曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
第七章 数列
7.1 等差数列
三年模拟
一、选择题
1.(2022太原一模,3)设S 为等差数列{a }的前n项和,若a =2,a +a =10,则S =( )
n n 1 3 5 6
A.26 B.27 C.28 D.29
答案 B 设等差数列a 的公差为d.因为a =2,a +a =10,所以a +2d+a +4d=10,解得d=1,
n 1 3 5 1 1
6×(6-1)
所以S =6a + ×d=27,故选B.
6 1
2
2.(2022银川一模,6)设S 是等差数列{a }的前n项和,若S -S =12,则S =( )
n n 50 47 97
A.198 B.388 C.776 D.2 021
97(a +a )
答案 B 由S -S =12得a +a +a =3a =12,即a =4,所以S = 1 97 =97a =388.
50 47 48 49 50 49 49 97 49
2
故选B.
S S
3.(2022太原二模,6)等差数列{a }的前n项和为S ,若 12- 10=-2,则公差d=( )
n n
12 10
A.1 B.2
C.-1 D.-2
答案 D S =na +
n 1
n(n-1) S (n-1)d S S d {S } d S S d
d,所以 n=a1+ ,所以 n+1 - n= ,所以数列 n 是首项为a1,公差为 的等差数列,所以 12- 10=2×
2 n 2 n+1 n 2 n 2 12 10 2
=-2,所以d=-2.故选D.
4.(2022安徽滁州二模,5)已知{a }是公差不为零的等差数列,若
n
a
3
+a
m
=a
4
+a
k
,a
1
+a
5
=2a
k
,m,k∈N*,则m+k=( )
A.7 B.8 C.9 D.10
答案 A 由等差数列的性质得,3+m=4+k,1+5=2k,所以k=3,m=4,故m+k=7,故选A.
5.(2022陕西咸阳一模,8)设S 是等差数列{a }的前n项和,若 S 1 S 等于( )
n n 4= ,则 8
S 3 S
8 16
3 1
A. B.
10 3
1 1
C. D.
9 8
答案 A 根据等差数列的性质得S ,S -S ,S -S ,S -S 成等差数列.∵
4 8 4 12 8 16 12
S 1 S 3
4= ,∴数列S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12是以S4为首项,S4为公差的等差数列,则S8=3S4,S16=10S4,∴ 8 =
S 3 S 10
8 16
故选A.
解题关键 若数列{a }为等差数列,则S ,S -S ,S -S ,S -S 也成等差数列,根据等差数列
n 4 8 4 12 8 16 12
的性质,判断数列S ,S 与S 的关系,是解答本题的关键.
8 16 4
第 1 页 共 10
页曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
6.(2022安徽江淮十校三模,11)已知等差数列{a }的首项a =1,且2a =a +9,正项等比数列
n 1 4 3
1
{b }的首项b = ,且32b2=b ,若数列{a }的前n项和为S ,则数列{b S }的最大项的值为(
n 1 2 4 3 n n n n
)
8 9
A. B.1C. D.2
9 8
答案 C 设等差数列{a }的公差为d,由2a =a +9,得2(a +3d)=a +2d+9,即
n 4 3 1 1
n(n-1)
2(1+3d)=1+2d+9,故d=2,则a =a +(n-1)d=2n-1,S =na + ·d=n2.
n 1 n 1
2
设正项等比数列{b }的公比为q(q>0),由32 =b ,得32(b q3)2=b q2,所以32
n b2 3 1 1
4
(1 ×q3) 2
=
1
q2,解得q=
1
,则bn=b1qn-1=
1 .
2 2 2 2n
则b
n
S
n
=n2
,设cn=
n2
,则
c
n+1=
(n+1)2 .
2n 2n c 2n2
n
当0<n≤2时,c
n+1
>1,即c
1
<c
2
<c
3
;
c
n
当n≥3时,c
n+1<1,即c3>c4>c5>…,所以最大项为c3=b3S3=
32
=
9.
c 23 8
n
故选C.
7.(2022房山二模,9)已知数列{a }是公差为d的等差数列,且各项均为正整数,如果
n
a =3,a =45,那么n+d的最小值为( )
1 n
A.13 B.14 C.17 D.18
答案 B 在等差数列{a }中,a =3,a =45,∴3+d(n-1)=45,即
n 1 n
d(n-1)=42=1×42=2×21=3×14=6×7=7×6=14×3=21×2=42×1,故d=1,n=43或d=2,n=22或
d=3,n=15或d=6,n=8或d=7,n=7或d=14,n=4或d=21,n=3或d=42,n=2,所以n+d的最小值
为14.
