文档内容
第 03 讲 等比数列及其前 n 项和
(精练）
A 夯实基础
一、单选题
1．（2022·全国·高二课时练习）通过测量知道，温度每降低6℃，某电子元件的电子数目就减少一半．已
知在零下34℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温26℃时，该元件的电子数目接近（ ）
A．860个 B．1730个 C．3072个 D．3900个
【答案】C
由题设知，
该电子元件在不同温度下的电子数目为等比数列，且 ，公比 ．
由 ， ，
得 ．
故选：C．
2．（2022·辽宁·抚顺县高级中学校高二阶段练习）方程 的两根的等比中项是（ ）
A． 和2 B．1和4 C．2和4 D．2和1
【答案】A
由一元二次方程根与系数的关系可知方程 的两根之积为4，
又因为 ，故方程 的两根的等比中项是 ．
故选：A
3．（2022·辽宁·大连市一0三中学高二期中）正项等比数列 中， ， ， 成等差数列，若
，则 （ ）
A．4 B．8 C．32 D．64
【答案】D
由题意可知， ， ， 成等差数列，
所以 ，即 ，
所以 ， 或 （舍），
所以 ，
，故选：D.
4．（2022·全国·高三专题练习（理））在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一
部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m个细菌，在1小时内，有 的细菌分裂为原来
的2倍， 的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原
来的10倍的记录时间为第（ ）
A．6小时末 B．7小时末 C．8小时末 D．9小时末
【答案】A
设 表示第n小时末的细菌数，依题意有 ，
，则 是等比数列，首项为 ，公比 ，
所以 .依题意， ，即 ，所以 ,
由于 ，
又 ，所以 ，所以第6小时末记录的细菌数超过原来的10倍,
故选:A.
5．（2022·全国·高二课时练习）在各项均为正数的等比数列中 ， ， ，则
（ ）
A．1 B．9 C． D．
【答案】B
因为 为各项为正的等比数列， ， ，
所以
故选：B
6．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
若 ，则 ，即 ，所以，数列 为递增数列，
若 ， ，所以，“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
7．（2022·福建龙岩·模拟预测）如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除
此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
根据题意可得，“数字塔”中第 行第 个数均为 的形式，该“数字塔”前10层的所有数字之积
根据指数运算可知，则 按原位置排列即构成杨辉三角，可得 为二项式系数，则第 行数字的和为二
项式系数之和等于
∴前10层的所有数字之和
该“数字塔”前10层的所有数字之积
，则
故选：C．
8．（2022·安徽·合肥市第十一中学高二期末）设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因为数列 为等比数列，则 ， ， 成等比数列，设 ，则 ，则 ，
故 ，所以 ，得到 ，所以 .
故选：C.
二、多选题
9．（2022·全国·高二单元测试）已知数列 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A．数列 是等比数列
B．若 ， ，则
C．若数列 的前n项和 ，则
D．若 ，则数列 是递增数列
【答案】AD
由数列 是等比数列，设公比为 ，
则 是常数，故A正确；
由 ， ，则 ，即 ，
所以 ，故B错误；
若数列 的前n项和 ，
则 ， ，
，
成等比数列， ，
即 ，解得 ，故C错误；
若 ，则 ，数列 是递增数列；
若 ，则 ，数列 是递增数列，故D正确.
故选：AD
10．（2022·吉林·长春十一高高二期末）已知 是等比数列 的前 项和，下列结论一定成立的是
（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则【答案】AC
解：A、若 ，则 ，所以 ，故本选项正确；
、 ，则无法判定 的正负，所以 的正负也无法判定，故本选项错误；
、 ，则 ，若 时， ；若 ， ，故本选项正确；
、若 ，若 ， 时， ；若 ， ，当 时，则
，所以 ，故本选项错误.
故选：AC.
11．（2022·全国·高三专题练习）设 是各项为正数的等比数列，q是其公比， 是其前n项的积，且
， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D． 与 均为 的最大值
【答案】BD
由题意知，
：由 得 ，由 得 ，
所以 ，又 ，所以 ，故 错误；
：由 得 ，故 正确；
：因为 是各项为正数的等比数列， ，
有
所以 ，
所以 ，故 错误；
： ，
则 与 均为 的最大值，故 正确.
故选：
三、填空题
12．（2022·湖北十堰·高二阶段练习）已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 ，
的等差中项为__________.
