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6.2 平面向量的数量积及其应用
考点清单
学生用书P45 知识结构化 考点清单化
考点一 数量积的定义及夹角与模问题 ｅ的夹角 则
ꎬ
ｅ ａ ａ ｅ ａ θ.
１.两个向量的夹角 (１) ＝ ＝｜ ｜ｃｏｓ
ａ ｂ ａ ｂ .
定义和范围 (２) ⊥ ⇔ ＝０
(１) 当ａ与ｂ同向时 ａ ｂ ａ ｂ
(３) ꎬ ＝｜ ｜｜ ｜ꎻ
当ａ与ｂ反向时 ａ ｂ ａ ｂ .
ꎬ ＝－｜ ｜｜ ｜
特别地 ａ ａ ａ ２.
ꎬ ＝｜ ｜
ａ ｂ
θ .
(４)ｃｏｓ ＝ ａ ｂ
｜ ｜｜ ｜
ａ ｂ ａ ｂ .
(５)｜ ｜≤｜ ｜｜ ｜
考点二 数量积的综合应用
两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件 １.向量数量积的应用
(２)
已知非零向量ａ ｘ ｙ ｂ ｘ ｙ .
＝( １ꎬ １)ꎬ ＝( ２ꎬ ２)
证明垂直问题 常用向量垂直的充要条件 ａ ｂ ａ ｂ
(１) ꎬ : ⊥ ⇔ ＝０
ｘ ｘ ｙ ｙ .
⇔ １ ２＋ １ ２＝０
２.平面向量的数量积 ａ ｂ
求解夹角问题 常利用夹角公式 θ
(２) ꎬ :ｃｏｓ ＝ ａ ｂ ＝
｜ ｜｜ ｜
ｘ ｘ ｙ ｙ
１ ２＋ １ ２ 其中θ为ａ与ｂ的夹角 .
( )
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
１＋ １ ２＋ ２
求线段长度问题 常利用向量的长度公式 ａ ａ２
(３) ꎬ :｜ ｜ ＝ ＝
ｘ２ １＋ ｙ２ １ 或 ｜ →ＡＢ ｜＝ ( ｘ Ｂ－ ｘ Ａ) ２ ＋( ｙ Ｂ－ ｙ Ａ) ２.
２.向量中常用的结论
在 ＡＢＣ中 Ａ Ｂ Ｃ所对的边分别为ａ ｂ ｃ.
△ ꎬ∠ ꎬ∠ ꎬ∠ ꎬ ꎬ
æ →ＡＢ →ＡＣ ö
(１)
在→ＡＩ
＝
λ
è
ç
→ＡＢ ＋ →ＡＣ ø
÷的条件下
ꎬ
存在λ使得Ｉ 为
△
ＡＢＣ
｜ ｜ ｜ ｜
的内心
ꎻ
ａ→ＰＡ ｂＰ→Ｂ ｃＰ→Ｃ ０ Ｐ为 ＡＢＣ的内心.
＋ ＋ ＝ ⇔ △
→ＰＡ Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｃ Ｐ为 ＡＢＣ的外心.
(２)｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜⇔ △
→ＧＡ Ｇ→Ｂ Ｇ→Ｃ ０ Ｇ为 ＡＢＣ的重心.
(３) ＋ ＋ ＝ ⇔ △
３.向量数量积的性质 →ＰＡ Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｂ Ｐ→Ｃ Ｐ→Ｃ →ＰＡ Ｐ为 ＡＢＣ的垂心.
(４) ＝ ＝ ⇔ △
设ａ ｂ都是非零向量 ｅ是与ｂ方向相同的单位向量 θ是ａ与
、 ꎬ ꎬ
第 六
章
平
面
向
量
及
其
应
用
１ ０５
题型方法
学生用书P46 题型经典 方法实用
一、求解平面向量模的方法 二、求解平面向量夹角的方法
利用向量数量积求解长度问题是向量数量积的重要应用 求解 １.定义法 即利用向量数量积的定义ａ ｂ ａ ｂ θ θ为ａ
ꎬ ꎬ ＝｜ ｜｜ ｜ｃｏｓ (
平面向量模的常用方法如下 与ｂ的夹角 进行求解 在求解时 要注意θ的取值范围是
: ) ꎬ ꎬ [０ꎬ
ａ ａ ａ. .
