1_7.2　等比数列（word版）_2023版教学资源包_2023版新高考新教材版高考总复习数学5·3B版_7_第七章数列_2_72等比数列_4_72资料包（WORD版）_1_专题资料包

曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
7.2 等比数列
三年模拟
一、选择题
1.(2022新疆昌吉二模,6)数列{a }是等差数列,a =1,且a ,a ,a 构成公比为q的等比数列,则
n 1 1 2 5
q=( )
A.1或3 B.0或2 C.3 D.2
答案 A 设等差数列{a
n
}的公差为d,∵a
1
,a
2
,a
5
构成公比为q的等比数列,∴
a2
=a
1
·a
5
,即
2
(1+d)2=1+4d,解得d=0或2,所以a =1或3,所以q=1或3,故选A.
2
2.(2022河南六市第一次联合调研,4)数列{a
n
}满足a
1
=1
,an+1=2an,数列
{1 }的前n
2 a
n
项积为T ,则T =( )
n 5
1 1 1 1
A. B. C. D.
8 16 32 64
答案 C 由题意得数列{a }为等比数列,a =
n n
1 1 1 1
×2n-1=2n-2,T5= = =
2 a a a a a 1 32,故选C.
1 2 3 4 5 ×1×2×4×8
2
3.(2022宁夏重点中学模拟,11)已知等比数列{a }的前n项和为S ,公比q>0,a =1,a =9a ,
n n 1 12 10
若数列{t+S }为等比数列,则实数t=( )
n
1 3
A. B. C.2 D.1
2 2
答案 A 由q>0,a =1,a =9a ,得q2=9,∴q=3,S =
1 12 10 n
1-3n 3n-1 1
= ,则S1=1,S2=4,S3=13,若数列{t+Sn}为等比数列,则(t+S2)2=(t+S1)(t+S3),即(t+4)2=(t+1)(t+13),解得t=
1-3 2 2
.经检验,满足题意,故选A.
1
4.(2022江西赣州一模,8)等比数列{a }满足a +a = ,a +a =1,则a +a =( )
n 8 10 11 13 20 22
2
A.8 B.4 C.-4 D.-8
1 1
答案 A 设等比数列{a }的公比为q,由a +a = ,a11+a13=1可得a8(1+q2)=
n 8 10
2 2
,a (1+q2)=1,故可得q3=2,则a +a =a (1+q2)=a (1+q2)×q9=1×(q3)3=23=8.故选A.
11 20 22 20 11
5.(2022广西一模,10)已知等比数列{a }的公比为q,前n项和S =m+qn,若a =8a ,则S =(
n n 6 3 4
)
A.13 B.15 C.31 D.33
答案 B ∵{a }是等比数列,且a =8a ,∴q=2,故S =m+2n.S =a (1-2n)=a (2n-1)=a 2n-a ,
n 6 3 n n 1 1 1 1
1-2
又∵S =m+2n,故a =1,m=-1,则S =-1+24=15.故选B.
n 1 4
6.(2022东城期末,3)在等比数列{a }中,若 =16a ,则a =( )
n a2 2 4
3
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A.32 B.16 C.8 D.4
答案 B 设{a }的公比为q,则a =a q,又 =16a , =16a ,即a q2=16,又
n 3 2 a2 2∴(a q)2 2 2
3 2
a =a q2,∴a =16.
4 2 4
7.(2022顺义二模,5)设等比数列{a }的前n项和为S ,公比为q.若S ={ 2,n=1, 则
n n n
qn-1,n>1,
a =( )
3
A.8 B.9 C.18 D.54
答案 C 由题意可知a =S =2,a =S -S =q2-1-2=q2-3,a =S -S =q3-1-q2+1=q3-q2,∵{a }是等
1 1 2 2 1 3 3 2 n
比数列,∴a =a ·q,∴q2-3=2q,解得q=3或q=-1,
2 1
若q=3,则a =2,a =6,a =18.
1 2 3
若q=-1,则a =2,a =-2,a =2≠S -S ,不满足题意,故a =18.
1 2 3 3 2 3
8.(2022西城期末,7)已知{a }为等比数列,S 为其前n项和,若S =3a , =a ,则S =( )
n n 2 1a2 3 4
2
A.7 B.8 C.15 D.31
答案 C ∵S
2
=a
1
+a
2
=3a
1
,即a
2
=2a
1
,所以公比q=2,又
a2
=a
3
=a
2
q,a
2
≠0,所以a
2
=q=2,所以a
1
=
2
a a (1-q4) 1-24=15.