【答案】 ##设 ，因为 为等比数列，所以 ， ， 成等比数列.
因为 ， ，所以 ，解得 或 （舍去）.
所以 ， 的等差中项为 .
故答案为： .
四、解答题
13．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二开学考试）已知等差数列{an}的公差d＝2，且a＋a＝2，{an}的
2 5
前n项和为Sn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若Sm，a，a 成等比数列，求m的值．
9 15
【答案】(1) (2)6
(1)因为a＋a＝2，d＝2所以2a＋5d＝2a＋10＝2，所以a＝－4
5 2 1 1 1
所以an＝2n－6
(2)由（1）知 Sm＝ ＝m2－5m，a＝12，a ＝24，因为Sm，a，a 是等比数列，
9 15 9 15
所以(a)2＝Sma ，即 ，整理得m2－5m－6＝0，解得m＝6，m＝－1为m∈N*，所以m＝6.
9 15
14．（2022·江苏·高二课时练习）如图，正三角形ABC的边长为20cm，取BC边的中点E，作正三角形
BDE；取DE边的中点G，作正三角形DFG……如此继续下去，可得到一列三角形 ， ，
…，求前20个正三角形的面积和.
【答案】 .
设第n个三角形边长为a，则第n+1个三角形边长为 ，
设第n个三角形面积为 ，
则 ， ，
∵ ， ，所以这些三角形面积成等比数列，且公比 ，首项 ，
所以前20个正三角形的面积和为： ．
B 能力提升
1．（2022·河南·模拟预测（文））设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并满足
条件 ， ， ，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．数列 存在最大值 D． 是数列 中的最大值
【答案】D
因为 是公比为 的等比数列，且 ， ， ，
所以 ， ，所以 ，所以在等比数列 中，
从 到 的每一项都大于 ，从 开始后面所有的项的值都小于 且大于 .
对于A：因为 ，所以 ，故A不正确；
对于B： ，故B不正确；
对于C：根据上面的分析，等比数列 中每一项都为正值，所以 无最大值，
所以数列 无最大值，故C不正确；
对于D：因为在等比数列 中，从 到 的每一项都大于 ，
从 开始后面所有的项的值都小于 且大于 ，所以 是数列 中的最大值，故D正确.
故选：D.
2．（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）以下有四个命题：①一个等差数列 中，若存在
，则对于任意自然数 ，都有 ；②一个等比数列 中，若存在 ，
，则对于任意 ，都有 ；③一个等差数列 中，若存在 ，
，则对于任意 ，都有 ；④一个等比数列 中，若存在自然数 ，使
则对于任意 ，都有 ．其中正确命题的个数是（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个【答案】D
对于①，由 知：公差 ， 自第 项起，数列 为递增数列，
又 ， 对于任意自然数 ，都有 ，①正确；
对于②，由 ， 知：公比 ， 数列 各项符号相同，
即对于任意 ，都有 ，②正确；
对于③，若等差数列 中， ， ，则公差 ， ，③错误；
对于④，由 知：公比 ，
等比数列 为摆动数列，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同，且奇数项与偶数项异号，
对于任意 ，都有 ，④正确；
综上所述：正确的命题的个数为 个.
故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习）等比数列 的前n项和为 ，则r的值为
A． B． C． D．
【答案】B
当 时, ,
当 时，
所以 ，故选B.
4．（2022·广东·佛山市顺德区郑裕彤中学高二期中）已知数列 的前n项和为 ， .若
数列 为摆动数列（从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项），则实数 的取
值范围为_________.
【答案】
由 ①，得 ②，①－②得 ，即 ，
整理得 ，当 时，不合题意，当 且 时， ，
且 时， ， ，数列 是公比为 的等比数列，若数列 为摆动数列，
则有 ，解得 .
故答案为： .
5．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.
著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间
[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段 记为第一次操作；再将剩下的两个区间 分别均分
为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩
下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下
的区间集合即是“康托三分集”. 若使去掉的各区间长度之和不小于 则需要操作的次数n的最小值为
____．(参考数据：lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771)
【答案】6
设 为第n次操作去掉的区间长度和， ，第1次操作后剩下两个长度为 的闭区间，
则第2次操作去掉的区间长度和 ，第2次操作后剩下4个长度为 的闭区间，
则第3次操作去掉的区间长度和 ，如此下去，
第 次操作后剩下 个长度为 的闭区间，则第n次操作去掉的区间长度和
，
显然，数列 是等比数列，首项 ，公式 ，其前n项和 ，
由 得： ， ，而 ，则 ，
所以需要操作的次数n的最小值为6.