(１)｜ ｜＝ π]
ｘ ｘ ｙ ｙ
(２)｜ ａ ± ｂ ｜＝ ( ａ ± ｂ ) ２ ＝ ａ２ ±２ ａ ｂ ＋ ｂ２. ２.坐标法 ꎬ 即利用 ｃｏｓ θ ＝ １ ２＋ １ ２ 进行求解 ꎬ 其中ａ ＝
(３) 若ａ ＝( ｘ ꎬ ｙ )ꎬ 则 ｜ ａ ｜＝ ｘ２ ＋ ｙ２或 ｜ ａ ｜ ２ ＝ ｘ２ ＋ ｙ２. ｘ ｙ ｂ ｘ ｙ 且 ａ ｂ ｘ２ １ 不 ＋ ｙ 是 ２ １ 非零 ｘ２ ２ 向 ＋ ｙ 量 ２ ２ θ 为 ａ 与 ｂ 的夹
例1 (２０２０课标
Ⅰ
理ꎬ１４ꎬ５分)设ａ
ꎬ
ｂ为单位向量
ꎬ
且
｜
ａ
＋
ｂ
｜＝
(
角
１ꎬ
.
１)ꎬ ＝( ２ꎬ ２) ꎬ (
则 ａ ｂ . )
１ꎬ ｜ － ｜＝ 例2 (２０１９课标 理ꎬ７ꎬ５ 分)已知非零向量 ａ ｂ 满足 ａ
解析 由 ａ ｂ 得 ａ ｂ ２ 即ａ２ ｂ２ ａ ｂ 而 Ⅰ ꎬ ｜ ｜ ＝
｜ ＋ ｜ ＝１ꎬ ｜ ＋ ｜ ＝１ꎬ ＋ ＋２ ＝１ꎬ ｂ 且 ａ ｂ ｂ 则ａ与ｂ的夹角为
２｜ ｜ꎬ ( － )⊥ ꎬ ( )
ａ ｂ 故ａ ｂ １ ａ ｂ ａ ｂ ２ ａ２ ｂ２ ａ ｂ
｜ ｜＝｜ ｜＝１ꎬ ＝－ ꎬ｜ － ｜＝ ｜ － ｜ ＝ ＋ －２
２ π π ２π ５π
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. . ６ ３ ３ ６
＝ １＋１＋１＝ ３ 解析 解法一 因为 ａ ｂ ｂ
答案 : ( － )⊥ ꎬ
３
所以 ａ ｂ ｂ ａ ｂ ｂ ２
( － ) ＝ －｜ ｜ ＝０ꎬ 又 ａ ｂ 所以 ＡＯＢ π 即 ａ ｂ π.
又因为 ａ ｂ ｜ ｜＝２｜ ｜ꎬ ∠ ＝ ꎬ ‹ ꎬ ›＝
｜ ｜＝２｜ ｜ꎬ ３ ３
所以 ｂ ２ ａ ｂ ｂ ２ 故选 .
２｜ ｜ ｃｏｓ‹ ꎬ ›－｜ ｜ ＝０ꎬ Ｂ
即 ａ ｂ １
ｃｏｓ‹ ꎬ ›＝ ꎬ
２
又知 ａ ｂ 所以 ａ ｂ π
‹ ꎬ ›∈[０ꎬπ]ꎬ ‹ ꎬ ›＝ ꎬ
３
故选 . 答案 Ｂ
Ｂ
解法二 如图 令Ｏ→Ａ ａ Ｏ→Ｂ ｂ 则→ＢＡ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ ａ ｂ 因为 ａ
: ꎬ ＝ ꎬ ＝ ꎬ ＝ － ＝ － ꎬ ( －
ｂ ｂ 所以 ＯＢＡ π
)⊥ ꎬ ∠ ＝ ꎬ
２
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
１ ０６
五年 考点式编排 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
高考 题组式训练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2018—2022 —
２０１２ ２０１７
考点一 数量积的定义及夹角与模问题
答案 ３
学生用书P189 ５
９.(２０２０课标 理ꎬ１３ꎬ５分ꎬ基础性)已知单位向量ａ ｂ的夹角
１.(２０２２全国乙理ꎬ３ꎬ５分ꎬ基础性)已知向量ａ ｂ满足 ａ Ⅱ ꎬ
ꎬ ｜ ｜＝１ꎬ 为 ° ｋａ ｂ与ａ垂直 则ｋ .
