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第一篇 数字推理
第一章 等差数列
二、效果检验
1.【答案】A。解析：公差为32的等差数列，116+32=（148）。
2.【答案】A。解析：相邻两项逐差得：8，7，15，22，（37），此数列为和数列，
结果是56+37=（93），故选A。
3.【答案】B。解析：
10 15 25 45 （85） 165
作差
5 10 20 （40） （80） 公比为2的等比数列
4.【答案】A。解析：后项减前项依次得到4、9、25、49，依次为质数列2、3、5、
7的平方，所以应填入87+112=（208）。
5.【答案】A。解析：
14 26 45 （71） 104
作差
12 19 （26） （33） 公差为7的等差数列
6.【答案】A。解析：
3 7 16 35 74 （153）
作差
4 9 19 39 （79）
作差
5 10 20 （40） 公比为2的等比数列
1内部资料 免费交流
7.【答案】A。解析：
4 7 5 1 -2 -1 （7）
作差
3 -2 -4 -3 1 （8）
作差
-5 -2 1 4 （7） 公差为3的等差数列
8.【答案】B。解析：
53 61 68 82 （92） 103 107
作差
8 7 14 10 （11） 4
其中，8=5+3，7=6+1，14=6+8，因此（ ）-82=10，即（ ）=92。
9.【答案】C。解析：
2 9 14 10 -8 -36 （-56）
作差
7 5 -4 -18 -28
其中，14为7的2倍，10为5的2倍，-8为-4的2倍，-36为-18的2倍，因此所
求值为-28的2倍，为-56，故选C。
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第二章 等比数列
二、效果检验
1.【答案】D。解析：
1 2 6 24 120 （720）
作商
2 3 4 5 （6） 公差为1的等差数列
2.【答案】A。解析：
60 30 20 15 12 （10）
作商
1 2 3 4 5
（ ）
2 3 4 5 6
3.【答案】C。解析：后项×4+4=前项，据此可知（0）×4+4=4，选C。
4.【答案】C。解析：从第二项开始，前一项的倍数加1等于后一项，即3×1+1=4，
4×1.5+1=7，7×2+1=15，15×2.5+1=38.5，倍数为公差为 0.5 的等差数列，故下一项为
38.5×3+1=（116.5），选择C。
5.【答案】C。解析：2×1-0=2，2×2-1=3，3×3-2=7，7×4-3=25，25×5-4=121，121×6-5=
（721），选C。
6.【答案】D。解析：第一项加第二项的2倍等于第三项，所以71+173×2=（417）。
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第三章 和数列
二、效果检验
1.【答案】C。解析：两项加和得下一项，因此所求为7，选择C。
2.【答案】C。解析：方法一，前两项和+3=下一项，故所求为28+44+3=75，选择
C。
方法二，两两作差得到数列1，15，16，满足1+15=16是和数列，接下来是15+16=31，
答案是44+31=75，选择C。
3【. 答案】C。解析：（第一项+第二项）×2=第三项，（48+132）×2=（360），（132+360）
×2=984，选择C。
4.【答案】B。解析：方法一，
11 5 3 1 1 （0）
作和
1
16 8 4 2 （1） 公比是 的等比数列
2
方法二，11=5+3×2，5=3+1×2，3=1+2×1，1=1+2×（ ），答案是0，选择B。
5.【答案】A。解析：前三项的和等于第四项，以此类推，17+31+57=（105）。
6.【答案】A。解析：连续三项加和组成新的数列。
1+10+7 10+7+10 7+10+19 10+19+（16）
↓ ↓ ↓ ↓
18 27 36 （45） 公差为9的等差数列
7.【答案】B。解析：从第三项起，每一项都等于前面所有项之和。1+6+7+14+28=
（56）。
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第四章 积数列
二、效果检验
1.【答案】C。解析：前两项的积等于第三项，4×16=（64）。
1
2.【答案】D。解析：第一项÷第二项=第三项。3÷12= 。
4
3.【答案】C。解析：第一项×第二项+2=第三项，以此类推，17×87+2=（1481）。
4【. 答案】D。解析：前两项之积减自然数列得到第三项。2×2-1=3，2×3-2=4，3×4-3=9，
4×9-4=32，9×32-5=（283）。
5.【答案】B。解析：2×3+2=8，3×8+3=27，8×27+8=224，27×224+27=6075，选择
B。
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第五章 多次方数列
二、效果检验
1.【答案】C。解析：各项依次为02，32，62，92，122，（152）。其中底数
0，3，6，9，12，（15）是公差为3的等差数列。
2.【答案】B。解析：各项依次为13，23，33，43，53，（63=216）。
3.【答案】B。解析：数列中各项可依次写为15，24，33，42，（51=5）。
4.【答案】D。解析：
1
1 7 36 （125）
9
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
9-1 80 71 62 （53）
5.【答案】C。解析：方法一，
1 2 （10） 37 101 226
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
