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９ ８ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
专题五 平面向量与复数
5.1 平面向量
学生用书P234
L F+3D0
L F+D L F+D0
L F+ D0
0L F
3 F)
)
P55 L F )
BeC ]B]]C]COS BC+>
>UhB
BeC YY ZZ B Y Z C Y Z
=.
L F BeC CeB
+F/ D0 B eC BeC Be C 2
B C eD BeD CeD
FB FC ]B]COShF FB C +
L F
+ F F FC , + F
@BCFLL F FC , + F BF+
>
FF FeB BeF ]B]COS BC⇔BeC
/+B BC BeC ]B]]C] BC BeC ]B]]C]
' BeB ]B]
BeC
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学生用书P235
题型 一 平面向量线性运算的解题策略 例1 （ 湖南九校联考， ）在 ＡＢＣ 中 点 Ｄ 满足Ａ→Ｄ
２０２４ ７ △ ， ＝
1.先选择一个基底 并运用该基底将条件和结论表示为向量的 ２ Ｄ→Ｂ ， Ｅ为 △ ＢＣＤ的重心 ， 设Ｂ→Ｃ ＝ ｍ ， →ＡＣ ＝ ｎ ， 则→ＡＥ ＝ （ Ｃ ）
，
形式 再通过向量的运算来解决． １ ｍ ２ ｎ １ ｍ ２ ｎ
， Ａ． ＋ Ｂ．－ ＋
2.复杂的向量问题可建立坐标系 借助向量的坐标运算 也可灵 ３ ３ ３ ３
， ，
活地选取基底利用平面向量基本定理及相关的向量知识进行 ５ ｍ ８ ｎ ５ ｍ ８ ｎ
Ｃ．－ ＋ Ｄ． ＋
求解． ９ ９ ９ ９
注意 只有两个向量不共线，才可以作为平面向量的一个
解析 →ＡＥ
＝
→ＡＣ
＋
Ｃ→Ｅ
＝
→ＡＣ
＋
２
×
１ （Ｃ→Ｄ
＋
Ｃ→Ｂ）（提示：重心Ｅ到顶
３ ２
基底，基底可以有无穷多个． 点Ｃ的距离与重心Ｅ到ＢＤ边中点的距离之比为
２ ∶ １）
专题五 平面向量与复数 ９ ９
求向量模的最值 或范围 的方法
→ＡＣ １ Ｃ→Ｄ １ Ｃ→Ｂ →ＡＣ １ （→ＣＡ Ａ→Ｄ） １ Ｃ→Ｂ （２） （ ）
＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ 代数法 把所求的模表示成某个变量的函数 再用求最值的
３ ３ ３ ３ ① ， ，
( )
方法求解．
→ＡＣ １ →ＣＡ ２→ＡＢ １ Ｃ→Ｂ
＝ ＋ ＋ ＋
３ ３ ３ 几何法 数形结合法 弄清所求的模表示的几何意义 结合
[ ] ② （ ）， ，
→ＡＣ １ →ＣＡ ２ （→ＡＣ Ｃ→Ｂ） １ Ｃ→Ｂ 动点表示的图形求解．
＝ ＋ ＋ ＋ ＋
３ ３ ３ 利用绝对值三角不等式 ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ 求模