8.(2022通州期中,7)已知等差数列{a }的前n项和为S ,若S =9,S =63,则a +a +a 等于(
n n 3 6 7 8 9
)
A.63 B.71 C.99 D.117
答案 C 由等差数列{a }的前n项和性质,得S ,S -S ,S -S 也成等差数列,即2(S -
n 3 6 3 9 6 6
S )=S +S -S ,因为S =9,S =63,所以S =162,因此a +a +a =S -S =162-63=99.故选C.
3 3 9 6 3 6 9 7 8 9 9 6
9.(2022西安四模,6)等差数列{a }的公差为2,前n项和为S ,若a =5,则S 的最大值为(
n n m m
)
A.3 B.6 C.9 D.12
m(m-1)
答案 C ∵公差d=2,a =5,∴a +2(m-1)=5,∴a =7-2m,∴S =ma + ×2=m(7-2m)
m 1 1 m 1
2
+m(m-1)=-m2+6m=-(m-3)2+9.
∴当m=3时,S 的最大值为9,故选C.
m
10.(2022河南平顶山月考,4)在等差数列{a }中,a +a =10,a +a =14,则S =( )
n 3 7 8 10 13
第 2 页 共 10
页曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
A.60 B.64 C.78 D.84
答案 C ∵a +a =2a =10,∴a =5.
3 7 5 5
又a +a =2a =14,∴a =7,
8 10 9 9
13(a +a ) 13(a +a )
∴S = 1 13 = 5 9 =78.故选C.
13
2 2
11.(多选)(2022石家庄二中开学考试,11)设数列{a }是等差数列,S 是其前n项和,a >0且
n n 1
S =S ,则( )
6 9
A.d>0
B.a =0
8
C.S 或S 为S 的最大值
7 8 n
D.S >S
5 6
6×5 9×8
答案 BC ∵a 1 >0且S 6 =S 9 ,∴6a 1 + d=9a1+ d,化简得a 1 +7d=0,可得
2 2
a
8
=0,d<0.∴S
7
或S
8
为S
n
的最大值,S
5
<S
6
.故选BC.
12.(多选)(2022江苏苏州调研,10)设S 是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a }的前n项和,
n n
则下列命题正确的是( )
A.若d<0,则数列{S }有最大值
n
B.若数列{S }有最大项,则d<0
n
C.若对任意的n∈N*,S
n+1
>S
n
恒成立,则S
n
>0
D.若对任意的n∈N*,均有S
n
>0,则S
n+1
>S
n
恒成立
答案 ABD 对于选项A,B,显然S n 对应的二次函数有最大值时d<0,且若d<0,则{S n }有
最大项,故选项A,B正确;对于选项C,令S =n2-2n,则数列{S }递增,但S =-1<0,故选项C错
n n 1
误;对于选项D,若对任意的n∈N*,均有S
n
>0,则a
1
>0,d>0,故{S
n
}必为递增数列,即S
n+1
>S
n
恒
成立,故选项D正确.故选ABD.
二、填空题
1
13.(2022太原模拟,15)已知正项数列{a }中,a =1,a =2,2a2=a2 +a2 (n≥2),b = ,数
n 1 2 n n-1 n+1 n a +a
n n+1
列{b }的前n项和为S ,则S 的值是 .
n n 33
答案 3
解析 因为2 a2= a2 + a2 (n≥2),所以数列{ a2}是首项为1,公差为22-1=3的等差数列,所
n n-1 n+1 n
以
1 1 1 1 1
a2=1+3(n-1)=3n-2,所以an=√3n-2.所以bn= = = (√3n+1-√3n-2),所以数列{bn}的前n项和Sn= [(√4-1)+(√7-√4)+…+(√3n+1-√3n-2)]= (√3n+1
n a +a √3n-2+√3n+1 3 3 3
n n+1
-1),
1
则S = ×(10-1)=3.
33
3
14.(2022陕西质检,16)已知等差数列{a }的前n项和为S ,若S <0,S >0,则 a 的取值范围
n n 7 8 5
a
4
是 .
