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专题13.2 垂直平分线的性质和应用（5个考点）
【考点1： 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】
【考点2： 线段垂直平分线的性质在求角度的应用】
【考点3： 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】
【考点4： 线段垂直平分线的性质的综合应用】
【考点5： 尺规作图-角平分线和垂直平分线的综合】
【考点1： 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】
1．（2022秋•河东区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足
为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为（ ）
A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm
【答案】C
【解答】解：∵△DBC的周长＝BC+BD+CD＝35cm（已知）
又∵DE垂直平分AB
∴AD＝BD（线段垂直平分线的性质）
故BC+AD+CD＝35cm
∵AC＝AD+DC＝20（已知）
∴BC＝35﹣20＝15cm．
故选：C．
2．（2023秋•新城区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，
AD恰好平分∠BAC．若DE＝1，则BC的长是（ ）A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DE⊥AB，AD＝DB，
∴∠DAB＝∠B，
∵AC⊥CD，DE⊥AB，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD＝1，∠CAD＝∠DAB＝∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠CA＝∠DAB＝∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，
∴BC＝BD+DC＝2+1＝3，
故选：B．
3．（2022秋•新宾县期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线分别交
BC，AC于点D，E，则△ABD的周长为（ ）
A．7 B．10 C．14 D．16
【答案】B
【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝10，
故选：B．
4.
4.（2022 秋•费县期末）如图，在△ABC 中，∠B＝2∠C，点 E 为边 AC 的中点，DE⊥AC，交BC于点D，若AB＝5，BC＝13，则BD的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解答】解：连接AD，
∵点E为边AC的中点，DE⊥AC，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C，
∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，
∵∠B＝2∠C，
∴∠B＝∠ADB，
∴AB＝AD＝5，
∴CD＝AD＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝8，
故选：D．
5．（2023秋•滨城区期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，边
AC的垂直平分线EN交BC于点E．已知△ADE的周长为8cm，则BC的长为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【答案】D
【解答】解：∵DM是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵EN是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，
∵△ADE的周长8cm，
∴AD+DE+AE＝8cm，
∴BD+DE+EC＝8cm，
∴BC＝8cm，
∴BC的长为8cm；
故选：D．
6．如图，在△ABC中，AC=5，BC=3，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，
则△BCE的周长等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的
两个端点的距离相等是解题的关键．
根据线段垂直平分线性质知，AE=BE，△BCE的周长
=BC+BE+EC=BC+AE+EC=BC+AC．
【详解】解：∵DE垂直平分AB
∴AE=BE，
∴△BCE的周长=BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=5+3=8
故选：D．
7．如图，在△ABC中，AE=CE=1,DE⊥AC，△BCD的周长为6，则△ABC的周长是
（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】C【分析】本题考查线段垂直平分线的定义及其性质，先判断出DE是线段AC的垂直平分线，
再根据线段垂直平分线的性质得到AD=CD，进而根据三角形的周长求解即可．
【详解】解：∵AE=CE=1,DE⊥AC，
∴DE是线段AC的垂直平分线，AC=2，
∴AD=CD，
∵△BCD的周长为6，
∴BC+BD+CD=6，
∴△ABC的周长是BC+AB+AC =BC+BD+AD+AC =6+2 =8，
故选：C．
1
8．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，分别以点A，点B为圆心，大于 AB的长
2
为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F 作直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的
周长为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了尺规作图，线段的垂直平分线的性质，依据EF垂直平分AB，即可得
出AD=BD，进而得到CD+BD=CD+AD=AC，再根据AC=6，BC=4，即可得出
△BCD的周长，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：依据作图可得，EF垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴CD+BD=CD+AD=AC=6，
又∵BC=4，
∴△BCD的周长为BC+BD+CD=BC+AC=4+6=10，
故选：C．
【考点2： 线段垂直平分线的性质在求角度的应用】
9．（2022秋•下陆区期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足
为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（ ）A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝100°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°，
故选：B．
10．（2023秋•南浔区期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点
D、E，AC的垂直平分线分别交 AC、BC于点 F、G，若∠B＝52°，∠C＝30°，则
∠EAG的度数为（ ）
