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专题 14 等差数列性质归类
目录
题型一：定义法判断等差数列
题型二：定义法求通项
题型三：等差中项
题型四：等差数列的“中点”性质
题型五：an与sn的关系‘
题型六：双等差数列sn比值型
题型七：等差数列型函数和
题型八：奇数项与偶数项和型
题型九：等差数列的函数性质：单调性
题型十：等差数列的函数性质：sn最值
题型十一：等差数列的函数性质：正负不等式型
题型十二：等差数列的函数性质：恒成立型求参
题型十三：等差数列的函数性质：范围型
题型十四：等差数列的函数性质：sn与n比值型
题型十五：等差数列与三角函数
题型十六：等差数列思维第19题型综合
题型一：定义法判断等差数列
1．（2024·北京西城·三模）中国古代科学家发明了一种三级漏壶记录时间，壶形都为正四棱台，自上而
下，三个漏壶的上底宽依次递减1寸（约3.3厘米），下底宽和深度也依次递减1寸.设三个漏壶的侧面与
底面所成的锐二面角依次为 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高三下·上海浦东新·期中）设 ，记
，令有穷数列 为 零点的个数 ，则有以下两个结
论：①存在 ，使得 为常数列；②存在 ，使得 为公差不为零的等差数列.那么（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①②都正确 D．①②都错误
3．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都
有应用.斐波那契数列 满足 ， .给出下列四个结论：
① 存在 ，使得 ， ， 成等差数列；
② 存在 ，使得 ， ， 成等比数列；③ 存在常数 ，使得对任意 ，都有 ， ， 成等差数列；
④ 存在正整数 ，且 ，使得 .
其中所有正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（21-22浙江金华·阶段练习）已知各项均不为零的数列{an}，定义向量
.下列命题中正确的是
A．若任意n N* 总有cn bn成立，则数列{an}是等比数列
B．若任意n N* 总有cn bn成立，则数列{an}是等比数列
C．若任意n ∈ N* 总有cn ⊥ bn成立，则数列{an}是等差数列
D．若任意n ∈ N* 总有cn ∥ bn成立，则数列{an}是等差数列
∈ ⊥
5．（浙江·高考
∈
真题）如图
∥
，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且
， .（ ）
若
A． 是等差数列 B． 是等差数列
C． 是等差数列 D． 是等差数列
题型二：定义法求通项
1．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知数列 满足 ，数列 满足
，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知数列 各项为正数， 满足 ， ，若， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山西·三模）已知数列 对任意 均有 .若 ，则
（ ）
A．530 B．531 C．578 D．579
4．（2024·全国·模拟预测）已知 ，数列 中， ， ， 为数列 的前
项和， ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则
（ ）
A．110 B．200 C．65 D．155
题型三：等差中项
1．（19-20高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中） 是公比不为1的等比数列 的前n项和， 是 和 的
等差中项， 是 和 的等比中项，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·黑龙江哈尔滨·一模）已知 ，在这两个实数 之间插入三个实数，使这五个数构成
等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·四川成都·期末）若等比数列 的各项均为正数，且 成等差数列，则
（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
4．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列 满足 ，则 （ ）
A． B．5 C．5或－5 D． 或
5．（2022·全国·模拟预测）设 ， ，若 是 与 的等差中项，则 的最小值为
（ ）A．6 B．8 C．9 D．12
题型四：等差数列的“中点”性质
1．（2024·新疆·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·河南信阳·期末）数列 满足 ，已知 ，则 的前19
项和 （ ）
A．0 B．8 C．10 D．1
3．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）设 为等差数列 的前 项和，若 ，则
（ ）
A．5 B．10 C． D．15
4．（2024·全国·模拟预测）已知 为等差数列 的前n项和， ，则 （ ）
A．100 B．250 C．500 D．750
5．（2021全国模拟）等差数列 的前 项和为 ，若 的值为常数，则下列各数中也是常数
的是（ ）．
A． B． C． D．
题型五：an 与 sn 的关系‘
1．（2021·云南昆明·三模）已知数列 的前n项和为 ， ， ，则
（ ）
A．414 B．406 C．403 D．393
2．（22-23高三上海金山·模拟）对于实数 ， 表示不超过 的最大整数. 已知正数数列 满足
， ，其中 为数列 的前 项和，则
A． B． C． D．3．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知数列 的前 项和 （ 为常数，且
），则“ 是等差数列”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023高三·全国·专题练习）设 是数列 的前n项和，且 ，则下列选项错误的
是（ ）
A． B．
C．数列 为等差数列 D． －5050
