文档内容
【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题10 数列（单选+填空） （新高考通用）
一、单选题
1．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知等差数列 的前n项和为 ，若数
列 满足：对任意的 ，都有 ，且 ，则 （ ）
A．20 B．39 C．63 D．81
【答案】B
【分析】首先设出等差数列的首项和公差，利用条件，根据待定系数法求等差数列
的通项公式，即可求解.
【详解】设等差数列的首项为 ，公差为 ，则 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
则 ，解得： ，所以 ，
那么 .
故选：B
2．（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）非零实数 满足 成等差数
列，则 的最小值为（ ）A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据 成等差数列，可将 用 表示，再将所求化简，利用基本不
等式即可得解.
【详解】因为 成等差数列，
所以 ，
所以 ，
则
，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以 的最小值为 .
故选：B.
3．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知数列 中， ，
， 是数列 的前n项和，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把递推公式转化为 ，再裂项相消即可求.
【详解】由 可得： ，即
两边同时取倒数得： ，即
所以 .
故选：B．
4．（2023·重庆·统考二模）若不等式 对任意 恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据奇偶数对n讨论，再分离参数a，转化函数最值问题即得解.
【详解】（1）当n为偶数时， 恒成立，即转化为 恒成立，
而数列 是递增数列，故 时， ，故 ；
（2）当n为奇数时， 恒成立，即 ，转化为 恒成
立，
而数列 是递增数列，n为奇数时， ，故 ；
综上可得a的范围为 .
故选：B.
5．（2023春·河北邯郸·高三大名县第一中学校考阶段练习）已知数列 满足 ，
，设数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】根据等差数列定义和通项公式可推导得到 ，由此可得 ，利用裂项相
消法可求得 ，由 可构造不等式求得 的范围，进而得到最小值.
【详解】 ， ， 数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
，则 ，
，
，
由 得： ，解得： ，又 ， .
故选：B.
6．（2023秋·福建泉州·高三校考阶段练习）若数列 满足 ，
（ ，且 ），记 ，则 （ ）
A．-1 B． C． D．
【答案】C
【分析】通过递推式 得出数列 是以4为周期的数列，进而可
得结果.
【详解】由 得 ，
所以 ，则 ，
所以数列 是以4为周期的数列，因为 ，所以 ， ， ，则 ，
所以 ，
故选：C.
7．（2023·福建莆田·统考二模）若 ，则（ ）
A． 是等差数列 B． 是等比数列
C． 是等差数列 D． 是等比数列
【答案】A
【分析】根据已知指数式，求出 ，结合对数的运算法则及等差数列与等比数列的
定义逐项判断即可得结论.
【详解】因为 ，
所以 ，
则 ，故 是等差数列，故A正确；
因为 ，
所以 ，故 不是等比数列，故B不正确；
因为
所以 ，故 不是等差数列，故C不正确；
因为所以 ，故 不是等比数列，故D不正确.
故选：A.
8．（2023·江苏南通·统考模拟预测）传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，
古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上
放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第
四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦的总重量大约为（ ）
吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3）
A．105 B．107 C．1012 D．1015
【答案】C
【分析】由等比数列求和公式结合对数的运算求解即可.
【详解】64个格子放满麦粒共需 ，
麦子大约20000粒，1吨麦子大约 粒，
，
故选：C.
9．（2023·山东日照·统考一模）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，
，设 ，若存在正整数 ，使得 ， ， 成等差数列，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数列的递推公式得出 ，然后根据等差数列的性质进项求解即
可得出结果.
【详解】数列 满足 ， ，当 时， ，解得： ；
当 时， ，
因为 ，所以 ，所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列，
所以 ， ，
若存在正整数 ，使得 ， ， 成等差数列，
则 ，所以 ①
因为数列 是单调递减数列，
当 时，由 ，解得： ，舍去；
当 时，则 ， ；
当 时， ， ，所以 ，①式不成立，
所以 ，则有 ，解得： ，
故选： .