答案 (-∞,-1)
第 3 页 共 10
页曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
解析 等差数列{a }中,S =
n 7
7(a +a ) 7×2a 8(a +a ) a
1 7 = 4=7a4<0,则a4<0,又S8= 1 8 =4(a4+a5)>0,则a4+a5>0,即a5>-a4,所以 5
2 2 2 a
4
<-1.
15.(2022延庆二模,14)已知向量序列:a ,a ,a ,…,a ,…和向量d满足:|a |=2,|d|=1,a ·d=-1.定
1 2 3 n 1 1
义a -a =d(n=2,3,4,…),则|a |的最小值为 .
n n-1 n
答案 √3
解析 由a -a =d(n=2,3,4,…),可得数列{a }为等差数列,则a =a +(n-1)d,则|a |=
n n-1 n n 1 n
√[a +(n-1)d]2=√|a |2+(n-1)2·|d|2+2a ·(n-1)d=√4+(n-1)2-2(n-1)=√(n-2)2+3
1 1 1
≥√3.当且仅当n=2时等号成立,故|an|的最小值为√3.
16.(2022河南洛阳模拟,15)已知x>0,y>0,a,x,y,b成等差数列,c,x,y,d成等比数列,则
(a+b)2
的最小值是 .
cd
答案 4
(a+b)2 (x+ y)2 x2+2xy+ y2 x2+ y2
解析 由题意得a+b=x+y,cd=xy,从而 = = =2+ ,
cd xy xy xy
(a+b)2 x2+ y2 2xy
因为x>0,y>0,所以由基本不等式得 =2+ ≥2+ =4,当且仅当x=y时取
cd xy xy
等号.
三、解答题
1 1
17.(2022天津五十七中线上测试,19)在数列{a }中,a =1,a =1-
,bn=
,其中
n 1 n+1 4a 2a -1
n n
n∈N*.
(1)证明数列{b }是等差数列,并写出证明过程;
n
2b
(2)设c
n
=
n
,数列{c
n
}的前n项和为T
n
,求T
n
;
2b
n
-1
(3)已知当n∈N*且n≥6时,(
1-
m ) n <(1) m ,其中m=1,2,…,n,求满足等式3n+4n+…+
n+3 2
(n+2)n=(b
n
+3)b n的所有n的值之和.
1 1 1 1
- = -
解析 (1)证明:b n+1 -b n = 2a n+1 -1 2a n -1 2 ( 1- 1 ) -1 2a n -1 =1,∴数列{b n }是公
4a
n
差为1的等差数列.
1 1
(2)∵b = = =1,∴b =1+(n-1)×1=n.
1 2a -1 2-1 n
1
∴c
n
=2b
n
=2n×(1) n-1 ,
2b
n
-1 2
第 4 页 共 10
页曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
∴T =2[ (1) 0 (1) 1 (1) 2 (1) n-1],
n 1× +2× +3× +…+n×
2 2 2 2
1 [ (1) 1 (1) 2 (1) 3 (1) n],
Tn=2 1× +2× +3× +…+n×
2 2 2 2 2
两式相减得1 [ (1) 0 (1) 1 (1) 2 (1) n-1]-2n×(1) n ,
Tn=2 + + +…+
2 2 2 2 2 2
(1) n
1-
2 (1) n 1
故T =4× -4n× =8-(8+4n)× .
n 1 2 2n
1-
2
(3)由(2)得等式3n+4n+…+(n+2)n=(b
n
+3)b n可化为3n+4n+…+(n+2)n=(n+3)n,
即( 3 ) n +( 4 ) n +…+(n+2) n =1,
n+3 n+3 n+3
∴( n ) n +( n-1) n +…+( 1 ) n =1.
1- 1- 1-
n+3 n+3 n+3
∵当n∈N*且n≥6时,(
1-
m ) n <(1) m ,其中m=1,2,…,n,
n+3 2
∴( 1 ) n <(1) 1 ,( 2 ) n <(1) 2 ,……,
1- 1-
n+3 2 n+3 2
( n ) n<(1) n,
1-
n+3 2
∴( n ) n +( n-1) n +…+( 1 ) n <(1) 1 +(1) 2 +…+(1) n =1-(1) n <1,
1- 1- 1-
n+3 n+3 n+3 2 2 2 2
∴当n≥6时,3n+4n+…+(n+2)n<(n+3)n.
当n=1,2,3,4,5时,经验算,n=2,3时等式成立.