A．12° B．14° C．16° D．18°
【答案】C
【解答】解：∵∠B＝52°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣52°﹣30°＝98°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B＝52°，
同理∠GAC＝∠C＝30°，
∴∠EAB+∠GAC＝∠C+∠B＝82°，
∴∠EAG＝98°﹣82°＝16°，故C正确．
故选：C．
11．（2023秋•牟平区期中）如图所示，D是线段BC，AB的垂直平分线的交点，若∠CBD＝30°，∠BAD＝28°，则∠ACD的大小是（ ）
A．32° B．38° C．40° D．60°
【答案】A
【解答】解：∵D是线段BC，AB的垂直平分线的交点，
∴DA＝DB＝DC，
∴∠BCD＝∠CBD＝30°，∠BAD＝∠ABD＝28°，
∴∠BDC＝120°，∠ADB＝124°，
∴∠ADC＝116°，
∴∠ACD＝ （180°﹣116°）＝32°，
故选：A．
12．（2023秋•富县期中）如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l 、l 相交于点O，
1 2
若∠BAC＝80°，则∠OBC的度数是（ ）
A．15° B．20° C．10° D．25°
【答案】C
【解答】解：如图所示，连接OA，
∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝100°，
∵AB、AC的垂直平分线交于点O，∴OB＝OA，OC＝OA，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，
∴∠OBA+∠OCA＝∠OAB+∠OAC＝∠BAC，
∴∠OBC+∠OCB＝100°﹣（∠OBA+∠OCA）＝100°﹣∠BAC＝20°，
∴∠OCB＝∠OBC＝10°，
故选：C．
13．如图，在△ABC中，∠B=33°，∠ACB=77°，根据尺规作图痕迹，可知∠α=（
）
A．66° B．77° C．79° D．101°
【答案】C
【分析】本题考查三角形外角性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．掌握基本
性质是解题的关键．
先用三角形内角和求出∠BAC，再用角平分线求出∠CAE，由线段垂直平分线知
∠BCF=∠B，然后求出∠ACF，最后用外角性质求出∠α．
【详解】解：∵ ∠B=33°，∠ACB=77°，
∴ ∠BAC=70°，
根据尺规作图痕迹知：AE平分∠BAC，EF垂直平分BC，
1
∴ ∠CAE= ∠BAC=35°，BF=CF，
2
∴ ∠BCF=∠B=33°，
∴ ∠ACF=∠ACB−∠BCF=44°，
∴ α=∠CAE+∠ACF=79°，
故选：C．
14．如图，在△ABC中，DM和EN分别垂直平分AB和AC，若∠BAC=140°，则
∠DAE的度数为（ ）A．100° B．90° C．80° D．70°
【答案】A
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据垂直平分线的性质
可得出∠B=∠DAB，∠C=∠CAE，根据三角形内角和定理可求出∠B+∠C=40°，
即可得出∠DAB+∠CAE=40°，再根据角的和差关系即可求出∠DAE的度数．
【详解】解： DM和EN分别垂直平分AB和AC，
AD=BD，A∵E=EC，
∴∠B=∠DAB，∠C=∠CAE，
∴∠BAC=140°，
∵∠B+∠C=180°−∠BAC=40°，
∴∠DAB+∠CAE=40°，
∴∠DAE=∠BAC−∠DAB−∠CAE=100°，
∴故选：A．
15．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点
F，连接CF．若∠A=48°，∠ECF=28°，则∠ADB的度数为（ ）
A．152° B．132° C．124° D．104°
【答案】D
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，线段的垂直平分线上
的点到线段的两个端点的距离相等．
根据线段垂直平分线的性质得到FB=FC，得到∠FBC=∠ECF=28°，根据角平分线的
定义得到∠ABD=∠FBC，再根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵EF是BC的垂直平分线，
∴FB=FC，∴∠FBC=∠ECF=28°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠FBC=28°，
∴∠ADB=180°−∠A−∠ABD=180°−48°−28°=104°，
故选：D．
【考点3： 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】
16．（2022秋•阜康市校级期末）如图，有A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现
决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在
（ ）
A．在边AC，BC两条高的交点处
B．在边AC，BC两条中线的交点处
C．在边AC，BC两条垂直平分线的交点处
D．在∠ABC，∠ACB两条角平分线的交点处
【答案】C
【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端
点的距离相等．
则超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．
故选：C．
17．（2022秋•凉山州期末）某地兴建的幸福家园的三个出口A、B、C的位置如图所示，
物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便
业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该安装在△ABC（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三个角的角平分线的交点C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
【答案】A
【解答】解：∵电动车充电桩到三个出口的距离都相等，
∴充电桩应该安装在△ABC三条边的垂直平分线的交点，
故选：A．
【考点4： 线段垂直平分线的性质的综合应用】
18．（2023秋•凉州区校级期末）如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交
BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE．
（1）求证：AB＝EC；
（2）若△ABC的周长为20cm，AC＝7cm，则DC的长为多少？
【答案】（1）见解析；
（2） ．
【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC，
∴AE＝EC，
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AB＝AE，
∴AB＝EC；
（2）解：∵△ABC的周长为20cm，
∴AB+BC+AC＝20cm，
∵AC＝7cm，
∴AB+BC＝13cm，
∵AB＝EC，BD＝DE，
∴AB+BD＝DE+EC＝DC，
∵AB+BC＝AB+BD+DC＝2DC＝13cm
∴ ．19．（2023春•丰城市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点
D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．
（1）若BC＝9，求△AEG的周长．
