文档内容
§6.2 等差数列及其前 n 项和
考试要求 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体
的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次
函数、二次函数的关系．
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个
数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义表达式为a
n
－a ＝d(常数)(n≥2，n∈N*)或a －a＝d(常数)(n∈N*)．
n－1 n＋1 n
(2)等差中项
若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝.
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：a＝a ＋ ( n － 1 ) d.
n 1
(2)前n项和公式：S＝na＋d或S＝.
n 1 n
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a＝a ＋ ( n － m ) d (n，m∈N*)．
n m
(2)若{a}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a ＋ a ＝ a ＋ a.
n k l m n
(3)若{a}是等差数列，公差为d，则a，a ，a ，…(k，m∈N*)是公差为md 的等差数列．
n k k＋m k＋2m
(4)数列S ，S －S ，S －S ，…也是等差数列．
m 2m m 3m 2m
(5)S ＝(2n－1)a.
2n－1 n
(6)等差数列{a}的前n项和为S，为等差数列．
n n
微思考
1．等差数列的前n项和S 是项数n的二次函数吗？
n
提示 不一定．当公差d＝0时，S＝na，不是关于n的二次函数．
n 1
2．若数列的前n项和为S＝An2＋Bn＋C(A≠0)，则这个数列一定是等差数列吗？
n
提示 不一定．当C＝0时是等差数列.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等差数列{a}的单调性是由公差d决定的．( √ )
n
(2)若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )
(3)数列{a}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a ＝a＋a .( √ )
n n＋1 n n＋2
(4)已知数列{a}的通项公式是a ＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a}一定是等差数列．(
n n n
√ )
题组二 教材改编
2．已知在等差数列{a}中，a＝－3，a＝－5，则a＝________.
n 2 3 9
答案 －17
解析 d＝a－a＝－2，∴a＝a＋6d＝－5＋6×(－2)＝－17.
3 2 9 3
3．已知在等差数列{a}中，a＋a＝20，a＝12，则d＝________.
n 4 8 7
答案 2
解析 ∵a＋a＝20，∴a＋3d＋a＋7d＝20，
4 8 1 1
即a＋5d＝10，①
1
a＝a＋6d＝12，②
7 1
②－①得d＝2.
4．已知{a}是等差数列，其前n项和为S，若a＝2，且S＝30，则S＝________.
n n 3 6 9
答案 126
解析 由已知可得解得
∴S＝9a＋d＝－90＋36×6＝126.
9 1
题组三 易错自纠
5．(多选)设{a}是等差数列，S 是其前n项的和，且SS，则下列结论正确的是
n n 5 6 6 7 8
( )
A．d<0
B．a＝0
7
C．S>S
9 5
D．S 与S 均为S 的最大值
6 7 n
答案 ABD
解析 S ＝S ＋a>S ，则a>0，S ＝S ＋a ＝S ，则a ＝0，则d＝a －a<0，S ＝S ＋aS，
8 9 6 8 5 9 7 5 9
由a＝0，a>0知S，S 是S 中的最大值．
7 6 6 7 n
从而ABD均正确．
6．在等差数列{a}中，|a|＝|a|，公差d<0，则使数列{a}的前n项和S 取最大值的正整数n
n 3 9 n n
的值是________．
答案 5或6
解析 ∵|a|＝|a|，∴|a＋2d|＝|a＋8d|，
3 9 1 1可得a＝－5d，∴a＝a＋5d＝0，
1 6 1
且a>0，∴a>0，故S 取最大值时n的值为5或6.
1 5 n
题型一 等差数列基本量的运算
1．(多选)(2019·全国Ⅰ改编)记S 为等差数列{a}的前n项和．已知S ＝0，a ＝5，则下列选
n n 4 5
项正确的是( )
A．a＋a＝0 B．a＝2n－5
2 3 n
C．S＝n(n－4) D．d＝－2
n
答案 ABC
解析 S＝＝0，∴a＋a＝a＋a＝0，A正确；
4 1 4 2 3
a＝a＋4d＝5，①
5 1
a＋a＝a＋a＋3d＝0，②
1 4 1 1
联立①②得∴a＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，B正确，D错误；
n
S＝－3n＋×2＝n2－4n，C正确，故选ABC.
n
2．(2020·全国Ⅱ)记 S 为等差数列{a}的前 n 项和．若 a ＝－2，a ＋a ＝2，则 S ＝
n n 1 2 6 10
________.
答案 25
解析 设等差数列{a}的公差为d，
n
则a＋a＝2a＋6d＝2.
