专题7.5数列的综合应用2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题 7.5 数列的综合应用 练基础 1．（2021·浙江高三专题练习）已知正项等差数列 和正项等比数列 }， ， 是 ， 的等差中项， 是 ， 的等比中项，则下列关系成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 设等差数列公差为d，等比数列公比为q，由题意可得： ，进而可得结果. 【详解】 设等差数列公差为d，等比数列公比为q， 由题意可得： A. ,故A不正确； B. ，故B正确； C. ，故C不正确； D. ，故D不正确. 故选：B 2．（2021·江西赣州市·高三二模（理））朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国 乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形 的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆 放的层数可以是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】 把各层的铅笔数看出等差数列，利用求和公式得到 ，由n为264 的因数，且 为偶数，把四个选项一一代入验证即可. 【详解】 设最上面一层放 根，一共放n（n≥2）层，则最下一层放 根， 由等差数列前n项和公式得： ， ∴ ， ∵ ,∴n为264 的因数，且 为偶数， 把各个选项分别代入，验证，可得：n=8满足题意. 故选：D 3.【多选题】（2020·湖南高三月考）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫 免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不 应求，据测算每月获得的利润是该月月初投人资金的 ，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元， 余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第 月月底小王手中有现款为 ，则下列论述正确的有（ ）(参考数据： )A． B． C．2020年小王的年利润为40000元 D．两年后，小王手中现款达41万 【答案】BCD 【解析】 由题可知， 月月底小王手中有现款为 ， 月月底小王手中有现款为 之间的递推关系为 ， ，进而根据递推关系求出通项公式即可得答案. 【详解】 对于A选项， 元，故A错误 对于B选项，第 月月底小王手中有现款为 ，则第 月月底小王手中有现款为 ，由题意 故B正确； 对于C选项，由 得 所以数列 是首项为 公比为1.2的等比数列， 所以 ，即 所以2020年小王的年利润为 元，故C正确； 对于D选项，两年后，小王手中现款为 元，即41万，故D正确. 故选： BCD.4．（2021·江西高三其他模拟（理））已知公差不为0的等差数列 的部分项 ， ， ，……构 成等比数列 ，且 ， ， ，则 ___________. 【答案】 【解析】 设等差数列 的公差为 ，则 ，由等比数列的性质列式求得 ．然后再由等差数列与等比 数列的通项公式列式求得 ． 【详解】 解：设等差数列 的公差为 ，则 ， 由已知 ， 即 ，得 ， 于是，在等比数列 中， 公比 ． 由 为数列 的第 项，知 ； 由 为数列 的第 项，知 ， ， 故 .故答案为 ． 5．（2021·西安市经开第一中学高三其他模拟（理））数列 满足： ，点 在函数 的图像上，其中 为常数，且 （1）若 成等比数列，求 的值； （2）当 时，求数列 的前 项的和 . 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）首先由条件，列式表示为 ， ， ，再根据数列是等比数列求 的值； （2）由条件，归纳可知 ，再求数列 的前 项的和 . 【详解】 解：（1）由 可得 ， ， ， 所以 ， ， . 又 ， ， 成等比数列，所以 ，则 ， 又 ，故 . （2） 时， ，∴ ， ，…， ， . 6.（2021·江苏高考真题）已知数列 满足 ，且 . （1）求证：数列 为等比数列；（2）求数列 的通项公式； （3）求数列 的前 项和 . 