( ) ③ ｜｜ ｜－｜ ｜｜≤｜ ± ｜≤｜ ｜＋｜ ｜
→ＡＣ １ １→ＡＣ ２ Ｃ→Ｂ １ Ｃ→Ｂ 的取值范围．
＝ ＋ － ＋ ＋
３ ３ ３ ３ 例3 已知ａ ｂ ｃ是平面向量 ａ 与 ｃ 是单位向量 且 ａ ｃ
， ， ， ， 〈 ， 〉＝
８→ＡＣ ２ Ｃ→Ｂ １ Ｃ→Ｂ ８→ＡＣ ５ Ｃ→Ｂ
＝ ＋ ＋ ＝ ＋
９ ９ ３ ９ ９ π 若ｂ２ ｂ ｃ 则 ａ ｂ 的最小值为 ．
， －８ · ＋１５＝０， ｜ － ｜ １７－１
２
８ ｎ ５ ｍ．故选
＝ － Ｃ． 解析 解法一 如图所示，设Ｏ→Ａ ａ，Ｏ→Ｂ ｂ，Ｏ→Ｃ ｃ，Ｏ→Ｄ ｃ，
９ ９ ＝ ＝ ＝ ＝３
题型 二 平面向量的数量积及应用 Ｏ→Ｅ ｃ，
＝５
1.求非零向量数量积（或范围）的方法
适用范围
定义法 已知或可求两个向量的模和夹角
在ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ 中 若 ｂ
① · ＝ ｜ ｜·｜ ｜·ｃｏｓ〈 ， 〉 ， ｜ ｜·
ａ ｂ 可通过几何方法直接求出 则可利用投
ｃｏｓ〈 ， 〉 ，
投影法 影法求数量积
；
已知两个向量中有一个确定的向量 求数量积
②
取值范围
，
∵
ｂ２
－８
ｂ·ｃ
＋１５＝０
，且
｜
ｃ
｜＝１
，
直接利用定义法求数量积不可行时 可选取合适 ∴
ｂ２
－８
ｂ·ｃ
＋１５
ｃ２
＝０
，
，
（ｂ ｃ）·（ｂ ｃ） ，
的基底 利用平面向量基本定理将待求数量积的 ∴ －３ －５ ＝０
基底法 ，
（ｂ ｃ） （ｂ ｃ），
两个向量分别表示出来 进而根据数量积的运算 ∴ －３ ⊥ －５
，
律和定义求解 Ｄ→Ｂ ｂ ｃ，Ｅ→Ｂ ｂ ｃ， 点Ｂ在以Ｆ（ ， ）为圆心，ＤＥ为直径
∵ ＝ －３ ＝ －５ ∴ ０ ４
已知或可求两个向量的坐标 的圆上，
① ；
坐标法
②
已知条件中有
（
或隐含
）
正交基底
，
优先考虑建 又
∵
→ＢＡ
＝
ａ
－
ｂ，
∴
当点Ｂ为圆Ｆ和线段ＦＡ的交点时，
｜
→ＢＡ
｜＝｜
ａ
－
立平面直角坐标系 使用坐标法求数量积
， ｂ 的值最小， ａ ｂ ２ （ ）２ ．
｜ ∴ ｜ － ｜ｍｉｎ＝ １ ＋ －４ －１＝ １７－１
例2 （ 湖北十一校第一次联考， ）如图 四边形ＡＢＣＤ是边 解法二 由题意，令ａ （ ， ），ｃ （ ， ），设ｂ （ｘ，ｙ），
２０２３ ５ ， ＝ １ ０ ＝ ０ １ ＝
长为 的正方形 Ｐ为半圆上的动点 则→ＡＢ →ＡＰ的取值范围为 ｂ２ ｂ·ｃ ，
２ ， ， · ∵ －８ ＋１５＝０
Ｃ ｘ２ ｙ２ ｙ ，
（ ） ∴ ＋ －８ ＋１５＝０
即ｘ２ （ｙ ）２ ． ａ ｂ （ｘ ）２ ｙ２表示圆ｘ２ （ｙ ）２
＋ －４ ＝１ ｜ － ｜＝ －１ ＋ ＋ －４ ＝１
上的点与点（ ， ）的距离，
１ ０
ａ ｂ ２ （ ）２ ．
∴ ｜ － ｜ｍｉｎ＝ １ ＋ －４ －１＝ １７－１
3.求两非零向量夹角的方法
Ａ．［２，６］ Ｂ．［２，３］
当ａ ｂ是非坐标形式 求ａ与ｂ的夹角θ时 需求
Ｃ．［４，６］ Ｄ．［４，８］ ， ， ，