2=1,所以S4= 1 =
q 1-q 1-2
9.(2022房山二模,5)已知数列{a
n
}满足a
n+1
=2a
n
(n∈N*),S
n
为其前n项和.若a
2
=2,则S
5
=(
)
A.20 B.30 C.31 D.62
答案 C ∵a =2a ,∴{a }为公比q=2的等比数列,又a =2,∴a =1,∴S =
n+1 n n 2 1 5
a (1-q5) 1×(1-25)=31.
1 =
1-q 1-2
10.(2022西安二模,4)已知各项均为正数的等比数列{a }的前4项和为15,且a =3a +4a ,则
n 5 3 1
a =( )
3
A.16 B.8 C.4 D.2
答案 C 设等比数列{a }的公比为q(q>0),则由前4项和为15,且a =3a +4a ,得
n 5 3 1
{a +a q+a q2+a q3=15,
1 1 1 1
a q4=3a q2+4a ,
1 1 1
∴{a =1,∴a =22=4.故选C.
1 3
q=2,
11.(2022宁夏吴忠联考,7)在等比数列{a }中,a ,a 是方程x2-6x+8=0的根,则 a a =( )
n 3 15 1 17
a
9
A.-2 B.2 C.1 D.2√2
答案 D 因为a ,a 是方程x2-6x+8=0的根,
3 15
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所以{a
3
=2,
或
{a
3
=4,
则a1a17=a3a15=8,a9=√a a =2√2,则
a
1
a
17=2√2 .故
a =4 a =2, 3 15 a
15 15 9
选D.
12.(多选)(2021广东揭阳4月联考,10)已知等比数列{a }的公比为q,且a =1,则下列选项
n 5
正确的是( )
A.a +a ≥2 B.a +a ≥2
3 7 4 6
C.a -2a +1≥0 D.a -2a -1≥0
7 6 3 4
1 1 1
答案 AC 根据题意可得a 3 = q2 ,a4= q ,a6=q,a7=q2,a3+a7= q2 +q2≥2,当且仅当
1
q2=1时取等号,故A正确;a +a = +q,当q<0时,值为负数,故B错误;a -2a +1=q2-
4 6 7 6
q
2q+1=(q-1)2≥0,故C正确;a 3 -2a 4 -1= 1 - 2-1=(1 -1 ) 2 -2,可知存在q使得a 3 -2a 4 -1<0,故D错
q2 q q
误.故选AC.
n
13.(多选)(2021重庆一模,12)已知数列{a }和各项均为正数的等比数列{b }满足:∑
n n
i=1
(a+i)=2b -2,b =2,b +b 是b 与b 的等差中项,数列{a }的前n项和为S ,则下列结论正确的
i n 1 2 3 3 4 n n
是( )
A.数列{a -b }是等差数列
n n
n(n+1)
B.S =2n+1-2-
n
2
C.数列{a }是递增数列
n
D. n 1 ( 1 )
∑ <2 1-
a b
i=1
i n
答案 ABC 设{b n }的公比为q(q>0).由题知b 3 +b 4 =2(b 2 +b 3 )⇒b 4 -b 3 -2b 2 =0⇒q2-q-2=0⇒q=2
或-1(舍),故b =2n,a +n=2b -2b =2n+1-2n=2n,则a =2n-n,所以a -b =-n,故{a -b }为等差数列,A
n n n n-1 n n n n n
n(n+1)
正确;S =2+22+…+2n-(1+2+…+n)=2(2n-1)- ,B正确;a -a =2n-1≥1,故{a }是递增数
n n+1 n n
2
列,C正确;当n=1时, 1
=1,2
(
1-
1 )=1,故D错误.故选ABC.
a b
1 1
二、填空题
1 1
14.(2022山西吕梁二模,15)已知{a }是各项均为正数的等比数列,a = ,a3= ,且
n 1
3 27
a +a +a +…+a <k,则k的最小值是 .
1 2 3 n
1
答案
2
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解析 设数列{a }的公比为q,因为
n
1[ (1) n]
1-
a
3=q2=
1
,q>0,所以q=
1
,所以a1+a2+a3+…+an=
3 3
=
1
-
1(1) n
<
1
a 9 3 1 2 2 3 2
1 1-
3
1 1
所以k≥ ,故k的最小值是 .