【答案】（1）见解析；（2） ；（3） 【解析】 （1）计算得到 ，得到答案. （2） ，得到数列通项公式. （3）根据分组求和法计算得到答案. 【详解】 （1）由 ，得 ，∴ ，又 ， ∴ 是首项为3，公比为3的等比数列. （2） ，∴ . （3） . 7．（2021·全国高三其他模拟（理））已知在等差数列 中， 为其前 项和，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）若 数列 的前 项和为 且 求 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） ， . 【解析】 （1）由条件求得公差，写出通项公式； （2）求出 通项公式，利用分组求和求得 ，且单增，找到符合 的最小n值即可.【详解】 （1）由等差数列性质知， ，则 ， 故公差 ， 故 （2）由（1）知 ， 易知 单调递增，且 ， ， 故 ，解得 ， . 8．（2021·太原市·山西大附中高三其他模拟）在数列 中， .等差数列 的前两项依次为 ， . （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前n项和 . 【答案】（1）c=8n-10；（2）S=(4n-9)×2n+2+36. n n 【解析】 （1）根据递推公式计算 ， ，利用等差数列公式计算得到答案. （2）将题目中两式相加得到 ，故 是首项为2，公比为2的等比数列，计 算得到通项公式，再利用错位相减法计算得到答案. 【详解】解（1）∵a=b=1，∴ ， 1 1 则数列{c}的公差d=6-(-2)=8. n ∴数列{c}的通项公式为c=-2+8(n-1)=8n-10. n n （2）a =3a-b-3n-1，① n+1 n n b =3b-a+3n+1，② n+1 n n ①+②，得a +b =2(a+b). n+1 n+1 n n ∵a+b=2，∴数列{a+b}是首项为2，公比为2的等比数列， 1 1 n n ∴a+b=2n. n n ∴S=-2×2+6×22+…+(8n-10)×2n， n 则2S=-2×22+6×23+…+(8n-10)×2n+1， n ∴S-2S=-4+8(22+23+…+2n)-(8n-10)×2n+1， n n 即-S=-4+8(2n+1-4)-(8n-10)×2n+1=(18-8n)×2n+1-36， n ∴S=(4n-9)×2n+2+36. n 9．（2021·重庆高三三模）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ． （1）求数列 的通项公式： （2）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： ． 【答案】（1） ；（2）证明见解析． 【解析】 （1）利用 ，求得数列 的通项公式. （2）求得数列 的通项公式，进而利用裂项求和法求得 ，结合数列的单调性证得 . 【详解】 （1）解： ，令 ，解得 时， 两式相减，得数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ； （2）证明 单调递增，所以1 即 10．（2021·沂水县第一中学高三其他模拟）在数列 中， ，且 成 等比数列． （1）证明数列 是等差数列，并求 的通项公式； （2）设数列 满足 ，其前 项和为 ，证明： ． 【答案】（1）证明见解析； ；（2）证明见解析． 【解析】 （1）利用已知条件推出数列 是等差数列，其公差为 ，首项为1，求出通项公式，结合由 ， ， 成等比数列，转化求解即可．（2）化简通项公式，利用裂项消项法，求解数列的和即可． 【详解】 证明：（1）由 ，得 ，即 ， 所以数列 是等差数列，其公差为 ，首项为1，因此， ， ， 由 成等比数列，得 ，即 ， 解得 或 （舍去），故 ． （2）因为 ， 所以 因为 ，所以 ． 练提升 TIDHNE 1．（2021·河南郑州市·高三三模（文））1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多 长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建 立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何．