出ａ ｂ及 ａ ｂ 或得出它们之间的关系 由
解析 →ＡＢ·→ＡＰ →ＡＢ ·（ →ＡＰ ＰＡＢ），由题意知 →ＡＰ · 定义法 · ｜ ｜，｜ ｜ ， ｃｏｓ
＝｜ ｜ ｜ ｜ｃｏｓ∠ ｜ ｜
ａ ｂ
θ · 求得
ＰＡＢ ［ ， ］，（当点Ｐ在点Ｂ或点Ｃ时， Ａ→Ｐ ∠ＰＡＢ取 ＝ ａ ｂ
ｃｏｓ∠ ∈ ２ ３ ｜ ｜ｃｏｓ ｜ ｜｜ ｜
最小值，当点Ｐ在半圆的中点时， Ａ→Ｐ ∠ＰＡＢ取最大值） 若已知 ａ ｘ ｙ 与 ｂ ｘ ｙ 则 ａ ｂ
｜ ｜ｃｏｓ ＝（ １， １） ＝（ ２， ２）， ｃｏｓ〈 ， 〉
→ＡＰ·→ＡＢ ［ ， ］． 坐标法 ｘ ｘ ｙ ｙ
∴ ∈ ４ ６ １ ２＋ １ ２
2.求平面向量模（或范围） ＝ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
１＋ １· ２＋ ２
求平面向量模的 种常见方法
（１） ２ 转化法 转化成解三角形 利用正 余弦定理求解
， 、
利用 ａ ａ ａ及 ａ ｂ ２ ａ ２ ａ ｂ ｂ ２
公式法 ｜ ｜＝ · （ ± ） ＝｜ ｜ ±２ · ＋｜ ｜ ， 例4 （ 山东泰安一模， ）已知非零向量 ａ ｂ 满足 ａ
把向量模的运算转化为数量积运算 ２０２４ ６ ， ｜ ｜ ＝
利用向量的几何意义 即利用向量的平行四边形 ２ ２ ｂ 若 ａ ｂ ａ ｂ 则ａ与ｂ的夹角为 Ｃ
， ｜ ｜， （ ＋ ）⊥（３ －２ ）， （ ）
几何法 法则或三角形法则作出向量 再利用余弦定理等 ３
，
方法求解 π π ３π
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．π
４ ２ ４
１ ００ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
解析 设ａ与ｂ的夹角为θ，且θ ［ ， ］．
∈ ０ π ２ ｂ２
－
∵ （ａ ＋ ｂ） ⊥ （ ３ ａ －２ ｂ）， ｃｏｓ θ ＝ ａ ３ ｂ ＝－ ２，
（ａ ｂ）·（ ａ ｂ） ， ｜ ｜｜ ｜ ２
∴ ＋ ３ －２ ＝０
ａ２ ａ·ｂ ｂ２ ， 则θ ３π．
３ ＋ －２ ＝０ ＝
４
ａ ｂ θ ｂ２ ａ２ ２ ｂ２，
｜ ｜｜ ｜ｃｏｓ ＝２ －３ ＝－
３
４．（ 新高考 ， ， 分，易）已知向量ａ ｂ ｃ
学生用书P58 ２０２２ Ⅱ ４ ５ ＝（３，４）， ＝（１，０）， ＝
ａ ｔｂ 若 ａ ｃ ｂ ｃ 则ｔ Ｃ
１．（ 新课标 ， ， 分，易）已知向量ａ ｂ ｘ ＋ ， 〈 ， 〉＝〈 ， 〉， ＝ （ ）
２０２４ Ⅰ ３ ５ ＝（０，１）， ＝（２， ），
若ｂ ｂ ａ 则ｘ Ｄ Ａ．－６ Ｂ．－５ Ｃ．５ Ｄ．６
⊥（ －４ ）， ＝ （ ） ５．（ 全国甲理， ， 分，中）已知向量ａ ｂ ｃ满足 ａ ｂ
２０２３ ４ ５ ， ， ｜ ｜＝｜ ｜＝
Ａ．－２ Ｂ．－１ Ｃ．１ Ｄ．２
ｃ 且ａ ｂ ｃ ０ 则 ａ ｃ ｂ ｃ Ｄ