5．（22-23高三 重庆沙坪坝模拟）已知数列 的前 项和 ，设 为数列
的前 项和.若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型六：双等差数列sn比值型
1．（23-24高三·甘肃定西·阶段练习）已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且
，则 （ ）
A．5 B．6 C．9 D．11
3．（23-24高三·江西抚州模拟）已知等差数列 与 的前 项和分别为 ，且 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高三·全国·专题练习）已知Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和， ，设点A
是直线BC外一点，点P是直线BC上一点，且 ，则实数λ的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23高三·内蒙古包头·模拟）等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若 ＝ ，则
等于（ ）
A． B．
C． D．
5．（22-23高按吉林长春·模拟）若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An 、Bn ，且满足，则 的值为
A． B． C． D．
题型七：等差数列型函数和
1．（2022高三·全国·专题练习）已知数列 为等差数列，且 .设函数 ，记
，则数列 的前13项和为（ ）
A． B． C．7 D．13
2．（22-23高三黑龙江哈尔滨·模拟）已知等差数列 的公差为2020，若函数 ，且
，记 为 的前 项和，则 的值为
A． B． C． D．
3．（20-21高三江苏泰州·模拟）已知等差数列 的前9项和18，函数 ，则
的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（2023·甘肃兰州·模拟预测）已知 是一个等差数列的前 项和，对于函数
，若数列 的前 项和为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022山东潍坊·模拟预测）已知等差数列 ，公差不为 0，若函数 对任意自变量 x都有
恒成立，函数 在 上单调，若 ，则 的前 500 项的和为
（ ）
A．1010 B．1000 C．2000 D．2020
题型八：奇数项与偶数项和型
1．（23-24高三·广东茂名·模拟）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为 ，所有偶
数项
的和为 ，则此数列的项数是（ ）
A． B． C． D．
2．（21-22高三·上海徐汇·模拟）设等差数列的项数 为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为
（ ）A． B． C． D．
3．（22-23高三·四川雅安·阶段练习）一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和
30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．20
4．（2023·重庆·二模）已知等差数列 的前30项中奇数项的和为 ，偶数项的和为 ，且
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三·江苏南京·模拟）已知等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，且 单调递增，若
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型九：等差数列的函数性质：单调性
1．（23-24高三湖北·模拟）已知数列 的前 项和 （ 为常数），则“ 为递
增的等差数列”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高三·江西·阶段练习）设 为等差数列 的前n项和，则对 ， ，是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023·北京顺义·一模）已知 是无穷等差数列，其前项和为 ，则“ 为递增数列”是“存在
使得 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2022·北京·高考真题）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数
，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（20-21高三江苏无锡模拟）数列 是等差数列， ，数列 满足 ，，设 为 的前 项和，则当 取得最大值时， 的值等于（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
题型十：等差数列的函数性质：sn 最值
1．（22-23高三上·海南省直辖县级单位模拟）已知 是等差数列 前 项和， ， ，当
取得最小值时 （ ）．
A．2 B．14 C．7 D．6或7
2．（22-23高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设 为公差为 的无穷等差数列 的前 项和，则“
”是“数列 有最大项”的
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．（21-22高三·上海浦东新·模拟）设 为等差数列 的前n项和，若已知 ，则下列叙
述中正确的个数有（ ）
① 是所有 中的最大值；② 是所有 中的最大值；
③公差 一定小于0 ④ 一定小于
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（22-23高三湖北宜昌·阶段练习）已知数列 为等差数列，若 ，且它们的前n项和 有最
大值，则使得 的n的最大值为
A．19 B．20 C．21 D．22
5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）在等差数列 中， ，且 ， 是其前 项
和，则（ ）.
