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2025 年高考考前信息必刷卷 02（天津卷）
数 学
考情速递
高考·新动向：天津卷考试题型为9（单选题）＋6（填空题）＋5（解答题），其中第19题第20题属
于压轴题目，去年高考选择题题创新考查了等差等比数列性质，此外大题数列的求和问题也是别出心裁，
具有很强的创新性。第20题依旧是导数的综合应用，结合不等式与数列综合性很强。
高考·新考法：天津卷通过设计创新性和综合性问题，实现对逻辑推理、直观想象、数学运算、数学抽
象、数学建模、数据分析六大素养的综合考查。设置创新和思维深刻的问题，考查学生的创新能力。重点
关注学生应知应会的内容，淡化机械记忆，关注学生的不同发展水平。
命题·大预测：本套试卷中选择题中第6题考察数列前n项和与通项关系，延续了2024年天津卷命题。
第7题考察sinx型三角函数，根据函数零点的个数求参数范围、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型
三角函数的单调性。第9题综合性的考察了几何体与新文化结合，对多面体性质探究，是以往高考命题未
出现题型。
大题方面在16题对于三角形的考察方面，考查内容较多，涉及正余弦定理，二倍角公式，以及三角形
面积公式，相对往年的高考题目更加全面。18题解析几何考察椭圆相关知识，需要学生讲题干面积问题改
为坐标比例问题进而进行化简运算。第19题关于数列的考察重点考察数列与不等式结合。第20题作为导
数压轴题，仍然常规考察切线方程，以及单调性最值问题，第三问需要将问题转化，这个思路比较新奇，
对学生而言难度较大。
一、单选题1．已知集合 ,则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】化简
因为 ，所以 ，
故选：D.
2．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由 可得 ，故 ，故充分性成立，
若 ，则 ，当 为负数时，此时不能得到 ，故必要性不成立，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A
3．若曲线y=f (x)的部分图象如图所示，则 的解折式可能为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【详解】由图象可知 ，
对于选项A：因为 ，故A错误；
对于选项B：因为 ，故B错误；
由图象可知：存在 ，使得 在 内单调递减，
对于选项C：因为 在 内单调递增，且 在 内单调递增，
可知 在 内单调递增，故C错误；
故选：D.
4．下列说法不正确的是（ ）
A．一组数据 的第 80 百分位数为17
B．若随机变量 ，且 ，则
C．若随机变量 ，则方差
D．对于回归分析，相关系数 的绝对值越小，说明拟合效果越好
【答案】D
【详解】由 ，可知数据 的第 80 百分位数为 ，故A正确；
因为随机变量 ，且 ，所以 ，故B正确；
因为随机变量 ，则方差 ，故C正确；
对于回归分析，相关系数 的绝对值越小，说明拟合效果越差，故D错误.
故选：D.5．设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，所以 ，
故选：B.
6．已知正项数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A．4045 B．4042 C．4041 D．4040
【答案】A
【详解】当 时， ，解得： .
当 时， ，
则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以数列 是首项为1，公差为2的等差数列，
则 ，
则 .
故选：A.
7．已知函数 ，则下列结论
①若 ，则 在 上是单调递增
②若 ，则正整数ω的最小值为2③若 ，函数 的图象向右平移 个单位长度得到 的图象．则 为奇函数
④若 在 上有且仅有3个零点，则
其中判断正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】依题意， ，
对于① ， ，
当 时，有 ，则 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，故正确；
对于②，因 ，则 是函数 图像的一条对称轴， ，整理
得 ，
而 ，即有 ， ，故正确；
对于③， ， ，
依题意，函数 ，
这个函数不是奇函数，其图像关于原点不对称，故不正确；
对于④，当 时， ，
依题意， ，解得 ，故正确.
故选：C
8．已知双曲线 ，过点 的直线与 交于 两点，若线段 的中点是
，则双曲线 的渐近线方程为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由已知直线 的方程为 ，即 ，
设 ，
由 得 ，
则 即 ，
则 ， ，
线段 的中点是 ，则 ，即 ，
由双曲线 的渐近线方程 ，因为 ，
所以双曲线 的渐近线方程 ，即 ，
故选：B.