２．（ 新课标 ， ， 分，易）已知向量ａ ｂ满足 ａ ａ ｂ １，｜ ｜＝ ２， ＋ ＋ ＝ ， ｃｏｓ〈 － ， － 〉＝ （ ）
２０２４ Ⅱ ３ ５ ， ｜ ｜＝１，｜ ＋２ ｜＝
且 ｂ ａ ｂ 则 ｂ Ｂ ４ ２ ２ ４
２， （ －２ ）⊥ ， ｜ ｜＝ （ ） Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．
５ ５ ５ ５
１ ２ ３ ６．（ 新课标 ， ， 分，易）已知向量ａ ｂ满足 ａ ｂ
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．１ ２０２３ Ⅱ １３ ５ ， ｜ － ｜＝ ３，
２ ２ ２
３．（ 全国甲理， ， 分，中）设向量ａ ｘ ｘ ｂ ｘ 则 ｜ ａ ＋ ｂ ｜＝｜２ ａ － ｂ ｜， 则 ｜ ｂ ｜＝ ３ ．
２０２４ ９ ５ ＝（ ＋１， ）， ＝（ ，２），
７．（ 新高考 ， ， 分，中）已知向量ａ ｂ ｃ ０ ａ ｂ
Ｃ ２０２１ Ⅱ １５ ５ ＋ ＋ ＝ ，｜ ｜＝１，｜ ｜
（ ）
ｘ 是ａ ｂ的必要条件 ｃ ａ ｂ ｂ ｃ ｃ ａ ９ ．
Ａ． ＝－３ ⊥ ＝｜ ｜＝２， · ＋ · ＋ · ＝ －
ｘ 是ａ ｂ的必要条件 ２
Ｂ． ＝１＋ ３ ∥
ｘ 是ａ ｂ的充分条件 考点 3 平面向量的数量积及其应用 学生用书P58
Ｃ． ＝０ ⊥
ｘ 是ａ ｂ的充分条件 １．（ 新课标 ， ， 分，易）已知向量ａ ｂ ．
Ｄ． ＝－１＋ ３ ∥ ２０２３ Ⅰ ３ ５ ＝（１，１）， ＝（１，－１）
若 ａ λｂ ａ μｂ 则 Ｄ
考点 1 平面向量的概念及运算 学生用书P58 （ ＋ ）⊥（ ＋ ）， （ ）
λ μ λ μ λμ λμ
Ａ． ＋ ＝１ Ｂ． ＋ ＝－１ Ｃ． ＝１ Ｄ． ＝－１
１．（
２０２０
新高考
Ⅱ
，
３
，
５
分，易）若Ｄ为
△
ＡＢＣ的边ＡＢ的中点
，
２．（
２０２３
北京，
３
，
４
分，易）已知向量ａ
，
ｂ满足ａ
＋
ｂ
＝（２，３），
ａ
－
ｂ
＝
则Ｃ→Ｂ Ａ 则 ａ ２ ｂ ２ Ｂ
＝ （ ） （－２，１）， ｜ ｜ －｜ ｜ ＝ （ ）
Ｃ→Ｄ →ＣＡ →ＣＡ Ｃ→Ｄ Ａ．－２ Ｂ．－１ Ｃ．０ Ｄ．１
Ａ．２ － Ｂ．２ －
３．（ 课标 文， ， 分，易）已知单位向量ａ ｂ的夹角为 ° 则
Ｃ→Ｄ →ＣＡ →ＣＡ Ｃ→Ｄ ２０２０ Ⅱ ５ ５ ， ６０ ，
Ｃ．２ ＋ Ｄ．２ ＋ 在下列向量中 与ｂ垂直的是 Ｄ
２．（ 新高考 ， ， 分，易）在 ＡＢＣ中 点Ｄ在边ＡＢ上 ＢＤ ， （ ）
２０２２ Ⅰ ３ ５ △ ， ， ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ
Ａ． ＋２ Ｂ．２ ＋ Ｃ． －２ Ｄ．２ －
＝２
ＤＡ．记→ＣＡ
＝
ｍ
，
Ｃ→Ｄ
＝
ｎ
，
则Ｃ→Ｂ
＝ （
Ｂ
） ４．（ 全国乙文， ， 分，易）正方形 ＡＢＣＤ 的边长是 Ｅ 是
２０２３ ６ ５ ２，
ｍ ｎ ｍ ｎ ｍ ｎ ｍ ｎ
Ａ．３ －２ Ｂ．－２ ＋３ Ｃ．３ ＋２ Ｄ．２ ＋３ ＡＢ的中点 则Ｅ→Ｃ Ｅ→Ｄ Ｂ
