文档内容
第 02 讲 等差数列及其前 n 项和
(精练）
A 夯实基础
一、单选题
1．（2022·四川省南充市白塔中学高一阶段练习（文））在等差数列 中，已知 ，则数列
的前6项之和为（ ）
A．12 B．32 C．36 D．37
【答案】C
数列 的前6项之和为 .
故选：C.
2．（2022·天津天津·高二期末）某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，
共收到捐款1200元.他们第1天只得到10元，之后采取了积极措施，从第2天起，每一天收到的捐款都比
前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C
由题意可得，第一天募捐10元，第二天募捐20元，
募捐构成了一个以10元为首项，以10元为公差的等差数列，
根据题意，设共募捐了 天，则 ，
解得 或 （舍去），所以 ，
故选： ．
3．（2022·北京市第十二中学高二阶段练习）设等差数列 的公差为d，若数列 为递减数列，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
依题意，数列 是公差为d的等差数列，数列 为递减数列，
所以 ， ， .
故选：D
4．（2022·黑龙江双鸭山·高二期末）等差数列 中，已知 ， ，则 的前 项和 的
最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
∵等差数列 中， ，
∴ ，即 ．又 ，
∴ 的前 项和 的最小值为 ．
故选：B
5．（2022·山东师范大学附中模拟预测）如图，在杨辉三角形中，斜线 的上方，从1开始箭头所示的数组
成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前 项和为 ，则 （ ）
A．361 B．374 C．385 D．395
【答案】B
根据杨辉三角的特征可以将数列继续写出到第22项：
1，3，3，4，6，5，10，6，15，7，21，8，28，9，36，10，45，11，55，12，66，13，
所以
故选：B
6．（2022·湖北·安陆第一高中高二阶段练习）已知数列 的前n项和 ，若 ，则
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
由 ，得 也适合，
又由 得 ，
又 ，
∴ ，
故选:A．
7．（2022·全国·模拟预测）设等差数列 与等差数列 的前n项和分别为 ， .若对于任意的正整数n都有 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
设 ， ， .则 ， ，
所以 .
故选：B.
8．（2022·全国·高二专题练习）等差数列 的首项为正数，其前n项和为 .现有下列命题，其中是假命
题的有（ ）
A．若 有最大值，则数列 的公差小于0
B．若 ，则使 的最大的n为18
C．若 ， ，则 中 最大
D．若 ， ，则数列 中的最小项是第9项
【答案】B
对于选项A，∵ 有最大值，∴ 等差数列 一定有负数项，
∴等差数列 为递减数列，故公差小于0，故选项A正确；
对于选项B，∵ ，且 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
则使 的最大的n为17，故选项B错误；
对于选项C，∵ ， ，
∴ ， ，
故 中 最大，故选项C正确；
对于选项D，∵ ， ，
∴ ， ，
故数列 中的最小项是第9项，故选项D正确.
故选：B.二、多选题
9．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二期中）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且 ，则
（ ）
A．d＜0 B．a ＝0 C．S ＜0 D．S＜S
10 18 8 9
【答案】BC
， ，所以B正确
又 , , ,所以A错误
，故C正确
,故D错误
故选：BC
10．（2022·浙江温州·高二期末）某“最强大脑”大赛吸引了全球10000人参加，赞助商提供了2009枚智
慧币作为比赛奖金．比赛结束后根据名次（没有并列名次的选手）进行奖励，要求第k名比第 名多2
枚智慧币，每人得到的智慧币必须是正整数，且所有智慧币必须都分给参赛者，按此规则主办方可能给第
一名分配（ ）智慧币．
A．300 B．293 C．93 D．89
【答案】BD
设第一名分配m个智慧币，且总共有x名参赛选手获奖，
则智慧币分配如下：
，
即 ，
又 ，
∴ ，即 ，
∵x，m都为正整数，且 ，
∴ ， ，
， ，
， ，
， ，∴第一名分配89或293个智慧币．
故选：BD
三、填空题
11．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列 的前n项和为 ，且 ，则数列 的
公差为_______.
【答案】2
设数列 的公差为 ，则由 可得：
，
化简可得 ，解得 ，
故答案为：2．
12．（2022·江苏·高二）首项为正数的等差数列，前 项和为 ，且 ，当 ________时， 取到最
大值.
【答案】5或6##6或5
由题意，设等差数列为 且 ，公差为 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 为单调递减的等差数列，即
故当 或 时， 最大.
故答案为：5或6.
四、解答题
13．（2022·山东·高二阶段练习）在等差数列 中， .
(1)求 的通项公式；
(2)设 为 的前 项和，若 ，求 的值.
【答案】(1) (2)
(1)设等差数列 的公差为 ，
由题意可得 ，解得 .故 .
(2)由等差数列的前 项和公式可得 .
因为 ，所以 ，即 ，
解得 （ 舍去）.
14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列 的前 项和为 .
