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§6.4 数列中的构造问题
题型一 形如a ＝pa＋f(n)型
n＋1 n
命题点1 a ＝pa＋q(p≠0,1，q≠0，其中a＝a)
n＋1 n 1
例1 (2022·九江模拟)在数列{a}中，a＝5，a ＝3a－4，求数列{a}的通项公式．
n 1 n＋1 n n
解 由a ＝3a－4，
n＋1 n
可得a －2＝3(a－2)，
n＋1 n
所以＝3.
又a＝5，所以{a－2}是以a－2＝3为首项，3为公比的等比数列，
1 n 1
所以a－2＝3n，所以a＝3n＋2.
n n
命题点2 a ＝pa＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)
n＋1 n
例2 已知数列{a}满足a ＝2a－n＋1(n∈N*)，a＝3，求数列{a}的通项公式．
n n＋1 n 1 n
解 ∵a ＝2a－n＋1，
n＋1 n
∴a －(n＋1)＝2(a－n)，
n＋1 n
∴＝2，
∴数列{a－n}是以a－1＝2为首项，2为公比的等比数列，
n 1
∴a－n＝2·2n－1＝2n，
n
∴a＝2n＋n.
n
命题点3 a ＝pa＋qn(p≠0,1，q≠0,1)
n＋1 n
例3 在数列{a}中，a＝－1，a ＝2a＋4·3n－1，求数列{a}的通项公式．
n 1 n＋1 n n
解 方法一 原递推式可化为
a ＋λ·3n＝2(a＋λ·3n－1)．①
n＋1 n
比较系数得λ＝－4，①式即是
a －4·3n＝2(a－4·3n－1)．
n＋1 n
则数列{a－4·3n－1}是首项为a－4·31－1＝－5，公比为2的等比数列，
n 1
∴a－4·3n－1＝－5·2n－1，
n
即a＝4·3n－1－5·2n－1.
n
方法二 将a ＝2a＋4·3n－1的两边同除以3n＋1，得＝·＋，
n＋1 n
令b＝，
n
则b ＝b＋，
n＋1 n
设b ＋k＝(b＋k)，比较系数得k＝－，
n＋1 n
则＝，∴是以－为首项，为公比的等比数列．∴b－＝·n－1，
n
则b＝－·n－1，
n
∴a＝3n·b＝4·3n－1－5·2n－1.
n n
思维升华 (1)形如a ＝αa ＋β(α≠0,1，β≠0)的递推式可用构造法求通项，构造法的基本
n＋1 n
原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数
或相同性质的量，使之成为等差数列或等比数列．
(2)递推公式a ＝αa ＋β的推广式a ＝αa ＋β×γn(α≠0,1，β≠0，γ≠0,1)，两边同时除以
n＋1 n n＋1 n
γn＋1后得到＝·＋，转化为b ＝kb＋(k≠0,1)的形式，通过构造公比是k的等比数列求解．
n＋1 n
跟踪训练1 (1)(2022·武汉二中月考)已知正项数列{a}中，a ＝2，a ＝2a ＋3×5n，则数
n 1 n＋1 n
列{a}的通项公式为( )
n
A．a＝－3×2n－1 B．a＝3×2n－1
n n
C．a＝5n＋3×2n－1 D．a＝5n－3×2n－1
n n
答案 D
解析 方法一 将递推公式
a ＝2a＋3×5n的两边同时除以5n＋1，
n＋1 n
得＝·＋，①
令＝b，则①式变为b ＝b＋，
n n＋1 n
即b －1＝(b－1)，
n＋1 n
所以数列{b－1}是首项为
n
b－1＝－1＝－，
1
公比为的等比数列，
所以b－1＝×n－1，
n
即b＝1－×n－1＝1－，
n
故a＝5n－3×2n－1.
n
方法二 设a ＋k×5n＋1＝2(a＋k×5n)，
n＋1 n
则a ＝2a－3k×5n，
n＋1 n
与题中递推公式比较得k＝－1，
即a －5n＋1＝2(a－5n)，
n＋1 n
所以数列{a－5n}是首项为a－5＝－3，
n 1
公比为2的等比数列，则a－5n＝－3×2n－1，
n
故a＝5n－3×2n－1.