2 6 1
因为a＝－2，所以d＝1.
1
所以S ＝10×(－2)＋×1＝25.
10
3．(2020·上海)已知{a}是公差不为零的等差数列，且a＋a ＝a，则＝________.
n 1 10 9
答案
解析 ∵a＋a ＝a，∴a＋a＋9d＝a＋8d，
1 10 9 1 1 1
即a＝－d，
1
∴a＋a＋…＋a＝S＝9a＋d＝27d，
1 2 9 9 1
a ＝a＋9d＝8d，∴＝.
10 1
4．(2020·新高考全国Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{a}，则
n
{a}的前n项和为________．
n
答案 3n2－2n
解析 方法一 (观察归纳法)
数列{2n－1}的各项为1,3,5,7,9,11,13，…；
数列{3n－2}的各项为1,4,7,10,13，….观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，
则a＝1＋6(n－1)＝6n－5.
n
故前n项和为S＝＝＝3n2－2n.
n
方法二 (引入参变量法)
令b＝2n－1，c ＝3m－2，b＝c ，
n m n m
则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数．
令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1,2,3，…)．
a＝b ＝c ＝6t－5，即a＝6n－5.
t 3t－2 2t－1 n
以下同方法一．
思维升华 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a ，n，d，a ，S ，知道其
1 n n
中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a 和公差d.
1
题型二 等差数列的判定与证明
例1 (2020·烟台模拟)已知在数列{a}中，a＝1，a＝2a ＋1(n≥2，n∈N*)．
n 1 n n－1
(1)记b＝log (a＋1)，判断{b}是否为等差数列，并说明理由；
n 2 n n
(2)求数列{a}的通项公式．
n
解 (1){b}是等差数列，理由如下：b＝log (a＋1)＝log 2＝1，
n 1 2 1 2
当n≥2时，b－b ＝log (a＋1)－log (a ＋1)＝log ＝log ＝1，
n n－1 2 n 2 n－1 2 2
∴{b}是以1为首项，1为公差的等差数列．
n
(2)由(1)知，b＝1＋(n－1)×1＝n，
n
∴a＋1＝ ＝2n，∴a＝2n－1.
n n
若本例中已知条件改为“a ＝2，(n＋2)a ＝(n＋1)a －2(n2＋3n＋2)．”试判
1 n n＋1
断是否为等差数列，并说明理由．
解 数列为等差数列，理由如下：
由已知得，(n＋2)a＝(n＋1)a －2(n＋2)(n＋1)，即＝－2，
n n＋1
∴－＝2，首项为＝1，
∴是以1为首项，公差d＝2的等差数列．
思维升华 判断数列{a}是等差数列的常用方法
n
(1)定义法：对任意n∈N*，a －a 是同一常数．
n＋1 n
(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2a＝a ＋a .
n n＋1 n－1
(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足a＝pn＋q(p，q为常数)．
n
(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足S＝An2＋Bn(A，B为常数)．
n跟踪训练1 记首项为1的数列{a}的前n项和为S，且当n≥2时，a·(2S－1)＝2S.
n n n n
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{a}的通项公式．
n
(1)证明 当n≥2时，a·(2S－1)＝2S，
n n
即(S－S )·(2S－1)＝2S，即2S－S－2S·S ＋S ＝2S，
n n－1 n n n n－1 n－1
故－S＋S ＝2S·S ，故－＝2，
n n－1 n n－1
易知＝＝1，故是首项为1，公差为2的等差数列．
(2)解 由(1)可知，＝2n－1，故S＝，
n
所以a＝S－S ＝－＝(n≥2)，
n n n－1
当n＝1时，上式不成立，
所以a＝
n
题型三 等差数列性质的应用
命题点1 等差数列项的性质
例2 (1)(2021·淄博模拟)设S 为等差数列{a}的前n项和，且4＋a＝a＋a，则S 等于( )
n n 5 6 4 9
A．72 B．36 C．18 D．9
答案 B
解析 ∵a＋a＝2a，
6 4 5
∴a＝4，
5
∴S＝＝9a＝36.