02+1 12+1 （32+1） 62+1 102+1 152+1
其中，0、1、3、6、10、15做差是自然数列。
方法二，
1 2 （10） 37 101 226
作差
1 （8） 27 64 125
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
13 （23） 33 43 53
6.【答案】C。解析：数列中各项可依次写为23-1，33-2，43-3，53-4，63-5=211。
7.【答案】C。解析：原数列改写为（-2）3-3，12-3，43-3，72-3，103-3，（ ）。
-2，1，4，7，10为等差数列，指数为3，2，3，2，3，2。（ ）=132-3=166。
8.【答案】A。解析：12-3=-2，（-2）2+3=7，72-3=46，462+3=2119。
9.【答案】D。解析：第一项的立方+1=第二项，因此所求为93+1=730。
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第六章 分式数列
二、效果检验
1 5 29 193
1.【答案】A。解析： 1 （ ）
2 3 12 60
作差
1 2 3 4
2 3 4 5
故本题选择A。
2 2 2 4
2.【答案】D。解析：后项是前项的- 倍， ×（- ）=- ，选D。
3 27 3 81
3.【答案】A。解析：将分子都改成2后，分母依次为3、4、5、6、7、（8），为
自然数列。
2 3 5 7 11
4.【答案】D。解析：各项依次改写为 ， ， ，（ ）， 。分子是质数列；
3 6 9 12 15
分母是等差数列。
1 6 11 16 21
5.【答案】D。解析：各项依次为 、 、 、 、 ，分母是平方数列，分
1 4 9 16 25
26 13
子是公差为5的等差数列，应填入 = 。
36 18
6.【答案】A。解析：从第二项开始，前一项的分母等于后一项的分子，前一项分
6 3
子+3=后一项分母，故所填项为 = 。
8 4
5 15
7.【答案】C。解析：将 改写成 ，则每项分母减分子的差依次为3，4，5，6，
7 21
7，（8），满足分母-分子=8的只有C项。
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第七章 组合数列
二、效果检验
1.【答案】B。解析：奇数项1，2，2，4规律为两项乘积得到下一项，故第一个括
号应为2×4=8；偶数项为3，4，7，11为和数列，两项和得下一项，第二个括号应为
7+11=18，故答案为B。
2.【答案】B。解析：方法一，奇数项为22，42，62，82，（102）。偶数项为
27，25，23，21是公差为-2的等差数列。
方法二，奇数项为
4 16 36 64 （100）
作差
12 20 28 （36） 公差为8的等差数列
偶数项27，25，23，21是公差为-2的等差数列。
3.【答案】D。解析：将数列每两个数字分成一组，每组两个数字之和为50，50-15=
（35）。
4.【答案】C。解析：两两一组，每组后一个数依次是前一个数的2、3、4、（5）
倍，7×5=（35）。
5【. 答案】C。解析：三项一组，第一项的平方+第二项的平方=第三项，32+（-2）2=13，
故选C。
6.【答案】C。解析：第一项+第二项=第三项，第三项+第四项=第五项，所求为
36+28=64，C正确。
7.【答案】A。解析：将每个数分成两个部分，第一部分4、8、12、20、（32）构
成两项和数列，第二部分21、42、63、105、（168）构成两项和数列，应填入32168，
选A。
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8.【答案】A。解析：数列中的每一项按位数进行拆分，每个数拆分为两部分。
17│16 25│23 33│30 46│42 58│53
前面的数减后面的数
1 2 3 4 5 自然数列
9.【答案】B。解析：数项各位数字之和依次为10，11，12，13，（14），应选择
数字之和为14的数，只有B项符合。故本题选B。
10.【答案】D。解析：每项都能被7整除，只有D满足。
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第二篇 数学运算
第一章 计算问题
第一节 和差倍比
二、能力训练
例1.【答案】A。解析：设篮球有x个，足球有（100-x）个。根据题意列方程，
0.5x+0.7（100-x）=58，x=60，足球有40个。篮球比足球多20个。
例2.【答案】A。解析：设工人数量为x，依题意有2（3x+2）=7x-6，解得x=10，
球票数量为3x+2=32张，选择A。
例3.【答案】B。解析：设领导有x人，普通员工y人，则50x+20y=320，化简得
5x+2y=32。2y和32都是偶数，则5x必然是偶数，x为偶数，排除A、C。若领导为4
人，则y=6人，总人数没有超过10，故领导为2人，答案选B。
三、效果检验
1.【答案】A。解析：方法一，设丙车间职工人数为x人，则乙车间职工人数是（x-4）
人，甲车间职工人数是（x-8）人，则根据题意，（x-4）+x+（x-8）=60，x=24，故丙
车间职工人数是24人。
方法二，根据题意可知，甲乙丙三个车间的人数呈公差为4的等差数列，所以乙车
间人数为60÷3=20人，故丙车间有20+4=24人。
9
2.【答案】A。解析：设A、B公司的年营业额都为x，则有 x+12×100-600=x，
10
解得x=6000。故A公司全年的营业额为6000万元。
3.【答案】D。解析：设香蕉每斤价格为x元，每斤葡萄价格为y元，根据题意可
4x y 44
列方程组 ，解得y=12，选择D选项。
x3y 44