A． 都小于0， 都大于0
B． 都小于0， 都大于0
C． 都小于0， 都大于0
D． 都小于0， 都大于0
题型十一：等差数列的函数性质：正负不等式型1．（23-24高三·陕西·阶段练习）设等差数列 的前n项和为 ，且 ，
，则下列结论正确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（23-24高三浙江金华模拟）已知公差为 的等差数列 ， 为其前 项和，若
，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．（2022浙江杭州·模拟预测）设等差数列 的前 项和为 ，并满足：对任意 ，都有
，则下列命题不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·重庆·模拟预测）若等差数列 的前n项和为S ，且满足 ，对任意正整数
，都有 则 的值为（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
5．（22-23高三·广东广州·模拟）已知数列 满足 ，记数列 的前 项
和为 ，若 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型十二：等差数列的函数性质：恒成立型求参1．（21-22高三 ·福建南平·模拟）已知等差数列 满足 ， ，
，若对任意正整数 ，恒有 ，则正整数 的值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．7
2．（23-24高三 ·云南昆明·模拟）等差数列 的前n项和为 ，已知 ，
若存在正整数k，使得对任意 ，都有 恒成立，则k的值为（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
3．（22-23高三·广西河池·模拟）已知数列 满足 ，数列 的前
项和为 ，若 的最大值仅为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021高三·江苏·专题练习）对于数列 ，定义 为数列 的“诚信”值，已
知某数列 的“诚信”值 ，记数列 的前 项和为 ，若 对任意的 恒成立，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三·河北唐山·阶段练习）已知等差数列 的前n项和为 ，对任意 ，均有 成
立，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型十三：等差数列的函数性质：范围型
1．（22-23高三·浙江·模拟）等差数列 的公差不为0，其前n和 满足 ，则 的取值
范围为（ ）A． B．
C． D．
2．（21-22高三·北京西城·开学考试）已知等差数列 ， 是数列 的前 项和，对任意的 ，
均有 成立，则 的值不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（21-22高二上·浙江·期末）已知等差数列 的前n 项和为 Sn ，首项 a1 =1，若 ，
则公差 d 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·新疆昌吉·模拟预测）已知数列 满足 ，且前 项和为 ，若
， ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知数列 是公差不为0的无穷等差数列， 是其前 项和，若
存在最大值，则（ ）
A．在 中最大的数是
B．在 中最大的数是
C．在 中最大的数是
D．在 中最大的数是
题型十四：等差数列的函数性质：sn 与 n 比值型
1．（23-24高三 四川眉山·开学考试）在等差数列 中， ，其前 项和为 ，若
，则 （ ）
A．2 023 B．-2 023 C．-2 024 D．2 024
2．（22-23高三·全国·开学考试）设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．18 B．36 C．40 D．42
3．（21-22高三·安徽蚌埠·模拟）已知数列 是等差数列，其前n项和为 ，则下列说法错误的是
（ ）A．数列 一定是等比数列 B．数列 一定是等差数列
C．数列 一定是等差数列 D．数列 可能是常数数列
4．（17-18高三·甘肃张掖·模拟）在各项均为正数的等比数列 中，公比 ，若
， ，数列 的前n项和为Sn，则 取最大值时，n的值为
（ ）
A．8 B．8或9 C．9 D．17
5．（15-16高三·辽宁大连·模拟）设等差数列 满足: ,
公差
, 若当且仅当 时， 的前 项和 取得最大值,则首项 的取值范围
是
A． B． C． D．
题型十五：等差数列与三角函数
1．（2023·江西南昌·模拟）设等差数列 满足： ，公
差 ．若当且仅当 时，数列 的前 项和 取得最大值，则首项 的取值范围是
A． B． C． D．
2．（2022广东深圳·模拟）已知等差数列 满足： ，
，公差 ，则数列 的前 项和 的
最大值为
A． B．
C． D．
3．（2020·浙江宁波·一模）设等差数列 满足： ，公
差 ，若当且仅当 时， 的前 项和取得最大值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高三·江苏·专题练习）已知数列 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项
的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是 ．
5．（21-22高三·四川南充·模拟）等差数列 满足：
，,且公差 ，若当且仅当 时，数列 前 项和取得最大值，则 的取值范围是
．
题型十六：等差数列思维第 19 题型综合
1．（24-25高三上·河北·开学考试）定义二元数 ，将所有的二元数按照从
小到大排列后构成数列 .
(1)求 ；
(2)对于给定的 ，是否存在 ，使得 ， 成等差数
列？若存在求出 满足的条件；若不存在，请说明理由；
(3)若 ，求 .
2．（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知数列 ，对于任意的 ，都有 ，则称
数列 为“凹数列”．
(1)判断数列 是否为“凹数列”，请说明理由；
(2)已知等差数列 ，首项为4，公差为 ，且 为“凹数列”，求 的取值范围；
(3)证明：数列 为“凹数列”的充要条件是“对于任意的 ，当 时，有
”．
3．（24-25高三 ·广东·阶段练习）已知数列 的前三项均为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 的各项均为正整数，且 ．
（ⅰ）若 ， ，证明： 为等差数列；
（ⅱ）若 ， 为递增等差数列，求 的最小值．
4．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）若有穷数列 满足： 且 ，则称其为“ 阶
数列”.
(1)若“6阶 数列”为等比数列，写出该数列的各项；
(2)若某“ 阶 数列”为等差数列，求该数列的通项 （ ，用 表示）；
(3)记“ 阶 数列” 的前 项和为 ，若存在 ，使 ，试问：数
列 能否为“ 阶 数列”？若能，求出所有这样的数列 ；若不能，请说明理由.