３．（ 全国乙文， ， 分，易）已知向量ａ ｂ λ ， · ＝ （ ）
２０２１ １３ ５ ＝（２，５）， ＝（ ，４），
Ａ． ５ Ｂ．３ Ｃ．２ ５ Ｄ．５
若ａ ∥ ｂ ， 则λ ＝ ８ ． ５．（ 新高考 ， ， 分，中）已知 Ｐ 是边长为 的正六边形
２０２０ Ⅰ ７ ５ ２
５
ＡＢＣＤＥＦ内的一点 则→ＡＰ →ＡＢ的取值范围是 Ａ
考点 2 平面向量的夹角与模 学生用书P58 ， · （ ）
Ａ．（－２，６） Ｂ．（－６，２） Ｃ．（－２，４） Ｄ．（－４，６）
１．（ 全国乙文， ， 分，易）已知向量ａ ｂ ６．（多选）（ 新高考 ， ， 分，中）已知Ｏ为坐标原点 点
２０２２ ３ ５ ＝（２，１）， ＝（－２，４）， ２０２１ Ⅰ １０ ５ ，
则 ａ ｂ Ｄ Ｐ α α Ｐ β β Ｐ α β α
｜ － ｜＝ （ ） １（ｃｏｓ ，ｓｉｎ ）， ２（ｃｏｓ ，－ｓｉｎ ）， ３（ｃｏｓ（ ＋ ），ｓｉｎ（ ＋
β Ａ 则 ＡＣ
Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ ））， （１，０）， （ ）
２．（ 全国甲文， ， 分，易）已知向量ａ ｂ
２０２３ ３ ５ ＝（３，１）， ＝（２，２）， Ｏ→Ｐ Ｏ→Ｐ
则 ａ ｂ ａ ｂ Ｂ
Ａ．｜ １｜＝｜ ２｜
ｃｏｓ〈 ＋ ， － 〉＝ （ ） Ａ→Ｐ Ａ→Ｐ
Ｂ．｜ １｜＝｜ ２｜
． １ ． １７ ． ５ ．２ ５
Ａ １７ Ｂ １７ Ｃ ５ Ｄ ５ Ｃ． Ｏ→Ａ · Ｏ→Ｐ ３＝ Ｏ→Ｐ １· Ｏ→Ｐ ２
３．（ 课标 理， ， 分，易）已知向量ａ ｂ满足 ａ ｂ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｐ Ｏ→Ｐ Ｏ→Ｐ
２０２０ Ⅲ ６ ５ ， ｜ ｜＝５，｜ ｜＝ Ｄ． · １＝ ２· ３
ａ ｂ 则 ａ ａ ｂ Ｄ ７．（ 全国乙理， ， 分，易）已知向量ａ ｂ
６， · ＝－６， ｃｏｓ〈 ， ＋ 〉＝ （ ） ２０２１ １４ ５ ＝（１，３）， ＝（３，４），
３１ １９ １７ １９ 若 ａ λｂ ｂ 则λ ３ ．
Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ． （ － ）⊥ ， ＝
３５ ３５ ３５ ３５ ５
专题五 平面向量与复数 １ ０１
８．（ 课标 理， ， 分，易）已知单位向量 ａ ｂ 的夹角为
２０２０ Ⅱ １３ ５ ，
° ｋａ ｂ与ａ垂直 则ｋ ２ ．
４５ ， － ， ＝
２
９．（ 广西南宁 月第一次适应性测试， ）已知 ＡＢＣ的外
学生用书P59 ２０２４ ３ ５ △
１．（ ２０２４ 辽宁抚顺模拟， ３ ）已知向量ａ ＝（２，１）， ｂ ＝（１，２）， 若向 接圆圆心为Ｏ ， 且 ２ Ａ→Ｏ ＝ →ＡＢ ＋ →ＡＣ ，｜ Ｏ→Ａ ｜＝｜ →ＡＣ ｜， 则向量→ＣＡ在向
量ｃ满足ａ ｃ 且ｂ ｃ 则 ｃ Ａ 量Ｃ→Ｂ上的投影向量为 Ａ
