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8.2 立方根【7 个必考点】
【人教版2024】
【知识点1 立方根】..................................................................................................................................................1
【必考点1 求一个数的立方根】..............................................................................................................................2
【必考点2 求代数式的立方根】..............................................................................................................................3
【必考点3 根据立方根的性质求值】.....................................................................................................................4
【知识点2 开立方】..................................................................................................................................................6
【必考点4 运用开立方解方程】..............................................................................................................................6
【必考点5 立方根小数点移动规律】.....................................................................................................................8
【必考点6 立方根的实际应用】............................................................................................................................10
【必考点7 推算大数的立方根】............................................................................................................................12
【知识点1 立方根】
1.概念及表示：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根.类
似于平方根，一个数a的立方根记为“√3 a”，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数.
2.性质：①每个数a有且只有一个立方根，其中a可正、可负、可为0.
②正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
【必考点1 求一个数的立方根】
√ 1
【例1】3 的值等于（ ）
64
1 1 1 1
A．− B． C．− D．
4 4 8 8
【分析】根据立方根的定义计算即可．
√ 1 1
【解答】解：3 = ，
64 4
故选：B．
【变式1】下列说法正确的是（ ）
A．❑√64的立方根是2
B．﹣3是27负的立方根
125 5
C． 的立方根是±
216 6D．（﹣1）2的立方根是﹣1
【分析】根据立方根的定义进行判断即可．
【解答】解：A.❑√64的立方根，就是8的立方根，8的立方根是2，因此选项A符合题意；
B.27的立方根是3，﹣27的立方根是﹣3，因此选项B不符合题意；
125 5
C. 的立方根是 ，因此选项C不符合题意；
216 6
D．（﹣1）2的立方根，即1的立方根是1，因此选项D不符合题意；
故选：A．
√ 27
【变式2】求值：3− =（ ）
64
3 3 9 3
A． B．± C．− D．−
4 4 8 4
【分析】如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，由此即可得到答案．
√ 27 3
【解答】解：3− =− ．
64 4
故选：D．
1 3 1
【变式3】已知(− ) =− ，则下列说法正确的是（ ）
2 8
1 1 1 1
A．− 是− 的立方根 B．− 是− 的立方根
8 2 2 8
1 1 1 1
C．± 是− 的立方根 D．± 是− 的立方根
2 8 8 2
【分析】根据立方根的概念，求立方根逐一验证选项即可．
1 3 1
【解答】解：∵(− ) =− ，
2 8
1 1