ｂ ａ ｂ 则ａ ｂ ４５ ꎬ － ꎬ ＝
｜ ｜＝ ３ꎬ｜ －２ ｜＝３ꎬ ＝ ( )
答案 ２
Ａ.－２ Ｂ.－１ Ｃ.１ Ｄ.２
答案 Ｃ ２
２.(２０２２全国乙文ꎬ３ꎬ５ 分ꎬ基础性)已知向量 ａ ｂ 考点二 数量积的综合应用 学生用书P190
＝(２ꎬ１)ꎬ ＝
则 ａ ｂ １.(２０２２新高考 ꎬ４ꎬ５ 分ꎬ综合性)已知向量 ａ ｂ
(－２ꎬ４)ꎬ ｜ － ｜＝ ( ) Ⅱ ＝(３ꎬ４)ꎬ ＝
ｃ ａ ｔｂ 若 ａ ｃ ｂ ｃ 则ｔ
Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５ (１ꎬ０)ꎬ ＝ ＋ ꎬ ‹ ꎬ ›＝‹ ꎬ ›ꎬ ＝ ( )
答案 Ｄ
Ａ.－６ Ｂ.－５ Ｃ.５ Ｄ.６
３.(２０２０课标 文ꎬ５ꎬ５分ꎬ基础性)已知单位向量ａ ｂ的夹角 答案 Ｃ
Ⅱ ꎬ
为 ° 则在下列向量中 与ｂ垂直的是 ２.(２０１４四川ꎬ７ꎬ５分ꎬ基础性)平面向量ａ ｂ
６０ ꎬ ꎬ ( ) ＝(１ꎬ２)ꎬ ＝(４ꎬ２)ꎬ
ａ ｂ ａ ｂ ｃ ｍａ ｂ ｍ Ｒ 且ｃ与ａ的夹角等于ｃ与ｂ的夹角 则ｍ
Ａ. ＋２ Ｂ.２ ＋ ＝ ＋ ( ∈ )ꎬ ꎬ ＝
ａ ｂ ａ ｂ
Ｃ. －２ Ｄ.２ － ( )
答案 Ｄ
Ａ.－２ Ｂ.－１ Ｃ.１ Ｄ.２
答案 Ｄ
４.(２０１９课标 理ꎬ３ꎬ５分ꎬ基础性)已知→ＡＢ →ＡＣ
Ⅱ ＝(２ꎬ３)ꎬ ＝(３ꎬ ３.(２０２０新高考 ꎬ７ꎬ５分ꎬ综合性)已知Ｐ是边长为 的正六
ｔ Ｂ→Ｃ 则→ＡＢ Ｂ→Ｃ Ⅰ ２
)ꎬ｜ ｜＝１ꎬ ＝ ( ) 边形ＡＢＣＤＥＦ内的一点 则→ＡＰ →ＡＢ的取值范围是
ꎬ ( )
Ａ.－３ Ｂ.－２ Ｃ.２ Ｄ.３
答案 Ｃ Ａ.(－２ꎬ６) Ｂ.(－６ꎬ２)
５.(多选)(２０２１新高考 ꎬ１０ꎬ５分ꎬ综合性)已知Ｏ为坐标原 Ｃ.(－２ꎬ４) Ｄ.(－４ꎬ６)
Ⅰ 答案 Ａ
点 点Ｐ α α Ｐ β β Ｐ α β α
ꎬ １(ｃｏｓ ꎬｓｉｎ )ꎬ ２(ｃｏｓ ꎬ－ｓｉｎ )ꎬ ３(ｃｏｓ( ＋ )ꎬｓｉｎ( ＋ ４.(２０２２全国甲文ꎬ１３ꎬ５ 分ꎬ基础性)已知向量ａ ｍ ｂ
β Ａ 则 ＝( ꎬ３)ꎬ ＝
))ꎬ (１ꎬ０)ꎬ ( ) ｍ .若ａ ｂ 则ｍ .