9．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了
数学的对称美.如图，将一个正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，
得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则该多面体中具有公共顶点的两个正三
角形所在平面的夹角正切值为（ ）A． B．1 C． D．
【答案】D
【详解】将该“阿基米德多面体”放入正方体中，如图，
平面 和平面 为有公共顶点的两个正三角形所在平面，
建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则
设平面 的法向量为
所以 ，令 ，所以
设平面 的法向量为
所以 ，令 ，所以
设平面平面 和平面 的夹角为 ，
则 ，
因为平面 和平面 的夹角为锐角，所以 ，所以 ，
故选：D
二、填空题
10．若 ，则 ．
【答案】
【详解】 ．
故答案为： .
11．若 的展开式的二项式系数和为32，则展开式中 的系数为 ．
【答案】
【详解】因为 的展开式的二项式系数和为32，
所以 ，即 ，
二项式 展开式的通项公式为 ，
令 ，则 ，所以 的系数为 ，
故答案为： .
12．已知圆 与圆 相交于点 、 ．
①若 ，则公共弦所在直线方程为 ．
②若弦长 ，则 ．
【答案】 或0
【详解】①若 ，则圆 ： ，圆 ： ，两个方程相减得 ，
化简并整理得公共弦所在直线方程为 ，
②若弦长 ，
而两圆方程相减得 ，化简并整理得公共弦所在直线方程为 ，
则 到直线的距离为： ，
则 ，解得： ，或 ，
故答案为： ； 或0.
13．甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为 ， 且甲乙射
击互不影响，则无人机被击中的概率为 ．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为 ；若
恰好被两人击中，则被击落的概率为 ，那么无人机被击落的概率为
【答案】 0.7 0.22.
【详解】设甲击中无人机为事件 ，乙击中无人机为事件 ，无人机被击中为事件 ，无人机被击落为事
件 ，
则 ，所以 ，
所以 ，
若无人机恰好被一人击中，即事件 ，
则 ，
若无人机被两人击中，即事件 ，
则 ，
所以
.故答案为： ，
14．在平行四边形 中， ， ，点 在边 上，满足 ，则向量 在向
量 上的投影向量为 （请用 表示）；若 ，点 ， 分别为线段 ， 上的动点，
满足 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【详解】由 ，知 ，
因为 ， ，
所以
，
所以向量 在向量 上的投影向量为
；
若 ，则 ，
以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，
设 ，则 ， ，
所以 ， ，所以 ， ，
所以 ，
是关于 的开口向上，对称轴为 的二次函数，
当 时， 取得最小值 .
故答案为： ；
15．设函数 若方程 有四个不相等的实根 ，则 的取值范
围为 ， 的最小值为 .
【答案】 92
【详解】当 时， ，∴ 的图象关于直线 对称.
画出 的图象，如图所示.
∵方程 有四个不相等的实根，
∴ 的图象与 有4个交点，
由图可知 ，即m的取值范围为 .由 的图象可知 ， ，
∴ ，化简得 ，且 .
又 ， ，
∴ ， ，
则 .
令 ， ，则 ，
∴ ，
∴当 时， 取得最小值，且最小值为92.
故答案为： ，92
三、解答题
16．在 中，角 所对边分别为 ，且 .
(1)求角 的大小;
(2)若 .
（i）求 的值;
（ii）求 的值.
【答案】(1)
(2)(i) ，(ii)【详解】（1）由 及正弦定理，可得，
， 由余弦定理可得，
，
.
（2）（i） 及正弦定理，可得，
，即 ，
因为 ，且 可得 为锐角，
所以 .
（ii） ，
，
由（1），知 ，
所以
17．如图，四边形 为矩形，平面 平面 ，
.(1)求证: 平面 ;
(2)求直线 与平面 所成角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析.
