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§6.5 数列求和
考试要求 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握非等差数列、非等比数列求
和的几种常见方法．
知识梳理
数列求和的几种常用方法
1．公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．
(1)等差数列的前n项和公式：
S＝＝na＋d.
n 1
(2)等比数列的前n项和公式：
S＝
n
2．分组求和法与并项求和法
(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求
和法，分别求和后相加减．
(2)形如a＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解．
n
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列
的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．
4．裂项相消法
(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
(2)常见的裂项技巧
①＝－.
②＝.
③＝.
④＝－.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若数列{a}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和S＝.( √ )
n n
(2)当n≥2时，＝.( √ )
(3)求S＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时，只要把上式等号两边同时乘a即可根据错位相减法求得．
n
( × )
(4)求数列的前n项和可用分组转化法求和．( √ )教材改编题
1．数列{a}的通项公式是a＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为( )
n n
A．－200 B．－100
C．200 D．100
答案 D
解析 S ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.
100
2．等差数列{a}中，已知公差d＝，且a＋a＋…＋a ＝50，则a＋a＋…＋a 等于( )
n 1 3 99 2 4 100
A．50 B．75
C．100 D．125
答案 B
解析 a＋a＋…＋a
2 4 100
＝(a＋d)＋(a＋d)＋…＋(a ＋d)
1 3 99
＝(a＋a＋…＋a )＋50d
1 3 99
＝50＋25＝75.
3．在数列{a}中，a＝，若{a}的前n项和为，则项数n＝________.
n n n
答案 2 022
解析 a＝＝－，
n
∴S＝1－＋－＋…＋－
n
＝1－＝＝，
∴n＝2 022.
题型一 分组求和与并项求和
例1 (2022·衡水质检)已知各项都不相等的等差数列{a}，a＝6，又a，a，a 成等比数列．
n 6 1 2 4
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)设b＝ ＋(－1)na，求数列{b}的前2n项和T .
n n n 2n
解 (1)∵{a}为各项都不相等的等差数列，
n
a＝6，且a，a，a 成等比数列．
6 1 2 4
∴
解得a＝1，d＝1，
1
∴数列{a}的通项公式a＝1＋(n－1)×1＝n.
n n
(2)由(1)知，b＝2n＋(－1)nn，记数列{b}的前2n项和为T ，
n n 2n
则T ＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
2n
记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝＝22n＋1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.
故数列{b}的前2n项和T ＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
n 2n
延伸探究 在本例(2)中，如何求数列{b}的前n项和T?
n n
解 由本例(2)知b＝2n＋(－1)nn.
n
当n为偶数时，
T＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n]＝＋＝2n＋1＋－2；
n
当n为奇数时，
T＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－2)＋(n－1)－n]
n
＝2n＋1－2＋－n
＝2n＋1－－.
所以T＝
n
教师备选
(2020·新高考全国Ⅰ)已知公比大于1的等比数列{a}满足a＋a＝20，a＝8.
n 2 4 3
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)记b 为{a}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{b }的前100项和S .
m n m 100
解 (1)由于数列{a}是公比大于1的等比数列，设首项为a，公比为q，
n 1
依题意有
解得(舍)或
所以{a}的通项公式为a＝2n，n∈N*.
n n
(2)由于21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32，
26＝64，27＝128，
所以b 对应的区间为(0,1]，则b＝0；
1 1
b，b 对应的区间分别为(0,2]，(0,3]，
2 3
则b＝b＝1，即有2个1；
2 3
b，b，b，b 对应的区间分别为
4 5 6 7
(0,4]，(0,5]，(0,6]，(0,7]，
则b＝b＝b＝b＝2，即有22个2；
4 5 6 7
b，b，…，b 对应的区间分别为(0,8]，(0,9]，…，(0,15]，则b＝b＝…＝b ＝3，
8 9 15 8 9 15
即有23个3；
b ，b ，…，b 对应的区间分别为(0,16]，(0,17]，…，(0,31]，
16 17 31
则b ＝b ＝…＝b ＝4，即有24个4；
16 17 31
b ，b ，…，b 对应的区间分别为(0,32]，(0,33]，…，(0,63]，
32 33 63则b ＝b ＝…＝b ＝5，即有25个5；
32 33 63
b ，b ，…，b 对应的区间分别为(0,64]，(0,65]，…，(0,100]，
64 65 100
则b ＝b ＝…＝b ＝6，即有37个6.
64 65 100
所以S ＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480.