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4.【答案】A。解析：方法一，设三根铁棒的长度分别是x、y、z，根据题意可知
x yz 145(1),
3 2
1 2 3 由（2）可知，y= x，z= x，代入（1）中，解得x=60，因此水
x y z(2), 4 3
2 3 4
1
桶中水深为60× =30cm，故选A。
2
3 4
方法二，设水桶中水深是xcm，则三根铁棒的长度分别是2x， x， x，根据题
2 3
3 4
意有2x+ x+ x=145，x=30，选择A。
2 3
5.【答案】C。解析：如下图所示，等宽的环路的面积为观水池的周长乘以环路的
宽度再加上四个角上正方形路面的面积。设路的宽度为x米，则有28x+4x2=65-33，整
理得x2+7x-8=0，（x-1）（x+8）=0，则x=1。故本题选C。
6.【答案】C。解析：设2元的有x张，3元的有y张，列不定方程2x+3y=13。因
为2x是偶数，所以3y是奇数，y为奇数，若y=1，代入解得x=5，符合题意，故选C。
7.【答案】B。解析：设母鸡、公鸡、雏鸡的数量分别为x、y、z，根据题意得到
z
方程组5x+3y+ =100，x+y+z=100。化简得到7x+4y=100，因为4y和100均能被4整
3
除，则7x也能被4整除，所以x应能被4整除，且母鸡的数量要尽可能的多，结合选
项来看，选B。
8.【答案】C。解析：设分别买7元和3元的笔x、y支，则7x+3y=60。3y和60
能被3整除，则x也应该能被3整除。要想买的支数最多，则x尽量小，x最小为3，
x=3时y=13。则最多可买3+13=16支。
9.【答案】D。解析：设做对x题，不做y题，做错20-x-y题，则有6x-3（20-x-y）
-y=53，整理得9x+2y=113，9x能被9整除，113除以9余5，则2y除以9也应余5，
y=7符合，选择D。
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10.【答案】C。解析：方法一，设木匠加工1张桌子、1张椅子、1张凳子所用时
2x4z 10 �
间分别为 x、y、z，根据题意，有 ，①×2+②，得
4x8y 22 �
4x+8z+4x+8y=10×2+22，即8x+8y+8z=42，则所求为42÷8×10=52.5小时。
方法二，利用特值法，令x=0，则y=2.75，z=2.5，所求为（0+2.75+2.5）×10=52.5
小时。
第二节 整除特性
二、能力训练
例1.【答案】C。解析：同时被2、3、5整除，说明该六位数的末位必须是0，排
除B、D项；各位数字之和必须是3的整数倍，排除A项，选C。
例2.【答案】A。解析：人数-2后可同时被3和5整除，排除B、C，所求为最小
值，所以选A。
例3.【答案】A。解析：题中告诉表示一周后的日期的6位数为3的倍数，那么买
衣服的日期加7能被3整除，选项中只有A符合，故选A。
例4.【答案】C。解析：方法一，由“土地局与地税局参加人数的比为10∶3”可
得土地局人数一定是10的倍数，结合选项直接选C。
方法二，根据题中比例关系，可得出土地局∶地税局∶国税局=30∶9∶25，所以
土地局有30×50÷25=60人参加。
3
例5.【答案】C。解析：根据奶糖的颗数占总颗数的 可知，奶糖的数量能被3整
5
除，选项中只有C符合。
例6.【答案】B。解析：11883可以被3整除，26685也可以被3整除，因此，二
者的乘积肯定可以被9整除，由此判断选择B。
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三、效果检验
1.【答案】B。解析：能被88整除的数，即同时能够被8和11整除，根据8的整
除特性，即数的后三位能够被8整除，所以10Y能被8整除，解得Y=4，排除C；根
据11 的整除特性，奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11 整除，即2+1+Y-
（0+0+X）=7-X，结合选项当X=7时，差为0，能够被11整除，因此可得X=7，Y=4，
选择B。
2.【答案】C。解析：36只桶，共□67.9□元，所以□67.9□能被36整除，即能同
时被4和9整除。能被4整除，看后两位，即9□是4的倍数，排除A、D，再根据能
被9整除，满足各位数字之和是9的倍数，排除B，选C。
3.【答案】A。解析：方法一，由题意可知，（总数-10）能被3整除，排除选项B、
C；（总数+20）能被4整除，排除选项D，故选A。
方法二，由题意可得搬砖人员数为（20+10）÷（4-3）=30人，则共有砖30×3+10=100
块，选A。
4.【答案】B。解析：由题意知，甲能被3、4、5整除，所以甲是60的倍数，由于
他们的和不超过110，则甲=60，乙=60÷3-1=19，丙=60÷4-1=14，丁=60÷5-1=11，则四
个自然数之和为60+19+14+11=104。
5.【答案】B。解析：方法一，因为这10个员工的工号是连续的自然数，并且每个
员工的工号能够被其排名整除，所以第10名的工号最后一位一定是0，第9名的工号
最后一位一定是9，第3名的工号最后一位一定是3，即第三名的工号加6等于第九名
的工号，且相加过程无进位，那么根据数的整除特性知，第三名的工号所有数字之和加
6，应该能被9整除，代入只有B符合。
方法二，第10名的工号最后一位一定是0，则1-9名的工号最后一位恰好就是1-9，
则1-9名工号前三位数字加和能被9整除，则第3名的工号各位数字之和一定是9n+3，
选项中只有B符合。
6.【答案】C。解析：6个油桶总重量为31+20+19+18+16+15=119升，因为柴油比
机油多一倍，所以除去1桶汽油，剩余柴油和机油的总重量能被3整除。119除以3余