分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明 它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图 1，线段AB的长度为1，在线段AB上取两个点C，D，使得 ，以CD为一边在线段AB 的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC、ED作相同的操作， 得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形： 记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为 ，对任意的正整数n，都有 ，则a的最小值为__________． 【答案】2． 【解析】 根据图形之间的关系可得 的递推关系，从而可求 的通项公式，故可求a的最小值. 【详解】 设第 个图形中新出现的等边三角形的边长为 ，则当 时， ， 设第 个图形中新增加的等边三角形的个数为 ，则当 时， ， 故 ，其中 ， 由累加法可得 ， 时， 也符合该式，故 ， 故 对任意的 恒成立，故 即a的最小值为2. 故答案为：2. 2．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高三月考）已知数列 是公差不为0的等差数列，其前 项和为 ， 满足 ，且 ， ， 成等比数列． （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，数列 的前 项和为 ，实数 使得 对任意 恒成立，求 的 取值范围.【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）先利用已知条件求出公差d，再利用 求通项公式即可； （2）先计算 通项公式，利用裂项相消法求 ，代入化简数列不等式为 对任意 恒 成立，再求 最小值即得结果. 【详解】 解：（1）设数列 的公差为 ， 因为 是等差数列，所以 ，故 ， 又 ， ， 成等比数列，所以 ，故 ， 将 代入得 ，即 ， 又知 ，故 ，所以 ； （2）由（1）知， ，故 ， 所以 ，即 ， 故 ，即 对任意 恒成立， 而 在 上单调递增， 故 在 时单调递增， ， 所以 ，故 的取值范围为 .3．（2021·全国高三其他模拟）有下列三个条件：①数列 是公比为 的等比数列，② 是公 差为1的等差数列，③ ，在这三个条件中任选一个，补充在题中“___________”处，使问题 完整，并加以解答. 设数列 的前 项和为 ， ，对任意的 ，都有___________.已知数列 满足 ， 是否存在 ，使得对任意的 ，都有 ？若存在，试求出 的值；若不存在，请说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析 【解析】 根据等差､等比数列的通项公式以及数列单调性来找到数列的最大项，题干中有3个条件，选取一个进行分 析即可. 【详解】 记 ，从而有 ( ). 选择①，数列 是公比为 的等比数列， 因为 ，所以 ，即 . 所以 ，所以 . 由 ，当 时， ，当 时， ， 所以当 或2时， 取得最大值，即 取得最大值.所以存在 ，2，使得对任意的 ，都有 . 选择②，方法一： 是公差为1的等差数列， 因为 ，所以 ， 当 时， ， 则 ， 当 时，上式成立， 所以 . 所以 ，从而 . 由 ， 所以当 时， ；当 时， ， 所以当 时， 取得最大值，即 取得最大值. 所以存在 ，使得对任意的 ，都有 . 方法二：利用“夹逼法”，即利用 来求解. ， 由 ( )，得 ，解得 .选择③，方法一： ， 则 ， 从而 ， 即 . 又 ，所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列， 所以 . 所以 ，从而 ，即 ， 所以数列 为单调递增数列， 故不存在 ，使得对任意的 ，都有 . 方法二：利用 求解. ， ， 则 ， 因为 ，所以不存在 ，使得对任意的 ，都有 . 4.（2021·四川自贡市·高三三模（文））已知数列{a}的前n项和为S， ，数列{b}是等差数列， n n n 且b＝a，b＝a． 1 1 6 5（1）求数列 和 的通项公式； （2）若 ，记数列{c}的前n项和为T，证明：3T＜1． n n n 【答案】（1） ； ；（2）证明见解析． 【解析】 （1）首先利用 时， 求得 ，进而得到数列 为公比为2的等比数列，最后 根据首项和公比写出通项公式即可，再根据b＝a，b＝a 1 1 6 5 求得 的公差，再写出 的通项公式.（2）根据裂项相消求和，最后证明不等式即可. 