Ｏ→Ｐ Ｏ→Ｐ Ａ→Ｐ Ａ→Ｐ (１ꎬ ＋１) ⊥ ꎬ ＝
Ａ.｜ １｜＝｜ ２｜ Ｂ.｜ １｜＝｜ ２｜
答案 ３
Ｏ→Ａ Ｏ→Ｐ Ｏ→Ｐ Ｏ→Ｐ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｐ Ｏ→Ｐ Ｏ→Ｐ －
Ｃ. ３＝ １ ２ Ｄ. １＝ ２ ３ ４
答案 ＡＣ ５.(２０２１新高考 ꎬ１５ꎬ５分ꎬ基础性)已知向量ａ ｂ ｃ ０ ａ
Ⅱ ＋ ＋ ＝ ꎬ｜ ｜＝１ꎬ
６.(２０２２全国甲理ꎬ１３ꎬ５分ꎬ基础性)设向量ａ ｂ的夹角的余弦 ｂ ｃ 则ａ ｂ ｂ ｃ ｃ ａ . ꎬ ｜ ｜＝｜ ｜＝２ꎬ ＋ ＋ ＝
值为 １ 且 ａ ｂ 则 ａ ｂ ｂ . 答案 ９ ꎬ ｜ ｜＝１ꎬ｜ ｜＝３ꎬ (２ ＋ ) ＝ －
３ ２
答案 ６.(２０２１浙江ꎬ１７ꎬ４分ꎬ综合性)已知平面向量ａ ｂ ｃ ｃ ０ 满 １１ ꎬ ꎬ ( ≠ )
７.(２０２１全国甲文ꎬ１３ꎬ５分ꎬ基础性)若向量ａ ｂ满足 ａ 足 ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ｃ .记平面向量ｄ在ａ ｂ
ꎬ ｜ ｜＝３ꎬ ｜ ｜＝１ꎬ｜ ｜＝２ꎬ ＝０ꎬ( － ) ＝０ ꎬ
｜
ａ
－
ｂ
｜＝５ꎬ
ａ
ｂ
＝１ꎬ
则
｜
ｂ
｜＝
. 方向上的投影分别为ｘ
ꎬ
ｙ
ꎬ
ｄ
－
ａ在ｃ方向上的投影为ｚ
ꎬ
则ｘ２
＋
ｙ２
答案 ｚ２ 的最小值是 .
３ ２ ＋
８.(２０２１全国乙理ꎬ１４ꎬ５分ꎬ基础性)已知向量ａ ｂ
＝(１ꎬ３)ꎬ ＝(３ꎬ４)ꎬ 答案 ２
若 ａ λｂ ｂ 则λ .
( － )⊥ ꎬ ＝ ５
三年 考点基础练 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
模拟 综合提升练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2020—2022
A组 考点基础题组 学生用书P190
考点一 数量积的定义及夹角与模问题 答案 Ｄ
１.(２０２２江苏泰州二调ꎬ３)已知 ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ
６.(２０２２湖南三湘名校联盟联考ꎬ１３)已知向量ａ与ｂ的夹角
｜ ｜＝３ꎬ｜ ｜＝２ꎬ( ＋２ )( －３ )＝
则ａ与ｂ的夹角为
－１８ꎬ ( ) 为π ꎬ｜ ａ ｜＝１ꎬ ａ ( ａ ＋ ｂ )＝２ꎬ 则 ｜ ｂ ｜＝ .
