ，即 ，整理可得 ，当 且 时，方程化为 ，此时表示实轴和虚轴相等的双曲线，故C正确； 对D，若 成等比数列，则 ，即 ，整理可得 ， n2 m2  1 当 ，且 时，由 得 2b b ，此时是实轴和虚轴不相等的双曲线，故D错 an2 0 b0 an22am22b0 a a 误. 故选：C. 8．（2022·广西广西·一模（文））北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天a,a ,a ,,a 心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为 1 2 3 9，设数列 为等差数列，它的 a 18 a a 90 S  前 项和为 ，且 2 ， 4 6 ，则 8 （ ） A．189 B．252 C．324 D．405 【答案】C a  【解析】设等差数列 n 的公差为d， a d 18 a 9  1  1 由a 2 18，a 4 a 6 90，得 2a 1 8d 90，解得： d 9 ， 879 所以S 89 324. 8 2 故选：C. 二、多选题 9．（2022·江苏·盐城中学模拟预测）设 nN ，正项数列 x n  满足 x 1 (0,1),x n x n1 x n lnx n 1 ，下列说法 正确的有（ ） x x  A． 1为 n 中的最小项 x x  B． 2为 n 中的最大项x (0,1) x,x ,x C．存在 1 ，使得 1 2 3成等差数列 x (0,1),nN x ,x ,x D．存在 1 ，使得 n n1 n2成等差数列 【答案】AB 1 x  lnx 【解析】由x x x lnx 1 可得 n1 x n n n1 n n n 1 1 1 x1 令 f(x) lnx， f(x)   x x2 x x2 当x�1, f(x)0，f(x)递增； x1, f(x)0, f(x) 当 递减 且 f(1)1ln11,f(x)�1 x (0,1),x  f(x )1,x  f(x )1, ,x  f(x )1,x  1 2 1 3 2  n1 n 1是最小的项； 所以A正确 1 令g(x) f(x)x lnxx,x�1 x 1 1 x2x1 g(x)  1 0, x2 x x2 g(x) g(x)�0,x x 0 x x x x 0 在区间内递减， 3 2 即 3 2； 4 3 即 x x 0 x x L n1 n 即 n1 n， x 所以，综上所述， 2是最大的项，所以B正确， 由于 是最小的项， 是最大的项，则不可能使得 成等差数列，故C错误； 因为 ，所以 ，则 ， ，所以不存在 成等差数列，故D错误 故选：AB 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导 数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)， 解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 10．（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知无穷数列 满足：当 为奇数时， ；当 为偶数时， ，则下列结论正确的为（ ） A． 和 均为数列 中的项 B．数列 为等差数列 C．仅有有限个整数 使得 成立 D．记数列 的前 项和为 ，则 恒成立 【答案】BD 【解析】对于A选项，分析可知当 为奇数时， 为奇数， 当 为偶数时， 为偶数， 令 可得 ，不合乎题意， 令 可得 ，合乎题意， 所以， 不是数列 中的项， 是数列 中的项，A错； 对于B选项，因为 ， 所以，数列 是公差为 的等差数列，B对； 对于C选项，若 为偶数，由 可得 ，矛盾， 若 为奇数，由 可得 ，即 ，解得 ，所有满足条件 的奇数 都合乎题意， 所以，有无限个整数 使得 成立，C错； 对于D选项， 为偶数，则 ， 且 ， 所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列， 所以， ，D对. 故选：BD. 三、填空题 11．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））已知 为单调递减的等差数列 的前n项和，若数列 前n项和 ，则下列结论中正确的有___________．（填写序号） ① ；② ；③ ；④ 【答案】②④ 【解析】设等差数列 的公差为 ， 则 ， 故， 所以 ， 则 ， 解得 或 （舍去）， 所以 ， 故 ，故①错误； ，故②正确； ，故③错误； ， ， 则当 或 时， 取得最大值， 所以 ，故④正确. 故选：②④. 12．（2021·上海杨浦·一模）等差数列 满足：① ， ；②在区间 中的项恰好比区间 中的项少2项，则数列 的通项公式为 ___________. 【答案】 ##－4+3n 【解析】由 ， 得 ， ，因此在区间 上最多有5项，又在区间 中的项恰好比区间 中的项少2项，因此数列 在 上的项数可能为 ，相应地在 上项数分别为 ． （1）若在 上的项数可能为1，设 是数列在区间 的项，在 上项数为3， 由 得 ，由 得 ，所以 ， 这样 是数列中的连续三项， 是等差数列，因此 也是 中连续三项（否则数 列 中有两项在 上），但 ，矛盾； （2）若在 上的项数可能为2，设 是数列在区间 的最小项，在 上项数为4， 由 得 ，由 得 ，所以 ， 这样 是数列中的连续四项， 是等差数列，因此 也是 中连续四项，（否则数 列 中有三项在 上），又 ， 所以 ， ，满足题意， ； （3）若在 上的项数可能为3，设 是数列在区间 的最小项，在 上项数为5， 由 得 ，由 得 ，所以 ， 这样 是数列中的连续五项， 是等差数列，因此 也是 中连续五项（否则数列 中有四项在 上），但 ，矛盾； 综上所述， ． 故答案为： ．13．（2021·浙江绍兴·三模）如图，一个 幻方，要求包含 到 的所有整数，且每一行、每一列及两 个主对角线上的整数之和都相等.