北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
学
6.2 等差数列
五年高考
高考新风向
1.(2024全国甲理,4,5分,易)记S 为等差数列{a }的前n项和.已知S =S ,a =1,则a = (
n n 5 10 5 1
B )
7 7 1 7
A. B. C.- D.-
2 3 3 11
2.(2024新课标Ⅱ,12,5分,易)记S 为等差数列{a }的前n项和.若a +a =7,3a +a =5,则S =
n n 3 4 2 5 10
9 5 .
考点1 等差数列及其前n项和
1.(2022新高考Ⅱ,3,5分,中)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻
桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中
DD
DD ,CC ,BB ,AA 是举,OD ,DC ,CB ,BA 是相等的步,相邻桁的举步之比分别为 1 =0.5,
1 1 1 1 1 1 1 1 OD
1
CC BB A A
1=k , 1=k , 1=k .已知k ,k ,k 成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为
DC 1 CB 2 BA 3 1 2 3
1 1 1
0.725,则k = ( D )
3
图1
图2
A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9
2.(2020课标Ⅱ理,4,5分,中)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上
层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每
环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
学
已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石) (
C )
A.3 699块 B.3 474块
C.3 402块 D.3 339块
2π
3.(2023全国乙理,10,5分,中)已知等差数列{a }的公差为 ,集合S={cos a |n∈N*}.若
n 3 n
S={a,b},则ab= ( B )
1 1
A.-1 B.- C.0 D.
2 2
4.(2022全国乙文,13,5分,易)记S 为等差数列{a }的前n项和.若2S =3S +6,则公差d= 2
n n 3 2
.
5.(2020课标Ⅱ文,14,5分,易)记S 为等差数列{a }的前n项和.若a =-2,a +a =2,则S =
n n 1 2 6 10
2 5 .
6.(2020新高考Ⅰ,14,5分,易)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{a },则
n
{a }的前n项和为 3 n 2 - 2 n .
n
7.(2023全国乙文,18,12分,中)记S 为等差数列{a }的前n项和,已知a =11,S =40.
n n 2 10
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)求数列{|a |}的前n项和T .
n n
解析 (1)设等差数列{a }的公差为d,
n
{ a +d=11, {a =13,
则 1 解得 1
10a +45d=40, d=−2,
1
∴a =13-2(n-1)=15-2n.
n
(2)由a =15-2n知,当n≤7,n∈N*时,a >0,当n≥8,n∈N*时,a <0,
n n n
n(28−2n)
∴当n≤7,n∈N*时,T =|a |+|a |+…+|a |=a +a +…+a =S = =-n2+14n,
n 1 2 n 1 2 n n
2
当n≥8,n∈N*时,T =(a +a +…+a )-(a +a +…+a )
n 1 2 7 8 9 n
=2S -S =98-(-n2+14n)=n2-14n+98.
7 n
{ −n2+14n(n≤7且n∈N∗),
∴T =
n n2−14n+98(n≥8且n∈N∗).
解析 (1)设等差数列{a }的公差为d,
n北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
学
{ a +d=11, {a =13,
则 1 解得 1
10a +45d=40, d=−2,
1
∴a =13-2(n-1)=15-2n.
n
(2)由a =15-2n知,当n≤7,n∈N*时,a >0,当n≥8,n∈N*时,a <0,
n n n
n(28−2n)
∴当n≤7,n∈N*时,T =|a |+|a |+…+|a |=a +a +…+a =S = =-n2+14n,
n 1 2 n 1 2 n n
2
当n≥8,n∈N*时,T =(a +a +…+a )-(a +a +…+a )
n 1 2 7 8 9 n
=2S -S =98-(-n2+14n)=n2-14n+98.