数为2，则汽油的重量除以3余数也是2，从题干数据来看，1桶汽油的重量只能是20
升，则柴油与机油总重为99升，柴油重量为66升。
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4
7.【答案】C。解析：方法一，设全校人数为x，则男生人数为（ x-150），又因
7
4
为女生人数为男生的1.1倍，可得（ x-150）×（1+1.1）=x，解得x=1575，选择C。
7
4
方法二，由于男生人数比全校人数的 少150人，那么该校学生总数是7的倍数，
7
选项中只有C能被7整除，故选C。
8.【答案】C。解析：根据北京大酒店有13%不是标间可以推出北京大酒店的房间
数可被100整除，又由于北京大酒店和昆仑酒店两家酒店共有260个房间，所以北京大
酒店的房间数是100或者200。根据昆仑酒店有12.5%不是标间推出昆仑酒店的房间数
可被8整除，因此可得北京大酒店和昆仑酒店的房间数分别为100和160，所以北京大
酒店有100×（1-13%）=87个标间，故选C。
9.【答案】A。解析：方法一，由题可知今年男员工人数比去年减少6%，即今年
47
男员工=去年男员工×94%=去年男员工× ，即今年男员工人数能被47整除，只有A
50
符合。
方法二，设去年男员工有x人。由题可得（1-6%）x+（830-x）（1+5%）=833，解
得x=350，所求为350×（1-6%）=329人，A正确。
10.【答案】A。解析：方法一，从1层爬到8层需爬8-1=7段，因此需要的时间一
定是7的倍数，结合选项，选择A。
方法二，从第1层到第4层中间一共有4-1=3段楼梯，每段需用48÷3=16秒；以同
样的速度从第1层爬到第8层需要爬8-1=7段楼梯，共需要16×7=112秒。
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第二章 利润问题
二、能力训练
例1.【答案】A。解析：第一辆车的成本为18÷（1+20%）=15万，另一辆车的成
本为18÷（1-10%）=20万。总成本为15+20=35万，两辆车共卖出18×2=36万，所以赚
36-35=1万。
例2.【答案】B。解析：25×0.8=20元，选B。
例3.【答案】A。解析：设商品的成本为x元，初始定价为（1+20%）x=1.2x元，
根据最后的获利可知0.88×1.2x-x=84，解得x=1500。
例4.【答案】A。解析：设成本为1，则打八折后的价格为1×（1+20%）=1.2，原
来的定价为1.2÷80%=1.5，故定价时期望的利润率为（1.5-1）÷1×100%=50%。
三、效果检验
1.【答案】C。解析：卖一个包子可获利0.15元，剩下20个包子的成本是20×0.35=7
元，则已经卖出包子（17+7）÷0.15=160个，早上共制作了包子160+20=180个。
2.【答案】A。解析：9折出售后的价格为220×90%=198元，这时的利润率为10%，
198
则成本为 180元。
110%
3.【答案】A。解析：定价150元，利润率为50%，说明成本价为100元，150元
打7折后售价为105元，利润率为105÷100-1=5%。
4.【答案】A。解析：第一次付款190元，可知190元属于无折扣部分，第二次付
款560元可知其属于超过300，但不超过800元，按8折优惠后付款价格，其原价为
560÷0.8=700 元，若一次购买可知原价共为 190+700=890 元，按照③进行优惠可知
800×0.8+（890-800）×0.7=703元，故答案选A。
5.【答案】C。解析：设该商品的成本为x元，由题意可得11（x+5）=10（x+11），
解得x=55。
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6【. 答案】D。解析：设A商品的成本为x，则A的销售额是1.1x，则其利润为0.1x，
因为两种商品的总成本之和与A商品的销售额相同，所以B商品的成本为0.1x，其利
润为0.02x，根据题意可列式为：0.1x+0.02x=3000，解得x=25000。
7.【答案】C。解析：设上月进价为100，上月该商品的利润率为x。列表如下：
进价 利润率 售价
上月 100 x 100（1+x）
本月 95 x+6% 95（1+x+6%）
由售价相同可得100（1+x）=95（1+x+6%），解得x=14%。
8.【答案】A。解析：设去年每本书的利润为1，总销量为1，则总利润为1。今年
每本书的利润为0.8，总销量为1.7，总利润为0.8×1.7=1.36，则今年的总利润比去年多
了36%。
9.【答案】D。解析：设该商品的成本为100元，则售价为200元。设实体店提价
2002 400
x元，则售价为0.6×（200+x）元；网站“买二送一”的售价为 元，则
3 3
400 200 1
有0.6×（200+x）= ，解得x ，故实体店提价占原售价的 ，故选D。
3 9 9
10.【答案】D。解析：方法一，特值法，设原来的成本为1，共10件商品，打了x
折，可列方程1×50%×10×70%+［1×（1+50%）x-1］×10×（1-70%）=1×50%×10×82%，
解得x=0.8。
方法二，设打折后的利润率为y%，利用十字交叉法：
50% 41%-y%
41%
y% 9%
41%-y% 70% 120%
，解得y%=20%，所求为： 0.8。
9% 30% 150%
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第三章 行程问题
第一节 基本行程
二、能力训练
例1.【答案】C。解析：72千米/小时=20米/秒，所求为（450+2750）÷20=160秒。
例2.【答案】B。解析：设全速飞行速度是x公里/分钟，则4×0.5x+4x=72，解得