9 5
(2)(2020·临沂质检)在等差数列{a}中，若a＋a＋a＋a＋a ＝80，则a－a 的值为( )
n 2 4 6 8 10 7 8
A．4 B．6 C．8 D．10
答案 C
解析 ∵a＋a＋a＋a＋a ＝5a＝80，
2 4 6 8 10 6
∴a＝16，又a＋a＝2a，
6 6 8 7
∴a＝a＋a，
7 6 8
即a－a＝a＝8，选C.
7 8 6
命题点2 等差数列和的性质
例3 (1)已知S 是等差数列{a}的前n项和，若a＝－2 020，－＝6，则S 等于( )
n n 1 2 023
A．2 023 B．－2 023
C．4 046 D．－4 046
答案 C
解析 ∵为等差数列，设公差为d′，则－＝6d′＝6，∴d′＝1，
首项为＝－2 020，
∴＝－2 020＋(2 023－1)×1＝2，
∴S ＝2 023×2＝4 046，故选C.
2 023
(2)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一
块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9
块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数
相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
答案 C
解析 设每一层有n环，由题意可知，从内到外每环之间构成公差为d＝9，首项为a ＝9的
1
等差数列．由等差数列的性质知S ，S －S ，S －S 成等差数列，且(S －S )－(S －S)＝
n 2n n 3n 2n 3n 2n 2n n
n2d，则9n2＝729，解得n＝9，
则三层共有扇面形石板S ＝S ＝27×9＋×9＝3 402(块)．
3n 27
思维升华 一般地，运用等差数列的性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，等
差数列的性质是解题的重要工具．
跟踪训练2 (1)等差数列{a}，{b}的前n项和分别为S，T，若对任意正整数n都有＝，则
n n n n
＋的值为________．
答案
解析 ＋＝＝＝，
∴＝＝＝＝.
(2)设S 为等差数列{a}的前n项和，若S＝1，S ＝4，则S ＝________.
n n 6 12 18
答案 9
解析 在等差数列中，S ，S －S ，S －S 成等差数列，∵S ＝1，S ＝4，∴1,3，S －4成
6 12 6 18 12 6 12 18
公差为2的等差数列，即S －4＝5，∴S ＝9.
18 18课时精练
1．已知{a}是等差数列，且a＋a＋a＋a ＝48，则a＋a 等于( )
n 2 5 8 11 6 7
A．12 B．16 C．20 D．24
答案 D
解析 由等差数列的性质可得a＋a＋a＋a ＝2(a＋a)＝48，则a＋a＝24，故选D.
2 5 8 11 6 7 6 7
2．数列{a}的前n项和S＝n(2n－1)，若k－l＝4(k，l∈N*)，则a－a等于( )
n n k l
A．4 B．8 C．16 D．32
答案 C
解析 ∵S＝n(2n－1)，
n
∴数列{a}是公差为4的等差数列，
n
∵k－l＝4，
∴a－a＝4×4＝16.
k l
故选C.
3．已知数列{a}满足a ＝1，a ＝ra ＋r(n∈N*，r∈R，r≠0)，则“r＝1”是“数列{a}为
n 1 n＋1 n n
等差数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当r＝1时，a ＝ra＋r⇒a ＝a＋1，
n＋1 n n＋1 n
∴数列{a}为公差为1的等差数列，即充分性成立；
n
∵a ＝ra＋r，a＝1，∴a＝2r，a＝2r2＋r，
n＋1 n 1 2 3
∴若数列{a}为等差数列，
n
则4r＝1＋2r2＋r，∴r＝1或r＝，
即必要性不成立，
综上，“r＝1”是“数列{a}为等差数列”的充分不必要条件，故选A.
n
4．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐
金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未
到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的一等人所得黄金比等级较
低的九等人所得黄金( )
A．多斤 B．少斤C．多斤 D．少斤
答案 A
解析 设十等人得金从高到低依次为a，a，…，a ，
1 2 10
则{a}为等差数列，
n
设公差为d，则由题意可知
∴a＝，a＝1，
2 9
∴d＝＝－，
∴a－a＝－8d＝.