7 n
{ −n2+14n(n≤7且n∈N∗),
∴T =
n n2−14n+98(n≥8且n∈N∗).
n2+n
8.(2023新课标Ⅰ,20,12分,中)设等差数列{a }的公差为d,且d>1,令b = ,记S ,T 分别
n n a n n
n
为数列{a },{b }的前n项和.
n n
(1)若3a =3a +a ,S +T =21,求{a }的通项公式;
2 1 3 3 3 n
(2)若{b }为等差数列,且S -T =99,求d.
n 99 99
解析 (1)∵3a =3a +a ,∴3(a +d)=3a +a +2d,
2 1 3 1 1 1
∴a =d>1,∴S =a +a +a =a +a +d+a +2d=6a ,
1 3 1 2 3 1 1 1 1
n2+n 2 6 6 3 12 12 4 9
又∵b = ,∴b = ,b = = = ,b = = = ,∴T =b +b +b = ,
n a 1 a 2 a a +d a 3 a a +2d a 3 1 2 3 a
n 1 2 1 1 3 1 1 1
9
∴S +T =6a + =21,
3 3 1 a
1
1
解得a =3或a = (舍),∴a =3n.
1 1 2 n
(2)∵{b }为等差数列,
n
12 2 12
∴2b =b +b ,即 = + ,
2 1 3 a a a
2 1 3
6 1 6
即 = + ,即a2 -3a d+2d2=0,
a +d a a +2d 1 1
1 1 1
∴a =2d或a =d.
1 1
n
当a =2d时,a =(n+1)d,b = ,
1 n n d
(2d+100d)×99
∴S = =99×51d,
99 2
1 (1+99)×99 99×50
T = · = ,
99 d 2 d北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
学
1
又∵S -T =99,∴99×51d-99×50· =99,
99 99 d
50 50
∴51d- =1,解得d=1或d=- ,
d 51
又∵d>1,∴a ≠2d.
1
n+1
当a =d时,a =nd,b = ,
1 n n d
(1+99)×99d
∴S = =50×99d,
99 2
1 (2+100)×99 51×99
T = · = ,
99 d 2 d
51×99
又∵S -T =99,∴50×99d- =99,
99 99 d
51 51
∴50d- =1,解得d= 或d=-1,
d 50
51
又∵d>1,∴d= .
50
51
综上,d= .
50
考点2 等差数列的性质及应用
1.(2023全国甲文,5,5分,易)记S 为等差数列{a }的前n项和.若a +a =10,a a =45,则S = (
n n 2 6 4 8 5
C )
A.25 B.22 C.20 D.15
2.(2020北京,8,4分,难)在等差数列{a }中,a =-9,a =-1.记T =a a …a (n=1,2,…),则数列{T }
n 1 5 n 1 2 n n
( B )
A.有最大项,有最小项
B.有最大项,无最小项
C.无最大项,有最小项
D.无最大项,无最小项
3.(2021新高考Ⅱ,17,10分,易)记S 为公差不为零的等差数列{a }的前n项和,若
n n
a =S ,a ·a =S .
3 5 2 4 4
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)求使得S >a 的n的最小值.
n n
解析 (1)解法一:设等差数列{a }的公差为d(d≠0),则
n
a =S ⇒a +2d=5a +10d⇒4a +8d=0⇒a +2d=0⇒a =-2d,①
3 5 1 1 1 1 1北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
学
a ·a =S ⇒(a +d)(a +3d)=4a +6d,②
2 4 4 1 1 1
将①代入②得-d2=-2d⇒d=0(舍)或d=2,∴a =-2d=-4,∴a =-4+(n-1)×2=2n-6.
1 n
解法二:由等差数列的性质可得S =5a ,则a =5a ,∴a =0,
5 3 3 3 3
设等差数列的公差为d,
从而有a a =(a -d)(a +d)=-d2,
2 4 3 3
S =a +a +a +a =(a -2d)+(a -d)+a +(a +d)=-2d,
4 1 2 3 4 3 3 3 3
从而-d2=-2d,由于公差不为零,故d=2,
所以数列{a }的通项公式为a =a +(n-3)d=2n-6.
n n 3
(2)由(1)知a =2n-6,a =2×1-6=-4.
n 1
n(n−1)
S =na + d=-4n+n(n-1)=n2-5n.