10．（2023春·山东济南·高三统考开学考试）已知等比数列 的公比为 ，其前 项
和为 ，若 对任意的 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由条件可得 ，讨论 ，根据等比数列求和公式化简 ，可得 的取
值范围.
【详解】因为 为等比数列 的公比，所以 ，
因为 对任意的 恒成立，所以 ，当 时， 恒成立，满足条件，
当 ， ，
由 对任意的 恒成立，可得 ，
所以 ，
所以 或 ，
所以 或 或 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D.
11．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）图 是第七届国际数学教育大会的会徽图案，
会徽的主体图案是由如图 所示的一连串直角三角形演化而成的，其中
，如果把图 中的直角三角形继续作下去，记 ，
， ， 的长度构成的数列为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可推出 ，且 ，从而说明数列 是以 为首
项， 为公差的等差数列，求得数列 的通项公式，即可求得答案.【详解】由题意知， ，
， ， ， ， 都是直角三角形，
，且 ，故 ，
数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
．
又 ， ，
数列 的通项公式为 ，
，
故选：C．
12．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期末）2021年7月24日，中共中央
办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训
负担的意见》，这个政策就是我们所说的“双减”政策，“双减”政策极大缓解了教
育的“内卷”现象，而“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭．数学中的螺旋线可
以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”
或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）
所示．如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：
正方形 的边长为4，取正方形 各边的四等分点 ， ， ， ，作第2
个正方形 ，然后再取正方形 各边的四等分点 ， ， ， ，作第3
个正方形 ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．设正方形
边长为 ，后续各正方形边长依次为 ， ，…， ，…；如图（2）阴影部
分，设直角三角形 面积为 ，后续各直角三角形面积依次为 ， ，…， ，….
下列说法错误的是（ ）A．从正方形 开始，连续3个正方形的面积之和为
B．
C．使得不等式 成立的 的最大值为4
D．数列 的前 项和
【答案】C
【分析】找到规律，得到 ，推导出等比数列，求出 的通项公式即可判
断B选项；进而得到从正方形 开始，连续3个正方形的面积之和，即可判断A
选项；先求得 的通项公式，再解不等式即可判断C选项；利用等比数列前 项和
公式即可判断D选项．
【详解】依题意可得 ， ，
，…， ，
则 ，所以数列 是以4为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，故B正确；
所以连续3个正方形的面积之和为 ，故A正确；由题意得 ，即 ， ，…， ，
则 ，
令 ，则 ，又 ，故C错误；
又 ，故D正确．
故选：C．
13．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出
贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作
中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其
特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数
列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第15项为（ ）
A．196 B．197 C．198 D．199
【答案】C
【分析】根据二阶等差数列的定义求出数列 的通项公式，再利用累加法计算
即可得 .
【详解】设该数列为 ，则 ；
由二阶等差数列的定义可知，
所以数列 是以 为首项，公差 的等差数列，
即 ，所以将所有上式累加可得 ，所以 ；
即该数列的第15项为 .
故选：C
14．（2023·湖南张家界·统考二模）已知 是各项均为正数的等差数列，其公差为
，若 ， ， 也是等差数列，则其公差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等差中项化简可得 ，代入 化简可得解.
【详解】因为 ， ， 是等差数列，
所以 ，
所以 ，即 ，又 ，可得 ，
所以公差 .
故选：D.
15．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知数列 满足 ，
,则 的前 项积的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】C
【分析】先通过递推关系推出数列的周期为 ，然后 个数为一组，分别计算
的表达式 后进行研究.
【详解】由 可知， ， ，亦可得： ，两式相除得： ，即 ，所以数列 是以 为周期的周期数列，由
得： .
记数列 的前 项积为 ，结合数列的周期性，当 ，则 ，
记 ，为了让 越大，显然需考虑 为偶数，令 ，结合指数函数
的单调性，则 ，即 ；类似的
，
.综上所述， 的前 项积的
最大值为 .