100
思维升华 (1)若数列{c}的通项公式为c ＝a±b ，且{a}，{b}为等差或等比数列，可采用
n n n n n n
分组求和法求数列{c}的前n项和．
n
(2)若数列{c}的通项公式为c ＝其中数列{a}，{b}是等比数列或等差数列，可采用分组求
n n n n
和法求{c}的前n项和．
n
跟踪训练1 (2022·重庆质检)已知等差数列{a}的前n项和为S，a＝9，S＝25.
n n 5 5
(1)求数列{a}的通项公式及S；
n n
(2)设b＝(－1)nS，求数列{b}的前n项和T.
n n n n
解 (1)设数列{a}的公差为d，
n
由S＝5a＝25得a＝a＋2d＝5，
5 3 3 1
又a＝9＝a＋4d，
5 1
所以d＝2，a＝1，
1
所以a＝2n－1，S＝＝n2.
n n
(2)结合(1)知b＝(－1)nn2，当n为偶数时，
n
T＝(b＋b)＋(b＋b)＋(b＋b)＋…＋(b ＋b)
n 1 2 3 4 5 6 n－1 n
＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋[－(n－1)2＋n2]
＝(2－1)(2＋1)＋(4－3)(4＋3)＋(6－5)(6＋5)＋…＋[n－(n－1)][n＋(n－1)]
＝1＋2＋3＋…＋n＝.
当n为奇数时，n－1为偶数，
T＝T ＋(－1)n·n2＝－n2＝－.
n n－1
综上可知，T＝.
n
题型二 错位相减法求和
例2 (10分)(2021·全国乙卷)设{a}是首项为1的等比数列，数列{b}满足b ＝.已知a ，
n n n 1
3a，9a 成等差数列．
2 3
(1)求{a}和{b}的通项公式； [切入点：设基本量q]
n n
(2)记S 和T 分别为{a}和{b}的前n项和．证明：T<. [关键点：b＝n·n]
n n n n n n教师备选
(2020·全国Ⅰ)设{a}是公比不为1的等比数列，a 为a，a 的等差中项．
n 1 2 3
(1)求{a}的公比；
n
(2)若a＝1，求数列{na}的前n项和．
1 n
解 (1)设{a}的公比为q，
n
∵a 为a，a 的等差中项，
1 2 3
∴2a＝a＋a＝aq＋aq2，a≠0，
1 2 3 1 1 1
∴q2＋q－2＝0，
∵q≠1，∴q＝－2.
(2)设{na}的前n项和为S，
n n
a＝1，a＝(－2)n－1，
1 n
S＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n(－2)n－1，①
n
－2S＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n－1)·(－2)n－1＋n(－2)n，②
n
①－②得，3S＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n(－2)n
n
＝－n(－2)n＝，
∴S＝，n∈N*.
n思维升华 (1)如果数列{a}是等差数列，{b}是等比数列，求数列{a·b}的前n项和时，常
n n n n
采用错位相减法．
(2)错位相减法求和时，应注意：
①在写出“S”与“qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确
n n
地写出“S－qS”的表达式．
n n
②应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式S＝na.
n 1
跟踪训练2 (2021·浙江)已知数列{a}的前n项和为S，a＝－，且4S ＝3S－9(n∈N*)．
n n 1 n＋1 n
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)设数列{b}满足3b ＋(n－4)a ＝0(n∈N*)，记{b}的前n项和为 T.若T≤λb ，对任意
n n n n n n n
n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
解 (1)因为4S ＝3S－9，
n＋1 n
所以当n≥2时，4S＝3S －9，
n n－1
两式相减可得4a ＝3a，即＝.
n＋1 n
当n＝1时，4S＝4＝－－9，
2
解得a＝－，
2
所以＝.所以数列{a}是首项为－，公比为的等比数列，
n
所以a＝－×n－1＝－.
n
(2)因为3b＋(n－4)a＝0，
n n
所以b＝(n－4)×n.
n
所以T＝－3×－2×2－1×3＋0×4＋…＋(n－4)×n，①
n
且T＝－3×2－2×3－1×4＋0×5＋…＋(n－5)×n＋(n－4)×n＋1，②
n
①－②得T＝－3×＋2＋3＋…＋n－(n－4)×n＋1
n
＝－＋－(n－4)×n＋1
＝－n×n＋1，
所以T＝－4n×n＋1.
n
因为T≤λb 对任意n∈N*恒成立，
n n
所以－4n×n＋1≤λ恒成立，即－3n≤λ(n－4)恒成立，
当n<4时，λ≤＝－3－，此时λ≤1；
当n＝4时，－12≤0恒成立，
当n>4时，λ≥＝－3－，此时λ≥－3.