2 2
15.(2022昆明一中考前适应性模拟(八),14)已知等比数列{a }的公比为q,且|q|>1,数列{a }
n n
中有连续四项是集合M={-48,-12,24,48,96}中的元素,则q= .
答案 -2
解析 集合{-48,-12,24,48,96}中有两个负数,三个正数,由题意,等比数列{a }中连续四项
n
中有2个正数和2个负数,由于|q|>1,所以{a }中连续四项为-12,24,-48,96,所以q=-2.
n
16.(2021安徽安庆重点高中月考,16)已知数列{a }是等比数列,有下列四个命题:
n
①数列{|a |}是等比数列;
n
②数列{1 }是等比数列;
a
n
③数列{lg }是等比数列;
a2
n
④数列{a ·a }是等比数列.
n n+1
其中正确命题的序号为 .
答案 ①②④
解析 因为{a }是等比数列,a 为首项,且a ≠0,公比设为q,且q≠0,所以a =a ·qn-1.①中,|a |=|
n 1 1 n 1 n
|a | |a |·|qn|
a 1 |·|qn-1|,所以 n+1 = 1 =|q|,是一个不为零的常数,所以{|a n |}是等比数列,所
|a | |a |·|qn-1|
n 1
以①正确;
②中,
1
=
1
,∴
1
÷
1
=
1
×
a
1
·qn-1
=
1
,是不为零的常数,所以
{1 }为
a a ·qn-1 a a a ·qn 1 q a
n 1 n+1 n 1 n
等比数列,所以②正确;
③中,
a2
= a2·(qn-1)2=(a
1
·qn-1)2,所以lg
a2
=lg( a2·q2n-2)=2lg|a
1
·qn-1|,所以
n 1 n 1
lg a2 2lg|a ·qn| lg|a |+nlg|q|
n+1= 1 = 1 ,不是常数,所以③不是等比数列;
lg a2 2lg|a ·qn-1| lg|a |+(n-1)lg|q|
n 1 1
④中,a
n
· a
n+1
=(a
1
·qn-1)·(a
1
·qn)= a2·q2n-1,
1
a a a2·q2(n+1)-1
∴ n+1 n+2= 1 =q2,是不为零的常数,所以④正确.
a a a2·q2n-1
n n+1 1
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17.(2022延庆二模,15)数列{a }是公比为q(q≠1)的等比数列,S 为其前n项和.已知
n n
S
a ·a =16, 3=12,给出下列四个结论:
1 3
q
①q<0;
②若存在m使得a ,a ,…,a 的乘积最大,则m的一个可能值是3;
1 2 m
③若存在m使得a ,a ,…,a 的乘积最大,则m的一个可能值是4;
1 2 m
④若存在m使得a ,a ,…,a 的乘积最小,则m的值只能是2.
1 2 m
其中所有正确结论的序号是 .
答案 ①②③
{
a2q2=16,
1
解析 由题意得 a (1+q+q2) 故a 1 q=±4,
1 =12,
q
若a q=-4,则a =-4 4(1+q+q2)=12,即4q2+q+1=0,Δ=-15<0,无实根,
1 1 ,所以-
q q2
若a q=4,则a =4 4(1+q+q2)=12,即2q2-q-1=0,又q≠1,所以q=-1,故①正确;
1 1 ,所以
q q2 2
a
1
=-8,a
n
=-8×(
-
1) n-1
=
(-1)n
,∴a2=4,a3=-2,a4=1,a5=-
1
,a6=
1
,a7=-
1,因
2 2n-4 2 4 8
1
此a a ·…·a =1,又n≥5时,|a |≤ <1,所以n>7时,|a a ·…·a |<1,
1 2 7 n 1 2 n
2
a =-8,a a =-32,a a a =64,a a a a =64,a a a a a =-32,a a a a a a =-8,所以n=3或n=4时,a a ·…
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1 2
·a 取得最大值,当n=2或n=5时,a a ·…·a 取得最小值,因此②③正确,④错误.
n 1 2 n
三、解答题
3 1
18.(2022河南开封模拟,17)已知数列{a }是公比不为1的等比数列,a =1,且a , a4, a
n 1 3 5
4 2
成等差数列.