【详解】 解：（1）由 ， 可得n＝1时， ， 解得 ， n≥2时， ，又 ， 两式相减可得 ， 即有 ， 数列{a}是首项为1，公比为2的等比数列， n 所以 ； 设等差数列{b}的公差为d，且b＝a＝1，b＝a＝16， n 1 1 6 5 可得 ， 所以 ；（2）证明： 所以 则3T＜1． n 5．（2021·全国高三其他模拟）在① ；② ；③ 成等差数列这三 个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：数列{a}是各项均为正数的等比数列，前n项和 n 为S，a＝2，且___. n 1 （1）求数列{a}的通项公式； n （2）若 （ ），求数列{b}的前n项和T. n n 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）若选①，由 ，有 ，两式相减，可得数列为等比数列，再由首项 可求通项； 若选②，由 ，得 ，再由首项可求通项； 若选③，由 成等比数列，得 ，再由首项可求通项. （2）先带入化简，再裂项求和即可. 【详解】 （1）若选①，由 ，有 ，两式相减并整理有 ， 可知数列 是首项为2，公比也为2的等比数列，所以 ； 若选②，因为数列 是等比数列，且首项为2，由 ， 有 ，即 ，得 ，所以数列 是首项为2，公比也为2的等比数列，所以 ； 若选③，由 成等比数列，有 ， 即 ，因为有 ，所以有 ， 解得 ， （舍）， 数列 是首项为2，公比也为2的等比数列，所以 . （2）因为 ， ， 所以 . 6．（2021·宁波市北仑中学高三其他模拟）已知数列 满足 ，记数 列 的前 项和为 ， （1）求证：数列 为等比数列，并求其通项 ； （2）求 的前 项和 及 的前 项和为 ． 【答案】（1）证明见解析； ；（2） ；． 【解析】 （1）根据题中条件，推出 ，即可证明数列 为等比数列，从而可求出其通 项公式； （2）根据（1）的结果，由错位相减法，即可求出 ；设 ，先由题中得到 的通 项，再由分组求和法计算 ，根据 求 ，进而可得 . 【详解】 （1）因为 ， ， ， 所以 ， 又 ， 所以数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列， 因此 ； （2）由（1）可得 ①， 则 ②， ① ②得 ， 则 ； 设 ，则 ， 所以 ； ； 因此 . 7．（2021·湖北高三其他模拟）在等比数列{a}中，公比 ，其前n项和为S，且S=6，___________. n n 2 （1）求数列{a}的通项公式； n （2）设 ，且数列{c}满足c=1，c ﹣c=b b，求数列{c}的通项公式. n 1 n+1 n n+1 n n 从①.S=30，②.S﹣S=96，③.a 是S 与2的等差中项，这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线 4 6 4 3 3 上，并作答. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）选条件①时，利用等比数列的定义和性质的应用求出数列的通项公式;选条件②时，利用等比数列的 定义和性质的应用求出数列的通项公式；选条件③时，利用等差中项的应用求出数列的通项公式. （2）由（1），得 , 则 ，利用累加法结合裂项相消法，可求 出数列{c}的通项公式. n 【详解】 解：(1)若选条件①时， 由S=6及S=30， 2 4 得a+a=6，a+a+a+a=30， 1 2 1 2 3 4两式相减，得a+a=24， 3 4 即q2(a+a)=24， 1 2 所以q2=4，由 ，解得 ， 代入a+a=6，得a+2a=6，解得a=2， 1 2 1 1 1 所以数列{a}的通项公式为 . n 若选条件②时，S﹣S=96. 6 4 因为S﹣S=a+a=96，a+a=6， 6 4 5 6 1 2 所以 ，a+aq=6， 1 1 两式相除，得q4=16，结合q>0，得q=2， 所以a+2a=6，解得a=2， 1 1 1 所以数列{a}的通项公式为 . n 若选条件③时，a 是S 与2的等差中项. 3 3 由a 是S 与2的等差中项，得2a=S+2， 3 3 3 3 则2a=a+a+a+2，由a+a=6，得a=8， 3 1 2 3 1 2 3 由通项公式，得a+aq=6， ， 1 1 消去a，得3q2﹣4q﹣4=0，结合q>0，解得q=2， 1 代入a+aq=6，得a=2， 1 1 1 所以数列{a}的通项公式为 . n （2）由（1），得 ， ， 所以当 时，c=c+(c﹣c)+(c﹣c)+(c﹣c)+ +(c﹣c ) n 1 2 1 3 2 4 3 n n﹣1 .