所以－3≤λ≤1.
题型三 裂项相消法求和
例3 (2022·咸宁模拟)设{a}是各项都为正数的单调递增数列，已知a ＝4，且a 满足关系
n 1 n
式：a ＋a＝4＋2，n∈N*.
n＋1 n(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)若b＝，求数列{b}的前n项和S.
n n n
解 (1)因为a ＋a＝4＋2，n∈N*，
n＋1 n
所以a ＋a－2＝4，
n＋1 n
即(－)2＝4，
又{a}是各项为正数的单调递增数列，
n
所以－＝2，
又＝2，
所以{}是首项为2，公差为2的等差数列，
所以＝2＋2(n－1)＝2n，所以a＝4n2.
n
(2)b＝＝＝
n
＝，
所以S＝b＋b＋…＋b＝＋
n 1 2 n
＋…＋
＝＝.
教师备选
设数列{a}的前n项和为S，且2S＝3a－1.
n n n n
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)若b＝，求{b}的前n项和T，证明：≤T＜.
n n n n
(1)解 因为2S＝3a－1，
n n
所以2S＝2a＝3a－1，
1 1 1
即a＝1.
1
当n≥2时，2S ＝3a －1，
n－1 n－1
则2S－2S ＝2a＝3a－3a ，
n n－1 n n n－1
整理得＝3，
则数列{a}是以1为首项，3为公比的等比数列，故a＝1×3n－1＝3n－1.
n n
(2)证明 由(1)得b＝
n
＝×，
所以T＝×，
n
即T＝×＝－，
n
所以T<，
n
又因为T 为递增数列，
n
所以T≥T＝－＝，
n 1
所以≤T<.
n思维升华 利用裂项相消法求和的注意事项
(1)抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．
(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，如：若{a}是等差数列，则＝，
n
＝.
跟踪训练3 (2022·河北衡水中学模拟)已知数列{a}满足a＝4，且当n≥2时，(n－1)a＝
n 1 n
n(a ＋2n－2)．
n－1
(1)求证：数列是等差数列；
(2)记b＝，求数列{b}的前n项和S.
n n n
(1)证明 当n≥2时，
(n－1)a＝n(a ＋2n－2)，
n n－1
将上式两边都除以n(n－1)，
得＝，
即－＝2，
所以数列是以＝4为首项，2为公差的等差数列．
(2)解 由(1)得＝4＋2(n－1)＝2n＋2，
即a＝2n(n＋1)，
n
所以b＝＝，
n
所以S＝＋
n
＝＝.
课时精练
1．已知在等差数列{a}中，S 为其前n项和，且a＝5，S＝49.
n n 3 7
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)若b＝ ＋a，数列{b}的前n项和为T，且T≥1 000，求n的取值范围．
n n n n n
解 (1)由等差数列性质知，S＝7a＝49，
7 4
则a＝7，
4
故公差d＝a－a＝7－5＝2，
4 3
故a＝a＋(n－3)d＝2n－1.
n 3
(2)由(1)知b＝22n－1＋2n－1，
n
T＝21＋1＋23＋3＋…＋22n－1＋2n－1
n
＝21＋23＋…＋22n－1＋(1＋3＋…＋2n－1)＝＋
＝＋n2－.
易知T 单调递增，
n
且T＝707<1 000，T＝2 766>1 000，
5 6
故T≥1 000，解得n≥6，n∈N*.
n
2．(2020·全国Ⅲ改编)设数列{a}满足a＝3，a ＝3a－4n.
n 1 n＋1 n
(1)计算a，a，猜想{a}的通项公式；
2 3 n
(2)求数列{2na}的前n项和S.
n n
解 (1)由题意可得a＝3a－4＝9－4＝5，
2 1
a＝3a－8＝15－8＝7，
3 2
由数列{a}的前三项可猜想数列{a}是以3为首项，2为公差的等差数列，即a＝2n＋1.
n n n
(2)由(1)可知，a·2n＝(2n＋1)·2n，
n
S＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，①
n
2S＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1，②
n
由①－②得，－S＝6＋2×(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1
n
＝6＋2×－(2n＋1)·2n＋1
＝(1－2n)·2n＋1－2，
即S＝(2n－1)·2n＋1＋2.
n
3．(2022·合肥模拟)已知数列{a}满足：a＝2，a ＝a＋2n.
n 1 n＋1 n
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)若b＝log a，T＝＋＋…＋，求T.
n 2 n n n
解 (1)由已知得a －a＝2n，
n＋1 n
当n≥2时，a＝a＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a )
n 1 2 1 3 2 n n－1
＝2＋2＋22＋…＋2n－1
＝2＋＝2n.