n 1 2
S >a ⇔n2-5n>2n-6⇔n2-7n+6>0⇔(n-1)(n-6)>0,
n n
解得n<1或n>6,又n∈N*,∴n的最小值为7.北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
学
三年模拟
练速度
1.(2024安徽合肥一六八中学适应性测试,3)数列{a }中,a =a +2,a =18,则a +a +…+a =
n n n+1 5 1 2 10
( C )
A.210 B.190 C.170 D.150
2.(2024山东济宁一模,3)已知等差数列{a }的前n项和为S ,且S =2,S =9,则S = (
n n 2 6 10
D )
A.14 B.16 C.18 D.20
3.(2024北京人大附中检测,5)已知S 是等差数列{a }的前n项和,则“S ≥na ”是“{a }是递
n n n n n
减数列”的 ( B )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2024广东汕头一模,2)在3与15之间插入3个数,使这5个数成等差数列,则插入的3个
数之和为 ( C )
A.21 B.24 C.27 D.30
5.(2024山东潍坊一模,4)已知等差数列{a }的前n项和为S ,a =-1,S =5a +10,则S = (
n n 1 7 4 4
C )
A.6 B.7 C.8 D.10
6.(2024福建厦门第二次质检,2)已知正项等差数列{a }的公差为d,前n项和为S ,且
n n
4S =(a +1)2,4S =(a +1)2,则d= ( B )
3 3 4 4
A.1 B.2 C.3 D.4
7.(2024浙江金华十校联考,5)等差数列{a }的首项为正数,公差为d,S 为{a }的前n项和,若
n n n
a =3,且S ,S +S ,S 成等比数列,则d= ( B )
2 2 1 3 5
9 9
A.1 B.2 C. D.2或
2 2
8.(2024湖北七市州调研,6)已知公差为负数的等差数列{a }的前n项和为S ,若a ,a ,a 是
n n 3 4 7
等比数列,则当S 取最大值时,n= ( B )
n
A.2或3 B.2 C.3 D.4
9.(多选)(2024东北三省三校第一次联考,9)等差数列{a }中,a >0,则下列命题正确的是 (
n 1
ACD )
A.若a +a =4,则S =18
3 7 9北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
学
B.若S >0,S <0,则a2>a2
15 16 8 9
C.若a +a =5,a +a =9,则a +a =17
1 2 3 4 7 8
D.若a =S ,则S >0,S <0
8 10 9 10
{ S } 1
10.(2024河北邯郸调研,15)设数列{a }的前n项和为S ,已知S =17, n 是公差为 的
n n 2 5n+7 2
等差数列.
(1)求{a }的通项公式;
n
1
(2)设b = ,求数列{b }的前n项和T .
n a a n n
n n+1
S
解析 (1)因为S =17,所以 2 =1,
2 5×2+7
S 1 n n
所以 n =1+(n-2)× = ,即S = (5n+7).
5n+7 2 2 n 2
n n−1
当n≥2时,a =S -S = (5n+7)- (5n+2)=5n+1,
n n n-1 2 2
1
又a =S = ×(5+7)=6符合上式(易错提醒:不要忘记验证n=1),所以a =5n+1,n∈N*.
1 1 2 n
1 1( 1 1 )
(2)由(1)知b = = − ,
n (5n+1)(5n+6) 5 5n+1 5n+6
1 1 1 1 1 1 1
故T n = 5 6 - 11 + 11 - 16 +…+ 5n+1 - 5n+6
1(1 1 ) n
= − = .
5 6 5n+6 6(5n+6)
练思维
1.(2024安徽淮北第一次质量检测,4)记S 是等差数列{a }的前n项和,则“{a }是递增数
n n n
{S }
列”是“ n 是递增数列”的 ( C )
n
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2024河南五市联考,6)一款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上,纸筒直径为20 mm,卫生
纸厚度约为0.1 mm,若未使用时直径为80 mm,则这个卷筒卫生纸总长度大约为(参考数
据π≈3.14) ( A )
A.47 m B.51 m