早在 世纪中国古代数学家杨辉就作出了 的幻方，那么 幻方的每 一行上整数之和为______. 【答案】 【解析】因为 ， 因为 幻方的每一行上整数之和相等，共 行，所以每行的整数之和为 . 故答案为： . 14．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测）将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入如图 所示3x3的正方形网格中，每个数填一次，每个小方格中填一个数.考虑每行从左到右，每列从上到下，两 条对角线从上到下这8个数列，给出下列四个结论： ①这8个数列有可能均为等差数列； ②这8个数列中最多有3个等比数列； ③若中间一行、中间一列、两条对角线均为等差数列，则中心数必为5； ④若第一行、第一列均为等比数列，则其余6个数列中至多有1个等差数列. 其中所有正确结论的序号是________.【答案】①②③ 【解析】①. 如图将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数依次填入网格中，则这8个数列均为等差数列， 故①正确. ②. 1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中，等比数列有：1,2,4； 1,3,9；2,4,8；4,6，9. 由于1,2,4和2,4,8这两个等比数列不可能在网格中不可能在同一列，同一行或对角线上. 所以这8个数列中最多有3个等比数列,例如如图满足有3个等比数列.故②正确 ③. 若三个数 成等差数列，则 . 根据题意要有4组数成等差数列，且中间的数 相同. 则只能是 由 则中间一行、中间一列、两条对角线四列的数分别为 时满足条件; 中心数为其他数时，不满足条件.故③正确. ④. 若第一行为 ；第一列为 ，满足第一行、第一列均为等比数列. 第二行为 ，第二列为 ，则第二行，第二列为等差数列，此时有两个等差数列.故④不正确 故答案为：①②③ 四、解答题 15．（2022·上海崇明·二模）已知集合 （Z是整数集， 是大于3的正整数）．若含有 项的数列 满足：任意的 ，都有 ，且当 时有 ，当 时有 或 ，则称该数列为 数列． (1)写出所有满足 且 的 数列； (2)若数列 为 数列，证明： 不可能是等差数列； (3)已知含有100项的 数列 满足 是公差为 等差数列，求 所有可能的值 【解析】(1)由题意可得满足 且 的 数列为：1，3，5，2，4；1，4，2，5，3.. (2)假设 是等差数列，公差为 ，当 时，由题意， 或 ， 此时 ， 所以 不是等差数列 中的项，与题意不符，所以 不可能是等差数列 当 时，由题意， 或 ，此时 所以 不是等差数列 中的项，与题意不符，所以 不可能是等差数列 综上所述， 不可能是等差数列 (3)由题意， ， 当 时，因为 ，所以 ，与题意不符； 当 时，记 ， 当 时， ， 所以 ， 所以 中的最小项 ，所以 ，与题意不符， 当 时， ，又由题意， （*），其中 ， 且 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，与 不符； 当 时，取 ，此时的数列 满足题意， 综上所述， . 16．（2022·上海长宁·二模）甲、乙两人同时分别入职 两家公司，两家公司的基础工资标准分别为： 公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元； 公司第一 年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍． (1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元） (2)设甲、乙两人入职第 年的月基础工资分别为 、 元，记 ，讨论数列 的单调性，指出 哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由． 【解析】（1）甲的基础工资收入总量 元乙的基础工资收入总量 元 （2） ， ， ，设 ，即 ，解得 所以 当 时， 递增，当 时， 递减又当 ，即 ，解得 ，所以从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资． ． 1．（2020全国Ⅱ理4）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石 板（称为天心石），环绕天心石砌 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 块，下一层的第一环 比上一层的最后一环多 块，向外每环依次也增加 块．已知每层环数相同，且下层比中层多 块，则 三层共有扇面形石板（不含天心石） （ ） A． 块 B． 块 C． 块 D． 块 【答案】C 【思路导引】第n环天石心块数为 ，第一层共有 环，则 是以9为首项，9为公差的等差数列， 设 为 的前 项和，由题意可得 ，解方程即可得到n，进一步得到 ． 【解析】设第n环天石心块数为 ，第一层共有 环，则 是以9为首项，9为公差的等差数列， ，设 为 的前 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为 ，因为下层比中层多729块，所以 ，即 ，即 ，解得 ，所以 ，故选C．2 ． （ 2020 浙 江 7 ） 已 知 等 差 数 列 的 前 项 和 ， 公 差 ． 记 ，下列等式不可能成立的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A．由等差数列的性质可知 ，成立； B． ， ， ， 若 ，则 ， 即 ，这与已知矛盾，故B不成立； C． ，整理为： ，故C成立； D． ，当 时，即 ，整理为 ，即 ， ，方程有解，故D成立．