x=12公里/分钟。则飞行时速是60x=720公里/小时，选B。
三、效果检验
1.【答案】D。解析：设A、B两地距离为480千米，则甲车去的用时为8小时，
960
回的用时为6小时，往返时间为6+8=14小时。乙车往返的时间为 小时。甲、乙所
70
960
用时间比为14∶ =49∶48。
70
2.【答案】B。解析：方法一，设步行的时间为t小时，则有36（1.8-t）+6t=48，
解得t=0.56，故步行的距离为0.56×6=3.36千米。
方法二，摩托车1.8小时可以行驶36×1.8=64.8千米，故步行的时间为（64.8-48）÷
（36-6）=0.56小时，故步行的距离为0.56×6=3.36千米。
3.【答案】A。解析：方法一，设小明步行的速度为x米/分钟，小华开车的速度为
y米/分钟，则有45x=15y，则y=3x，则小明30分钟所走的路程小华开车送其返回只需
30x÷y=30x÷3x=10分钟。
方法二，由题意可知小华开车的速度是小明步行速度的3倍，小明从甲地走到相遇
点和小华送小明回到甲地，路程相等，所以时间和速度成反比，因此小明30分钟所走
的路程小华开车送其返回只需10分钟即可。
x x 48
4【. 答案】A。解析：方法一，设A、B两城间的距离为x千米，则有 - ，
150 250 60
解得x=300千米，选择A。
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方法二，列车提速前后的速度之比为150∶250=3∶5，由于路程不变，所以时间之
比为速度的反比即5∶3，则48分钟相当于2份，每份24分钟。250千米/小时的话用
时为24×3=72分钟（1.2小时），A、B距离为250×1.2=300千米。
x x
5.【答案】B。解析：方法一，设山顶到山脚的距离是x千米，则有 6，
5 10
解得x=20，选择B。
方法二，上山与下山的速度比为1∶2，则上山与下山的时间比为2∶1，共用6小
时，说明上山4小时，下山2小时，则总路程为10×2=20千米，选择B。
第二节 相遇追及
二、能力训练
55
例1.【答案】C。解析：当两车相遇时，甲车行了360× =220千米。
5535
例2.【答案】B。解析：追及的距离为第一辆车5分钟的路程，为5×5×60=1500米，
则追及时间为1500÷（10-5）=300秒，即5分钟。
例3.【答案】D。解析：小张第二次追上小王，也就是小张比小王多跑了两圈，时
3002 3006
间就是 =300秒，因此300秒里小张跑了 =6圈。
6-4 300
三、效果检验
1.【答案】C。解析：两车相遇时走过的路程和为甲乙两地距离的2倍，相遇时间
为300×2÷（50+70）=5小时。
1
v v �
轿 货 t
2.【答案】C。解析：假设相等间距为1，则 ，②-①可
3 4
v -v 2 t �
轿 客 2 3t
1
得v货-v客= ，从出发开始到货车追上客车所需的时间为3t。由题“t分钟后轿车追
3t
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t t 3t
上货车，又过了 分钟，轿车追上了客车”可知，再过3t-t- = 分钟货车可以追上
2 2 2
客车，答案选C。
3.【答案】B。解析：设高铁速度为5a米/秒，普通火车速度为3a米/秒。同向行驶
是追及问题，且有（5a-3a）×60=580+380，得5a=40米/秒，3a=24米/秒。相向而行是
相遇问题，则两车交叉用时为（580+380）÷（40+24）=15秒。选B。
4.【答案】A。解析：在环线上二人每次相遇共同跑的路程是一整圈，则第三次相
遇两人共跑3×400=1200米。在8分钟内，甲比乙多跑8×60×0.1=48米，则甲跑了（1200+48）
÷2=624 米，相当于一圈又 224 米。因此这个点沿跑道距离起点 A 有 224 米或者
400-224=176米，则最短距离为176米，选A。
5【. 答案】C。解析：50分钟时第5次相遇，说明乙比甲少跑了5圈，即少跑了350×5
米，则乙的速度比甲慢350×5÷50=35米/分钟，所求为190-35=155米/分钟，选C。
第三节 流水行船
二、能力训练
例1.【答案】C。解析：T =16小时，V =432÷16=27千米/小时，V =27-9=18
顺 顺 逆
千米/小时，T =432÷18=24小时，所以逆水比顺水多用24-16=8小时。
逆
例2【. 答案】B。解析：根据题意，设从甲地到乙地全程为20，则顺水速度是20÷4=5，
逆水速度是20÷5=4，水流速度为（5-4）÷2=0.5，所求为20÷0.5=40小时。
三、效果检验
1.【答案】C。解析：已知顺水航行花了 15 小时，逆水航行花了 20 小时。
V +V =360÷15=24千米/小时，V -V =360÷20=18千米/小时，所以V =3千米/小时，
甲 水 甲 水 水
乙轮船往返两港需要360÷15+360÷9=64小时。
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3
2.【答案】B。解析：男孩走了40×2=80级，女孩走了50× =75级。剩下的则是
2
扶梯自己上升的级数。设电梯的速度是x，则有80+40x=75+50x，x=0.5，故可看到的扶
梯总级数为80+40×0.5=100，选B。
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第四章 工程问题
第一节 基本工程
二、能力训练
例1.【答案】C。解析：由“3名工人5小时加工零件90个”可知，1名工人1小
时可加工6个，所以加工540零件10小时需要工人540÷10÷6=9。
例2.【答案】C。解析：方法一，设原计划的工作效率为P ，8小时的工作效率为
1