° ° ° ° ３
Ａ.３０ Ｂ.６０ Ｃ.１２０ Ｄ.１５０ 答案
答案 Ｂ ２
７.(２０２１济南十一学校联考ꎬ１３)已知向量ｍ ｎ
２.(２０２２福建龙岩一模ꎬ３)已知向量ａ ｂ的夹角为 ° 且 ａ ＝(－１ꎬ２)ꎬ ＝(２ꎬ
ꎬ ６０ ꎬ ｜ ｜ λ 若ｍ ｎ 则 ｍ ｎ与ｍ夹角的余弦值为 .
ａ ｂ 则 ｂ )ꎬ ⊥ ꎬ ２ ＋
＝１ꎬ｜２ － ｜＝ １９ꎬ ｜ ｜＝ ( )
答案 ２ ５
Ａ.５ Ｂ.３ ２ Ｃ.４ Ｄ.３
答案 Ａ ５
考点二 数量积的综合应用
３.(２０２２湖北八市联考ꎬ４)若向量ａ ｂ满足 ａ ｂ ａ
ꎬ ｜ ｜＝１ꎬ｜ ｜＝２ꎬ ⊥
ａ ｂ 则ａ与ｂ的夹角为 １.(２０２２湖南邵阳一模ꎬ５)在 ＡＢＣＤ中 →ＡＣ Ｂ→Ｄ
( ＋ )ꎬ ( ) ▱ ꎬ ＝(１ꎬ２)ꎬ ＝(３ꎬ
π π ２π ５π 则→ＡＢ Ａ→Ｄ
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. ４)ꎬ ＝ ( )
６ ３ ３ ６
答案 Ｃ Ａ.－５ Ｂ.－４ Ｃ.－３ Ｄ.－２
答案 Ａ
４.(多选)(２０２２湖北黄冈蕲春实验高级中学一模ꎬ１０)已知向
２.(２０２２福州一模ꎬ７)已知平面向量ａ ｂ ｃ均为单位向量 且
量ａ ｍ ｂ ｎ 若ａ ｂ 则下列结论中正 ꎬ ꎬ ꎬ
＝(３ꎬ )ꎬ ＝( ꎬ１)ꎬ －２ ＝(－１ꎬ－６)ꎬ ａ ｂ 则 ａ ｂ ｂ ｃ 的最大值为
确的是 ｜ － ｜＝１ꎬ ( － )( － ) ( )
( )
１ １ ３
ｂ ａ Ａ. Ｂ. Ｃ.１ Ｄ.
Ａ. ５｜ ｜＝｜ ｜ ４ ２ ２
ａ ｂ ｂ 答案 Ｂ
Ｂ.(５ －２ )⊥
３.(２０２１辽宁开原三模ꎬ７)设ａ ｂ ｃ为单位向量 且ａ ｂ
ｂ ａ ｂ ３ １３０ ꎬ ꎬ ꎬ ＝０ꎬ
Ｃ.ｃｏｓ‹ ꎬ － ›＝－ 则 ａ ｃ ｂ ｃ 的最小值为
１３０ ( － )( － ) ( )
ａ ａ ｂ
Ｄ. ∥(３ ＋２ ) Ａ.－２ Ｂ. ２－２
答案 ＡＢＣ
５.(２０２０广东新兴第一中学期末ꎬ３)在平行四边形 ＡＢＣＤ 中 Ｃ.－１ Ｄ.１－ ２
ꎬ 答案 Ｄ
→ＡＢ Ａ→Ｄ 则该四边形的面积为 ４.(２０２２江苏苏州常熟抽测二ꎬ１５)已知平行四边形ＡＢＣＤ中
＝(１ꎬ２)ꎬ ＝(－４ꎬ２)ꎬ ( ) ꎬ
Ａ. ５ Ｂ.２ ５
→ＡＢ
Ａ→Ｄ
＝３ꎬ
点Ｐ满足→ＰＡ
Ｐ→Ｃ
＝４ꎬ
则Ｐ→Ｂ
Ｐ→Ｄ
＝
.