综上 可知，等式不可能成立的是B，故选B． 3．（2019•新课标Ⅰ，理9）记 为等差数列 的前 项和．已知 ， ，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设等差数列 的公差为 ，由 ， ，得 ， ， ， ，故选 ． 4．（2018•新课标Ⅰ，理4）记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 A． B． C．10 D．12【答案】B 【 解 析 】 为 等 差 数 列 的 前 项 和 ， ， ， ，把 ，代入得 ， ，故选 ． 5．（2017•新课标Ⅰ，理4）记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 的公差为 （ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】由题知， ，解得 ， ，故选 ． 6．（2017•新课标Ⅲ，理9）等差数列 的首项为1，公差不为0．若 ， ， 成等比数列，则 前6项的和为 A． B． C．3 D．8 【答案】A 【解析】 等差数列 的首项为1，公差不为0． ， ， 成等比数列， ， ， 且 ， ， 解 得 ， 前 6 项 的 和 为 ，故选 ． 7．（2016•新课标Ⅰ，理3）已知等差数列 前9项的和为27， ，则 A．100 B．99 C．98 D．97 【答案】C a +5d=3+5d 【解析】由题知， = ，∴ ，又 = 5 ， ， ，故选 8．（2017浙江）已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，则“ ”是“ ”的（ ） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】∵ ，当 ，可得 ；当 ，可得 ．所以“ ”是“ ” 充分必要条件，选C． a T n n 9．（2020北京8）在等差数列{ }中， ， ，记 ，则数列{ } （ ） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】A 【解析】设公差为d，a-a =4d，即d=2，a=2n-11，1≤n≤5使，a＜0，n≥6时，a＞0，所以n=4时，T 5 1 n n n n ＞0，并且取最大值；n=5时，T＜0；n≥6时，T＜0，并且当n越来越大时，T 越来越小，所以T 无最小 n n n n 项．故选A． 10．（2020 上海 7）已知等差数列 的首项 ，且满足 ，则 ． 【答案】 【解析】由条件可知 ， ． 故答案为： ． 11．（2019•新课标Ⅲ，理14）记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 ． 【答案】4【解析】设等差数列 的公差为 ，则由 ， 可得， ， ． {a }(nN*) S a a a 0,S 27 12．（2019江苏8）已知数列 n 是等差数列， n是其前n项和．若 2 5 8 9 ，则 S 8的值是 ． 【答案】16 (a d)(a 4d)a 7d 0  1 1 1 a 5  98 1 9a  d 27  {a } a d   1 2 d 2 【解析】设等差数列 n 的首项为 1，公差为 ，则 ，解得 ， 87d S 8a  6(5)15216 所以 8 1 2 ． a  S a 3，S 10 a  13．（2019北京理10）设等差数列 n 的前n项和为 n，若 2 5 ，则 5 ________ ． S n 的最小值为_______． 【答案】0，-10 a a d 3 a 4 2 1 1    S a 510d 10 d 1 a a 4d 0 【解析】由题意得， 5 1 ，解得 ，所以 5 1 ． 43 因为 a n  是一个递增数列，且 a 5 0 ，所以 S n的最小值为 S 4或 S 5， S 4  S 5 44 2 110 ． 14．(2018北京)设 是等差数列，且 ， ，则 的通项公式为___． 【答案】14 【解析】解法一 设 的公差为 ，首项为 ，则 ，解得 ，所以 ． 解法二 ，所以 ．故 ，故 ． 15．(2018上海)记等差数列 的前几项和为 ，若 ， ，则 = ． 【答案】 【 解 析 】 设 等 差 数 列 的 公 差 为 ， ， ∴ ， ∴ ． 16．（2019•新课标Ⅰ，文18）记 为等差数列 的前 项和，已知 ． （1）若 ，求 的通项公式； S ≥a （2）若 ，求使得 n n的 的取值范围． 【解析】（1）根据题意，等差数列 中，设其公差为 ， 若 ，则 ，变形可得 ，即 ， 若 ，则 ， 则 ， n(n−1) na+ d≥a +(n−1)d S ≥a 1 2 1 （2）若 n n，则 ， 当 时，不等式成立， nd ≥d−a 当 n≥2 时，有 2 1 ，变形可得 (n−2)d≥−2a 1， a (n−2)(− 1 )≥−2a 又由 ，即 ，则有 ，即 ，则有 4 1 ，又由 ，则有 n≤10 ， 则有 2≤n≤10 ， 综合可得： 2≤n≤10 ， ． 17．（2018•新课标Ⅱ，理（文）17）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ． （1）求 的通项公式； （2）求 ，并求 的最小值． 【解析】（1） 等差数列 中， ， ， ， ，解得 ， ， ； （2） ， ， ， ， 当 时，前 项的和 取得最小值为 ． 18．（2016•新课标Ⅱ，文17）等差数列 中， ， ． （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）设 ，求数列 的前10项和，其中 表示不超过 的最大整数，如 ， ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ， ， ． ，解得： ， ； （Ⅱ） ， ， ， ， ．故数列 的前10项和 ．