P ，则有10P =8P ，解得P =0.8P ，则现效率比原效率提高了（P ÷P -1）×100%=
2 1 2 1 2 2 1
（P ÷0.8P -1）×100%=25%。
2 2
方法二，工作总量一定，效率与时间成反比。现时间∶原时间=8∶10=4∶5，所以
现效率∶原效率=5∶4，即现效率比原效率提高了（5÷4-1）×100%=25%。
三、效果检验
1.【答案】D。解析：方法一，设修完这段公路实际用了 x 天，则根据题意有
20×15=20×3+（20-5）×（x-3），解得x=19。
方法二，动工3天之后，剩下的工作量相等，所以效率和时间成反比，效率比为
20 4
= ，所以时间比是3∶4，因为原来需要12天，所以现在需要16天，再加上之前
15 3
的3天一共为19天。
2.【答案】D。解析：方法一，设原计划每人每天挖x方，根据题意，18人每人每
天挖（x+1）方与24人每人每天挖x方相等，即18（x+1）=24x，解得x=3。
24 4
方法二，原来有24人，现在有18人，所以效率比为 = ，所以原来的效率比
18 3
现在多1份，而每人多挖1方土，则18个人多18方土，所以1份对应18方，所以原
184
来每人挖 3。
24
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3.【答案】D。解析：生产的计算机总量不变，每天生产120台比每天生产140台
多用6天，故每天生产140台需要120×6÷（140-120）=36天，故规定时间为36+3=39
天。
第二节 多者合作
二、能力训练
例1.【答案】A。解析：方法一，由于夫妻共同合作，一定比其中任何一个人单独
收割要省时间，丈夫3天可完成，所以选项中只有A符合。
方法二，设工作量是6，则丈夫的效率是2，妻子的效率是1，夫妻共同收割需要
6÷（2+1）=2天，选择A。
例2.【答案】C。解析：根据题意，甲、乙合作8天可完成工程，甲工作10-3=7
天、乙工作10天也可完成工程，则8（甲+乙）=7甲+10乙，甲=2乙，即甲1天的工
作量相当于乙2天的工作量，那么乙8天的工作量甲只需要工作4天就可完成。该工程
若由甲队单独施工，需要8+4=12天。故本题选C。
三、效果检验
1.【答案】D。解析：设工作量是12，则甲的效率是2，乙的效率是1，期间甲完
成的工作量是2×4.5=9，剩下的工作量是12-9=3由乙完成，需要3÷1=3天，故乙因病
休息了4.5-3=1.5天，选择D。
2.【答案】A。解析：设工作总量为60，由题意知，甲、乙、丙三人合作需6小时
完成，乙丙两人合作需10小时完成，则甲、乙、丙三人合作的效率为10，乙丙两人合
作的效率为6，则甲单独做的效率为4，需要60÷4=15小时完成。
3.【答案】A。解析：由题意可设甲、乙、丙每日工作量分别为6、5、4，丙队参
与A工程x天。根据A、B工作量相同列方程，6×16+4x=5×16+4×（16-x），解得x=6，
选A。
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第五章 排列组合问题
第一节 基础知识
二、能力训练
例1.【答案】B。解析：方法一，组成11元最多可有2张5元，①有2张5元的
情况是1种；②有1张5元的情况是4种；③没有5元的情况有6种，因此共1+4+6=11
种，选B。
方法二，由一种面值组成的只有一种情况，由两种面值组成的有8种情况，由3
种面值组成的有2种情况，即共有1+8+2=11种组合，故正确选项为B。
例2.【答案】C。解析：三位数的百位上的数字可以在1，2，3，4，5中任选一个，
有5种选择，十位上的数字有5种选择，个位上的数字有4种选择，一共有5×5×4=100
种选择。
例3.【答案】B。解析：根据题意，从甲地到乙地与从乙地到甲地的车票是不同的，
故属于排列问题。从25个车站中任取2个车站即为一种车票，则所求为A2 600种。
25
例4.【答案】C。解析：四个数两两互质，所以只要选取的乘数不同所得的积就不
相同，C2=6，故选C。
4
三、效果检验
1.【答案】A。解析：每天只能修2千米或者3千米，全程9千米，共有2种情况：
第一种，2、2、2、3，安排共有4种情况；第二种，3、3、3，安排共有1种情况，则
共有4+1=5种安排方法。
2.【答案】C。解析：一周共7天，每天都有晴天和阴天2种变化，故共有27=128
种变化可能，故本题答案选C。
3.【答案】B。解析：根据题意可知，个位数必须用奇数，有3种选择，则总共有
3×A3 =3×5×4×3=180个。故选B。
5
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4.【答案】C。解析：从8个男生中选择3个，共有C3种选法，从5个女生中选择
8
2个，共有C2种选法。所求为C3C2 =560种选法。
5 8 5
第二节 常用方法
二、能力训练
例1.【答案】（1）600；（2）240；（3）480。解析：（1）甲不在最左边，则甲
有5种选择，其他室友进行全排列，有A5种，因此满足条件的排法共有5×A5 =600种；
5 5
（2）甲乙相邻，将甲乙捆绑作为一个整体，与剩余4人全排，有A5种排法，甲、乙
5
两人内部排序有A2=2种，因此满足条件的排法共有2×A5 =240种；（3）先将除甲、
2 5
乙外的四人排列，共A4种排法，此时四人形成5个空，将甲、乙放进去，有A2种排
4 5
法，因此满足条件的排法共有A4×A2 =480种。
4 5
例2.【答案】A。解析：方法一，正向考虑，两数积为偶数时分两种情况（1）A
为偶数时，显然有3×6=18种；（2）A为奇数时，显然有3×3=9种。共18+9=27种。
方法二，反向考虑，考虑两数积出现奇数的情形。当两数的积为奇数时，则两数都
为奇数，所以有3×3=9种可能。剩下的都是积为偶数的情况，共6×6-3×3=27种。