∴满足等式3n+4n+…+(n+2)n=(b
n
+3)b n的所有n的值为2,3,其和为5.
思路分析 (1)根据等差数列的定义进行证明;
(2)根据b
n
可得c
n
=2n×(1) n-1 ,然后利用错位相减法进行求和;
2
(3)先把条件3n+4n+…+(n+2)n=(b n +3 )b
n
转化为( 1- n ) n +( 1- n-1) n +…+( 1- 1 ) n =1,
n+3 n+3 n+3
结合题意及等比数列求和得出n≥6时无解,验证前5项可得所有满足题意的n值,进而得
到结果.
第 5 页 共 10
页曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
18.(2022天津南开中学二模,18)已知数列{a }的奇数项是首项为1的等差数列,偶数项是
n
首项为2的等比数列.数列{a }的前n项和为S ,且满足S =a ,a +a =2+a .
n n 3 4 3 5 4
(1)求数列{a }的通项公式;
n
(2)求数列{a }的前2k项和S ;
n 2k
(3)在数列{a }中,是否存在连续的三项a ,a ,a ,按原来的顺序成等差数列?若存在,求出
n m m+1 m+2
所有满足条件的正整数m的值;若不存在,说明理由.
解析 (1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,则a =1,a =2,a =1+d,a =2q,a =1+2d.
1 2 3 4 5
∵S =a ,∴1+2+(1+d)=2q,即4+d=2q①,
3 4
又a +a =2+a ,∴1+d+1+2d=2+2q,即3d=2q②,
3 5 4
由①②解得d=2,q=3.
{
n,n=2k-1,
∴对于k∈N*,有a
2k-1
=1+(k-1)·2=2k-1,a
2k
=2·3k-1,故a
n
=
n -1
k∈N*.
2·32 ,n=2k,
(2)S =(a +a +…+a )+(a +a +…+a )=[1+3+…+(2k-1)]+2(1+3+32+…+3k-1)=
2k 1 3 2k-1 2 4 2k
(1+2k-1)k 2(1-3k)
+ =k2-1+3k.
2 1-3
(3)在数列{a }中,仅存在连续的三项a ,a ,a ,按原来的顺序成等差数列,此时正整数m的值
n 1 2 3
为1,下面说明理由.
若a
m
=a
2k
(k∈N*),则由a
m
+a
m+2
=2a
m+1
,得2×3k-1+2×3k=2(2k+1),化简得4·3k-1=2k+1,此式左边为
偶数,右边为奇数,不可能成立.
若a
m
=a
2k-1
(k∈N*),则由a
m
+a
m+2
=2a
m+1
,得(2k-1)+(2k+1)=2×2×3k-1,化简得k=3k-1,
k k+1 k 1-2k
令T
k
=
3k-1
(k∈N*),则T
k+1
-T
k
=
3k
-
3k-1
=
3k
<0.
因此,1=T >T >T >…,故只有T =1,
1 2 3 1
此时,k=1,m=2×1-1=1.
综上,在数列{a }中,仅存在连续的三项a ,a ,a ,按原来的顺序成等差数列,此时正整数m的
n 1 2 3
值为1.
19.(2022天津十二区县重点学校二模,19)已知数列{a }是等差数列,其前n项和为
n
A
n
,a
7
=15,A
7
=63;数列{b
n
}的前n项和为B
n
,2B
n
=3b
n
-3(n∈N*).
(1)求数列{a },{b }的通项公式;
n n
(2)求数列{ 1 }的前n项和S ;
n
A
n
(3)求证: n a <2.
∑ k
B
k=1
k
解析 (1)数列{a }是等差数列,设公差为d,
n
{ a =a +6d=15,
则 7 1 {a +6d=15,
7×(7-1)d 化简得 1
A =7a + =63, a +3d=9,
7 1 2 1
解得a
1
=3,d=2,∴a
n
=2n+1,n∈N*.
∵2B =3b -3,
n n
∴当n=1时,2B =3b -3,解得b =3.
1 1 1
第 6 页 共 10
页曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
当n≥2时,2B =3b -3,
n-1 n-1
∴2B
n
-2B
n-1
=(3b
n
-3)-(3b
n-1
-3)=3b
n
-3b
n-1
,n∈N*,
整理得b
n
=3b
n-1
,∴数列{b
n
}是首项为3,公比为3的等比数列,∴b
n
=3n,n∈N*.
n(a +a ) n(3+2n+1)
(2)由(1)可得A
n
= 1 n = =n(n+2),n∈N*,∴
2 2
1 1 1(1 1 ).
