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模块四 数列（测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知 是数列 的前n项和，若 ， ，则（ ）
A．数列 是等比数列 B．数列 是等差数列
C．数列 是等比数列 D．数列 是等差数列
【答案】C
【解析】因 ①可得，当 时， ②， 于是，由①-②可得： ，
即 ，可得 ，因 ，在 中，取 ，可得 ，即 ，
故数列 不是等比数列，选项A，B错误；
又因当 时，都有 ，代入 中，可得 ，整理得： ，
故数列 是等比数列，即选项C正确，D错误.
故选：C.
2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数： ，其中从第
三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列 称为“斐波那契数
列”．若把该数列 的每一项除以 所得的余数按相对应的顺序组成新数列 ，则数列 的前
项和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】 ，
除以 所得余数分别为 ； ，
即 是周期为 的周期数列，
因为 ，
，
所以数列 的前 项和为 .
故选：C
3．已知等比数列 的前 项积为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设等比数列 的公比为 ，则 ，则 ，
所以 .
故选：B.
4．已知数列 的前n项和为 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，则 ，整理得 ，
又 ，则 ，
因此数列 是首项为1，公差为1的等差数列，
则 ，所以 .故选：D.
5．已知数列 通项公式为 ，若对任意 ，都有 ，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时， 恒成立，
所以 对 恒成立，故 ，
又当 时， 为单调递增的数列，
故要使对任意 ，都有 ，则 ，即 ，
解得 ，
综上可得 ，
故选:C
6．已知等差数列 中， ，公差 ，前 项和为 ，则下列结论中错误的是（ ）
A．数列 为等差数列
B．当 时， 值取得最大
C．存在不同的正整数 ，使得
D．所有满足 的正整数 中，当 时， 值最大
【答案】C
【解析】 ，得 ，数列 为等差数列，A正确；当 的对称轴为 ，因为 ，所以当 时， 值取得最大，B正确；
因为当 的对称轴为 ，且 ，因此不存在整数对称点，即不存在不同的正整数 ，使
得 ，C错误；
由题可知 ， ，解得 ，
，化简可得 ，
根据二次函数性质可知当 时， 取最大值，因为 ，所以当 时， 值最大，D
正确.
故选：C.
7．若数列 满足 （ ， 为常数），则称数列 为调和数列.已知数列 为调和
数列，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【解析】数列 为调和数列,故 ，所以 为等差数列，
由 ，所以 ，
故 ，所以 ，故 ，故 ，
由于 ，
当且仅当 时等号成立，故 的最大值为2，
故选:B8．已知数列 的首项 ，且 ， ，则满足条件的最大整数
（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
所以数列 是等比数列，首项为 ，公比为 ，
所以 ，即 ，
所以
，
而当 时， 单调递增，
又因为 ，且 ，
所以满足条件的最大整数 .
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知数列 中， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 是递增数列 C． D．
【答案】BD【解析】由 ，可得 ，则 ，
又由 ，可得 ，所以数列 表示首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 ，
由 ，所以A不正确；
由 ，即 ，所以 是递增数列，所以B正确；
由 ，所以C错误；
由 ， ，所以 ，所以D正确.
故选：BD.
10．已知 是等差数列 的前n项和，且 ， ，则下列选项正确的是（ ）
A．数列 为递减数列 B．
C． 的最大值为 D．
【答案】ABC
【解析】设等差数列 的公差为d，
由于 ， ，故 ，
则 ，B正确；
，则数列 为递减数列，A正确，
由以上分析可知 ， 时， ，
故 的最大值为 ，C正确；
，D错误，故选：ABC
11．已知数列 满足 ， ，则 的值可能为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】AD
【解析】由 可得 ，
故 或 ，
当 时，则 ，因此 ，故 ，
若 时，则 为等比数列，且公比为 ，则
故选：AD
12．对于任意非零实数x，y﹐函数 满足 ，且 在 单调递减，
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 为奇函数 D． 在定义域内单调递减
【答案】AC
【解析】令 ，则 ，解得 ，故A正确；
因为 ，即 ，所以 是以 为首项，2为公比的等比数列，
故 ，故B错误；
由题意，函数 的定义域为 ，关于原点对称，
令 ，则 ，
令 代换 ，则 ，
由两式可得 ，化简可得 ，所以 为奇函数，故C正确；
因为 在 单调递减，函数为奇函数，可得 在 上单调递减，
但是不能判断 在定义域上的单调性，例如 ，故D错误.