· ＝８， ∥ ， ｜ ｜＝ （ ） （ ）
Ａ．２ ５ Ｂ．１２ Ｃ．２０ Ｄ．２ ３ １ Ｃ→Ｂ ３Ｃ→Ｂ １ Ｃ→Ｂ １ →ＣＡ
２．（
２０２４
江苏苏锡常镇调研一，
３
）已知平面向量ａ
，
ｂ
，
ｃ满足ａ
＋
ｂ Ａ．
４
Ｂ．
４
Ｃ．－
４
Ｄ．
２
１０．（ 浙江杭州二模， ）已知ａ ｂ是两个单位向量 若向量ａ
ｃ ０ ａ ｂ ｃ 则ａ与ｂ的夹角为 Ｂ ２０２４ ３ ， ，
＋ ＝ ，｜ ｜＝｜ ｜＝１，｜ ｜＝ ３， （ ）
在向量ｂ上的投影向量为１ ｂ 则向量ａ与向量ａ ｂ的夹角为
π π ２ ３ ， －
Ａ． Ｂ． Ｃ． π Ｄ． π ２
４ ３ ３ ４
Ｂ
３．（ 山东青岛二模， ）已知平面向量ａ ｂ 则ａ （ ）
２０２４ ５ ＝（－１，１）， ＝（２，０），
° ° ° °
在ｂ上的投影向量为 Ａ Ａ．３０ Ｂ．６０ Ｃ．９０ Ｄ．１２０
（ ） １１．（ 山东淄博一模， ）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 已知向
２０２４ ６ ，
Ａ．（－１，０） Ｂ．（１，０） Ｃ．（－ ２，０） Ｄ．（ ２，０）
４．（ 湖南长沙雅礼中学月考（七）， ）已知Ｄ是 ＡＢＣ所在
量Ｏ→Ａ与Ｏ→Ｂ关于ｘ轴对称
，
向量ａ
＝（０，１），
若满足Ｏ→Ａ２
＋
ａ
·
→ＡＢ
２０２４ ４ △
的点Ａ的轨迹为Ｅ 则 Ｂ
＝０ ， （ ）
平面内一点
，
Ａ→Ｄ
＝
３→ＡＢ
＋
２→ＡＣ
，
则
（
Ａ
） Ｅ是一条垂直于ｘ轴的直线
５ ５ Ａ．
Ｅ是一个半径为 的圆
Ｂ→Ｄ ２ Ｂ→Ｃ Ｂ→Ｄ ３ Ｂ→Ｃ Ｂ． １
Ａ． ＝ Ｂ． ＝ Ｅ是两条平行直线
５ ５ Ｃ．
Ｅ是椭圆
Ｂ→Ｄ ３ Ｂ→Ｃ Ｂ→Ｄ ２ Ｂ→Ｃ Ｄ．
Ｃ． ＝ Ｄ． ＝
２ ３ １２．（多选）（ 湖北武汉调研， ）已知向量ａ θ θ ｂ
２０２４ ９ ＝（ｃｏｓ ，ｓｉｎ ），
５．（ 福建漳州第三次质量检测， ）在 ＡＢＣ中 Ｄ是边ＢＣ上
２０２４ ６ △ ， 则 ＡＣＤ
＝（－３，４）， （ ）
一点 且ＢＤ ＤＣ Ｅ是ＡＣ的中点 记→ＡＣ ｍ Ａ→Ｄ ｎ 则Ｂ→Ｅ
， ＝２ ， ， ＝ ， ＝ ， ＝ 若ａ ｂ 则 θ ４
Ｄ Ａ． ∥ ， ｔａｎ ＝－
（ ） ３
５ ｎ ｍ ７ ｎ ｍ 若ａ ｂ 则 θ ３
Ａ． －３ Ｂ． －３ Ｂ． ⊥ ， ｓｉｎ ＝
３ ２ ５
ａ ｂ 的最大值为
７ ｍ ｎ ５ ｍ ｎ Ｃ．｜ － ｜ ６
Ｃ． －３ Ｄ． －３ 若ａ ａ ｂ 则 ａ ｂ
２ ２ Ｄ． ·（ － ）＝０， ｜ － ｜＝２ ６
６．（ 湖北七市州 月联考， ）已知正方形 ＡＢＣＤ 的边长为 １３．（多选）（ 福建厦门毕业班第四次质量检测， ）已知等
２０２４ ３ ３ ２０２４ １０
２，
若Ｂ→Ｐ
＝
Ｐ→Ｃ
，
则→ＡＰ
·
Ｂ→Ｄ
＝ （
Ｂ
）
边
△
ＡＢＣ的边长为
４，
点Ｄ
，
Ｅ满足Ｂ→Ｄ
＝２
Ｄ→Ａ
，
Ｂ→Ｅ
＝
Ｅ→Ｃ
，
ＡＥ与
ＣＤ交于点Ｏ 则 ＡＢＤ
Ａ．２ Ｂ．－２ ， （ ）