= = -
A n(n+2) 2 n n+2
n
∴S =
n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( 1 1 1 ) 3 1( 1 1 ) 3 2n+3
+ + +…+ + + = 1- + - + - +…+ - + - + - = 1+ - - = - + = -
1×3 2×4 3×5 (n-2)n (n-1)(n+1) n(n+2) 2 3 2 4 3 5 n-2 n n-1 n+1 n n+2 2 2 n+1 n+2 4 2 n+1 n+2 4 2(n+1)(n+2)
.
3 1( 1 1 ) 3 2n+3
结果是 - + 或 - 都给分
4 2 n+1 n+2 4 2(n+1)(n+2)
3(1-3n) 3(3n-1)
(3)证明:由(1)可得B
n
=
1-3
=
2
,n∈N*,
a 2n+1 2 2n+1
可得 n = = × .
B 3(3n-1) 3 3n-1
n
2
证法一:∵3n-1=3×3n-1-1=2×3n-1+3n-1-1≥2×3n-1,
∴a
n =
2
×
2n+1
≤
2
×
2n+1
=
2n+1.
B 3 3n-1 3 2×3n-1 3n
n
3 5 2n-1 2n+1
令T = + +…+ + ,
n 3 32 3n-1 3n
1 3 5 2n-1 2n+1
则 Tn= + +…+ + ,
3 32 33 3n 3n+1
两式相减可得 2 Tn=1+2× ( 1 + 1 +…+ 1 ) - 2n+1
3 32 33 3n 3n+1
1 ( 1 )
× 1-
=1+2×9 3n-1 2n+1 (1 1 ) 2n+1 4 2n+4,
- =1+3× - - = -
1 3n+1 9 3n+1 3n+1 3 3n+1
1-
3
n+2
∴T =2- ,
n 3n
∴ ∑ n a k = 2 × (2+1 + 4+1 + 6+1 +…+ 2n+1)≤2- n+2 <2.
k=1
B
k
3 3-1 32-1 33-1 3n-1 3n
第 7 页 共 10
页曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
证法二:当n≥2时,3n-1=(1+2)n-1=
C0
+
C1
×2+…+
Cn
×2n-1≥
C0
+
C1
×2+
C2
×22-1>2n+1,
n n n n n n
b b+m 2n+1 2(n+1)
根据“若a>b>0,m>0,则 < ”,可得 < ,
a a+m 3n-1 3n
n a 2 2+1 4+1 6+1 2n+1 2 3 2×3 2×(n+1)
∴∑ k = × + + +…+ ≤ × + +…+ ,
k=1
B
k
3 3-1 32-1 33-1 3n-1 3 2 32 3n
2×3 2×4 2×(n+1)
令T= + +…+ ,
32 33 3n
1 2×3 2×4 2×n 2×(n+1)
则 T= + +…+ + ,
3 33 34 3n 3n+1
两式相减可得
2 ( 1 )
1-
2 2 2×1 2×1 2×1 2×(n+1) 2 33 3n-2 2×(n+1) 7 1 2×(n+1) 7 2n+5
T= + + +…+ - = + - = - - = -
3 3 33 34 3n 3n+1 3 1 3n+1 9 3n 3n+1 9 3n+1
1-
3
7 2n+5 7
∴T= - ,∴T< ,
6 2×3n 6
∴
∑
n a
k =
2
×
2+1
+
4+1
+
6+1
+…+
2n+1
<
2
×
(3
+
7)
=
2
×
8<2.
k=1
B
k
3 3-1 32-1 33-1 3n-1 3 2 6 3 3
证法三:令c
n
=2n+1
,下面用分析法证明“
c
n+1<
1”.
3n-1 c 2
n
要证 c n+1< 1 ,即证 (2n+3)(3n-1) < 1,
c 2 (3n+1-1)(2n+1) 2
n
即证(4n+6)(3n-1)<(2n+1)(3n+1-1),
即证-2n-5<(2n-3)3n①.
当n∈N*时,①式显然成立,∴c
n+1<
1,
c 2
n
∴ ∑ n a k = 2 ×(c1+c2+…+cn)= 2 × (3 + 5 +…+ 2n+1)≤ 2 × 3 + 3 × 1 +…+ 3×
k=1 B
k
3 3 2 8 3n-1 3 2 2 2 2
1
( 1- )
(1) n-1 2 3 2n 2 ( 1 )<2.