1 9
即等级较高一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金多斤．
5．(多选)等差数列{a}的公差为d，前n项和为S ，当首项a 和d变化时，a ＋a ＋a 是一
n n 1 3 8 13
个定值，则下列各数也为定值的有( )
A．a B．a C．S D．S
7 8 15 16
答案 BC
解析 由等差中项的性质可得a ＋a ＋a ＝3a 为定值，则a 为定值，S ＝＝15a 为定值，
3 8 13 8 8 15 8
但S ＝＝8不是定值．
16
故选BC.
6．(多选)已知{a}为等差数列，其前n项和为S ，且2a ＋3a ＝S ，则以下结论正确的是(
n n 1 3 6
)
A．a ＝0 B．S 最小
10 10
C．S＝S D．S ＝0
7 12 19
答案 ACD
解析 2a＋3a＝S，∴2a＋3a＋6d＝6a＋15d，
1 3 6 1 1 1
∴a＋9d＝0，即a ＝0，A正确；
1 10
当d<0时，S 没有最小值，B错误；
n
S －S＝a＋a＋a ＋a ＋a ＝5a ＝0，∴S ＝S，C正确；
12 7 8 9 10 11 12 10 12 7
S ＝＝19a ＝0，D正确．
19 10
故选ACD.
7．若S 是等差数列{a}的前n项和，且S－S＝20，则S ＝________.
n n 8 3 11
答案 44
解析 S－S＝a＋a＋a＋a＋a＝5a＝20，
8 3 4 5 6 7 8 6
∴a＝4，∴S ＝＝11a＝44.
6 11 6
8．已知等差数列{a}的前n项和为S，若a＝1，S＝a，a ＝2 021，则m＝________.
n n 1 3 5 m
答案 1 011
解析 ∵S＝3a＋3d，∴3a＋3d＝a＋4d，
3 1 1 1
即d＝2，a ＝a＋(m－1)×2＝2m－1＝2 021，
m 1∴m＝1 011.
9．已知数列{a}的前n项和S 满足＝＋1(n≥2，n∈N*)，且a＝1，则a＝________.
n n 1 n
答案 2n－1
解析 ∵－＝1，∴{}为等差数列，
又＝＝1，∴＝n，即S＝n2，
n
当n≥2时，a＝S－S ＝n2－(n－1)2＝2n－1，
n n n－1
又a＝1满足上式，∴a＝2n－1.
1 n
10．(2020·河北衡水中学模拟)已知在数列{a}中，a ＝11，且na －(n－1)a ＝1，则a ＝
n 6 n n＋1 n
________；的最小值为________．
答案 2n－1 44
解析 na－(n－1)a ＝1，
n n＋1
所以(n＋1)a －na ＝1，
n＋1 n＋2
两式相减得na－2na ＋na ＝0，
n n＋1 n＋2
所以a＋a ＝2a ，
n n＋2 n＋1
所以数列{a}为等差数列．
n
当n＝1时，由na－(n－1)a ＝1得a＝1，
n n＋1 1
由a＝11，得公差d＝2，
6
所以a＝1＋2(n－1)＝2n－1，
n
所以＝＝4n＋－4≥2－4＝44，
当且仅当4n＝，即n＝6时等号成立．
11．在数列{a}中，a＝8，a＝2，且满足a －2a ＋a＝0(n∈N*)．
n 1 4 n＋2 n＋1 n
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)设T＝|a|＋|a|＋…＋|a|，求T.
n 1 2 n n
解 (1)∵a －2a ＋a＝0，
n＋2 n＋1 n
∴a －a ＝a －a，
n＋2 n＋1 n＋1 n
∴数列{a}是等差数列，设其公差为d，
n
∵a＝8，a＝2，
1 4
∴d＝＝－2，
∴a＝a＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.
n 1
(2)设数列{a}的前n项和为S，
n n
则由(1)可得，
S＝8n＋×(－2)＝9n－n2，n∈N*.
n
由(1)知a＝10－2n，令a＝0，得n＝5，
n n
∴当n>5时，a<0，
n则T＝|a|＋|a|＋…＋|a|
n 1 2 n
＝a＋a＋…＋a－(a＋a＋…＋a)
1 2 5 6 7 n
＝S－(S－S)＝2S－S
5 n 5 5 n
＝2×(9×5－25)－(9n－n2)＝n2－9n＋40；
当n≤5时，a≥0，
n
则T＝|a|＋|a|＋…＋|a|
n 1 2 n
＝a＋a＋…＋a＝9n－n2，
1 2 n
∴T＝
n
12．(2020·沈阳模拟)已知S 是等差数列{a}的前n项和，S＝2，S＝－6.