三、效果检验
1.【答案】B。解析：A和B只能到其余4个部门，共A2=12种，剩下3个人去3
4
个部门，共A3 =6种，总共12×6=72种。
3
2.【答案】D。解析：把连续的3枪捆绑看作一个整体，这3枪是无序的，此题变
为把命中的两个元素插入到4个未命中的元素形成的5个空隙中去，所以命中4枪中恰
好有3枪连在一起的情况的种数共有：A 2 =20。
5
3.【答案】B。解析：把3个相同的足球插进4个同样篮球形成的5个空隙就达到
互不相邻的目的，即C 3 =10种，选择B。
5
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4.【答案】C。解析：利用间接法，10人中任选4人参加有C4 =210种选法，其中
10
甲乙同时参加时只需从其他8人中任选2人参加，有C2 =28种选法，所求为210-28=182
8
种选法。
第六章 极值问题
第一节 和定最值
二、能力训练
例1.【答案】C。解析：中位数是21，最小的两个相异正整数为1、2；要使最大
的正整数尽可能大，就要求大于21的数，尽可能接近21，即为22，那么最大的正整数
为5×19-1-2-21-22=49。
例2.【答案】B。解析：要使看得天数最多，则每天看的集数尽量接近。8天时间
至少看8×（1+8）÷2=36集；9天至少看9×（1+9）÷2=45集；因此他最多8天看完。
三、效果检验
1.【答案】A。解析：要使排名第二的分数最高，则应使其他分数尽量低，则第3~8
名分数为74~69，74+73+72+71+70+69=429，77×8-429-96=91，则排名第二的为91分，
选A。
2.【答案】B。解析：方法一，要想体重最轻的人体重最重，则其他人体重应该最
轻，设体重最轻的人最重x斤，则其他四个人体重最轻分别为x+1、x+2、x+3、x+4，
则有x+x+1+x+2+x+3+x+4=423，x=82.6，则体重最轻的最重是82斤，选择B选项。
方法二，五人的体重之和是423斤，他们的体重都是整数，并且各不相同，所以
423÷5=84……3，构造数列是86，85，84，83，82，还有3斤，从高到低分配，87、86、
85、83、82，体重最轻的最重是82斤，选择B选项。
3.【答案】C。解析：方法一，若想排名最后的小朋友苹果数量最多，则其他小朋
友的数量尽可能少。第5名为12个，则第4、第3、第2、第1名分别为13、14、15、
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16个，对于第6名~第10名，由于求最小值的最大情况，让所有的值尽可能接近，故
成等差数列，设第10名的数量为x个，则第9、第8、第7、第6名分别为x+1，x+2，
x+3，x+4个，由于共有100个苹果，可列式12+13+14+15+16+x+（x+1）+（x+2）+（x+3）
+（x+4）=100，解得x=4，即排名最后的最多有4个。
方法二，若想排名最后的小朋友苹果数量最多，则其他小朋友的数量尽可能少。第
5名为12个，则第4、第3、第2、第1名分别为13、14、15、16个，则前五名的总数
量为14×5=70个，则后五名的总数量为100-70=30个。求最小值的最大情况，让所有的
值尽可能接近，成等差数列，可求得第8名为30÷5=6，则第6到第10分别为8、7、6、
5、4个，即排名最后的最多有4个。
方法三，10个小朋友共有100个苹果，平均每个小朋友有10个。根据每个小朋友
拥有的苹果数都不同，拥有的苹果数量排名第5多的小朋友有12个苹果，所以拥有苹
果数量排名第6多的小朋友有8个苹果（平均数是10个）。构造数列苹果数排名第7
到第10的数量分别是7、6、5、4，即排名最后的最多有4个。
第二节 最不利原则
二、能力训练
例1.【答案】D。解析：考虑最不利情况，每种颜色的筷子各取出1根，再任取1
根即可满足要求，故至少要取出5+1=6根筷子。
例2.【答案】C。解析：此题的最差情况为“软件设计类、市场营销类、财务管理
类各录取69人，人力资源管理类预设的50人全部录取”，此时任意再录取1人能够保
证有70名找到工作的人专业相同。因此至少要69×3+50+1=258人找到工作才可以。此
题选择C。
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三、效果检验
1.【答案】B。解析：最不利原则。考虑最差情况，所有男员工都报名，再有8名
女员工报名就能保证一定能从报名者中选出男女选手各8名参赛，即38+8=46人，故
选B。
2.【答案】A。解析：考虑最差的情况，每个帐篷首先都住5个人，然后再加1名
男生就可以满足条件，因此至少有5×6+1=31名男生。
3.【答案】B。解析：学生参加学习班的情况一共有7种，包括1种都不参加，C 1 =3
3
种只参加一个学习班，C 2 =3种参加两个学习班。要保证有不少于5名同学参加学习班
3
的情况完全相同，至少要有4×7+1=29名学生才行。
4.【答案】C。解析：还剩下52-17-16-11=8张票，甲如果要确保当选，考虑最差情
况，则剩下的票丙一票不拿，那么只有甲、乙分配剩下的票，因此甲至少要拿8÷2=4
张才能保证当选。
第七章 容斥问题
第一节 两者容斥
二、能力训练
例1.【答案】D。解析：两个考试都没参加的有46-（38+25-20）=3人。
例2.【答案】B。解析：语文和数学都及格的有43+40-（52-6）=37人。故本题选
B。
三、效果检验
1.【答案】B。解析：84名职员中有63人参加英语培训，则有84-63=21人未参加
英语培训。由于未参加英语培训的人中参加计算机培训的只有9人，所以未参加英语培
训又未参加计算机培训的有21-9=12人。
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5