（1）求出 的通项公式；
（2）求数列 前n项和最小时n的取值
【答案】（1） ；（2）当 或 时，数列 前n项和取得最小值.
（1）因为 ，
所以当 时， ；
当 时， ；
显然 是，也满足 ，
所以 ；
(2) 因为 ，
所以数列 为等差数列，其前n项和
又 ，所以当 或 时， 取得最小值.
B 能力提升
一、单选题
1．（2022·四川省绵阳南山中学高一期中）设等差数列 的公差为 ，其前 项和为 ，且 ，
，则使得 的正整数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由 可得 ，又 ，可得 ，
由 ，可得 ，则 ， ，，
故使得 的正整数 的最小值为19.
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知公差非零的等差数列 满足 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B．
C．当 时， D．当 时，
【答案】C
因公差非零的等差数列{an}满足 ，则有 ，有 ， 异号且均不为0，
对于A， ，A不正确；
对于B， ，而 ，此时， ，B不正确；
对于C，由选项A知， ，即 ，则 ，于是得 ，
数列 是递增数列，即 ， ，C正确；
对于D，由 得 ，则 ，于是得 ，数列 是递减数列，即 ， ，
D不正确.
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）等差数列 的前n项和为 ，已知 ， ，则 的最小值
为______．
【答案】
由 ， ， 得 ，
解得： ，
则 ．故 ．
由于 ，故当 或4时， .
故答案为：
4．（2022·辽宁辽阳·二模）“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：
“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成
就之一，属现代数论中的一次同余式组问题，已知问题中，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，
则在不超过4200的正整数中，所有满足条件的数的和为______.
【答案】82820
由题可知满足被3除余2，被5除余3.被7除余2的最小的数为23，
满足该条件的数从小到大构成以23为首项， 为公差的等差数列，
其通项公式为 ，
令 ，解得 ，
则所有满足条件的数的和为 .
故答案为：82820.
5．（2022·山西吕梁·二模（理））已知 是等差数列 的前 项和， ，则满足
的正整数 是________．
【答案】
由 ，得 ，由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 ， ，
所以满足 的正整数 是 ．
故答案为： .
6．（2022·湖南衡阳·三模）已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且满足 ，
则 __________．
【答案】1122
由于数列 的各项均为正数，即 ，
当 时， ，即 ，∴ ，
当 时，由 ，可得 ，
两式相减得 ，
又∵ ，∴ ，
∴ 为一个以2为首项，2为公差的等差数列，
∴ .
故
故答案为：1122C 综合素养
1．（2022·山东济南·三模）如图1，洛书是一种关于天地空间变化脉络的图案，2014年正式入选国家级非
物质文化遗产名录，其数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，形成图2中的
九宫格，将自然数1，2，3，…， 放置在n行n列 的正方形图表中，使其每行、每列、每条对角
线上的数字之和（简称“幻和”）均相等，具有这种性质的图表称为“n阶幻方”．洛书就是一个3阶幻
方，其“幻和”为15．则7阶幻方的“幻和”为（ ）
图1 图2
A．91 B．169 C．175 D．180
【答案】C
由题意，7阶幻方各行列和，即“幻和”为 .
故选：C
2．（2022·新疆克拉玛依·三模（文））南宋数学家杨辉在《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提
出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐
项差数之差或者高次成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，
3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，
17，23，则该数列的第31项为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D解：根据题意，设该数列为 ，数列的前7项为2，3，5，8，12，17，23，
则 满足 ， ，
则 ，
故选：D．
3．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）“中国剩余定理”是关于整除的问题.现有这样一个问题“将1~2030
这2030个自然数中，能被3整除余1且能被4整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ，
则该数列共有（ ）
A．170项 B．171项 C．168项 D．169项
【答案】A
能被3整除余1且能被4整除余1的数即被12整除余1的数，故 ，由题意，
，故 ，故当 时成立，共170项.
故选：A
4．（2022·浙江·模拟预测）毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学
视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于
和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，
图形的点数分别为 ，总结规律并以此类推下去，第 个图形对应的点数为________，若这些数
构成一个数列，记为数列 ，则 ________．
【答案】
记第 个图形的点数为 ，由题意知 ， ，
， ，…， ，
累加得 ，
即 ，所以 ．又 ，
所以 ．
5．（2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测）“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统
解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中
最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题.已知问题中，一个数被 除余 ，被 除余 ，
被 除余 ，则在不超过 的正整数中，所有满足条件的数的和为___________.
【答案】
由题意可知，一个数被 除余 ，被 除余 ，被 除余 ，则这个正整数的最小值为 ，
因为 、 、 的最小公倍数为 ，
由题意可知，满足条件的数形成以 为首项，以 为公差的等差数列，
设该数列为 ，则 ，
由 ，可得 ，所以， 的最大值为 ，
所以，满足条件的这些整数之和为 .
故答案为： .
