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2025新教材数学高考第一轮复习
6.2 平面向量的数量积及其应用
五年高考
考点1 平面向量数量积及夹角与模问题
1.(2022全国乙理,3,5分,易)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=√3,|a-2b|=3,则a·b=( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
2.(2022全国乙文,3,5分,易)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|= ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.(2023全国乙文,6,5分,中)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则⃗EC·⃗ED= ( )
A.√5B.3C.2√5 D.5
4.(2023 全国甲理,4,5 分,中)已知向量 a,b,c 满足|a|=|b|=1,|c|=√2,且 a+b+c=0,则 cos=( )
4 2 2 4
A.- B.− C. D.
5 5 5 5
5.(多选)(2021 新高考Ⅰ,10,5 分,中)已知 O 为坐标原点,点 P (cos α,sin α),P (cos β,-sin
1 2
β),P (cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则 ( )
3
A.| |
⃗OP |=|⃗OP
1 2
B.| |
⃗AP |=|⃗AP
1 2
C.
⃗OA·⃗OP =⃗OP ·⃗OP
3 1 2
D.
⃗OA·⃗OP =⃗OP ·⃗OP
1 2 3
6.(2023新课标Ⅱ,13,5分,易)已知向量a,b满足|a-b|=√3,|a+b|=|2a-b|,则|b|= .
7.(2021新高考Ⅱ,15,5分,易)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a= .
考点2 平面向量数量积的应用
1.(2023新课标Ⅰ,3,5分,易)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则 ( )
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1
C.λμ=1 D.λμ=-1
2.(2020课标Ⅱ文,5,5分,易)已知单位向量 a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的
是( )A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b
3.(2022新高考Ⅱ,4,5分,易)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则t=( )
A.-6 B.-5 C.5 D.6
4.(2020新高考Ⅰ,7,5分,中)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则⃗AP·⃗AB
的取值范围是 ( )
A.(-2,6) B.(-6,2)
C.(-2,4) D.(-4,6)
5.(2022北京,10,4分,中)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,
且PC=1,则⃗PA·⃗PB的取值范围是( )
A.[-5,3] B.[-3,5]
C.[-6,4] D.[-4,6]
6.(2019 课标Ⅲ理,13,5 分,易)已知 a,b 为单位向量,且 a·b=0,若 c=2a-√5b,则 cos=
.
7.(2022天津,14,5分,中)在△ABC中,点D为AC的中点,点E满足⃗CB=2⃗BE.记⃗CA=a,⃗CB
=b,用a,b表示⃗DE= ;若AB⊥DE,则∠ACB的最大值为 .
三年模拟
综合基础练
1.(2024届广东潮州第四次测试,3)已知向量a,b满足|a|=2,b=(1,3),且a·b=4,则向量a,b夹角
的余弦值为( )
√5 2√5
A. B.
5 5
√10 √10
C. D.
5 10
2.(2024届广东六校联考,3)已知向量a=(-1,1),b=(m,2).若(a-b)⊥a,则m= ( )
1
A. B.2
2
C.-2 D.0
3.(2024届福建漳州第一次教学质检,4)已知向量a=(-1,1),b=(2,x),若a⊥b,则|a-b|= ( )
A.2 B.2√2C.√10D.2√3
4.(2024届广东深圳罗湖开学模考,3)已知向量a,b满足a⊥(a+4b),b⊥(a+3b),则向量a,b的
夹角为 ( )π π
A. B.
6 3
2π 5π
C. D.
3 6
5.(2023广东广州二模,3)已知两个非零向量a,b满足|a|=3|b|,(a+b)⊥b,则cos=( )
1 1 1 1
A. B.− C. D.−
2 2 3 3
6.(2024届河北保定月考,3)已知向量a=(1,2),b=(1,1),则a在b上的投影向量为 ( )
1 √2
A. b B. b
2 2
3 3√2
C. b D. b
2 2
7.(2023山西大同二模,3)已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,则|a-2b|= ( )
A.2 B.√6
C.2√3 D.4
8.(2023福建福州八县期中联考,7)已知向量 a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos=(
)
