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思维导图 4.2.1 等差数列的概念
常见考法考点一 判断是否为等差数列
【例1】（2020·上海高二课时练习）下列数列中，不是等差数列的是（ ）
A．1，4，7，10 B．
C． D．10，8，6，4，2
【答案】C
【解析】根据等差数列的定义，可得：
A中，满足 （常数），所以是等差数列；
B中， （常数），所以是等差数列；
C中，因为 ，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；
D中，满足 （常数），所以是等差数列.故选：C.
根据等差数列的定义，只需任意相邻的后一项与前一项的差为定值即可
【一隅三反】
1．（2019·山西应县一中期末（理））若 是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A: =（a+a ）（a ﹣a）=d[2a +（2n﹣1）d]，与n有关系，因此不是等差数列．
n n+1 n+1 n 1
B: = = 与n有关系，因此不是等差数列.
C:3a ﹣3a=3（a ﹣a）=3d为常数，仍然为等差数列；
n+1 n n+1 n
D: 当数列{a }的首项为正数、公差为负数时，{|a|}不是等差数列；故选：C
n n
2．（2020·全国高一课时练习）已知下列各数列，其中为等差数列的个数为（ ）
① 4，5，6，7，8，… ② 3，0，-3，0，-6，…③ 0，0，0，0，… ④ …
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】第一个数列是公差为 的等差数列.第二个数列是摆动数列，不是等差数列.第三个是公差为 的等
差数列.第四个是公差为 的等差数列.故有 个等差数列，所以选C.
3．（2020·全国课时练习）已知数列 ，c为常数，那么下列说法正确的是（ ）
A．若 是等差数列时， 不一定是等差数列
B．若 不是等差数列时， 一定不是等差数列
C．若 是等差数列时， 一定是等差数列
D．若 不是等差数列时， 一定不是等差数列
【答案】D
【解析】当 是等差数列时，由等差数列的性质可知， 一定是等差数列，A错；
对于数列 ：1，2，4，5，令 ，则 为等差数列，B错；
当c为0时， 0，0，0，0是等差数列，但 不是等差数列，C错．故选D．
考点二 求等差数列的项或通项
【例2】（1）（2020·兴安县第三中学期中）由 =4， 确定的等差数列 ，当a=28时，序号 等
n
于（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
（2）（2020·广西南宁三中开学考试）在单调递增的等差数列 中，若 ， ，则 （
）A． B． C．0 D．
【答案】（1）A（2）C
【解析】（1）因为 ， ，所以 ，所以 ，解得
故选：A
（2）因为 是等差数列，所以 ， ，
解得： ， 故选：C
【一隅三反】
1．（2020·江苏江都·邵伯高级中学月考）等差数列 中， ， ，则 （ ）
A．2 B．5
C．11 D．13
【答案】A
【解析】因为 ，得 ①，又 ，得 ②，
由①②得： ，故 .故选：A.
2．（2020·兴安县第三中学期中）在数列 中， =2， ，则 的值为（ ）
A．96 B．98 C．100 D．102
【答案】D
【解析】因为 =2， ，所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，所以 ，
所以 故选：D
3．（2020·广西南宁三中开学考试）数列 中， ， ，那么这个数列的通项公式是（
）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以数列 是以5为首项，3为公差的等差数列，
则 .故选：B
考点三 等差中项
【例2】（1）（2020·全国高一课时练习）已知 ， 则a,b的等差中项为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2020·昆明市官渡区第一中学开学考试（文））已知 ，并且 成等差数列，则
的最小值为_________.
【答案】（1）A（2）16
【解析】（1） ， ，
的等差中项为
，故选A.
（2）由题可得： ，故
【一隅三反】
1.（2020·广东濠江·金山中学高一月考）在等差数列 中，若 ，则
___________．
【答案】60；【解析】 在等差数列 中， ， ，解得 ，
．故答案为：60
2．（2020·全国其他（理））已知数列 为等差数列，若 ，且 与 的等差中项为6，则
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】设 的公差为 .
数列 为等差数列， ，且 与 的等差中项为6，
，解得 ， ， ．故选：D．
3．（2019·兴安县第三中学期中）已知等差数列 的前三项为 ，则此数列的首项
=______ ．
【答案】
【解析】依题意可得 ，解得 ，故等差数列 的前三项为 ，所
以 故答案为：
考点四 证明数列为等差数列
【例4】（2019·全国高一课时练习）设数列{a}满足当n＞1时，a＝ ，且a＝ .
n n 1
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)aa 是否是数列{a}中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由．
1 2 n
【答案】(1)见证明；(2) a a 是数列{a}中的项，是第11项．
1 2 n【解析】(1)证明：根据题意a＝ 及递推关系a≠0.因为a＝ .取倒数得 ＋4，
1 n n
即 ＝4(n＞1)，所以数列 是首项为5，公差为4的等差数列．
(2)解：由(1)，得 ＝5＋4(n－1)＝4n＋1， .
又 ，解得n＝11.
所以aa 是数列{a}中的项，是第11项．
1 2 n
【一隅三反】
1．（2020·全国高一课时练习）已知 ，在数列 中， ， 。
（1）证明： 是等差数列。
（2）求 的值。
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明：当 时，因为 ，所以 ，即 。
易知 ，所以 ，即 。
所以 是首项为 ，公差为 的等差数列。
（2）由（1）知 ，所以 ，所以 。
2．（2019·全国课时练习）已知数列 中， ，数列 满足
．
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）求数列 中的最大项和最小项．
【答案】（1）证明见解析；（2）最小项为 且 ，最大项为 且 ．
【解析】（1）因为 ， ，
所以
又 ，所以数列 是以 为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）知 ，则 ．
设 ，则 在区间 和 上为减函数．
所以当 时， 取得最小值为－1，当 时， 取得最大值为3．
故数列 中的最小项为 且 ，最大项为 且 ．
3．（2020·全国高一课时练习）已知数列{a}满足(a －1)(a－1)＝3(a－a )，a＝2，令b＝ .
n n＋1 n n n＋1 1 n(1)证明：数列{b}是等差数列；
n
(2)求数列{a}的通项公式．
n
【答案】(1) 见证明；(2) a ＝ .
n
【解析】(1)证明： ，
∴ ，即b －b＝ ，∴{b}是等差数列．
n＋1 n n
(2)∵b＝1，∴ ∴a＝ .
1 n
考点五 等差数列的单调性
【例5】（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中高二期末（理））设 是等差数列，则“ ”是“数
列 是递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】在 是等差数列，若 ，可得 ，
所以数列 是递增数列，即充分性成立；
若数列 是递增数列，则必有 ，即必要性成立，
所以“ ”是“数列 是递增数列”的充分必要条件.故选：C.
【一隅三反】
1．（2020·全国高二）首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（ ）
A．d>3 B．d C．3≤d D．30
n 1 2 3 2
又∵a -3a ≤8=a +6d-3(a +2d)=-2a ≤8，∴a ≥-4，0-4，
7 3 1 1 1 1 2 1 4 1
a =a +2d≤1+10=11，即a 的取值范围为(-4,11]，故答案为(-4,11].
4 2 4