答案
Ｃ.５ Ｄ.１０ ７
第
六
章
平
面
向
量
及
其
应
用
１ ０７
B组 综合应用题组 学生用书P191
35分钟 50分
一、单项选择题(每小题５分ꎬ共２５分)
π π ２π ５π
１.(２０２２八省八校第二次联考二ꎬ４)如图 在同一平面内沿平 Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
ꎬ ６ ３ ３ ６
行四边形 ＡＢＣＤ 的两边 ＡＢ ＡＤ 向外分别作正方形 ＡＢＥＦ 答案 Ｂ
ꎬ ꎬ
ＡＤＭＮ 其中ＡＢ ＡＤ ＢＡＤ π 则→ＡＣ Ｆ→Ｎ ３.(２０２２广东佛山二模ꎬ８) ＡＢＣ 中 ＡＢ ＡＣＢ π Ｏ
ꎬ ＝２ꎬ ＝１ꎬ∠ ＝ ꎬ ＝ ( ) △ ꎬ ＝ ２ꎬ∠ ＝ ꎬ
４ ４
是 ＡＢＣ外接圆的圆心 则Ｏ→Ｃ →ＡＢ →ＣＡ Ｃ→Ｂ的最大值为
△ ꎬ ＋
( )
Ａ.０ Ｂ.１ Ｃ.３ Ｄ.５
答案 Ｃ
４.(２０２２安徽示范高中皖北协作区３ 月联考ꎬ１０) ＡＢＣ是等
△
腰直角三角形 ＡＢ ＢＣ Ｃ→Ｄ １ →ＣＡ Ｃ→Ｂ →ＡＥ ｘＡ→Ｄ ｙ→ＡＣ
ꎬ ＝ ＝４ꎬ ＝ ( ＋ )ꎬ ＝ ＋ ꎬ
２
Ａ.－２ ２ Ｂ.２ ２
其中 ｘ ｙ 则→ＥＡ Ｅ→Ｂ的最小值是
Ｃ.０ Ｄ.－１ ２ ＋ ＝１ꎬ ( )
答案 Ｃ
２０ ８４
２.(２０２２山东烟台、德州一模ꎬ４)若非零向量 ａ ｂ 满足 ａ Ａ.－ Ｂ.－ Ｃ.－３ Ｄ.－４
ꎬ ｜ ｜ ＝ ９ ２５
ｂ ａ ｂ ａ 则向量ａ与ｂ的夹角为 答案 Ｂ
｜ ｜ꎬ( －２ )⊥ ꎬ ( )
５.(２０２２重庆一中月考ꎬ８)已知平面内一正三角形ＡＢＣ的外接
圆半径为 ４ꎬ 在以三角形ＡＢＣ的中心为圆心 ꎬ ｒ (０< ｒ ≤１) 为半径 Ａ→Ｈ Ｃ→Ｆ 能构成向量的一个基底
Ａ.{ ꎬ }
的圆上有一个动点Ｍ
ꎬ
则
｜
Ｍ→Ａ
＋
Ｍ→Ｂ
＋３
Ｍ→Ｃ
｜
的最大值为
( ) Ｂ. Ｏ→Ｄ Ｏ→Ｆ ＝０
Ａ.１３ Ｂ. ８９ Ｃ.５ １１ Ｄ. １１＋６ Ｃ. Ｏ→Ａ ＋ Ｏ→Ｃ ＝ ３ Ｏ→Ｂ
答案 Ａ
二、多项选择题(每小题５分ꎬ共１０分) →ＡＣ Ｃ→Ｄ ２
Ｄ. ＝
２
６.(２０２２山东潍坊一模ꎬ１０)已知向量Ｏ→Ｐ 将Ｏ→Ｐ绕原点 答案 ＢＤ
＝(１ꎬ２)ꎬ
Ｏ旋转 ° ° °到Ｏ→Ｐ Ｏ→Ｐ Ｏ→Ｐ 的位置 则 三、填空题(每小题５分ꎬ共１５分)
－３０ ꎬ３０ ꎬ６０ １ꎬ ２ꎬ ３ ꎬ ( ) ８.(２０２２华大新高考联盟３月教学质量测评ꎬ１４)已知平面向
Ｏ→Ｐ Ｏ→Ｐ
Ａ. １ ３＝０ 量ａ ｂ ｃ满足ｂ ｃ ｂ ｃ 若 ａ ｂ ａ ｃ 则 ａ
Ｐ→Ｐ Ｐ→Ｐ ꎬ ꎬ ⊥ ꎬ｜ ｜ ＝｜ ｜ ＝２ꎬ ＝ ＝８ꎬ ｜ ｜
Ｂ.｜ １｜＝｜ ２｜
＝
.