(1)求数列{a }的通项公式;
n
(2)记b
n
=-log
2
a
n+1
,求数列{b
n
}的前n项和S
n
.
a
n+1
解析 (1)设等比数列{a }的公比为q,
n
1 3
由题意得a + a5=2× a ,即q2-3q+2=0,
3 4
2 4
解得q=2或q=1(舍去),
所以a =a qn-1=2n-1.
n 1
(2)由(1)得b
n
=-log
2
a
n+1=-
n ,
a 2n
n+1
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所以S
n
=-(
1×
1
+2×
1
+3×
1
+…+n×
1 ),①
2 22 23 2n
1 1
所以①× 得 S =
n
2 2
-[ 1 1 1 1 1 ],②
1× +2× +3× +…+(n-1)× +n×
22 23 24 2n 2n+1
所以①-②得 1
Sn=-
(1
+
1
+…+
1 )
+
n ,
2 2 22 2n 2n+1
则 1 Sn=- ( 1- n+2),
2 2n+1
n+2
所以S = -2.
n 2n
19.(2021成都高三毕业班摸底考试,18)已知数列{a }和{b }的前n项和分别为
n n
S ,T ,a =2,b =1,且a =a +2T .
n n 1 1 n+1 1 n
(1)若数列{a }为等差数列,求S ;
n n
(2)若b =b +2S ,证明:数列{a +b }和{a -b }均为等比数列.
n+1 1 n n n n n
解析 (1)由a =a +2T ,得a =a +2b ,
n+1 1 n 2 1 1
又a =2,b =1,所以a =4.
1 1 2
n(n-1)
因为数列{a }为等差数列,所以该数列的公差为a -a =2,所以S =2n+ ·2=n2+n.
n 2 1 n
2
(2)证明:当n≥2时,a =a +2T ,
n 1 n-1
因为T -T =b ,所以a -a =2b ,即a =a +2b ,
n n-1 n n+1 n n n+1 n n
同理可得b =b +2a ,n≥2,
n+1 n n
则a
n+1
+b
n+1
=3(a
n
+b
n
),n≥2,所以 a
n+1
+b
n+1
=3(n≥2),
a +b
n n
又a =a +2b =4,b =b +2a =5,
2 1 1 2 1 1
所以 a 2 +b 2= 4+5 =3,所以 a n+1 +b n+1 =3(n∈N*),
a +b 3 a +b
1 1 n n
所以数列{a +b }是以3为首项,3为公比的等比数列.
n n
因为a -b =-(a -b )(n≥2),
n+1 n+1 n n
所以 a n+1 -b n+1 =-1(n≥2),
a -b
n n
又 a 2 -b 2= 4-5 =-1,所以 a n+1 -b n+1 =-1(n∈N*),
a -b 2-1 a -b
1 1 n n
所以数列{a -b }是以1为首项,-1为公比的等比数列.
n n
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20.(2022安徽宣城二模,17)数列{a }的前n项和为S ,且S =n2+2n,记T 为等比数列{b }的
n n n n n
前n项和,且b +b =90,T =120.
2 4 4
(1)求数列{a }和{b }的通项公式;
n n
(2)设数列{c }满足c =a ,求数列{c }的前n项和H .
n n n n n
b
n
解析 (1)当n≥2时,a =S -S =(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1.
n n n-1
当n=1时,a =S =3也满足上式,故数列{a }的通项公式为a =2n+1.
1 1 n n
设{b }的公比为q,当q=1时,由题意可知b +b =2b =90,T =4b =180≠120,显然不成立.
n 2 4 1 4 1
{ b q+b q3=90,
当q≠1时,依题意得 b
1
(1-q
1
4) 解得
{b
1
=3,
1 =120, q=3,
1-q
所以b =3n.
n
(2)由(1)得c
n
=a
n
=(2n+1)·(1) n ,则
b 3
n
H
n
=3×1+5×(1) 2+7×(1) 3+…+(2n-1)×(1) n-1+(2n+1)×(1) n①,
3 3 3 3 3
1H
n
=3×(1) 2+5×(1) 3+7×(1) 4+…+(2n-1)×(1) n+(2n+1)×(1) n+1②,
3 3 3 3 3 3
①-②得2H
n
=1+2×(1) 2 +2×(1) 3 +2×(1) 4 +…+2×(1) n -(2n+1)×(1) n+1
3 3 3 3 3 3
2[ (1) n-1]
1-
=1+9 3 -(2n+1)×(1) n+1 1-(1) n -(2n+1)×(1) n+1 4-(2n+4)(1) n+1 ,
=1+ =
3 3 3 3 3 3
1
1-
3
所以H
n
=2-(n+2)(1) n .