又c=1也适合上式，故数列{c}的通项公式是 . 1 n 8．（2021·全国高三其他模拟）从① ，② ，③ 中任选一个填入下面的 空中，并解答． 设等比数列 的公比 ，且____． （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和． 【答案】（1） （2）答案不唯一，具体见解析. 【解析】 （1）根据 可得关于 的方程 ，两个方程解出两个未知数； （2）若选①②，结合 表达式的特点，可用错位相减法求和，若选③， ，可用分组求和法解题. 【详解】 （1）设 的公比为 ，因为 ，故 ， 即 ，解得 或 舍去 ， 所以 （2）设 的前 项和为 ，若选① ， ，两式相减得 所以 若选② ，两式相减得 ， 所以 ． 若选③ 当 为偶数时， 当 为奇数时， ， 所以 9．（2021·浙江高三其他模拟）已知数列{ }满足 ， 且 = ，n∈ （ 是等比数列，是等差数列），记数列{ }的前n项和为 ，{ }的前n项和为 ，若公比数q等于公差数d，且 （1）求数列{ }的通项公式； （2）记 为数列{ }的前n项和，求 （n≥2，且n∈ ）的最小值． 【答案】（1） + ；（2） 【解析】 （1）根据已知条件以及等差数列等比数列的通项公式可求出 ，进而可以求得数列{ } 的通项公式； （2）求得 ，进行变形，然后令 =1 ，接下来 与 作差，然后构造函数，分类讨论 即可求出最值. 【详解】 （1）由题意得 .....①； ......② 将 代入②式中，解得 =4， =3. 故将①式可变为： ，解得d=q=2- 故 =2， =1，所以 故 + （2）由（1）可求得 = 2-故 1 ，记 =1 则 - - ∵n≥2，且n∈ ，故 在n=2时为负数，当n≥3时为正数 进行分类讨论： ①当n=2时， =5 ②当n≥3时，记f(x)= 化简得f(x)= ，故在4>n≥3时， - ＜0，,n=4, = ,n≥5时， - ＞0 则对于n≥3时，n=4或3时有最小值- 故 ＜ 故 的最小值为 . 10．（2021·浙江金华市·高三三模）若数列 的前n项和为 ， . （1）求数列 的通项公式； （2）已知数列 满足 ，其前n项和为 ，若 对任意 恒成立，求实 数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）利用 化简可得 为等比数列，由此可求得通项公式；（2）由题可得 恒成立，n为偶数时， ，n为奇数时， . 【详解】 （1）解：因为 ，所以 ， 当 ，时 ， 所以 ， 所以数列 为等比数列，首项为 ，公比为2， 所以 ，则 ； （2）解：因为 ，所以 ， 由（1） ， 所以 恒成立， 当n为偶数时， 恒成立，所以 ， 设 ，由于 ， 所以 ，当 时， ，所以 ， 当n为奇数时， ，若n=1，则有 ， 若 ，则有 ， 令 ，由于 ， 所以 ，综上， . 练真题 TIDHNE 1.（2020·北京高考真题）在等差数列 中， ， ．记 ，则数 列 （ ）． A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】B 【解析】 由题意可知，等差数列的公差 ， 则其通项公式为： ， 注意到 ， 且由 可知 ， 由 可知数列 不存在最小项，由于 ， 故数列 中的正项只有有限项： ， . 故数列 中存在最大项，且最大项为 . 故选：B. 2.（2020·浙江省高考真题）已知等差数列{a}的前n项和S，公差d≠0， ．记b=S，b =S – n n 1 2 n+1 2n+2 S， ，下列等式不可能成立的是（ ） 2n A．2a=a+a B．2b=b+b C． D． 4 2 6 4 2 6 【答案】D 【解析】 对于A，因为数列 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由 可得， ，A正确； 对于B，由题意可知， ， ， ∴ ， ， ， ． ∴ ， ． 根据等差数列的下标和性质，由 可得 ，B正确； 对于C， ， 当 时， ，C正确； 对于D， ，， ． 当 时， ，∴ 即 ； 当 时， ，∴ 即 ，所以 ，D不正确． 故选：D. 3.（2019年浙江卷）设 a,bR ，数列 a n  中， a n a,a n1 a n 2 b ， bN ,则（ ） 1 1 b ,a 10 b ,a 10 A. 