故选：AC
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列，若 ，则
．
【答案】15
【解析】设等比数列 的公比为 ，
因为 ， ， 成等差数列，
所以 ，
所以 ，因为 ，且各项均为正数，
所以解得 ，
所以 .
故答案为：15
14．设数列 的前 项和为 ，且 .请写出一个满足条件的数列 的通项公式
.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】因为 ，则数列 递减，又 ，即 最大，所以 符合．
故答案为： （答案不唯一）
15．已知数列 满足 ， ，则 ．
【答案】4082
【解析】因为 ，
所以 ， ，
又 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，
两式相减得 ，
所以 的所有奇数项成等差数列，首项为1，公差为4，
的所有偶数项成等差数列，首项为3，公差为4，
所以当n为奇数时， ，当n为偶数时， ，
综述： （ ），
所以 ，
所以 .
故答案为：4082.
16．已知数列 满足 ， ，记数列 的前n项和为 ．若对于
任意 ，不等式 恒成立，则实数k的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题设 ，而 ，则 是首项、公比都为2的等比数列，
所以 ，则 ，
所以 ，
则 在 上恒成立，
要使不等式 恒成立，只需 ，所以实数k的取值范围为 .
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知数列 的前 项和为 ，且满足 ．
(1)求数列 的通项公式；(2)若数列 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）因为 ，
当 时， ，
当 时， ，则 ，
当 时， 不成立，所以 .
（2）由（1）可得 ，
所以
.
18．（12分）
已知等差数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求证： ．
【解析】（1）设数列 的首项为 ，公差为 .
则 .
由 ，可得 ；（2）由（1）， ，则 .
故 .
19．（12分）
数列 前 项和 满足 ，数列 满足 ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)对任意 ，将数列 中落入区间 内项的个数记为 ，求数列 前 项和 ．
【解析】（1） ， ①，当 时， ，
当 时， ②，
两式①-②得 ，即 ，
其中 ，也满足上式，
故 是以 为首项， 为公比的等比数列，
故 ；
；
（2） ，
令 ，解得 ，又 ，
故 ，则 ，
故 ，所以 为等比数列，首项为 ，公比为3，所以 .
20．（12分）
已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）因为 ，
时， ,
两式相减得 ，
， ， ， ，
相乘得 ，所以 ，
当 时符合上式，
所以 ；
（2） ，
当 为奇数时 ，.
21．（12分）
已知等比数列 的公比 ，且 ，首项 ，前n项和为 .
(1)若 ，且 为定值，求q的值；
(2)若 对任意 恒成立，求q的取值范围.
【解析】（1）易知 ，
若 ，且 为定值，
则当且仅当 时， 为定值－1.
（2）因为 ，所以 ，
当 时，有 ，即要满足 恒成立，
当 时，由于 ，这与 恒成立矛盾.
当 时，有 ，即要满足 恒成立，
当 时，由于 ，
故 .
综上，q的取值范围是 .
22．（12分）
设数列 的前n项和为 ，已知 ， .(1)证明数列 为等比数列；
(2)设数列 的前n项积为 ，若 对任意 恒成立，求整数 的最大值.
【解析】（1）因为 ，①
当 时， ，②
① ②得： ，即 ，
经检验 符合上式，
所以数列 是首项为3，公比为3的等比数列.
（2）由（1）知 ，所以 ，
，
所以
，
所以 恒成立，即 ，
化简得： ，
令 ，所以 ，
所以数列 是递增数列，最小值为 ，
所以 ，故整数 的最大值为0.