∴− 是− 的立方根，故选项A、C、D均错误；B正确．
2 8
故选：B．
【必考点2 求代数式的立方根】
1 2
【例1】若|x−5|+(y+ ) +❑√z−1=0，则√3 xyz= ．
5
【分析】根据绝对值，偶次幂及算术平方根的非负性求得 x，y，z的值，然后将其代入√3 xyz中计算即
可．1
【解答】解：由题意可得x﹣5＝0，y+ =0，z﹣1＝0，
5
1
解得：x＝5，y=− ，z＝1，
5
√ 1
则√3 xyz=35×(− )×1=√3−1=−1，
5
故答案为：﹣1．
【变式1】若❑√x−5+(y+25) 2=0，则√3 xy的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C．15 D．25
【分析】先运用非负数的性质求得x，y的值，再代入求解即可．
【解答】解：∵❑√x−5+(y+25) 2=0，
∴x﹣5＝0，y+25＝0，
解得：x＝5，y＝﹣25，
∴ ．
√3 xy=√35×(−25)=√3−125=−5
故选：A．
【变式2】若a，b为实数，且 ，则 的值为（ ）
❑√a+1+(9−b) 2=0 √3 a+b
A．﹣2 B．2 C．±2 D．3
【分析】根据二次根式的被开方数和偶次方为非负数，得到相应的关系式求出 a、b的值，然后代入求
解，最后求数的立方根即可
【解答】解：∵ ，
❑√a+1+(9−b) 2=0
∴a+1＝0，9﹣b＝0，
解得：a＝﹣1，b＝9，
∴√3 a+b=√3−1+9=√38=2，
故选：B．
1
【变式3】已知|b+2|+❑√a−b−5=0，则 ab3的立方根为（ ）
3
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】根据非负数的性质列出二元一次方程组求出a，b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵|b+2|+❑√a−b−5=0，{ b+2=0 )
∴ ，
a−b−5=0
{ a=3 )
解得 ，
b=−2
1 1
ab3= ×3×(−2) 3=−8，
3 3
∵√3−8=−2，
1
∴ ab3的立方根为﹣2．
3
故选：A．
【变式4】已知x=❑√2，如果a是x2+223的算术平方根，2b﹣1是x2+25的立方根，则|x﹣a﹣b|+x的值为（
）
A．﹣17 B．17 C．﹣19 D．19
【分析】首先求出x2+223，x2+25的值；然后根据算术平方根、立方根的含义和求法，求出a、b的值，
进而求出|x﹣a﹣b|+x的值即可．
【解答】解：∵x=❑√2，
∴ ，
x2+223=(❑√2) 2+223=225，x2+25=(❑√2) 2+25=27
∵a是x2+223的算术平方根，2b﹣1是x2+25的立方根，
∴a=❑√225=15，2b−1=√327=3，
∴b＝2，
∴|x﹣a﹣b|+x
＝|❑√2−15﹣2|+❑√2
＝17−❑√2+❑√2
＝17．
故选：B．
【必考点3 根据立方根的性质求值】
【例1】已知√3 x−1=x﹣1，则x2+x的值为（ ）
A．0或1 B．0或2 C．0或6 D．0或2或6
【分析】根据立方根等于它表示的数有0和±1解答即可．
【解答】解：∵√3 x−1=x﹣1，
∴x﹣1＝0或1或﹣1，解得x＝1或2或0，
∴x2+x的值为2或6或0．
故选：D．
【例2】已知√32a−8+√35−3b=0，则❑√6a−9b的值为（ ）
A．9 B．±9 C．3 D．±3
【分析】由已知条件得出2a﹣8+5﹣3b＝0，整理得2a﹣3b＝3，再代入被开方数计算即可．
【解答】解：∵√32a−8+√35−3b=0，
∴2a﹣8+5﹣3b＝0，
∴2a﹣3b＝3，
∴❑√6a−9b=❑√3(2a−3b)=❑√3×3=3，
故选：C．
【变式1】若 ，则x的值为 ．
√3 1−x2=1−x2
【分析】根据0和±1的立方根是它本身进行求解．
【解答】解：∵0和±1的立方根等于它本身，
∴1﹣x2＝0，1﹣x2＝1或1﹣x2＝﹣1，
解得x＝0，x＝±1或x＝±❑√2，
故答案为：0、±1或±❑√2．
x
【变式2】若非零实数x，y满足√3 y−2x+√3 x−3 y=0，则 = ．
y
【分析】根据和为0的两个数互为相反数，可得y﹣2x+x﹣3y＝0，从而得结论．
【解答】解：∵非零实数x，y满足√3 y−2x+√3 x−3 y=0，
∴y﹣2x+x﹣3y＝0，
∴﹣x＝2y，
x
∴ =−2．
y
故答案为：﹣2．
【变式 3】一个正数 a 的两个平方根分别是 2x﹣3 和 1﹣x，且√31−2b+√33b−5=0，则 x＝ ，
❑√a+2b= ．
【分析】根据平方根的意义求出x，a的值，再利用立方根的性质求出b的值，再计算❑√a+2b．
【解答】解：∵一个正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x，
∴2x﹣3+1﹣x＝0，解得：x＝2，
∴2x﹣3＝1，1﹣x＝﹣1，
∴a＝1；
∵√31−2b+√33b−5=0，
∴1﹣2b+3b﹣5＝0，
解得：b＝4，
∴❑√a+2b=❑√1+2×4=❑√9=3，
故答案为：2；3．
【知识点2 开立方】
求一个数的立方根的运算，叫作开立方.
正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算，根据这种互逆关系，可以求一个数的立
方根.