(2)
(3)
【详解】（1）因为 ，
所以 ，则 ，在直角梯形 中， ，
又因为 ，所以 ，即得 ,
因为四边形 为矩形，所以 ,
因为平面 平面 ，且平面 平面 , 平面 ,
所以 平面 ,因为 平面 ，所以 ,
因为 平面 , 平面 ,
所以 平面 .
（2）由（1）可知， 平面 ，且 ,
所以 平面 ,
因为 平面 , 平面 ,
所以 ，且 ,
故以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，则 ,
,
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，即 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
，则
故直线 与平面 所成角的余弦值为 .
（3）由（2）可知， ,
设点 到平面 的距离为 ，
则 ，
所以点 到平面 的距离为 .
18．已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 .斜率为 的直线 与椭圆 有两个不
同的交点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 ，求 的最大值；
(3)设 ，直线 与椭圆 的另一个交点为 ，直线 与椭圆 的另一个交点为 .若 和点
共线，求 .【答案】(1)
(2)
(3)1
【详解】（1） 椭圆 的离心率为 ，焦距为 ，
解得 椭圆的标准方程为 ；
（2）斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 ，
设直线 的方程为 ，
联立 ，整理得 ，
，整理得 ，
，
当 时， 取最大值，最大值为 ；
（3）y
设直线 的斜率 ，直线 的方程为y= 1 (x+2)，
x +2
1
联立 ，
消去 整理得 ，
由 ，代入上式整理得 ，
，所以 ，则 ，
则 ，同理可得 ，
由 ，则 ，
，由 与 共线，
则 ，
整理得 ，则直线 的斜率 ，
的值为1 .
19．在等差数列 中， .
(1)求数列 的通项公式和前 项和 ；
(2)若数列 满足 是公比为2的等比数列，且 .
（i）若集合 中恰有2个元素，求实数 的取值范围；（ii）若对 ，都有 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2)（i） ；（ii） ．
【详解】（1）因为 是等差数列，
所以 ，公差 ，
所以 ，从而 ，
，
（2）由 .知 ， ，
又 是公比为2的等比数列，
所以 ，解得 ， ，
所以 ，
从而 时， ， 也适合此式，
所以
（i）集合 中恰有2个元素，
不等式 ，为 ，所以 ，因此不等式 恰有两个正整数解．
设 ，
， ，
时， ，即 ， 时， ，因此 ， ，所以数列 从第2项开始是递减，
又 ， ， ，
所以不等式 恰有两个正整数解，则 ．不等式 的解为 或 ．
实数 的取值范围是 ．
（ii）若对 ，都有 ，
，
所以 ，
不等式 为 ，从而， ，
为偶数时， ，数列 的偶数项中最小值是 ，所以 ，
为奇数时， ，数列 的奇数项中最小值是 ，所以 ， ，
综上 ，即 的范围是 ．
20．已知 .
(1)若y=f (x)在 处的切线方程为 ，求实数 的值；
(2)当 时，若 对任意x∈(0,+∞)恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若 有零点，求证： .
【答案】(1) ， (2)
【详解】（1）由 ，知 .由已知可得，y=f (x)在 处的切线 经过 ，且斜率为 .
故有 ，代入函数表达式知 ，从而 .
故 ， .
（2）设 ，则 .
故对 有 ，对 有 ，从而 在 上递减，在 上递增，故对
任意 均有 .
回到原题，当 时，有 .
根据题意， 在x∈(0,+∞)时首先要有定义，故 要有意义，从而首先有 .
此时，原不等式 等价于 .
一方面，若 对x∈(0,+∞)恒成立，则特别地，该不等式对 成立，代入得
，即 .
从而由 知 ，解得 或 ，结合 知 .
另一方面，若 ，则对任意x∈(0,+∞)，有
.
故 对x∈(0,+∞)恒成立.
综上， 的取值范围是 .
（3）若 有零点，记 是 的零点，则 ，即 .由于对任意 均有 ，故
.
从而 ，即 ，这就得到
.
所以 ，故 .