3
21.(2022天津市实验中学一模,19)已知正项等比数列{a },满足a a =1,a 是12a 与5a 的等
n 2 4 5 1 3
差中项.
(1)求数列{a }的通项公式;
n
(2)设b
n
= a
n+4
+(-1)n·n,求数列{b
n
}的前n项和S
n
.
(a -2)(a -1)
n+4 n+4
解析 (1)设等比数列{a }的公比为q,
n
因为a 是12a 与5a 的等差中项,
5 1 3
3
所以2a q4=12a +5a q2,解得q2=4或q2=- (舍去).
1 1 1
2
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因为数列{a }为正项数列,所以q>0,所以q=2,
n
因为a a =1,所以 =1,又a >0,所以a =1,
2 4 a2 n 3
3
所以a =a qn-3=2n-3.
n 3
(2)由(1)得a =2n+1,
n+4
所以b
n
= a
n+4
+(-1)n·n= 2n+1 +(-1)n·n= 2n
(a -2)(a -1) (2n+1-2)(2n+1-1) (2n-1)(2n+1-1)
n+4 n+4
1 1
+(-1)n·n= - +(-1)n·n,
2n-1 2n+1-1
所以S
n
=(
1-
1)
+
(1
-
1)
+
(1
-
1 )
+…+
( 1
-
1 )+[-1+2-3+4-5+…+(-1)n·n],
3 3 7 7 15 2n-1 2n+1-1
1 n
当n为偶数时,S =1- + ,
n 2n+1-1 2
当n为奇数时,S =1- 1 ( n-1) 1-n 1 ,
n + -1- = -
2n+1-1 2 2 2n+1-1
1 n
{1- + ,n为偶数,
所以S =
2n+1-1 2
n
1-n 1
- ,n为奇数.
2 2n+1-1
22.(2022河西二模,19)已知公差不为零的等差数列{a }的前n项和为S ,S =6,a ,a ,a 成等
n n 3 2 4 8
比数列,数列{b }满足b =1,b =2b +1.
n 1 n+1 n
(1)求数列{a }和{b }的通项公式;
n n
(2)求100 ·sin( π)的值;
∑a2 a ·
k k 2
k=1
(3)证明:
∑
n b
k+1
<2n+2(n∈N*).
b
k=1
k
解析 (1)设等差数列{a }的公差为d,d≠0,
n
由S =6,可得3a +3d=6,即a +d=2,
3 1 1
由a ,a ,a 成等比数列,可得a a = ,即(a +d)(a +7d)=(a +3d)2,解得a =d=1,
2 4 8 2 8 a2 1 1 1 1
4
则a =1+n-1=n.
n
数列{b }满足b =1,b =2b +1,即b +1=2(b +1),可得{b +1}是首项为2,公比为2的等比数
n 1 n+1 n n+1 n n
列,
则b +1=2n,即b =2n-1.
n n
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100
(2)∑a2·sin
k
k=1
( π) π 2π 3π 4π 5π 99π 100π
a · =12sin +22sin +32sin +42sin +52sin +…+992sin +1002sin
k 2 2 2 2 2 2 2 2
=12-32+52-72+…+972-992
=(1-3)(1+3)+(5-7)(5+7)+…+(97-99)(97+99)
=-2(1+3+5+7+…+97+99)
1
=-2× (1+99)×50=-5 000.
2
(3)证明:b
k+1=
2k+1-1
=2+
1 ≤2+ 1 ,k=1,2,…,n,
b 2k-1 2k-1 2k-1
k
所以 ∑ n b k+1≤2n+( 1+ 1 + 1 +…+ 1 )
k=1
b
k
2 4 2n-1
1
1-
2n
=2n+ <2n+2.
1
1-
2
所以,
∑
n b
k+1
<2n+2(n∈N*).
b
k=1
k
23.(2022天津耀华中学统练9,19)设{a
n
}是等比数列,公比大于0,{b
n
}是等差数列,n∈N*.
已知a =1,a =a +2,a =b +b ,a =b +2b .
1 3 2 4 3 5 5 4 6
(1)求{a }和{b }的通项公式;
n n
(2)设数列{c
n
}满足c
1
=c
2
=1,c
n
=
{1,3k<n<3k+1,
其中k∈N*.
a ,n=3k,
k
(i)求数列{ ( -1)}的通项公式;
b c
3n 3n
(ii)若{ na
n
}(n∈N*)的前n项和为T
n
,求T
3n
+
∑
3n
b c
(n∈N*).