5 19
A.- B.−
7 35
19 5
C. D.
35 7
1
9.(2023 山东聊城二模,4)在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=CD= AB=2,⃗BD·⃗AC=-6,则∠BAD
2
的余弦值为( )
1 1
A.- B.−
2 3
1 1
C. D.
3 2
10.(2023山东淄博二模,4)已知向量a,b满足a·b=10,且b=(6,-8),则a在b上的投影向量为(
)
A.(-6,8) B.(6,-8)
C.( 3 4) (3 4)
− , D. ,−
5 5 5 5
11.(2024届湖北武昌实验中学月考,13)已知a=(-2,λ),b=(3,1),若(a+b)⊥b,则|a|= .π
12.(2024届河北邢台名校期中联考,13)已知向量a与b的夹角为 ,|a|=√3|b|=3,则|a-√3b|=
3
.
13.(2024届河北保定唐县一中月考,14)已知向量a,b满足:|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则a与b的
夹角为 .
综合拔高练
1.(2023江苏苏北四市第二次联考,6)若平面向量a,b,c两两的夹角相等,且|a|=|b|=1,|c|=4,则|
a+b+c|=( )
A.3 B.√3或√6C.3或6D.√3或6
2.(2024届广东惠州模拟检测,6)已知非零向量a,b满足(a+2b)⊥(a-2b),且向量b在向量a上
1
的投影向量是 a,则向量a与b的夹角是( )
4
π π π 2π
A. B. C. D.
6 3 2 3
3.(2023 山东潍坊一模)单位圆 O:x2+y2=1 上有两定点 A(1,0),B(0,1)及两动点 C,D,且
1
⃗OC·⃗OD= ,则⃗CA·⃗CB+⃗DA·⃗DB的最大值是 ( )
2
A.2+√6B.2+2√3
C.√6−2D.2√3-2
4.(2024届浙江杭州二中第一次月考,5)在平面直角坐标系xOy中,已知P(3,4),长度为2的
线段AB的端点分别落在x轴和y轴上,则⃗PA·⃗PB的取值范围是 ( )
A.[2,√6] B.[3,5]
C.[4,6] D.[15,35]
5.(多选)(2023福建厦门、福州等市质检一,11)平面向量m,n满足|m|=|n|=1,对任意的实数
t,| 1 |≤|m+tn|恒成立,则 ( )
m− n
2
A.m与n的夹角为60°
B.(m+tn)2+(m-tn)2为定值
1
C.|n-tm|的最小值为
2
1
D.m在m+n上的投影向量为 (m+n)
26. (多选)(2024届广东深圳阶段测试,10)重庆荣昌折扇是中国名扇之一,其精雅宜士人,其
华灿宜艳女,深受各界人士喜爱.古人曾有诗赞曰:“开合清风纸半张,随机舒卷岂寻常;金环
并束龙腰细,玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为图中的扇形COD,其中
2π
∠COD= ,OC=3OA=3,动点P在C´D上(含端点),连接OP交扇形OAB的弧A´B于点Q,且
3
⃗OQ=x⃗OC+ y⃗OD,则下列说法正确的是 ( )
2
A.若y=x,则x+y=
3
B.若y=2x,则⃗OA·⃗OP=0
C.⃗AB·⃗PQ≥-2
11
D.⃗PA·⃗PB≥
2
7.(2023福建福州八县期中联考,15)在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=4,点M为边AB的中点,
点P在边BC上,则⃗MP·⃗CP的最小值为 .
8.(2023河南郑州、开封重点中学联考,15)如图所示,△ABC是边长为8的等边三角形,点P
为 AC 边上的一个动点,长度为 6 的线段 EF 的中点为点 B,则⃗PE·⃗PF的取值范围是
.
9.(2024届湖南师大附中摸底考,16)在直角△ABC中,AB⊥AC,AC=√3,AB=1,平面ABC内动
点P满足CP=1,则⃗AP·⃗BP的最小值为 .6.2 平面向量的数量积及其应用
五年高考
考点1 平面向量数量积及夹角与模问题
1.(2022全国乙理,3,5分,易)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=√3,|a-2b|=3,则a·b=( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
答案 C
2.(2022全国乙文,3,5分,易)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|= ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 D
3.(2023全国乙文,6,5分,中)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则⃗EC·⃗ED= ( )
A.√5B.3C.2√5 D.5
答案 B
4.(2023 全国甲理,4,5 分,中)已知向量 a,b,c 满足|a|=|b|=1,|c|=√2,且 a+b+c=0,则 cos=( )
4 2 2 4
A.- B.− C. D.