n
(2)(2022·衡水质检)设数列{a}的前n项和为S ，已知a ＝1，S －2S ＝1，n∈N*，则数列
n n 1 n＋1 n
{a}的通项公式为________．
n
答案 a＝2n－1，n∈N*
n解析 因为S －2S＝1，
n＋1 n
所以S ＝2S＋1.
n＋1 n
因此S ＋1＝2(S＋1)，
n＋1 n
因为a＝S＝1，S＋1＝2，
1 1 1
所以{S＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．
n
所以S＋1＝2n，S＝2n－1.
n n
当n≥2时，a＝S－S ＝2n－1，a＝1也满足此式，
n n n－1 1
所以a＝2n－1，n∈N*.
n
题型二 相邻项的差为特殊数列(形如a ＝pa＋qa ，其中a＝a，a＝b型)
n＋1 n n－1 1 2
例4 已知在数列{a}中，a＝5，a＝2，a＝2a ＋3a (n≥3)，求这个数列的通项公式．
n 1 2 n n－1 n－2
解 ∵a＝2a ＋3a ，
n n－1 n－2
∴a＋a ＝3(a ＋a )，
n n－1 n－1 n－2
又a＋a＝7，
1 2
∴{a＋a }是首项为7，公比为3的等比数列，
n n－1
则a＋a ＝7×3n－2，①
n n－1
又a－3a ＝－(a －3a )，
n n－1 n－1 n－2
a－3a＝－13，
2 1
∴{a－3a }是首项为－13，公比为－1的等比数列，
n n－1
则a－3a ＝(－13)·(－1)n－2，②
n n－1
①×3＋②得，4a＝7×3n－1＋13·(－1)n－1，
n
∴a＝×3n－1＋(－1)n－1.
n
思维升华 可以化为a －xa ＝x(a －xa )，其中x ，x 是方程x2－px－q＝0的两个根，
n＋1 1 n 2 n 1 n－1 1 2
若1是方程的根，则直接构造数列{a －a }，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，
n n－1
采取消元的方法求数列{a}．
n
跟踪训练2 (1)数列{a}中，a＝8，a＝2，且满足a ＝2a －a(n∈N*)，则数列{a}的通
n 1 4 n＋2 n＋1 n n
项公式为__________．
答案 a＝10－2n(n∈N*)
n
解析 由题意知，a －a ＝a －a，
n＋2 n＋1 n＋1 n
所以{a}为等差数列．
n
设公差为d，由题意得2＝8＋3d⇒d＝－2，
得a＝8－2(n－1)＝10－2n.
n
(2)在数列{a}中，a＝1，a＝3，a ＝3a －2a，则a＝________.
n 1 2 n＋2 n＋1 n n
答案 2n－1
解析 由题意知，a －a ＝2(a －a)，
n＋2 n＋1 n＋1 n∵a－a＝2，∴{a－a }是首项为2，公比为2的等比数列，a－a ＝2n－1(n≥2)，
2 1 n n－1 n n－1
当n≥2时，a＝(a－a )＋(a －a )＋…＋(a－a)＋a
n n n－1 n－1 n－2 2 1 1
＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1
＝＝2n－1.
显然n＝1时满足上式，
∴a＝2n－1.
n
题型三 倒数为特殊数列
例5 (1)已知数列{a}中，a＝1，a ＝，则a＝________.
n 1 n＋1 n
答案
解析 ∵a ＝，a＝1，
n＋1 1
∴a≠0，∴＝＋，
n
即－＝，
又a＝1，则＝1，
1
∴是以1为首项，为公差的等差数列．
∴＝1＋(n－1)×＝＋，
∴a＝(n∈N*)．
n
(2)已知在数列{a}中，a＝2，a ＝(n∈N*)，则a＝________.
n 1 n＋1 n
答案
解析 ∵＝3·＋1，
∴＋＝3，＋＝1，
∴是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴＋＝3n－1，
∴＝3n－1－，
∴a＝(n∈N*)．
n
思维升华 两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为b ＝pb ＋q型，求出的表达式，
n＋1 n
再求a.
n
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝，数列{a}满足a＝1，a ＝f(a)(n∈N*)，则数列{a}的通项
n 1 n＋1 n n
公式为____________．
答案 a＝(n∈N*)
n
解析 由已知得，a ＝，
n＋1
∴＝＋3，即－＝3，
∴数列是首项为＝1，公差为d＝3的等差数列，
∴＝1＋(n－1)×3＝3n－2.