故选：C.
16．（2023·广东梅州·统考一模）某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序
中的某序列 重新编辑，编辑新序列为 ，它的第
项为 ，若序列 的所有项都是2，且 ， ，则 （ ）
A． B． C．. D．
【答案】B【分析】设 ，由题意得到第 项为 ，然后利用累乘法求解.
【详解】解：设 ，由题意得 ，第 项为 ，
则 时， ，
因为 ， ，
所以 ，
解得 ，
故选：B
17．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知数列 是等差数列，且
，将 去掉一项后，剩下三项依次为等比数列 的前
三项，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差及通项公式，再确定等比数列
的前三项作答.
【详解】在等差数列 中， ，解得 ，而 ，即有公差
，
等差数列 的通项 ，则 ，显然去掉
，成等比数列，则数列 的首项为 ，公比 ，
所以 .
故选：C
18．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知数列 满足 ，
且 ，若存在正偶数m使得
成立，则 （ ）
A．2016 B．2018 C．2020 D．2022
【答案】D
【分析】由 得 ,由此可得化简 ;
由 及正偶数m得 ,由此可化简
,最后建立等式关系求得 值.
【详解】由题意， ，故 ，
∴ ，
∵m为正偶数，∴ ，
∴左边 ，
此时， ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】关键点点睛:(1)化简 的方法是用累乘法, 利用 各项相乘相
消后即可.(2)化简 的方法是用累加法,利用
各项相加相消后即可.
二、填空题
19．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）在等比数列 中， ，
记数列 的前 项和､前 项积分别为 ，则 的最大值是______.
【答案】8
【分析】结合题意求出数列 的首项与公比，进而求出前 项和､前 项积分别为 ，
，然后表示出 ，结合函数的性质即可判断.
【详解】因为 ， ，所以公比 ，所以
，所以 ， ，
， ，
因为 ，所以 或 时， 取最大值 .
故答案为：8
20．（2023·广东·校联考模拟预测）如图是一种科赫曲线，其形态似雪花，又称雪花曲
线．其做法是：从一个正三角形（记为 ）开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间线段为底边，分别向外作正三角形，再把此中间线段去掉，得到图形 ；把
的每条边三等份，以各边的中间线段为底边，向外作正三角形后，再把此中间线段去
掉，得到图形 ；依此下去，得到图形序列 ， ， ， ， ， ，设 的边长
为1，图形 的周长为 ，若 ，则n的值为________．（参考数据：
， ）
【答案】16
【分析】根据题意，先分析边长之间的变化规律，再分析边数的变化规律即可求出
图形的周长,从而求出n的值.
【详解】由题意可知， 图形的边长为1， 图形的边长为上一个图形边长的 ，
图形的边长又是上一个图形边长的 ，……，
所以各个图形的边长构成首项为1，公比为 的等比数列，
所以 图形的边长为 ，
由图可知，各个图形的边数构成首项为3，公比为4的等比数列，
所以 图形的边数为 ，
所以 图形的周长为 ，
即 ，所以 ;
故答案为：16.21．（2023·广东广州·统考一模）已知 ，将数列 与数列 的公共项
从小到大排列得到新数列 ，则 __________.
【答案】
【分析】分析可知 是正奇数列，根据题意求得 ，然后利用裂项相消
法可求得 的值.
【详解】因为数列 是正奇数列，
对于数列 ，当 为奇数时，设 ，则
为偶数；
当 为偶数时，设 ，则 为奇数，
所以， ，则 ，
因此， .
故答案为： .
22．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知数列 满足： ，
则首项 的取值范围是:______当 时，记 ，且 ，则整数
__________.
【答案】
【分析】根据递推关系可得： ，利用 即可得到 的取值范围；然后得到 ，利用裂项相消即可求得 ，进而求解.
【详解】由 ，可得 ，所以 ，即 ，
则 ， ，所以 ， ，
，所以
，所以
，
因为 ，所以 ，则有 ，
所以 ，则 ，
故答案为： .