Ｃ．４ Ｄ．－４ Ｃ→Ｄ ２→ＣＡ １ Ｃ→Ｂ
７．（ 北京清华附中统练二， ）如图 在 ＯＡＣＢ 中 Ｅ 是 ＡＣ Ａ． ＝ ＋
２０２４ ５ ， ▱ ， ３ ３
的中点 Ｆ是ＢＣ上的一点 且ＢＣ ＢＦ 若Ｏ→Ｃ ｍＯ→Ｅ ｎＯ→Ｆ Ｂ→Ｏ Ｂ→Ｃ
， ， ＝３ ， ＝ ＋ ， Ｂ． · ＝８
其中ｍ
，
ｎ
∈
Ｒ
，
则ｍ
＋
ｎ的值为
（
Ｃ
） Ｃ．
Ｃ→Ｏ
＝２
Ｏ→Ｄ
# ' $
Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ
Ｄ．｜ ＋ ＋ ｜＝ ３
１４．（ 浙江嘉兴调研， ）已知平面向量 ａ ｂ ｃ ａ
& ２０２４ １２ ， ， ， ＝（－１，
ｂ ｃ是非零向量 且ｃ与ａ ｂ的夹角相等 则
0 " ３）， ＝（ ３，－１）， ， ， ，
ｃ的坐标可以为 （ ， ）（答案不唯一，满足横、纵坐标相等且
１ １
Ａ．１ Ｂ． ３ Ｃ． ７ Ｄ． ７ 都不为 即可） ． 只需写出一个符合要求的答案
２ ５ ３ ０ （ ）
８．（ 东北三省三校第二次联考， ）已知 ａ ｂ １５．（ 黑龙江哈六中二模， ）已知不共线的三个单位向量
２０２４ ５ ｜ ｜＝５， ＝（－１，２）， ２０２４ １２
ａ在ｂ上的投影向量为ｍ 则向量ａ与ｂ夹角余弦
＝（－２，４）， ａ
，
ｂ
，
ｃ满足ａ
＋
λｂ
＋
ｃ
＝
０
，
ａ与ｂ的夹角为π
，
则实数λ
＝ －１
．
值为 Ａ ３
（ ）
２ ５ ５ ２ ５
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．－
５ ５ ５ ５
１ ０２ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
６．（多选）（ 江苏苏锡常镇调研二， ）在长方形ＡＢＣＤ中
学生用书P60 ２０２４ １１ ，
ＡＢ ＡＤ 点Ｅ Ｆ分别为边ＢＣ和ＣＤ上两个动点 含端
１．（ 江西重点中学协作体联考， ）如图 正六边形的边长为 ＝８， ＝６， ， （
２０２４ ６ ， 点 且ＥＦ 设Ｂ→Ｅ λＢ→Ｃ Ｄ→Ｆ μＤ→Ｃ 则 ＡＣ
半径为 的圆Ｏ的圆心为正六边形的中心 若点Ｍ在正 ）， ＝５， ＝ ， ＝ ， （ ）
２ ２， １ ，
六边形的边上运动 动点Ａ Ｂ在圆Ｏ上运动且关于圆心Ｏ对 １ λ ３ μ
， ， Ａ． ≤ ≤１， ≤ ≤１
６ ８
称 则Ｍ→Ａ Ｍ→Ｂ的取值范围为 Ｂ λ μ为定值
， · （ ） Ｂ． ＋
→ＡＥ →ＡＦ的最小值为
" Ｃ． · ５０
→ＡＥ →ＡＦ 的最大值为
0 Ｄ．｜ ＋ ｜ ２６５
# ７．（多选）（ 湖南长沙一中一模， ）在梯形ＡＢＣＤ中 ＡＤ
２０２４ １０ ， ∥
ＢＣ ＡＢ ＡＤ ＣＤ ＡＢＣ ° ＡＣ与ＢＤ交于点Ｍ 点Ｎ在
. ， ＝ ＝ ＝２，∠ ＝６０ ， ，
线段ＣＤ上 则 ＡＣ
， （ ）
Ａ．［４，５］ Ｂ．［５，７］ Ｃ．［４，６］ Ｄ．［５，８］
" %
２．（ 湖南新高考教学教研联盟第二次联考， ）设Ｏ→Ａ
２０２４ ５ ＝（１，
.