（2）若∠BAC＝130°，求∠EAG的度数．
【答案】（1）9；
（2）80°．
【解答】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，GF是AC的垂直平分线，
∴EA＝EB，GA＝GC，
∴△AEG的周长＝EA+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝9；
（2）∵∠BAC＝130°，
∴∠B+∠C＝180°﹣130°＝50°，
∵EA＝EB，GA＝GC，
∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C，
∴∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝50°，
∴∠EAG＝130°﹣50°＝80°．
20．（2022秋•永年区期末）如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线．
求证：（1）∠EAD＝∠EDA．
（2）DF∥AC．
（3）∠EAC＝∠B．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，∴AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA；
（2）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF＝DF，
∴∠BAD＝∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ADF＝∠CAD，
∴DF∥AC；
（3）由（1）∠EAD＝∠EDA，
即∠ADE＝∠CAD+∠EAC，
∵∠ADE＝∠BAD+∠B，
∠BAD＝∠CAD，
∴∠EAC＝∠B．
21．已知：△ABC．
求作：点D，使得点D到点B和点C的距离相等，且到点A的距离最小．
【答案】见解析
【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，作线段BC的垂直平
分线MN，过点A作AT⊥MN于点D，点D即为所求．
【详解】解：如图，作线段BC的垂直平分线MN，过点A作AT⊥MN于点D，点D即为
所求，22．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=30°．
(1)尺规作图：
①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，求∠DAE的度数．
【答案】(1)见详解
(2)∠DAE=35°
【分析】本题考查作图—基本作图，线段的垂直平分线的性质以及角平分线的定义等知识，
解题的关键是熟练掌握基本知识．
（1）根据垂直平分线与角平分线的尺规作图方法即可；
（2）首先证明DB=DA，推出∠DAB=∠B=40°，再利用三角形内角和定理推出
∠BAC，最后依据角平分线的定义即可求出．
【详解】（1）解：如图，点D，射线AE即为所求．
（2）∵DF垂直平分线段AB，
∴DB=DA，
∴∠DAB=∠B=40°，
∵∠C=30°，
∴∠BAC=180°−30°−40°=110°，
∴∠CAD=110°−40°=70°，
∵AE平分∠DAC，
1
∴∠DAE= ∠DAC=35°．
2
23．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD为∠BAC的平分线．(1)尺规作图：过点D作AC的垂线DE，交AC于点E．（不写作法，保留作图痕迹，标明
字母）
(2)在（1）的条件下，求证：AB+EC=AC．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了尺规作垂线，角平分线的定义，垂直平分线的性质，全等三角形的判
断．正确的作垂线是解题的关键．
1
（1）以D为圆心，适当长为半径画弧交AC于M、N，以M、N为圆心，大于长 MN为
2
半径画弧，交于点G，连接DG，交AC于E，则DG是线段MN的垂直平分线， DE即为
所求；
（2）根据角平分线和垂直平分线的性质得∠BAD=∠EAD，∠B=∠AED，证
△ABD≌△AED，即可得出结论．
【详解】（1）如图，DE即为所求．
（2）证明：∵AD为∠BAC的平分线，DE为AC的垂线，∠B=90°，
∴∠BAD=∠EAD，∠B=∠AED，
在△ABD和△AED中
{∠DBA=∠DEA
)
∠BAD=∠EAD
AD=AD
∴△ABD≌△AED(AAS)，∴AB=AE，
∵AE+EC=AC，
∴AB+EC=AC．
24．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于点E，
DF⊥AC于点F．
(1)求证：BE=CF；
(2)如果AB=8，AC=6，求BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)BE=1
【分析】本题考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，熟练
掌握相关的知识是解题的关键．
（1）由DG垂直平分BC可得DB=DC，由AD平分∠BAG， DE⊥AB，DF⊥AC，
可得DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，从而证得Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)，得证
BE=CF；
（2）易证Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，得到AE=AF，又BE=CF，因此
AB=AE+BE=AF+BE=AC+2CF=AC+2BE，代入即可解答．
【详解】（1）连接DB，DC，
∵DG垂直平分BC，
∴DB=DC，
∵AD平分∠BAG，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
∴在Rt△DBE和Rt△DCF中
{DB=DC)
DE=DF
∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)，
∴BE=CF．
（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴在Rt△ADE和Rt△ADF中
{AD=AD)
DE=DF
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF
∵BE=CF
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+2CF=AC+2BE，
∵AB=8，AC=6，
∴8=6+2BE，
∴BE=1．
【考点5： 尺规作图-角平分线和垂直平分线的综合】
25．（2023秋•东兰县期中）已知直线l及其两侧两点A、B，如图．
（1）在直线l上求一点P，使PA＝PB；
（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．
（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：26．（2023•宜城市模拟）作图题：在∠ABC内找一点P，使它到∠ABC的两边的距离相等，
并且到点A、C的距离也相等．（写出作法，保留作图痕迹）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①以B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BC、AB于D、E两点；
②分别以D、E为圆心，以大于 DE为半径画圆，两圆相交于F点；
③连接BF，则射线BF即为∠ABC的角平分线；
⑤连接AC，分别以A、C为圆心，以大于 AC为半径画圆，两圆相交于H，G两点；
⑥连接GH交BF延长线于点P，则P点即为所求．