(n+1)(n+2) i i
i=1
解析 (1)设等比数列{a }的公比为q(q>0),由a =1,a =a +2,可得q2-q-2=0,∴q=2(舍负),故
n 1 3 2
a =2n-1.
n
设等差数列{b }的公差为d,由a =b +b ,a =b +2b ,可得b +3d=4,3b +13d=16,
n 4 3 5 5 4 6 1 1
∴b =1,d=1,故b =n.
1 n
(2)由(1)得c
={1,3k<n<3k+1,
n
2k-1,n=3k,
(i) ( -1)=3n(2n-1-1)=3×6n-1-3n.
b c
3n 3n
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na n·2n-1 2n 2n-1
(ii)∵ n = = - ,
(n+1)(n+2) (n+1)(n+2) n+2 n+1
2 1 4 2 8 4 23n 23n-1
∴T = - + - + - +…+ - ,
3n 3 2 4 3 5 4 3n+2 3n+1
23n 1
即T = - ,
3n 3n+2 2
3n 3n 3n 3n
∑bc=∑[b(c-1)+b]=∑b(c-1)+∑b
i i i i i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1
n 3n
=∑b (c -1)+∑b
3i 3i i
i=1 i=1
n 3n
=∑(3×6i-1-3i)+∑i
i=1 i=1
3×(1-6n) 3×(1-3n) (1+3n)×3n
= - +
1-6 1-3 2
3×(6n-1) 3×(3n-1) (1+3n)×3n 6n+1+9 32n-2×3n
= - + = + ,
5 2 2 10 2
3n 23n 1 6n+1+9 32n-2·3n
所以T +∑bici= - + +
3n 3n+2 2 10 2
i=1
8n 6n+1+4 9n-2·3n
= + + .
3n+2 10 2
一年创新
1.(2022安徽黄山模拟,7)已知曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线为l,数列{a }的首项为
n
1,点(a
n
,a
n+1
)(n∈N*)为切线l上一点,则数列{6-n}中的最小项为(
)
a
n
2 2 1 1
A.- B.- C.- D.
36 35 36 36
答案 C 因为y'=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)·ex,所以曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处
的切线的斜率k=y'| =3.所以切线l的方程为y=3x.
x=0
所以a =3a ,所以 数列 {a } 是首项为 1 , 公比为 3 的等比数列 .所以
n+1 n n
6-n 5-n
{ ≤ ,
6-n
=
6-n
,由
3n-1 3n
解得
13 ≤n≤ 15.因为n∈N*,所以n=7.所以数列
a 3n-1 6-n 7-n 2 2
n ≤ ,
3n-1 3n-2
{6-n} 6-7 1 .故选C.
中的最小项为 =-
a 36 36
n
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2.(2022长沙长郡等十五校联盟联考(一),16)如图,在△ABC中,D是AC边上一点,且
1
⃗AD= ⃗DC,E
n
(n∈N*)为直线AB上一点列,满足:⃗E B=(4a
n+1
-1)
2 n
1 { 1 }的前n项和S = .
⃗E D+ ⃗E C,且a1=6,则数列 n
n 1-2a n a -1
n n
答案 3[ ( 2) n] 4n
1- - -
5 3 5
1 1
解析 由于D是AC边上一点,且⃗AD= ⃗DC,则⃗E A=⃗E D+⃗DA=⃗E D+ ⃗CD=
2 n n n 2
1 3 1
⃗E D+ (⃗E D-⃗E C)= ⃗E D- ⃗E C.
n 2 n n 2 n 2 n
3λ λ
由于E
n
(n∈N*)为直线AB上一点列,则⃗E
n
B=λ⃗E
n
A=
2
⃗E
n
D-
2
⃗E
n
C.
1
因为⃗E B=(4a -1) ⃗E D+ ⃗E C,
n n+1 n 1-2a n
n
3λ
{4a -1= ,
所以 n+1 2 故4an+1-1= -3 ,
1 λ 1-2a
=- , n
1-2a 2
n
整理得4a a -2a -a -1=0,
n+1 n n+1 n
即4(a -1)(a -1)+2(a -1)+3(a -1)=0,
n+1 n n+1 n
2 3 1
故4+
+ =0,令bn=
,则4+2b +3b =0,
a -1 a -1 a -1 n n+1
n n+1 n
2 4
即b =- bn- ,
n+1
3 3
因此b
n+1
+4
=-
2(
b +
4)
,所以
{
b +
4}
是等比数列,bn+
4
=
(
b +
4)·(
-
2) n-1 =
5 3 n 5 n 5 5 1 5 3
( - 2) n-1,则b n =( - 2) n-1 - 4.