故a＝(n∈N*)．
n(2)已知数列{a}满足a＝1，a ＝，则a＝__________.
n 1 n＋1 n
答案
解析 对递推关系两边取倒数，
得＝＝＋2n.
即－＝2n，
分别用1,2,3，…，n－1替换n，有
－＝2×1，
－＝2×2，
－＝2×3，…，
－＝2(n－1)，
以上n－1个式子相加，
得－＝2[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝n(n－1)，
所以＝n2－n＋1.
所以a＝.
n
课时精练
1．数列{a}满足a＝4a ＋3(n≥2)且a＝0，则此数列第5项是( )
n n n－1 1
A．15 B．255
C．16 D．63
答案 B
解析 ∵a＝4a ＋3(n≥2)，
n n－1
∴a＋1＝4(a ＋1)(n≥2)，
n n－1
∴{a＋1}是以1为首项，4为公比的等比数列，
n
则a＋1＝4n－1.
n
∴a＝4n－1－1，
n
∴a＝44－1＝255.
5
2．(2022·许昌模拟)数列{a}的首项a＝2，且a ＝4a＋6(n∈N*)，令b＝log (a＋2)，则等
n 1 n＋1 n n 2 n
于( )
A．2 020 B．2 021
C．2 022 D．2 023
答案 D
解析 ∵a ＝4a＋6(n∈N*)，
n＋1 n
∴a ＋2＝4a＋6＋2＝4(a＋2)>0，
n＋1 n n
即＝4且a＝2，
1∴数列{a＋2}是以4为首项，4为公比的等比数列，
n
故a＋2＝4n，
n
由b＝log (a＋2)得，
n 2 n
b＝log 4n＝2n，
n 2
设数列{b}的前n项和为S，
n n
则S ＝2(1＋2＋3＋…＋2 021＋2 022)
2 022
＝2 022×2 023，
∴＝＝2 023.
3．(2022·厦门模拟)已知数列{a}满足：a ＝a ＝2，a ＝3a ＋4a (n≥3)，则a ＋a 等于(
n 1 2 n n－1 n－2 9 10
)
A．47 B．48
C．49 D．410
答案 C
解析 由题意得a＋a＝4，
1 2
由a＝3a ＋4a (n≥3)，
n n－1 n－2
得a＋a ＝4(a ＋a )，
n n－1 n－1 n－2
即＝4(n≥3)，
所以数列{a＋a }是首项为4，公比为4的等比数列，
n n＋1
所以a＋a ＝49.
9 10
4．已知数列{a}满足：a＝1，a ＝2a＋2n，n∈N*，则a 等于( )
n 1 n＋1 n 4
A．64 B．56
C．32 D．24
答案 C
解析 由a ＝2a＋2n得－＝，
n＋1 n
而＝，
∴数列是首项为，公差为的等差数列，
∴＝＋(n－1)×＝，
∴a＝n·2n－1，∴a＝4×24－1＝32.
n 4
5．(2022·德州模拟)已知数列{a}满足a ＝1，a ＝(n∈N*)．若b ＝log ，则数列{b}的通项
n 1 n＋1 n 2 n
公式b 等于( )
n
A.n B．n－1
C．n D．2n
答案 C
解析 由a ＝，
n＋1得＝1＋，
所以＋1＝2，
又＋1＝2，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以＋1＝2·2n－1＝2n，
所以b＝log ＝log 2n＝n.
n 2 2
6．已知数列{a}满足3a－2a ＝a (n≥2，n∈N*)，且a＝0，a＝2 022，则a 等于( )
n n n－1 n＋1 1 6 2
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由3a－2a ＝a (n≥2，n∈N*)，
n n－1 n＋1
可得2(a－a )＝a －a，
n n－1 n＋1 n
若a－a ＝0，
n n－1
则a＝a＝…＝a，与题中条件矛盾，
6 5 1
故a－a ≠0，
n n－1
所以＝2，
即数列{a －a}是以a－a 为首项，2为公比的等比数列，
n＋1 n 2 1
所以a －a＝a·2n－1，
n＋1 n 2
所以a－a＝a－a＋a－a＋a－a＋a－a＋a－a＝a·20＋a·21＋a·22＋a·23＋a·24＝31a
6 1 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 2 2 2 2 2 2
＝2 022，
所以a＝.