【必考点4 运用开立方解方程】
【例1】解方程：﹣8（1﹣2x）3＝27．
【分析】方程变形后，利用立方根定义开立方即可求出解
【解答】解：﹣8（1﹣2x）3＝27，
27
方程整理得：(1−2x) 3=− ，
8
3
开立方得：1−2x=− ，
2
5
解得：x= ．
4
1 3 1
【变式1】求下列式子中x的值：(x− ) =− ．
2 125
【分析】直接利用立方根的定义求解即可．
1 3 1
【解答】解：(x− ) =− ，
2 125
1 1
x− =− ，
2 5
1 1
x=− + ，
5 2
3
x= ．
10【变式2】解下列方程（组）：
（1）（2x+3）2＝（﹣3）2；
1
（2）8(1−x) 3− =0．
27
【分析】（1）开平方得出两个一元一次方程，继而可得出x的值；
（2）化简后，两边开立方，即可得出一个一元一次方程，求出即可．
【解答】解：（1）（2x+3）2＝（﹣3）2，
（2x+3）2＝9，
2x+3＝±3，
即2x+3＝3和2x+3＝﹣3，
解得：x＝0和x＝﹣3；
1
（2）8(1−x) 3− =0，
27
1
8(1−x) 3= ，
27
1
2(1−x)= ，
3
5
解得：x= ．
6
【变式3】解方程：
（1）4（2﹣x）2＝9；
1
（2） (2x+2) 3+13=45．
2
【分析】（1）根据平方根的定义解方程即可；
（2）根据立方根的定义解方程即可．
【解答】解：（1）4（2﹣x）2＝9，
9
(2−x) 2= ，
4
3
2﹣x＝± ，
2
1 7
x= 或x= ；
2 2
1
（2） (2x+2) 3+13=45，
21
(2x+2) 3=32，
2
（2x+2）3＝64，
2x+2＝4，
x＝1．
【变式4】求x的值：
（1） ；
(2x−1) 2=❑√16
（2）8（x3+1）+56＝0．
【分析】（1）先计算❑√16=4，方程两边再开方，得两个一元一次方程，最后解一元一次方程，可得
解；
（2）方程移项后除以8，得x3+1＝7，再移项后开立方即可得到方程的解．
【解答】解：（1） ，
(2x−1) 2=❑√16
（2x﹣1）2＝4，
2x﹣1＝±2，
2x﹣1＝2，2x﹣1＝﹣2，
3 1
解得：x= 或x=− ；
2 2
（2）8（x3+1）+56＝0，
8（x3+1）＝﹣56，
x3+1＝﹣7，
x3＝﹣7﹣1，
x3＝﹣8，
解得：x＝﹣2．
【必考点5 立方根小数点移动规律】
【例1】已知√3 0.214≈0.5981，√32.14≈1.289，√321.4≈2.776，则√321400≈ ．
【分析】根据√321400=√321.4×1000=√321.4×√31000结合已知条件即可得到答案．
【解答】解：√321400=√321.4×1000=√321.4×√31000≈2.776×10=27.76．
故答案为：27.76．
【变式1】已知√3−1285≈−10.87，√312850≈23.42，√3 a≈1.087，√312.85≈b，则a＝ ，b＝
．【分析】根据立方根的小数点就向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出a的值，根据
被开方数小数点向左移动三位，其立方根的小数点就向左移动一位即可求出b的值．
【解答】解：∵√3−1285≈−10.87，√3 a≈1.087，
∴a≈1.285，
∵√312850≈23.42，√312.85≈b，
∴b≈2.342，
故答案为：1.285，2.342．
【变式2】观察：观察❑√5≈2.236，❑√50≈7.071，√36.137≈1.8308，√36137≈18.308；填空：
①则❑√0.5≈ ．
②若√3 x≈−0.18308，则x≈ ．
【分析】根据根号内的小数点移动规律即可求解．
【解答】解：∵❑√50≈7.071，
∴❑√0.5≈0.7071，
∵√36.137≈1.8308，√36137≈18.308；
∴x≈﹣0.006137．
故答案为：0.7071；﹣0.006137．
【变式3】若√3−0.214=−0.5981，√3 x=0.5981，则x的值是（ ）
A．0.5981 B．±0.5981 C．0.214 D．±0.214
【分析】根据 进行求解即可．
√3 a3=a
【解答】解：∵√3−0.214=−0.5981，√3 x=0.5981，
∴x＝0.214，
故选：C．
【变式4】已知√36=a，则√3 0.006+√36000=（ ）
A．0.1a B．a C．1.1a D．10.1a
【分析】首先把 化成0.1 10 ，然后根据 ，求出算式的值即可．
√30.006+√36000 ×√36+ ×√36 √36=a
【解答】解：∵√36=a，
∴√30.006+√36000
＝0.1×√36+10×√36
＝0.1a+10a
＝10.1a．故选：D．
【必考点6 立方根的实际应用】
【例1】如图，是一块体积为216立方厘米的正方体铁块．
（1）求出这个铁块的棱长．
（2）现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成一个体积为16立方厘米的正方体和一个长方体，这个长
方体的高为8厘米、底面是边长为a厘米的正方形，求这个正方形的边长a．
【分析】（1）根据正方体体积公式列式求解即可；
（2）设长方体铁块底面正方形的边长为a厘米，根据长方体的体积公式可得8a2＝200求解即可获得答
