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4.3.2 等比数列的前n项和（1）
一、单选题
1．等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，则其前八项之和等于（ ）
A．15 B．21 C．19 D．17
【答案】D
【解析】由已知得 ，
则
.
故选D.
2．若a，4，3a为等差数列的连续三项，则 的值为（ ）
A．2047 B．1062 C．1023 D．531
【答案】C
【解析】∵ a，4，3a为等差数列的连续三项
∴a+3a=4a=2×4，
解得a=2，
故 =20+21+22+…+29= ．
故选C．
3．已知等比数列｛a｝的公比q= ，且a+a+a+…+a =60，则a+a+a+a+…+a 等于（ ）
n 1 3 5 99 1 2 3 4 100
A．100 B．90 C．60 D．40
【答案】B
【解析】∵ ，∴ ，
∴ .
故选B.
4．等比数列{a}的前n项和为S，若a＋a＋a＋a＝1，a＋a＋a＋a＝2，S＝15，则项数n为（ ）
n n 1 2 3 4 5 6 7 8 n
A．12 B．14 C．15 D．16
【答案】D
【解析】 ＝q4＝2，
由a＋a＋a＋a＝1，
1 2 3 4
得a(1＋q＋q2＋q3)＝1，
1
即a· ＝1，∴a＝q－1，
1 1
又S＝15，即 ＝15，
n
∴qn＝16，
又∵q4＝2，
∴n＝16.
故选D.
5．在等比数列 中, ,前 项和为 ,若数列 也是等比数列,则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设等比数列 的公比为 .
因为数列 也是等比数列，所以 ，
解得： ，所以 .
故选A.6．若 是一个等比数列 的前 项和， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知， 、 、 成等比数列，即 、 、 成等比数列，
所以， ，解得 ，
故选D.
7．设 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】数列 是首项为2，公比为 的等比数列，共有（n+4）项，
所以 .
故选D
8．已知一个等比数列的首项为2，公比为3，第m项至第n项（ ）的和为720，那么m等于
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】由题意可得S﹣S ＝a +a +…+a＝720，
n m﹣1 m m+1 n
∵a＝2，q＝3，
1
由等比数列的求和公式可得， 720，
∴3n﹣3m﹣1＝720，
∴3m﹣1（3n﹣m+1﹣1）＝9×80＝32×5×24，
则3m﹣1≠5×16，
∴3m﹣1＝9，
∴m＝3，故选A
9．已知数列{a}的前n项和为S，且S＝an－2(a为常数且a≠0)，则数列{a}（ ）
n n n n
A．是等比数列 B．当a≠1时是等比数列
C．从第二项起成等比数列 D．从第二项起成等比数列或等差数列
【答案】D
【解析】由数列 的前 的和 ，
可得当 ，得 ； 当 ，得 ，
所以数列 的通项公式为 ，
当 时等比数列，
当 时， 是等差数列，
故选D．
10．已知数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ）
A．128 B．256 C．512 D．1024
【答案】B
【解析】∵S ＝2S﹣1（n∈N ），
n+1 n +
n≥2时，S＝2S ﹣1，∴a ＝2a．
n n﹣1 n+1 n
n＝1时，a+a＝2a﹣1，a＝2，a＝1．
1 2 1 1 2
∴数列{a}从第二项开始为等比数列，公比为2．
n
则a 1×28＝256．
10
故选B．
11．在正项等比数列 中， ， ．则满足 的最大正整
数 的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C【解析】∵正项等比数列 中， ， ，
∴ .
∵ ，
解可得， 或 （舍），
∴ ，
∵ ，
∴ .
整理可得， ，
∴ ，
经检验 满足题意，
故选C．
12．已知 是等比数列 的前 项和，若存在 ，满足 ， ，则数列
的公比为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【解析】设等比数列公比为当 时， ，不符合题意，
当 时， ，
得 ，又 ，
由 ，得 ，
，
故选D.
二、填空题
13．若数列 中， ，且 ，则其前 项和 ______.
【答案】
【解析】依题意， ，所以数列 是以3为首项，3为公比的等比数列，
则 .
故填 .
14．若等比数列 的通项公式是 ，这个数列的前 项之和为______.
【答案】【解析】由题意可得 ，且公比为 ，
因此，该数列的前 项和为 ，
故填 .
15．等比数列 为非常数数列，其前n项和是 ，当 时，则公比q的值为_____．
【答案】
【解析】 ，则 ， ，则 ，
解得 或 （舍去）.
故填 .
16．已知数列 的前n项和为 ，则通项公式为_________．
【答案】
【解析】已知数列 的前n项和为 ，
当 时， ，当 时， ，
而 ，不适合上式，
所以
故填
17．设S 是等比数列 的前n项和，若 ＝ ，则 ＝________.
n
【答案】
【解析】设等比数列 的公比为q，因为
，
所以 )．
由 ＝ ，得 ，解得 ,所以 ，从而
，所以 ，
故填 .18．已知数列 的首项 ， ， ，记 ，若 ，
则正整数 的最大值为__________.
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，设 ，
得 ，与 比较得 ， .
所以 ，
又 ，所以 ，所以数列 为等比数列，
所以 ，所以 ，
所以 ，
若 ，则 ，所以 ，故正整数 的最大值为 ，
故填 .
三、解答题
19．已知等差数列 不是常数列，其前四项和为10，且 、 、 成等比数列.
（1）求通项公式 ；（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】设等差数列 的首项为 ，公差 ，
解得：
；
（2） ，
，
是公比为8，首项为 的等比数列，
.
20．等比数列{a}中，a=1，a=4a．
n 1 5 3
（1）求{a}的通项公式；
n
（2）记S 为{a}的前n项和．若S =63，求m．
n n m
【解析】（1）设 的公比为q，由题有：
解得：
故
（2）若 ，则 ，由 得 ，此方程没有正整数解；
若 ，则 ，由 得， ，综上：
21．记 为数列 的前 项和.已知 .
（1）求 的通项公式；
（2）求使得 的 的取值范围.
【解析】（1）由题知， ①，
当 时，
当 时， ②
①减②得， ，
故 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以
（2）由（1）知， ，
即
等价于
易得 随 的增大而增大
而 ， ， ，
故 ，
22．已知数列 的前 项和为 ， ，且对任意的正整数 ，都有 ，其中常数．设 ﹒
（1）若 ，求数列 的通项公式；
（2）若 且 ，设 ，证明数列 是等比数列；
（3）若对任意的正整数 ，都有 ，求实数 的取值范围．
【解析】∵ ， ，
∴当 时， ，
从而 ， ， ﹒
又在 中，令 ，可得 ，满足上式，
所以 ， ﹒
（1）当 时， ， ，
从而 ，即 ，
又 ，所以数列 是首项为1，公差为 的等差数列，
所以 ．
（2）当 且 且 时，
，又 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列， ﹒
（3）在（2）中，若 ，则 也适合，所以当 时， ．
从而由（1）和（2）可知
当 时， ，显然不满足条件，故 ．
当 时， ．
若 时， ， ， ， ，不符合，舍去．
若 时， ， ， ， ，且 ．
所以只须 即可，显然成立．故 符合条件；
若 时， ，满足条件．故 符合条件；
若 时， ， ，从而 ， ，
因为 ．故 ， 要使 成立，只须 即可．
于是 ．综上所述，所求实数 的范围是 ．