2
7．(多选)已知数列{a}满足a＝1,4a ＝3a－n＋4，则下列结论正确的是( )
n 1 n＋1 n
A．a＝
3
B．a＝
3
C．{a＋n－8}是等比数列
n
D．{a＋2}不可能是等比数列
n
答案 ACD
解析 ∵a＝1,4a ＝3a－n＋4，
1 n＋1 n
∴a＝，a＝，故A正确，B错误；
2 3
∵4a ＝3a－n＋4，
n＋1 n
∴a ＝a－n＋1，
n＋1 n
∴a ＋(n＋1)－8
n＋1
＝a－n＋1＋(n＋1)－8
n
＝a＋n－6
n＝(a＋n－8)，
n
又∵a＋1－8＝－6，
1
∴数列{a＋n－8}是首项为－6，公比为的等比数列，故C正确；
n
∵a＋2＝3，a＋2＝，a＋2＝，
1 2 3
显然(a＋2)2≠(a＋2)(a＋2)，
2 1 3
∴{a＋2}不可能是等比数列，故D正确．
n
8．(多选)已知数列{a}满足a＝1，a ＝(n∈N*)，则下列结论正确的是( )
n 1 n＋1
A.为等比数列
B．{a}的通项公式为a＝
n n
C．{a}为递增数列
n
D.的前n项和T＝2n＋2－3n－4
n
答案 AD
解析 因为a ＝，
n＋1
所以＝＝＋3，
所以＋3＝2，
且＋3＝4≠0，
所以是以4为首项，2为公比的等比数列，即＋3＝4×2n－1，
所以＝2n＋1－3，
可得a＝，
n
故选项A正确，选项B不正确；
因为＝2n＋1－3单调递增，
所以a＝单调递减，
n
即{a}为递减数列，故选项C不正确；
n
的前n项和T＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n＋1－3)＝(22＋23＋…＋2n＋1)－3n
n
＝22×－3n＝2n＋2－3n－4.
故选项D正确．
9．已知数列{a}中，a＝1，a ＝3a＋3n，则a＝________.
n 1 n＋1 n 5
答案 405
解析 ∵a ＝3a＋3n，
n＋1 n
∴－＝，
∴数列是等差数列，公差为，
又＝，
∴＝＋(n－1)×＝，
∴a＝n·3n－1，a＝5×34＝405.
n 510．已知数列{a}满足a＝，a ＝，若c＝，则c＝____________.
n 1 n＋1 n n
答案 (n＋1)3n－1
解析 因为a＝，a ＝，
1 n＋1
所以＝＝＋，
即－＝，
所以数列是首项为＝，公差为的等差数列，
所以＝＋(n－1)＝，
则c＝＝(n＋1)3n－1.
n
11．已知首项为1的数列{a}各项均为正数，且na－(n＋1)a＝aa ，则a＝________.
n n n＋1 n
答案 n
解析 因为na－(n＋1)a＝aa ，
n n＋1
所以n(a ＋a)(a －a)＝a(a ＋a)，
n＋1 n n＋1 n n n＋1 n
因为数列{a}各项均为正数，
n
所以a ＋a>0，
n＋1 n
所以n(a －a)＝a，
n＋1 n n
所以＝，
所以为常数列，
由a＝1，所以＝＝1，
1
所以a＝n.
n
12．已知数列{a}满足递推公式a ＝2a ＋1，a ＝1.设S 为数列{a}的前n项和，则a ＝
n n＋1 n 1 n n n
______，的最小值是________．
答案 2n－1
解析 因为a ＝2a＋1，
n＋1 n
所以a ＋1＝2(a＋1)，
n＋1 n
所以数列{a＋1}是首项为a＋1＝2，公比为2的等比数列，
n 1
所以a＋1＝2n，所以a＝2n－1；
n n
所以S＝2＋22＋23＋…＋2n－n＝－n＝2n＋1－2－n，
n
所以＝
＝2n＋－2，
由对勾函数的性质可得，
当n＝1时，21＝2,21＋－2＝2＋－2＝；
当n≥2时，2n≥4，
所以y＝2n＋－2单调递增，
当n＝2时，22＋－2＝4＋－2＝<，所以的最小值是.
