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专题 04 构造法求数列通项的八种技巧(一)
【必备知识点】
◆构造一:待定系数之 型构造等比数列
求关于 (其中 均为常数, )类型的通项公式时,先把原递推公式转化
为 ,再利用待定系数法求出 的值,再用换元法转化为等比数列求解.其实对于这类
式子,我们只需要记住在等式两侧加上一个常数 ,构造成等比数列.常数 的值并不需要背诵,我们可以
通过待定系数法推导出来.
【经典例题1】已知 满足 , 求数列 的通项公式.
【经典例题2】已知数列 中, , ,求数列 的通项公式.
【经典例题3】已知数列 中, , ,求数列 的通项公式.
【练习1】数列 中, ,设其前 项和为 ,则
A. B. C. 15 D. 27
【练习2】已知数列 的前 项和为 ,若 ,则
A. B. C. D.【练习3】在数列 中, ,则
_______.
【练习4】已知数列 满足 ,则数列 的通项公式 =
______.
【练习5】已知数列 的首项 ,且 ,则数列 的前10项的和为
______.
【练习6】已知数列 中, ,则
_______.
◆构造二:待定系数之 型构造等比数列
求关于 类型的通项公式时,与上面讲述的构造一的方法很相
似,只不过等式中多了一项 ,在构造时我们也保持跟题干一样的结构,加一项 再构造等比数列就可以,
即令 ,然后与已知递推式各项的系数对应相等,解 ,从而得到
是公比为 的等比数列.
【经典例题1】设数列 满足 , ,求数列 的通项公式.
【经典例题2】已知: , 时, ,求 的通项公式.
【练习1】已知数列 是首项为 .
(1)求 通项公式;
(2) 求数列 的前 项和 .【练习2】已知数列 和 的前 项和 ,对于任意的 是二次方程
的两根.
(1)求 和 通项公式;
(2) 的前 项和 .
【练习3】设数列 是首项为 ,满足 .问是否存在 ,使得数列
成等比数列? 若存在,求出 的值,若不存在,说明理由;
◆构造三:待定系数之 型构造数列
求关于 (其中 均为常数, )类型的通项公式时,共有3种方法.
方法一:先用待定系数法把原递推公式转化为 ,根据对应项系数相等求出 的值,
再利用换元法转化为等比数列求解.
方法二:先在递推公式两边同除以 ,得 ,引入辅助数列 (其中 ),得
,再利用待定系数法解决；
方法二:也可以在原递推公式两边同除以 ,得 ,引入辅助数列 (其中
),得 ,再利用叠加法(逐差相加法)求解.【经典例题1】已知数列 中 ,求 的通项公式.
【经典例题2】已知数列 满足 ,求数列 的通项公式.
【练习1】已知数列 满足 .设 ,若对于 ,都有
恒成立,则 的最大值为( )
A. 3 B. 4 C. 7 D. 9
【练习2】已知数列 满足 .
(1)判断数列 是否为等差数列,并说明理由;
(2)记 为数列 的前 项和,求 .
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【
一、单选题
1．已知 为数列 的前n项和，若 ，则 的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列 中， ， ，则数列 的通项公式为（ ）A． B． C． D．
3．已知数列 满足 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．设数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．在数列 中， ，且 ，则 的通项为（ ）
A． B．
C． D．
6．数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．数列 满足 ，且 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列 中， ， （ 且 ），则数列 通项公式 为（ ）
A． B． C． D．
9．数列 满足 且 ，则此数列第5项是（ ）
A．15 B．255 C．16 D．63
10．在数列 中，已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
11．在数列 中， ， ，若 ，则n的最小值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．1112．设数列{an}中，a＝2，an ＝2an＋3，则通项an可能是（ ）
1 ＋1
A．5－3n B．3·2n－1－1
C．5－3n2 D．5·2n－1－3
13．在数列 中，若 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
14．已知在数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
15．数列 满足 ，若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．设数列 满足 ，且 ，则数列 的通项公式为 ___________.
17．已知数列 中， ， ，则 通项 ______；
18．数列{an}满足 a＝1，an ＝2an＋1. (n∈N*).数列{an}的通项公式为______．
1 ＋1
19．数列 满足 ，且 ，则 _________.
20．已知数列 满足 ，且 前8项和为761，则 ______．
三、解答题
21．已知数列 满足 .
(1)证明 为等比数列，并求 的通项公式；(2)记数列 的前 项和为 ，证明 .
22．已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)求 的前n项和 .
23．已知数列 的首项 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前n项和 ．24．在数列 中， ，且 .
(1)证明： 为等比数列，并求 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 .
25．已知数列 的前n项和为 ， ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，记数列 的前n项和为 ，求证： ．