3 3 5
[ ( 2) n]
1· 1- -
故S = 3 4 3[ ( 2) n] 4n.
n - n= 1- - -
( 2) 5 5 3 5
1- -
3
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3.(2022天津十二校一模,19)已知数列{a }是公比大于1的等比数列,S 为数列{a }的前n
n n n
T T 1
项和,S
3
=7,且a
1
+3,3a
2
,a
3
+4成等差数列.数列{b
n
}的前n项和T
n
,∀n∈N*满足
n+
n+
1
1-
n
n=
2
,
且b =1.
1
(1)求数列{a }和{b }的通项公式;
n n
{ 2
,n为奇数,
(2)令c n = b ·b 求数列{c n }的前2n项和Q 2n ;
n n+2
a ·b ,n为偶数,
n n
(3)将数列{a },{b }的项按照“当n为奇数时,a 放在前面;当n为偶数时,b 放在前面”的
n n n n
要求进行排列,得到一个新的数列a ,b ,b ,a ,a ,b ,b ,a ,a ,b ,b ,…,求这个新数列的前n项和
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
P .
n
解析 (1)设{a }的公比为q(q>1),由题意得
n
{ a +a +a =7, { a (1+q+q2)=7,
1 2 3 即 1
(a +3)+(a +4)=2×3a , a (1-6q+q2)=-7,
1 3 2 1
所以{a =1, 故a =2n-1.
1 n
q=2,
由
T T 1 {T } 1 T 1 n+1 n(n+1)
n+1- n= ,b1=1,可得 n 是首项为1,公差为 的等差数列,所以 n=1+ (n-1)= ,Tn=
n+1 n 2 n 2 n 2 2 2
n(n+1) n(n-1)
当n≥2时,b =T -T = - =n,
n n n-1
2 2
经检验n=1时也符合上式,故b
n
=n(n∈N*).
{1 1
(2)由(1)知c =
- ,n为奇数,
n n n+2
n·2n-1,n为偶数,
Q =(c +c +…+c )+(c +c +…+c )
2n 1 3 2n-1 2 4 2n
=( 1 1 1 1 1 )+(2×2+4×23+…+2n·22n-1),
1- + - +…+ -
3 3 5 2n-1 2n+1
设R =2×2+4×23+6×25+…+2n·22n-1,
n
则4R =2×23+4×25+6×27+…+2n·22n+1,
n
8·(1-4n-1)
两式相减得-3R =4+2×23+2×25+…+2·22n-1-2n·22n+1=4+2· -2n·22n+1=-
n 1-4
4 1-3n
+ ·22n+2
3 3
4 3n-1
所以R = + ·4n+1,
n
9 9
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所以Q 2n =( 1- 1 ) + (4 + 3n-1 ·4n+1) = 13 - 1 + 3n-1·4n+1.
2n+1 9 9 9 2n+1 9
n(n+1)
(3)数列{a }前n项和S =2n-1,数列{b }的前n项和T = .
n n n n
2
①当n=2k(k∈N*)时,P
n
=S
k
+T
k
=2k-1+k(k+1)=
2
n
2-1+
n(n+2).
2 8
②当n=4k-3(k∈N*)时,
(i)当n=1时,P =P =1.
n 1
(ii)当n≥2时,P =S +T =22k-1-1+(2k-2)(2k-1)= n+1 (n-1)(n+1),
n 2k-1 2k-2 2 2 -1+
2 8
经检验n=1时满足上式,
所以P =
n+1
(n-1)(n+1).
n 2 2 -1+
8
③当n=4k-1(k∈N*)时,
P
n
=S
2k-1
+T{2k =22k-
2
1- n
2
1
-
+2
1+
k(n2(kn++12))=
, 2n
n
2=
-1
2-k1 ,+
(n+3)(n+1).
28 8
n+1
(n-1)(n+1)
综上,P
n
= 2 2 -1+ ,n=4k-3,(k∈N*).
8
n-1
(n+3)(n+1)
2 2 -1+ ,n=4k-1
8
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