案．
【解答】解：（1）正方体铁块的棱长为√3216=6（厘米），
答：这个铁块的棱长为6厘米；
（2）∵长方体铁块底面正方形的边长为a厘米，
∴a•a•8＝216﹣16，
即8a2＝200，
∴a2＝25，
∴a＝±5，
∵a＞0，
∴a＝5，
答：a为5．
【变式1】张老师要求每名同学制作一个正方体盒子，制作完后小丽对小宇说：“我制作的盒子的表面积
是96cm2，你的呢？”小宇低头想了一下说：“先不告诉你我制作的盒子表面积是多少，我制作的盒子
比你的盒子的体积大279cm3，你能算出它的表面积吗？”小丽思考了一会儿，顺利得到了答案，同学
们，你能算出来吗？
【分析】首先利用正方体的表面积公式求出体积，再利用立方根的定义求出棱长进而求出表面积即可．
√96
【解答】解：小丽制作的盒子的棱长为❑ =4（cm），
6则其体积为43＝64（cm3）．
则小宇制作的盒子的体积为64+279＝343（cm3），其棱长为 ．
√3343=7(cm)
所以其表面积为6×72＝294（cm2）．
【变式2】已知甲正方体纸盒的底面积为25cm2，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大387cm3，
1
丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的 ．
8
（1）求乙正方体纸盒的体积．
（2）求丙正方体纸盒的棱长．
【分析】（1）先求出甲正方体的棱长，然后求出甲正方体的体积，再求出乙正方体的体积即可；
（2）先求出丙正方体的体积，再求出其棱长即可．
【解答】解：（1）∵根据题意可知，甲正方体纸盒的底面积为25cm2，
∴甲正方体纸盒的边长为❑√25=5(cm)，
∴甲正方体纸盒的体积为：53＝125（cm3），
∵乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大387cm3，
∴乙正方体纸盒的体积为387+125＝512（cm3）．
答：乙正方体纸盒的体积为512（cm3）；
1
（2）∵丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的 ，
8
1
∴丙正方体的体积为：512× =64(cm3 )，
8
∴丙正方体纸盒的棱长为 ．
√364=4(cm)
【变式3】如图，把两个底面直径分别为12cm和16cm，高为20cm的圆柱形钢锭熔化后做成一个正方体的
钢锭，求这个正方体钢锭的棱长．（精确到1cm， 取3.14，√36280≈18.45，√33140≈14.64）
π
【分析】根据立方根的定义解决此题．
【解答】解：设这个正方体钢锭的棱长为x cm．12 16
由题意得，x3=π⋅(
)
2×20+π⋅(
)
2×20．
2 2
∴x3＝2000 ．
∴x=√32000ππ≈√36280≈18（cm）．
∴这个正方体钢锭的棱长为18cm．
【必考点7 推算大数的立方根】
【例1】课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老
师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法：
①由103＝1000，1003＝1000000，能确定√374088是两位数；
②由74088的个位上的数是8，因为23＝8，能确定√374088的个位上的数是2；
③如果划去74088后面的三位088得到数74，而43＝64，53＝125，由此能确定√374088的十位上的数
是4．
（提示：63＝216，73＝343，83＝512，93＝729）
已知√3 493039为整数，请利用以上方法，则√3 493039的每位数上的数字之和为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．19
【分析】根据题意，利用给出的规律，数的立方根的定义解答．
【解答】解：∵根据题意可知√3 493039为两位数，且个位上的数是9，
根据提示：73＝343，83＝512，
可知，十位上的数是7，
∴可以断定√3 493039=79，
∴√3 493039的每位数上的数字之和为16．
故选：B．
【变式1】按照下面分析，解答问题：
①因为103＝1000，1003＝1000000，所以可确定√319683是两位数；
②因为19683的个位上的数是3，所以可确定√319683的个位上的数是7；
③因为划去19683后面的三位683得到19，而23＝8，33＝27，所以可确定√319683的十位上的数是2，
所以√319683=27．
（1）√359319是 位数；
（2）√359319= ．
【分析】（1）仿照题中的方法①判断59319立方根的结果的位数即可；
（2）仿照题中的方法②和③分别确定出59319立方根结果的个位数字和十位数字即可．【解答】解：（1）因为103＝1000，1003＝1000000，
所以可确定√359319是两位数；
故答案为：两；
（2）因为59319的个位上的数是9，
所以可确定√359319的个位上的数是9；
因为划去59319后面的三位329得到59，而33＝27，43＝64，
所以可确定√359319的十位上的数是3，
所以√359319=39．
故答案为：39．