5 5 5 5
答案 D
5.(多选)(2021 新高考Ⅰ,10,5 分,中)已知 O 为坐标原点,点 P (cos α,sin α),P (cos β,-sin
1 2
β),P (cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则 ( )
3
A.| |
⃗OP |=|⃗OP
1 2
B.| |
⃗AP |=|⃗AP
1 2
C.
⃗OA·⃗OP =⃗OP ·⃗OP
3 1 2
D.
⃗OA·⃗OP =⃗OP ·⃗OP
1 2 3
答案 AC
6.(2023新课标Ⅱ,13,5分,易)已知向量a,b满足|a-b|=√3,|a+b|=|2a-b|,则|b|= .
答案 √3
7.(2021新高考Ⅱ,15,5分,易)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a= .
9
答案 -
2考点2 平面向量数量积的应用
1.(2023新课标Ⅰ,3,5分,易)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则 ( )
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1
C.λμ=1 D.λμ=-1
答案 D
2.(2020课标Ⅱ文,5,5分,易)已知单位向量 a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的
是( )
A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b
答案 D
3.(2022新高考Ⅱ,4,5分,易)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则t=( )
A.-6 B.-5 C.5 D.6
答案 C
4.(2020新高考Ⅰ,7,5分,中)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则⃗AP·⃗AB
的取值范围是 ( )
A.(-2,6) B.(-6,2)
C.(-2,4) D.(-4,6)
答案 A
5.(2022北京,10,4分,中)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,
且PC=1,则⃗PA·⃗PB的取值范围是( )
A.[-5,3] B.[-3,5]
C.[-6,4] D.[-4,6]
答案 D
6.(2019 课标Ⅲ理,13,5 分,易)已知 a,b 为单位向量,且 a·b=0,若 c=2a-√5b,则 cos=
.
2
答案
3
7.(2022天津,14,5分,中)在△ABC中,点D为AC的中点,点E满足⃗CB=2⃗BE.记⃗CA=a,⃗CB
=b,用a,b表示⃗DE= ;若AB⊥DE,则∠ACB的最大值为 .
1 3 π
答案 - a+ b; (或30°)
2 2 6
三年模拟综合基础练
1.(2024届广东潮州第四次测试,3)已知向量a,b满足|a|=2,b=(1,3),且a·b=4,则向量a,b夹角
的余弦值为( )
√5 2√5
A. B.
5 5
√10 √10
C. D.
5 10
答案 C
2.(2024届广东六校联考,3)已知向量a=(-1,1),b=(m,2).若(a-b)⊥a,则m= ( )
1
A. B.2
2
C.-2 D.0
答案 D
3.(2024届福建漳州第一次教学质检,4)已知向量a=(-1,1),b=(2,x),若a⊥b,则|a-b|= ( )
A.2 B.2√2C.√10D.2√3
答案 C
4.(2024届广东深圳罗湖开学模考,3)已知向量a,b满足a⊥(a+4b),b⊥(a+3b),则向量a,b的
夹角为 ( )
π π
A. B.
6 3
2π 5π
C. D.
3 6
答案 D
5.(2023广东广州二模,3)已知两个非零向量a,b满足|a|=3|b|,(a+b)⊥b,则cos=( )
1 1 1 1
A. B.− C. D.−
2 2 3 3
答案 D
6.(2024届河北保定月考,3)已知向量a=(1,2),b=(1,1),则a在b上的投影向量为 ( )
1 √2
A. b B. b
2 2
3 3√2
C. b D. b
2 2
答案 C
7.(2023山西大同二模,3)已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,则|a-2b|= ( )
A.2 B.√6C.2√3 D.4
答案 A
8.(2023福建福州八县期中联考,7)已知向量 a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos=(
)