n n 2 3
(1)求数列{a}的通项公式及前n项和S；
n n
(2)是否存在正整数n，使S，S ＋2n，S 成等差数列？若存在，求出n；若不存在，请说
n n＋2 n＋3
明理由．
解 (1)∵S＝2，S＝－6，
2 3
∴解得
∴a＝4＋(n－1)×(－6)＝－6n＋10，
n
∴S＝4n＋×(－6)＝－3n2＋7n.
n
(2)假设存在n，使S，S ＋2n，S 成等差数列，
n n＋2 n＋3
则2(S ＋2n)＝S＋S ，
n＋2 n n＋3
∴2[－3(n＋2)2＋7(n＋2)＋2n]＝－3n2＋7n＋7(n＋3)－3(n＋3)2，
解得n＝5.
13．已知数列{a}是等差数列，若a ＋3a <0，a ·a <0，且数列{a}的前n项和S 有最大值，
n 9 11 10 11 n n
那么S 取得最小正值时n等于( )
n
A．20 B．17 C．19 D．21
答案 C
解析 因为a＋3a <0，
9 11
所以a＋a ＋2a ＝a＋a ＋a ＋a ＝2(a ＋a )<0 ，
9 11 11 9 11 10 12 11 10
所以a ＋a <0.
10 11
因为a ·a <0，
10 11
所以由等差数列的性质和求和公式可得a >0，a <0，
10 11
又可得S ＝19a >0，而S ＝10(a ＋a )<0，
19 10 20 10 11
进而可得S 取得最小正值时n＝19.
n
故选C.14．已知数列{a}满足a ＝2，a ＝3，且a －a ＝1＋(－1)n，n∈N*，则该数列的前9项之
n 1 2 n＋2 n
和为________．
答案 34
解析 ∵a －a＝1＋(－1)n，n∈N*，
n＋2 n
∴当n为奇数时，a －a ＝0，
2n＋1 2n－1
则数列{a }是常数列，a ＝a＝2；
2n－1 2n－1 1
当n为偶数时，a －a ＝2，
2n＋2 2n
则数列{a }是以a＝3为首项，2为公差的等差数列，
2n 2
∴a＋a＋…＋a
1 2 9
＝(a＋a＋…＋a)＋(a＋a＋…＋a)
1 3 9 2 4 8
＝2×5＋＝34.
15．(多选)设正项等差数列{a}满足(a＋a )2＝2aa＋20，则( )
n 1 10 2 9
A．aa 的最大值为10 B．a＋a 的最大值为2
2 9 2 9
C.＋的最大值为 D．a＋a的最小值为200
答案 ABD
解析 因为正项等差数列{a}满足(a＋a )2＝2aa＋20，
n 1 10 2 9
所以(a＋a)2＝2aa＋20，
2 9 2 9
即a＋a＝20.
①aa≤＝＝10，当且仅当a＝a＝时成立，故A选项正确；
2 9 2 9
②由于2≤＝10，所以≤，a＋a≤2，当且仅当a＝a＝时成立，故B选项正确；
2 9 2 9
③＋＝＝≥＝＝，当且仅当a＝a＝时成立，所以＋的最小值为，故C选项错误；
2 9
④结合①的结论，有a＋a＝(a＋a)2－2a·a＝400－2a·a≥400－2×102＝200，当且仅当a ＝a
2 9
＝时成立，故D选项正确．
16．在等差数列{a}中，a＋a＝4，a＋a＝6.
n 3 4 5 7
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)设{b}＝[a]，求数列{b}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，
n n n
[2.6]＝2.
解 (1)设数列{a}的公差为d，由题意有2a＋5d＝4，a＋5d＝3，
n 1 1
解得a＝1，d＝，
1
所以{a}的通项公式为a＝.
n n
(2)由(1)知，b＝，
n
当n＝1,2,3时，1≤<2，b＝1；
n当n＝4,5时，2<<3，b＝2；
n
当n＝6,7,8时，3≤<4，b＝3；
n
当n＝9,10时，4<<5，b＝4.
n
所以数列{b}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
n