23．（2023·安徽宿州·统考一模）已知数列 的前n项和为 ，且 ，则
数列 的前n项和 ______.
【答案】
【分析】根据给定的递推公式求出数列 的通项，再利用裂项相消法求解作答.
【详解】数列 的前n项和为 ， ， ，当 时，
，
两式相减得： ，即 ，而 ，解得 ，因此数列 是首项为2，公比为2的等比数列， ，
，
所以
.
故答案为：
24．（2023秋·重庆·高三统考学业考试）记 表示不超过 的最大整数，例如：
， ，已知数列 满足 ，且 ，则
___________.
【答案】
【分析】分析可知 ，由已知等式变形可得 ，利用裂项相消
法化简代数式 ，求出 的取值范围，
结合题中定义可得结果.
【详解】因为 ，则 ，
因为 ，则 ， ， ，以此类推可知 ， ，则
，且有 ，所以， ，
所以， ，
所以，
，
因此， .
故答案为： .
25．（2023春·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）已知在数列 中，
， ， 则 ______．
【答案】
【分析】根据递推关系得到 、 、......、 及 、
，......、 ，进而得 ，即可求值.
【详解】由 ， ， ， ， ，
，
， ，...... ,
所以， ，即 ，同理得 、......、 ；
，即 ，同理得 ，......、
；综上， .
故答案为：
26．（2023·福建厦门·统考二模）数列 满足 ，若
， ，则 ＝____________．
【答案】-6
【分析】由递推公式可得数列 的周期为4，又因为 ，再由
计算即可.
【详解】解：因为 ， ，
所以 ， ， ， ，
所以数列 的周期为4，
又因为 ，
所以 .
故答案为：-6
27．（2023秋·山东枣庄·高三统考期末）已知等差数列 的前n项和为 ，若 ，
且 ，则 ______.
【答案】2
【分析】先结合 算出 ,再计算 .
【详解】∵ ,
∴ ,
, ,,
故答案为：2.
28．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知数列 满足：
，记 ，且 ，则整数 _____．
【答案】
【分析】根据因式分解法，结合取倒数法进行求解即可.
【详解】由 ，可得 ，
所以 ， ，
则 ，所以 ，
，所以 ，
，
所以
，
因为 ，所以 ，则有 ，
所以 ，则 .
故答案为： ．
【点睛】关键点睛：利用取倒数法，结合因式分解法是解题的关键.
29．（2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且，若存在两项 ，使得 ，则 的最小值为_____________.
【答案】
【分析】先根据 可得数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，即可得
到 ，结合 可得 ，再结合基本不等式求解即可.
【详解】由 ，得 ，
两式相减得 ，
而 ，即 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
即 .
又 ，即 ，得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号.
所以 的最小值为 .
故答案为： .
30．（2023秋·浙江宁波·高三期末）已知数列 满足： ，
若 恒成立，则实数k的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据数列 的递推公式利用数学归纳法即可证明 单调递减且 ，构造函数 可得 ，判断出函数单调性根据恒成
立问题即可求出k的取值范围.
【详解】由 ，可得 ，即 ，
因为 在 上为单调递增，且 ，
而 ，即 ，可得 ，
可猜想数列 单调递减且 ，
下面由数学归纳法证明：当 时， ，即 ，满足
，
当 时，假设 成立，
当 时， ，即 ，
即 ，可得 ，
又因为 ，即 ，
所以 成立，
即数列 单调递减且 成立，
由单调有界收敛定理可知 收敛，设 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 递减且趋于0，
令 ，则 恒成立，
，令 ，
则 在 恒成立，所以 在 恒成立，所以 在 单调递增，
所以由 恒成立可知 ，即 ，
所以 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：根据数列 的递推公式确定 ，再通过构造函数将问题
转化成不等式恒成立问题，利用导数判断函数单调性即可求解.
