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专题 01 等差数列必备知识点与考点突破
【必备知识点】
◆ 知识点 1 : 等差数列
1.定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数
列,这个常数叫做等差数列的公差,常用字母 表示.
2.等差数列的判定
(1) (定义法); (2) (中项法);
(3) (通项法, 一次函数); (4) (和式法, 其图象是过原点的抛物线上的散点).
3.等差数列通项公式
的几何意义是过 两点的直线的斜率.
例:已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a = 1， － = 1，则an =（ ）
1
A．2n －1 B．n C．2n － 1 D．2n-1
◆ 知识点 2 : 等差数列的性质
设 为等差数列,公差为 ,则
1.若 ,则 .
特别地,(1)若 ,则 ;
2.若 ,则 ;
3.若 是有穷等差数列,则与首、末两项等距离的两项之和都相等, 且等于首、末两项之和,即
.
4.数列 是常数)是公差为 的等差数列.
5.若 是公差为 的等差数列, 与 的项数一致,则数列 为常数)是公差为
的等差数列.
6.下标成等差数列且公差为 的项 组成公差为 的等差数列.7.在等差数列 中,若 ,则有 .
例:已知数列 是等差数列，且 ，则 等于（ ）
A．84 B．72 C．60 D．43
例: 是等差数列，且 ， ，则 的值（ ）
A． B． C． D．
◆ 知识点 3 : 等差数列前 n 项和
1.等差数列前n项和公式
(1)
(2)
(3) (关于前n项和的最大值与最小值可选择此二次函数形式)
2.等差数列前n项和公式与二次函数的关系
等 差 数 列 的 前 项 和 , 令 , 则
.
(1) 当 (即 )时, 是常数函数, 是各项为0的常数列.
(2) 当 (即 )时, 是关于 的一次函数, 是各项为非零的常数列.
(3) 当 (即 )时, 是关于 的二次函数(常数项为0).
从上面的分析,我们可以看出:
(1)一个数列 是等差数列的条件是其前 项和公式 是关于 的二次函数或一次函数或常数函
数,且 为常数).
(2)若一个数列 前 项和的表达式为 为常数),则当 时,数列 不是
等差数列,但从第2项起为等差数列;(3)由二次函数图象可知,当 时( 是递增数列), 有最小值;当 时( 是递减数列), 有最大
值.
例:在等差数列 中， ，前n项和为 ，且 若对一切正整数n，均有 成立，则正
整数 _____________．
◆ 知识点 4 : 等差数列前 n 项和的性质
1.等差数列中依次 项之和 组成公差为 的等差数列
2.若等差数列的项数为 ,则
3.若等差数列的项数为 ,则 ( 是数列的中间项),
4. 为等差数列 为等差数列
5.若 都为等差数列, 分别为它们的前 项和,则
例:设等差数列 的前 项和为 且 则 （ ）
A．2330 B．2130 C．2530 D．2730
例:设 是等差数列 的前n项和，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【核心考点】
◆ 考点 1 : 等差中项
1．等差数列 的前三项依次为x， ， ，则x的值为（ ）A． B． C． D．
2．已知 ， ，则a，b的等差中项为（ ）
A． B． C． D．
3．正项等比数列 中， ， ， 成等差数列，若 ，则 （ ）
A．4 B．8 C．32 D．64
4．已知 为等比数列，若 ，且 与 的等差中项为 ，则 的值为（ ）．
A．5 B．512
C．1024 D．64
◆ 考点 2 : 等差数列的证明
1．等差数列 的前n项和为 ，若 则公差 （ ）
A．1 B．2 C．－1 D．－2
2．已知等比数列 满足 ， ，则（ ）
A．数列 是等差等列 B．数列 是等差数列
C．数列 是递减数列 D．数列 是递增数列
3．数列{ }中 ，则该数列中相邻两项乘积为负数的是（ ）
A． B． C． D．
4．设数列 的前 项和为 ， 且 ，则 （ ）
A． B． C． D．◆ 考点 3 : 等差数列的性质
1．已知数列 满足 ， ， ，则 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．已知数列 是等差数列，且满足 ，则 等于（ ）
A．84 B．72 C．75 D．56
3．在等差数列 中， ，则 （ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
4．设 是等差数列，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．在等差数列 中， 为其前 项和，若 ，则 （ ）
A．20 B．27 C．36 D．45
6．等差数列 满足 ，则其前10项之和为（ ）
A．-9 B．-15 C．15 D．±15
7．已知等差数列 且 ，则数列 的前13项之和为（ ）
A．26 B．39 C．104 D．52
◆ 考点 4 : 已知 Sn 和 an 的关系求通项公式
1．已知 是数列 的前 项和，且满足 ， .则 （ ）
A． B． C． D．
2．各项均为正数的数列{a}的前n项和为S，且3S＝aa ，则a＋a＋a＋…＋a ＝（ ）
n n n n n＋1 2 4 6 2n
A． B．
C． D．3．记数列 的前n项和为 ，若 ，则（ ）
A． B． 是等差数列 C． 是等比数列 D．
4．记数列 的前n项和为 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知数列{a}满足a＝1，S＝ .