Ｃ. Ｏ→Ｐ Ｏ→Ｐ ３＝ Ｏ→Ｐ １ Ｏ→Ｐ ２ 答案 ４ ２
æ ö ９.(２０２２广东汕头一模ꎬ１４)已知四边形ＡＢＣＤ中 ＡＢ ＣＤ ＡＢ
点Ｐ 的坐标为ç ３－１ １＋２ ３÷ ꎬ ∥ ꎬ
Ｄ. １ è ꎬ ø
２ ２ ＣＤ ＡＤ ＢＣ 点 Ｅ 是 ＣＤ 的中点 则→ＡＥ Ｂ→Ｄ
答案 ＡＢＣ ＝３ ＝ ３ꎬ ＝ ＝ ２ꎬ ꎬ
.
７.(２０２２辽宁名校联盟３月联考ꎬ１０)古代典籍 周易 中的 八 ＝
« » “ 答案
卦 思想对我国建筑有一定影响 下图是受 八卦 的启示 设 －２
” ꎬ “ ” ꎬ １０.(２０２２湖南邵阳一模ꎬ１６)已知ａ ｂ ｃ是平面向量 ａ与ｃ是
计的正八边形的八角窗.若Ｏ是正八边形ＡＢＣＤＥＦＧＨ的中心 ꎬ ꎬ ꎬ
ꎬ
单位向量 且 ａ ｃ π 若ｂ２ ｂ ｃ 则 ａ ｂ 的最小
且 →ＡＢ 则 ꎬ ‹ ꎬ ›＝ ꎬ －８ ＋１５＝０ꎬ ｜ － ｜
｜ ｜＝１ꎬ ( ) ２
值为 .
答案
１７－１
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
１ ０８
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创新 专家独家命制 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
学生用书P193
１.(２０２２５３原创题)在平面内
ꎬ
ａ
＝－
１ ｃ
ꎬ｜
ａ
｜＝｜
ｂ
｜＝｜
ｄ
｜＝１ꎬ
ａ ＢＣ
ꎬ∠
ＢＣＤ
＝６０
°
ꎬ∠
ＡＤＣ
＝１５０
°
ꎬ
Ｂ→Ｅ
＝３
Ｅ→Ｃ
ꎬ
ＣＤ
＝
２ ３
ꎬ
ＢＥ
＝ ３ꎬ
２ ３
ｂ ｃ ｄ ０ 则ｂ ｄ .
＋ ＋ ＋ ＝ ꎬ ＝ 若点Ｆ为边ＡＤ上的动点 则Ｅ→Ｆ Ｂ→Ｆ的取值范围为 .
ꎬ
答案 １
－
２
２.(２０２２ ５３原创题)已知ｅ ｅ 为平面内两个单位向量 且ｅ
１ꎬ ２ ꎬ １
ｅ １ 平面中向量ｂ满足 ｂ ｅ ｂ ｅ 则 ｂ 的取
２＝ ꎬ ( －２ １)⊥( －４ ２)ꎬ ｜ ｜
２
值范围是 .
[ ]
答案 [ ꎬ ] 答案 １５ꎬ
７－ ３ ７＋ ３ ４
３.(２０２２５３原创题)如图所示 在平面四边形ＡＢＣＤ中 ＡＢ １６
ꎬ ꎬ ⊥