又a＝2，也满足上式，故a＝2n.
1 n
(2)由(1)可知，b＝log a＝n，
n 2 n
＝＝－，
T＝＋＋…＋
n
＝＋＋…＋
＝1－＝，故T＝.
n4．(2022·济宁模拟)已知数列{a}是正项等比数列，满足a 是2a,3a 的等差中项，a＝16.
n 3 1 2 4
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)若b＝(－1)nlog a ，求数列{b}的前n项和T.
n 2 2n＋1 n n
解 (1)设等比数列{a}的公比为q，
n
因为a 是2a,3a 的等差中项，
3 1 2
所以2a＝2a＋3a，即2aq2＝2a＋3aq，
3 1 2 1 1 1
因为a≠0，所以2q2－3q－2＝0，
1
解得q＝2或q＝－，
因为数列{a}是正项等比数列，所以q＝2.
n
所以a＝a·qn－4＝2n.
n 4
(2)方法一 (分奇偶、并项求和)
由(1)可知，a ＝22n＋1，
2n＋1
所以b＝(－1)n·log a
n 2 2n＋1
＝(－1)n·log 22n＋1＝(－1)n·(2n＋1)，
2
①若n为偶数，
T＝－3＋5－7＋9－…－(2n－1)＋(2n＋1)
n
＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[－(2n－1)＋(2n＋1)]＝2×＝n；
②若n为奇数，当n≥3时，
T＝T ＋b＝n－1－(2n＋1)＝－n－2，
n n－1 n
当n＝1时，T＝－3适合上式，
1
综上得T＝
n
(或T＝(n＋1)(－1)n－1，n∈N*)．
n
方法二 (错位相减法)
由(1)可知，a ＝22n＋1，
2n＋1
所以b＝(－1)n·log a ＝(－1)n·log 22n＋1＝(－1)n·(2n＋1)，
n 2 2n＋1 2
T＝(－1)1×3＋(－1)2×5＋(－1)3×7＋…＋(－1)n·(2n＋1)，
n
所以－T＝(－1)2×3＋(－1)3×5＋(－1)4×7＋…＋(－1)n＋1(2n＋1)，
n
所以2T＝－3＋2[(－1)2＋(－1)3＋…＋(－1)n]－(－1)n＋1(2n＋1)
n
＝－3＋2×＋(－1)n(2n＋1)
＝－3＋1－(－1)n－1＋(－1)n(2n＋1)
＝－2＋(2n＋2)(－1)n，
所以T＝(n＋1)(－1)n－1，n∈N*.
n5．(2022·重庆调研)在等差数列{a}中，已知a＝12，a ＝36.
n 6 18
(1)求数列{a}的通项公式a；
n n
(2)若________，求数列{b}的前n项和S，
n n
在①b＝，②b＝(－1)n·a，③b＝ 这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其
n n n n
求解．
解 (1)由题意知
解得d＝2，a＝2.
1
∴a＝2＋(n－1)×2＝2n.
n
(2)选条件①.
b＝＝，
n
则S＝＋＋…＋
n
＝＋＋…＋
＝1－＝.
选条件②.
∵a＝2n，b＝(－1)na＝(－1)n·2n，
n n n
∴S＝－2＋4－6＋8－…＋(－1)n·2n，
n
当n为偶数时，
S＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n－1)＋2n]
n
＝×2＝n；
当n为奇数时，n－1为偶数，
S＝n－1－2n＝－n－1.
n
∴S＝
n
选条件③.
∵a＝2n，b＝ ，
n n
∴b＝22n·2n＝2n·4n，
n
∴S＝2×41＋4×42＋6×43＋…＋2n·4n，①
n
4S＝2×42＋4×43＋6×44＋…＋2(n－1)·4n＋2n·4n＋1，②
n
①－②得
－3S＝2×41＋2×42＋2×43＋…＋2×4n－2n·4n＋1＝×2－2n·4n＋1
n
＝－2n·4n＋1，
∴S＝(1－4n)＋·4n＋1.
n