当 2 10 B. 当 4 10 b2,a 10 b4,a 10 C. 当 10 D. 当 10 【答案】A 【解析】 2 1  1  1 1 x2 x  x 0 a a 0, , a  选项B：不动点满足 4   2   时，如图，若 1   2   n 2 ， 排除 1 1 a  如图，若a为不动点2 则 n 2 2  1 9 ax1 x2 x2 x  0 选项C：不动点满足   2   4 ，不动点为 2 ，令 a2 ，则a 210， n 排除 2  1 17 17 1 17 1 选项D：不动点满足 x2 x4  x   0 ，不动点为 x  ，令 a   ，则  2 4 2 2 2 2 17 1 a   10 n 2 217 1 a   10 n 2 2 ，排除. 1 1 1 1 3 1 17 b a a2   , a a2   , a a2   1 选项A：证明：当 2 时， 2 1 2 2 3 2 2 4 4 3 2 16 ， a 处理一：可依次迭代到 10； 1 a a2  a2 1 log a 2log a log a 2n1 17 n1 17 n 17 n1 处理二：当n4时， n1 n 2 n ，则 则 16 16 16 2n1 26 64 17 17  1  64 6463 1 a  (n4) a   1 1   14710 n1  16   ，则 10  16     16   16 2 162 . 故选A 4．（2020·江苏省高考真题）设{a}是公差为d的等差数列，{b}是公比为q的等比数列．已知数列 n n {a+b}的前n项和 ，则d+q的值是_______． n n 【答案】 【解析】 设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，根据题意 . 等差数列 的前 项和公式为 ， 等比数列 的前 项和公式为 ， 依题意 ，即 ，通过对比系数可知 ，故 . 故答案为： {a } n S a 4 a S b  5.（2019年浙江卷）设等差数列 n 的前 项和为 n， 3 ， 4 3，数列 n 满足：对每 nN,S b ,S b ,S b n n n1 n n2 n成等比数列. {a },{b } （1）求数列 n n 的通项公式； a C  n ,nN, （2）记 n 2b 证明： C C +C 2 n,nN. n 1 2 n a 2n1 b nn1 【答案】（1） n ， n ；（2）证明见解析. 【解析】  a 2d 4  1  32 a 0 (1)由题意可得： a 3d 3a  d ，解得： 1 ，   1 1 2 d 2 a  则数列 n 的通项公式为. 02n2n S  nn1 其前n项和 n 2 . nn1b ,nn1b ,n1n2b 则 n n n成等比数列，即： nn1b  2  nn1b n1n2b   n  n  n， 据此有：n2n12 2nn1b b2 nn1n1n2n1n2b nn1b b2 n n n n n ， n2(n1)2 n(n1)(n1)(n2) b  nn1 故 n n1n2nn12nn1 . (2)结合(1)中的通项公式可得： a n1 1 2 2   C  n     2 n n1 n 2b nn1 n n  n n  n1 ， n       C C C 2 10 2 2 1 2 n n1 2 n 则 1 2 n . 6.（2021·天津高考真题）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0的 等比数列， ． （I）求 和 的通项公式； （II）记 ， （i）证明 是等比数列； （ii）证明 【答案】（I） ， ；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【解析】 （I）由等差数列的求和公式运算可得 的通项，由等比数列的通项公式运算可得 的通项公式； （II）（i）运算可得 ，结合等比数列的定义即可得证； （ii）放缩得 ，进而可得 ，结合错位相减法即可得证. 【详解】（I）因为 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以 ，所以 ， 所以 ； 设等比数列 的公比为 ， 所以 ，解得 （负值舍去）， 所以 ； （II）（i）由题意， ， 所以 ， 所以 ，且 ， 所以数列 是等比数列； （ii）由题意知， ， 所以 ， 所以 ， 设 ， 则 ，两式相减得 ， 所以 ， 所以 .