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第六章 平面向量及其应用
（A 基础卷）
班级______ 姓名_______ 考号______
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一
项是最符合题目要求的）
1．已知 与 共线，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【详解】
由 与 共线，
则 ，
解得 ，
故选：D.
2．已知向量 ， ，则 （ ）
A． B．10 C．5 D．25
【答案】C
【详解】
，
，
故选：C
3．已知 ， ，则 （ ）
A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C
【详解】
解：因为 ，所以 ，
从而 .
故选：C
4．在 中，点 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
解： .
故选：A.
5．已知向量 、 满足 ，且 在 上的投影的数量为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
设 与 的夹角为 ，则 ，所以， ，可得 ，因此， ，
因为 ，因此， .
故选：D.
6．初等数学的应用性发展，其突出的一点就是三角术的发展.三角术是人们为了建立定量的天文学，以便
用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理而产生的.对于一切 ，三个
内角 ， ， 所对的边分别是a，b，c，始终满足： （其中， 是 外接
圆的半径）.若 的边长 ， 外接圆半径 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：由已知得 ，即 ，解得 ，
故选：C.
7．在△ 中，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为 ，
由正弦定理可得 ，
由于 ，即 ，所以 ，得 ，
故选：C.
8．在 中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，若 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】因为D为BC中点，E为AD中点，
所以
，因为 由平面向量基本定理得， ， ，则 ，
故选：C.
二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项
是符合题目要求的，多选或错选不得分）
9．已知 ，则下列说法不正确的是（ ）
A． 点的坐标是
B． 点的坐标是
C．当 是原点时， 点的坐标是
D．当 是原点时， 点的坐标是
【答案】ABC
【详解】
由题意，向量 与终点、始点的坐标差有关，
所以 点的坐标不一定是 ，故A错误；
同理 点的坐标不一定是 ，故B错误；
当 是原点时， 点的坐标是 ，故C错误；
当 是原点时， 点的坐标是 ，故D正确.
故选：ABC
10．已知向量 ， ， ，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】BD
【详解】
由题意， ，A错误；
， ，所以B正确，C错误；
，D正确.
故选：BD.
11．△ABC内角A B C 对边分别是a，b，c．已知a= ，b=2， =30 ，则 可以是（ ）
A．45 B．60 C．120 D．135
【答案】AD
【详解】
由正弦定理知： ,
所以 ，
因为 ，
所以 ，且
所以 或 ,
故选：AD
12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（ ）
A．若2cos C(acos B＋bcos A)＝c，则C＝
B．若2cos C(acos B＋bcos A)＝c，则C＝
C．若边BC的高为 a，则当 取得最大值时，A＝
D．若边BC的高为 a，则当 取得最大值时，A＝【答案】AC
【详解】
因为在△ABC中，0<C<π，所以sin C≠0.对于A，B，利用正弦定理得2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝
sin C，整理得2cos Csin(A＋B)＝sin C，即2cos Csin[π－(A＋B)]＝sin C，
即2cos C·sin C＝sin C，又sin C≠0，所以cos C＝ ，所以C＝ ，故A正确，B错误.
对于C，D，由等面积法得 × a2＝ bcsin A，所以a2＝2 bcsin A，
又b2＋c2＝a2＋2bccos A＝2 bcsin A＋2bc·cos A，
则 ＝2 sin A＋2cos A＝4sin ≤4，当且仅当A＋ ＝ ＋2kπ，k∈Z，即A＝ ＋
2kπ，k∈Z时， 取得最大值4，又0<A<π，所以A＝ .故C正确，D错误.
三、填空题（每小题5分，共计20分）
13．向量 ， ．若 ，则 __________．
【答案】-72
【详解】
因为 ，所以 ，
即 ，故 ，
故答案为：-72.
14．在 中，若 ，则 ___________．
【答案】
【详解】
由正弦定理可得 ，故 ，故 ，
故答案为： .
15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处时测得公路北侧一山底 在西偏北 的方向上；行驶 后到达 处，测得此山底 在西偏北 的方向上，山顶 的仰角为 ，则此山的高度
___________.
【答案】
【详解】
设此山高为 ，则 ，
在 中， 则 ， ，则有
解得： ，
故答案为： m.
16．在 中，已知向量 ，且 ，记角 的对边依次为 .若 ，且
是锐角三角形，则 的最大值为______________.
【答案】8
【详解】
由题意得：向量 ，且 ，
则 ，
即 ，因为 ，所以 即 ，
因为 ，由正弦定理得：，即 ，
则
，
因为 是锐角三角形，即 且 ，
所以 ，即有 ，
所以有 ，
所以 的最大值为8.
四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，共70分）
17．在△ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求角 ；
（2）若 ，求 的最小值．
【答案】（1）△ 中， ，由正弦定理知， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
又∵ , ∴ ；
（2）由（1）及 得 ，所以 ,
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 .
18．已知向量 , .
（1）求 ；
（2）当 时，求y的值.
【答案】（1）
（2）若 ，则 ，解得：
19．如图，点E、D分别是 中AC（靠近C）、BC（靠近B）边上的三等分点，已知 ，
，试用 、 表示 ．
【详解】 、 分别为AC、BC边上的三等分点
，
又 ，
20．在某海域 处的巡逻船发现南偏东 方向，相距 海里的 处有一可疑船只，此可疑船只正沿射线（以 点为坐标原点，正东，正北方向分别为 轴， 轴正方向，1海里为单位长度，建
立平面直角坐标系）方向匀速航行.巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发 小时后，可疑船只
所在位置的横坐标为 .若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇.
（1）求 的值；
（2）若巡逻船以 海里/小时的速度进行追击拦截，能否搃截成功？若能，求出搃截时间，若不能，
请说明理由.
【答案】（1）解：由题意，直线 的倾斜角为 ，
若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，设1小时后两船相遇于点C，
如图所示，则 轴， ，且 关于y轴对称，
所以 ，所以 .
（2）
解：若巡逻船以 海里/小时进行追击，设t小时后两船相遇于点D，如图所示，
则 ， ， ， ，
因为
可得
整理得 ，解得 或 （舍去），
所以能够拦截成功拦截时间为2小时.21．在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且
（1）若 ， ，求 ；
（2）若 ，试判断 的形状.
【答案】（1）解：在 中，由 ， ，得 ，
因为 ， ，
所以由正弦定理，可得 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 ；
（2）解：因为 ，所以 ，又由余弦定理有 .
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 是等边三角形.
22．在 .中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， .
（1）求角 ；（2）若点 在边 上，且 ，求 面积的最大值.
【答案】（1）解：因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，因为 ，所以 .
（2）解：因为 ，所以 ；
所以 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，所以 面积的最大值为 .