2.【答案】A。解析：依题意喜欢爬山的有 120× =75 人，喜欢游泳的有
53
7
120× =70人，由容斥原理公式，两种活动都不喜欢的有120-（75+70-43）=18人。
75
3.【答案】B。解析：工号是4的倍数的员工有80÷4=20人；工号是6的倍数的员
工有80÷6=13……2，即13人；工号既是4的倍数又是6的倍数的员工有80÷12=6……
8，即6人。根据两集合容斥原理可知，需要发言的有20+13-6=27人，故本题选B。
第二节 三者容斥
二、能力训练
例1.【答案】C。解析：根据题意，所求为45+49+58-（16+23+21）+10=102。
例2.【答案】A。解析：计算总人数时，参加两种考试的人数重复计算了一次，三
种考试都参加的重复计算了两次，所以接受调查的学生共有：63+89+47-24×2-46+15
=120人。
三、效果检验
1.【答案】C。解析：根据公式A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C，代入
得36×3-7-6-9+A∩B∩C=88，A∩B∩C=2，所以阴影部分面积为：88-7-6-9+2×2=70，选C。
2.【答案】B。解析：喜欢甲的+喜欢乙的+喜欢丙的-只喜欢其中两种的-2×三种都
喜欢的=总数-都不喜欢的，所求为99+57+73-2×34-135+30=56人。
3.【答案】D。解析：设一科都不想选的人数为x，那么三科都想选的人数为4x，
不止想选一科的人数为16x，则只想选两科的人数为16x-4x=12x。根据容斥原理可得，
45+35+15-12x-2×4x+x=57，解得x=2。则只想选一科的人数为57-2-16×2=23人，故选D
项。
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第八章 几何问题
第一节 平面几何
二、能力训练
例1.【答案】B。解析：由题意可知，梯形的下底边为66厘米，所以腰可以是18
厘米，也可以是30厘米；若腰长为18厘米，那么上底边加两条腰的长度为18+18+30=66
与下底边长度相同，这样无法构成梯形；若腰长为30厘米，符合梯形基本条件，所以
周长为18+30+30+66=144厘米。
例2.【答案】B。解析：所求为602-402=（60+40）×（60-40）=2000平方米。
三、效果检验
1.【答案】D。解析：设正方形的边长为x，（1-20%）x×（x+2）=x2，解得x=8。
故原正方形的面积为64。
2.【答案】C。解析：设此直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，则由题意
可知ab=120，c=40-（a+b），由直角三角形勾股定理可知 40（- ab）2 =a2+b2，则
有a+b=23，则c=17，故选C。
3.【答案】C。解析：△ABE和△DCE相似，相似比为1∶3，所以面积比为1∶9，
S =36÷9=4。△ACE 与△CDE 同高，底之比为 1∶3。因此面积比为 1∶3，
ABE
S =36÷3=12。同理可得S =12，梯形面积为36+12+12+4=64。
ACE BDE
4.【答案】D。解析：阴影部分面积相当于长方形面积的一半，即直角三角形面积
1
的一半。直角三角形的面积为 ×12×5=30平方厘米，故阴影面积为15平方厘米，选D。
2
5.【答案】B。解析：如下图所示，无法直接求阴影部分的面积，可利用整体面积
减去空白部分两个大三角形的面积。
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1
整体图形的面积=6×6+4×4+4×2× =56；
2
1 1
空白部分的面积=6×6× +10×4× =38；
2 2
阴影部分的面积=56-38=18。
第二节 立体几何
二、能力训练
例 1.【答案】A。解析：由题意知，增加的表面积为两个截面的面积，为
2×8×10=160cm2。
例2.【答案】C。解析：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则ab=12，ac=15，
bc=20，则ab×ac×bc=12×15×20，则abc=60，即长方体的体积是60立方厘米。
三、效果检验
1.【答案】D。解析：根据两点之间线段最短，将长方体展开为平面。根据勾股定
理 A 到 C 的 直 线 距 离 有 3 种 情 况 ① 72 （35）2 = 113 厘 米 ，
② 52 （37）2 = 125厘米，③ 32 （75）2 = 153厘米，这三种爬行路线中最小
值是第一种 113厘米，选择D。
1 2
2【. 答案】A。解析：圆柱体的体积为22×π×4=16π，圆锥体的体积为 ×12×π×2= π，
3 3
2
则圆柱体与圆锥体的体积之比为16π∶ π=24∶1。
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3.【答案】C。解析：设正方体的棱长为1，那么球的半径为 ；当正方体表面
2
3
积增加21%后，易知正方体棱长变为1.1，那么球的半径变为1.1× ，可知球的体积
2
4 3 4 3
增加了{ （1.1× ）3÷［ （ ）3］-1}×100%=（1.13-1）×100%=33.1%。
3 2 3 2
4.【答案】A。解析：只有一面被染上色的小正方体个数为2［（20-2）×（10-2）+
（20-2）×（8-2）+（8-2）×（10-2）］=600，未被染色的小正方体个数为（20-2）×（10-2）
×（8-2）=864，因此两数之比为600∶864=25∶36，答案选A。
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