Ｏ→Ｂ 对满足条件 Ｏ→Ｃ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ 的点 /
０）， ＝（０，２）， ｜ － － ｜ ＝２｜ － ｜
Ｃ ｘ ｙ Ｏ为坐标原点 ｘ ｙ ｍ ｘ ｙ 的值与ｘ ｙ无 # $
（ ， ）， ，｜ －２ ＋ ｜＋｜ －２ －７｜ ，
关 则实数ｍ的取值范围为 Ｂ
， （ ） Ａ→Ｍ ２ Ａ→Ｄ １→ＡＢ
Ａ． ＝ ＋
Ａ．（－∞，－７） ３ ３
Ｓ Ｓ
Ｂ．［１３，＋∞） Ｂ．２ △ ＡＣＤ＝３ △ ＢＣＭ
Ｃ．（１３，＋∞） Ｃ．
Ｂ→Ｍ
·
Ｂ→Ｎ为定值
８
Ｄ．（－∞，－７）∪［１３，＋∞）
若Ｂ→Ｎ λＢ→Ｍ μＢ→Ｃ 则 ３ ３ 的最小值为７ ３
３．（ 河北石家庄质检（二）， ）在平行四边形ＡＢＣＤ中
→ＡＢ Ｄ． ＝ ＋ ， λ＋
２
μ
２
２０２４ ６ ， ( )
｜ →ＡＢ ｜ ８．（ ２０２４ 广东深圳第一次调研， １３ ）设点Ａ （－２，０）， Ｂ － １ ，０ ，
２
Ａ→Ｄ λ→ＡＣ
＋ ３ Ａ→Ｄ ＝ →ＡＣ ， λ ∈［ ７，３］， 则 ｃｏｓ∠ ＢＡＤ的取值范围是 Ｃ （０，１）， 若动点Ｐ满足 ｜ ＰＡ ｜＝２｜ ＰＢ ｜， 且→ＡＰ ＝ λ→ＡＢ ＋ μ→ＡＣ ， 则λ
｜ ｜ ｜ ｜
Ａ μ的最大值为 ２ ２＋４ ．
（ ） ＋２
[ ] [ ] ３
１ １ １ １ ９．（ 安徽六校教育研究会第二次素养测试， ）已知正方形
Ａ． － ，－ Ｂ． － ， ２０２４ １３
２ ６ ２ ３
[ ] [ ] ＡＢＣＤ的边长为 中心为 Ｏ 四个半圆的圆心均为正方形
２， ，
２ １ ２ １
Ｃ． － ， Ｄ． － ，－
３ ３ ３ ６ ＡＢＣＤ各边的中点 如图 若Ｐ在ＢＣ
（ ），
４．（ 山东烟台、德州二模， ）在 ＡＢＣ 中 ＡＢ ＡＣ
２０２４ ７ △ ， ＝３， ＝２，
ＢＡＣ ° →ＡＢ →ＡＦ Ｂ→Ｅ Ｅ→Ｃ ＡＥ ＣＦ交于点Ｄ 则 Ｃ→Ｄ
∠ ＝６０ ， ＝３ ， ＝ ， ， ， ｜ ｜＝
Ｃ
（ ）
３ ３
Ａ． Ｂ．
３ ２
３ ３
Ｃ． Ｄ． ３
４
５．（ 山西晋城三模， ）如图 圆Ｏ 和圆Ｏ 外切于点Ｐ Ａ Ｂ
２０２４ ８ ， １ ２ ， ，
分别为圆Ｏ 和圆Ｏ 上的动点 已知圆Ｏ 和圆Ｏ 的半径都
１ ２ ， １ ２
为 且→ＰＡ Ｐ→Ｂ 则 →ＰＡ Ｐ→Ｂ ２ 的最大值为 Ｄ
１， · ＝－１， ｜ ＋ ｜ （ ）
"
#
0 1 0
Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．２ ２ Ｄ．２ ３
(
上 且→ＡＰ λ→ＡＢ μＡ→Ｄ 则
， ＝ ＋ ，
λ μ的最大值为 ３＋ ２ ．
＋
２
# 1
" 0 $
%
学生用书P61
新定义理解 （ 北京人大附中统练， ）定义平面向量的
２０２４ １５
一种运算ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ 其中 ａ ｂ 是ａ与ｂ
☉ ＝｜ ＋ ｜×｜ － ｜×ｓｉｎ〈 ， 〉， 〈 ， 〉
的夹角 给出下列命题 若 ａ ｂ ° 则ａ ｂ ａ２ ｂ２ 若
， ：① 〈 ， 〉＝９０ ， ☉ ＝ ＋ ；②
ａ ｂ 则 ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ 若 ａ ｂ 则ａ ｂ
｜ ｜＝｜ ｜， （ ＋ ）☉（ － ）＝４ · ；③ ｜ ｜＝｜ ｜， ☉ ≤
ａ ２ 若ａ ｂ 则 ａ ｂ ｂ ．其中真
２｜ ｜ ；④ ＝（１，２）， ＝（－２，２）， （ ＋ ）☉ ＝ １０
命题的序号是 ．
①③