5 19
A.- B.−
7 35
19 5
C. D.
35 7
答案 D
1
9.(2023 山东聊城二模,4)在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=CD= AB=2,⃗BD·⃗AC=-6,则∠BAD
2
的余弦值为( )
1 1
A.- B.−
2 3
1 1
C. D.
3 2
答案 D
10.(2023山东淄博二模,4)已知向量a,b满足a·b=10,且b=(6,-8),则a在b上的投影向量为(
)
A.(-6,8) B.(6,-8)
C.( 3 4) (3 4)
− , D. ,−
5 5 5 5
答案 D
11.(2024届湖北武昌实验中学月考,13)已知a=(-2,λ),b=(3,1),若(a+b)⊥b,则|a|= .
答案 2√5
π
12.(2024届河北邢台名校期中联考,13)已知向量a与b的夹角为 ,|a|=√3|b|=3,则|a-√3b|=
3
.
答案 3
13.(2024届河北保定唐县一中月考,14)已知向量a,b满足:|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则a与b的
夹角为 .
π
答案
3
综合拔高练1.(2023江苏苏北四市第二次联考,6)若平面向量a,b,c两两的夹角相等,且|a|=|b|=1,|c|=4,则|
a+b+c|=( )
A.3 B.√3或√6C.3或6D.√3或6
答案 C
2.(2024届广东惠州模拟检测,6)已知非零向量a,b满足(a+2b)⊥(a-2b),且向量b在向量a上
1
的投影向量是 a,则向量a与b的夹角是( )
4
π π π 2π
A. B. C. D.
6 3 2 3
答案 B
3.(2023 山东潍坊一模)单位圆 O:x2+y2=1 上有两定点 A(1,0),B(0,1)及两动点 C,D,且
1
⃗OC·⃗OD= ,则⃗CA·⃗CB+⃗DA·⃗DB的最大值是 ( )
2
A.2+√6B.2+2√3
C.√6−2D.2√3-2
答案 A
4.(2024届浙江杭州二中第一次月考,5)在平面直角坐标系xOy中,已知P(3,4),长度为2的
线段AB的端点分别落在x轴和y轴上,则⃗PA·⃗PB的取值范围是 ( )
A.[2,√6] B.[3,5]
C.[4,6] D.[15,35]
答案 D
5.(多选)(2023福建厦门、福州等市质检一,11)平面向量m,n满足|m|=|n|=1,对任意的实数
t,| 1 |≤|m+tn|恒成立,则 ( )
m− n
2
A.m与n的夹角为60°
B.(m+tn)2+(m-tn)2为定值
1
C.|n-tm|的最小值为
2
1
D.m在m+n上的投影向量为 (m+n)
2
答案 AD
7. (多选)(2024届广东深圳阶段测试,10)重庆荣昌折扇是中国名扇之一,其精雅宜士人,其华灿宜艳女,深受各界人士喜爱.古人曾有诗赞曰:“开合清风纸半张,随机舒卷岂寻常;金环
并束龙腰细,玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为图中的扇形COD,其中
2π
∠COD= ,OC=3OA=3,动点P在C´D上(含端点),连接OP交扇形OAB的弧A´B于点Q,且
3
⃗OQ=x⃗OC+ y⃗OD,则下列说法正确的是 ( )
2
A.若y=x,则x+y=
3
B.若y=2x,则⃗OA·⃗OP=0
C.⃗AB·⃗PQ≥-2
11
D.⃗PA·⃗PB≥
2
答案 ABD
7.(2023福建福州八县期中联考,15)在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=4,点M为边AB的中点,
点P在边BC上,则⃗MP·⃗CP的最小值为 .
9
答案 -
2
8.(2023河南郑州、开封重点中学联考,15)如图所示,△ABC是边长为8的等边三角形,点P
为 AC 边上的一个动点,长度为 6 的线段 EF 的中点为点 B,则⃗PE·⃗PF的取值范围是
.
答案 [39,55]
9.(2024届湖南师大附中摸底考,16)在直角△ABC中,AB⊥AC,AC=√3,AB=1,平面ABC内动
点P满足CP=1,则⃗AP·⃗BP的最小值为 .
答案 4-√13