n 1 n
（1）求数列{a}的通项公式；
n
（2）若b＝(－1)n＋1 ，数列{b}的前n项和为T，求T .
n n n 2 021
◆ 考点 5 : 等差数列前 n 项和的性质
1．设等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A．45 B．32 C．47 D．54
2．设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
3．等差数列 的前 项和为 ，若 且 ，则( )
A． B．
C． D．4．设等差数列 与等差数列 的前n项和分别为 ， .若对于任意的正整数n都有 ，则
（ ）
A． B． C． D．
5．等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．11 B．7 C．9 D．12
6．已知等差数列{a}和{b}的前n项和分别为S 和S′，如果 (n∈N*)，则 的值是（ ）
n n n n
A． B． C． D．
◆ 考点 6 : 含绝对值的等差数列前 n 项和
1．设等差数列 的前 项和为 ，若 ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项的和 .
2．已知在前 项和为 的等差数列 中， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .◆ 考点 7 : 数列的奇数项和偶数项性质
1．已知等差数列 共有 项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则 的值为（ ）．
A．30 B．29 C．28 D．27
2．(多选)下列结论中正确的有（ ）
A．若 为等差数列，它的前 项和为 ，则数列 也是等差数列
B．若 为等差数列，它的前 项和为 ，则数列 ， ， ， 也是等差数列
C．若等差数列 的项数为 ，它的偶数项和为 ，奇数项和为 ，则
D．若等差数列 的项数为 ，它的偶数项和为 ，奇数项和为 ，则
3．在等差数列{a}中，S ＝120，且在这10项中， ＝ ，则公差d＝________.
n 10
4．已知等差数列 的前 项和为377，项数 为奇数，且前 项中，奇数项的和与偶数项的和之比为
7:6，则中间项为________．
5．已知等比数列 共有32项，其公比 ，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列 的所有项之
和是（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
6．已知项数为奇数的等比数列 的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的
项数为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
7．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数
列的项数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10◆ 考点 8 : 等差数列前 n 项和的函数特征
1．已知 是等差数列， 是其前 项和.则“ ”是“对于任意 且 ， ”的（
）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．(多选)已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ， ，则（ ）
A．数列 是递增数列 B．
C．当 时， 最大 D．当 时，n的最大值为14
3．(多选)等差数列{an }的前n项和记为Sn，若a >0，a <0， 则（ ）
15 16
A．a>0 B．d<0
1
C．前15项和S 最大 D．从第32项开始，Sn<0
15
【过关检测】
一、单选题
1．等差数列 中，若 ， ，则公差 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．设 为等差数列 的前n项和，已知 ， ，则 （ ）A．5 B．6 C．7 D．8
3．已知数列 是等差数列，且满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．记 为等差数列 的前n项和.若 ， ，则 （ ）
A．-54 B．-18 C．18 D．36
5．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 的最大值为（ ）
A． B．52 C．54 D．55
6．等差数列 中， ，前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．1011 B．2022 C． D．
7．等差数列 的前n项和为 ，公差为d，已知 且 ．则使 成立的最小正整数n
的值为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．9
8．设 是等差数列 的前 项和， ， ，当 取得最小值时， （ ）
A．1 B．4 C．7 D．8
9．等差数列 的前 项和为 ，若 ， ， ，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．数列 是递减数列 D．
10．已知数列 中， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．已知 是等差数列，其前n项和为 ，若 ，则下列判断正确的是（ ）A． B． C． D．
12．已知数列 的前 项和 ，则（ ）
A． B． 不是等差数列
C．数列 中 最小 D．
13．记等差数列 的公差为d，前n项和为 ，已知 ， ，则（ ）
A． B． C． D． 是 的最小值
14．等差数列 的前n项和为 ，若公差 ， ，则（ ）
A． B．
C． D． ， ， 的大小不确定，
三、填空题
15．记 为等差数列 的前n项和．若 ，则公差 _______．
16．已知数列 都是等差数列， 分别是它们的前 项和，并且 ，则
___________.
17．已知 ， ，求通项 ________.
18．已知数列 的前 项和为 ，且数列 是首项为1，公差为2的等差数列，若 ，数列
的前 项和为 ，则使得 成立的 的最小值为________．
四、解答题
19．已知在递增的等差数列 中， ， ．(1)求 和 ；
(2)求 的通项公式．
20．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）当 为何值时， 取得最大值．
21．设数列 的前 项和为 ， .
（Ⅰ）当 、 ，且 时，求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 的各项均为负实数，当 时，求实数 的取值范围.
22．已知数列 ， 满足 ， ，且 ， ， 成等比数列，其中 为
正项等差数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
23．已知 是数列 的前 项， .
(1)设 ，求数列 与 的通项公式.
(2)证明： .24．已知数列 的前n项和为
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