= × × = ×3× 1-
2 3 2 1 3 2n
1-
2
20.(2022南开中学学情调查四,18)设{a }是等差数列,{b }是等比数列,公比大于0,其前n
n n
项和为S
n
(n∈N*).已知b
1
=1,b
3
=b
2
+2,b
4
=a
3
+a
5
,b
5
=a
4
+2a
6
.
(1)求{a }和{b }的通项公式;
n n
第 8 页 共 10
页曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
3+T 3+T
(2)设数列{(-1)a n}的前n项和为Tn.记cn= 2n-1b2n-1+ 2nb ,求c ;
2n n
2 2
(3)求 n a
∑ i .
c
i=1 n+1-i
解析 (1)设等差数列{a }的公差为d,等比数列{b }的公比为q(q>0).
n n
因为b =1,b =b +2,所以q2=q+2,解得q=2(舍负),
1 3 2
所以b =2n-1.
n
因为b =a +a ,b =a +2a ,所以2a +6d=8,3a +13d=16,解得a =d=1,所以a =n.
4 3 5 5 4 6 1 1 1 n
(2)由(1)知(-1)a n=(-1)n,所以T
2n
=0,T
2n-1
=-1.
3+T 3+T 3
所以c = 2n-1b2n-1+ 2nb2n=b2n-1+ b =4n.
n 2n
2 2 2
(3)由(1)和(2)知 a i ,
i =
c 4n+1-i
n+1-i
记P = n a
n ∑ i ,
c
i=1 n+1-i
1 2 3 n-1 n
P = + + +…+ + ①,
n 4n 4n-1 4n-2 42 4
1 2 3 n-1 n
4P = + + +…+ + ②,
n 4n-1 4n-2 4n-3 41 40
1( 1 )
1-
①-②得,-3P n = 1 + 1 + 1 +…+ 1 + 1 -n= 4 4n -n= 1( 1- 1 ) -n,
4n 4n-1 4n-2 42 4 1 3 4n
1-
4
3n-1 1
所以P = + .
n 9 9·4n
1
21.(2022成都模拟,18)已知数列{a }中,a = ,a +a =2n.
n 1 n+1 n
2
(1)求证:{a }为等差数列;
n
(2)设b
n
=2a n-2a
2n
,T
n
为数列{b
n
}的前n项和,求T
n
的最小值.
解析 (1)证明:由a +a =2n,得a +a =2(n-1)(n≥2),所以a -a =2(n≥2),即数列{a }的奇数
n+1 n n n-1 n+1 n-1 n
项和偶数项均是公差为2的等差数列.
1 3
由a = ,a2+a1=2,得a2= ,
1
2 2
1 3 1
所以a = +(n-1)×2=2n- =2n-1- ,
2n-1
2 2 2
3 1 1
a = +(n-1)×2=2n- ,所以an=n- ,
2n
2 2 2
所以a n+1 -a n =(n+1)-1 - ( n- 1)=1,
2 2
第 9 页 共 10
页曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
1
所以{a }是首项为 ,公差为1的等差数列.
n
2
(2)b
n
=
2a n
-2a
2n
=
2
n- 1
2-(4n-1)=
√2×2n-(4n-1).
2
√2 2(1-2n) n(3+4n-1)
所以T = × - =√2(2n-1)-n(2n+1),
n 2 1-2 2
所以T
n+1
-T
n
=√2(2n+1-1)-(n+1)(2n+3)-√2(2n-1)+n(2n+1)=
2
n+ 1
2
-(4n+3).当n≤3
时,T -T <0;
n+1 n
当n≥4时,令c = n+ 1-(4n+3),
n 2 2
则c -c = n+ 3-(4n+7)- n+ 1+4n+3= n+ 1-4,
n+1 n 2 2 2 2 2 2
易知数列{ n+ 1-4}是递增数列,则 n+ 1-4≥ 4+ 1-4>0,
2 2 2 2 2 2
所以c >c ,故c ≥c = 9-19>0,所以T -T >0.
n+1 n n 4 22 n+1 n
所以T >T >T >T <T <T <…,
1 2 3 4 5 6
所以(T ) =T =15√2-36.
n min 4
第 10 页 共 10
页