【变式2】【阅读材料】数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道
智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．
你知道华罗庚是怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：
第一步：∵√31000=10，√31000000=100，1000＜59319＜1000000，
∴10＜√359319＜100．∴能确定59319的立方根是个两位数．
第二步：∵59319的个位数是9，93＝729，
∴能确定59319的立方根的个位数是9．
第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，
而√327＜√359＜√364，则3＜√359＜4，可得30＜√359319＜40，
由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
【解答问题】根据上面材料，解答下面的问题
（1）根据计算步骤，请计算12167的立方根，并书写详细过程．
（2）填空：√30.531441= ．
【分析】分别根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第（2）和第
（3）步求出个位数和十位数即可．
【解答】解：（1）第一步：∵√31000=10，√31000000=100，1000＜12167＜1000000，
∴10＜√312167＜100，
∴能确定12167的立方根是个两位数．
第二步：∵12167的个位数是7，33＝27，
∴能确定12167的立方根的个位数是3．
第三步：如果划去12167后面的三位167得到数12，
而√38＜√312＜√327，则2＜√312＜3，可得20＜√312167＜30，由此能确定12167的立方根的十位数是2，因此12167的立方根是23．
（2）第一步：∵√31000=10，√31000000=100，1000＜531441＜1000000，
∴10＜√3531441＜100，
∴能确定531441的立方根是个两位数．
第二步：∵531441的个位数是1，13＝1，
∴能确定531441的立方根的个位数是1．
第三步：如果划去531441后面的三位441得到数531，
而 ，则8 9，可得80 90，
√3512＜√3531＜√3729 ＜√3531＜ ＜√3531441＜
由此能确定531441的立方根的十位数是8，因此531441的立方根是81．
即√3531441=81，所以√30.531441=0.81．
故答案为：0.81．
【变式3】数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求
59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
①：√31000=10，√31000000=100，又∵1000＜59319＜100000，
∴10＜√359319＜100，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②∵59319的个位数是9，又∵93＝729，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③如果划去 59319 后面的三位 319 得到数 59，而√327＜√359＜√364，则3＜√359＜4，可得
30＜√359319＜40，由此能确定59319的立方根的十位数是3．因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数17576，按这种方法求立方根，请完成下列填空．
①它的立方根是 位数；
②它的立方根的个位数是 ；
③它的立方根的十位数是 ；
④17576的立方根是 ．
（2）根据计算步骤，请计算√3 474552，并书写详细过程．
【分析】（1）仿照例题，进行推理得结论；
（2）先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，得结论．
【解答】解：（1）①√31000=10，√31000000=100
又∵1000＜17576＜1000000，
∴10＜√317576＜100∴能确定17576的立方根是个两位数．
②∵17576的个位数是6，
又∵63＝216，
∴能确定17576的立方根的个位数是6．
③如果划去17576后面的三位576得到数17，
而√38＜√317＜√327，则2＜√317＜3，可得20＜√317576＜30．
由此能确定17576的立方根的十位数是2
因此17576的立方根是26．
故答案为：①两，②6，③2，④26；
（2）∵√31000=10，√31000000=100
又∵1000＜474552＜1000000，
∴10＜√3 474552＜100
∴能确定474552的立方根是个两位数．
∵474552的个位数是2，
又∵83＝512，
∴能确定474552的立方根的个位数是8．
如果划去474552后面的三位552得到数474，
而√3343＜√3 474＜√3512，则7＜√3 474＜8，可得70＜√3 474552＜80，
由此能确定474552的立方根的十位数是7，
因此474552的立方根是78．