故答案为：6
6．（2022·浙江·高二阶段练习）已知数列 的前n项和为 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)判断数列 中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论．
【答案】(1) ；(2)不存在，证明见解析.(1) ， ，则当 时， ，即 ，而 ，
因此，数列 是公比为2的等比数列，则 ，即 ，
所以 .
(2)记 ，由（1）知， ，
不妨假设存在 三项成等差数列，则 ，
因为 ，所以 ，
令 ，则 ，于是有 对 是递增的，
则 ，即 ，
因此 ，即 ，其左边为负数，右边为正数，矛
盾，
所以数列 中不存在成等差数列的三项．
C 综合素养
1．（2022·江苏省赣榆高级中学模拟预测）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下
图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间 平均分成三段，去掉中
间的一段，剩下两个闭区间 和 ；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中
间的一段，剩下四段闭区间： ， ， ， ；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间
段就构成了三分康托集.若经历 步构造后， 不属于剩下的闭区间，则 的最小值是（ ）．
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
不属于剩下的闭区间， 属于去掉的开区间经历第 步，剩下的最后一个区间为 ，经历第 步，剩下的最后一个区间为 ，……，
经历第 步，剩下的最后一个区间为 ，去掉的最后开区间为
由 化简得 ，解得
故选:A
2．(多选）（2022·全国·高三阶段练习）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历
十二年（公元1584年）．他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论．十二平均律的数学意义是：在
1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为 ，
插入11个数后这13个数之和为 ，则依此规则，下列说法正确的是（ ）．
A．插入的第8个数为
B．插入的第5个数是插入的第1个数的 倍
C．
D．
【答案】BC
设该等比数列为 ，公比为 ，则 ， ，故 ，
所以 ，故A错误；
因为 ，故B正确；
，
要证 ，即证 ，即证 ，
即证 ，即证 ，而 ，故C正确；
而 ，
因 ，
所以 ， ，所以 即 ,
所以 ，D错误.
故选：BC．3．(多选）（2022·全国·高三专题练习）我国明代音乐理论家和数学家朱载堉在所著的《律学新说》一书中
提出了“十二平均率”的音乐理论，该理论后被意大利传教士利玛窦带到西方，对西方的音乐产生了深远
的影响.以钢琴为首的众多键盘乐器就是基于“十二平均率”的理论指导设计的.图中钢琴上的每12个琴键
（7个白键5个黑键）构成一个“八度”，每个“八度”各音阶的音高都是前一个“八度”对应音阶的两
倍，如图中所示的琴键的音高 （ 称为“中央C”）.将每个“八度”（ 如 与 之间的音高
变化）按等比数列十二等份，得到钢琴上88个琴键的音阶.当钢琴的 键调为标准音440Hz时，下列选项
中的哪些频率（单位：Hz）的音可以是此时的钢琴发出的音（ ）
（参考数据： ， ， ， ， ， ）
A．110 B．233 C．505 D．1244
【答案】ABD
∵A4 = 440， ，故110Hz是A4往左两个“八度”A2键的音，A正确.
设相邻音阶的公比为 ，则 ，∴ .
而A3 = 220，A4 = 440，A5 = 880， ，B正确；
（n∈N*），C不正确；
，D正确.
故选：ABD.
4．（2022·全国·高二单元测试）取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段；再
将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，
直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，
得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在第n次操作中去掉的线段长度之和不小于 ，则n的最大
值为___________.（参考数据： ， ）
【答案】8
第一次操作去掉的线段长度为 ，第二次操作去掉的线段长度之和为 ，第三次操作去掉的线段长度之和为 ，…，第n次操作去掉的线段长度之和为 ，
由题意知， ，则 ，则 ，
∴ ，即 ，又 ， ，可得 ，故最大值为8.
故答案为：8.
5．（2022·全国·高三专题练习）九连环是中国的一种古老智力游戏，它用九个圆环相连成串，环环相扣，
以解开为胜，趣味无穷．中国的末代皇帝溥仪 也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的
九连环（如图）．现假设有 个圆环，用 表示按照某种规则解下 个圆环所需的银和翠玉制九连环最少
移动次数，且数列 满足 ， ， ，则 _______．
【答案】
当 且 时， ，
所以， .
故答案为： .
