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2025 年高考考前信息必刷卷 02（天津卷）
数 学·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9
D A D D B A C B D
第 II 卷（非选择题）
二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给
3分，全部答对的给5分
10． 11． 12. 或0 13.0.7 0.22. 14. 15. 92
三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤。
16．
【详解】（1）由 及正弦定理，可得，
， 由余弦定理可得，
，
.
（2）（i） 及正弦定理，可得，
，即 ，
因为 ，且 可得 为锐角，所以 .
（ii） ，
，
由（1），知 ，
所以
17．
【详解】（1）因为 ，
所以 ，则 ，在直角梯形 中， ，
又因为 ，所以 ，即得 ,
因为四边形 为矩形，所以 ,
因为平面 平面 ，且平面 平面 , 平面 ,
所以 平面 ,因为 平面 ，所以 ,
因为 平面 , 平面 ,
所以 平面 .
（2）由（1）可知， 平面 ，且 ,
所以 平面 ,
因为 平面 , 平面 ,
所以 ，且 ,
故以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，则 ,
,
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，即 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
，则
故直线 与平面 所成角的余弦值为 .
（3）由（2）可知， ,
设点 到平面 的距离为 ，
则 ，
所以点 到平面 的距离为 .
18．
【详解】（1） 椭圆 的离心率为 ，焦距为 ，解得 椭圆的标准方程为 ；
（2）斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 ，
设直线 的方程为 ，
联立 ，整理得 ，
，整理得 ，
，
当 时， 取最大值，最大值为 ；
（3）
y
设直线 的斜率 ，直线 的方程为y= 1 (x+2)，
x +2
1
联立 ，
消去 整理得 ，由 ，代入上式整理得 ，
，所以 ，则 ，
则 ，同理可得 ，
由 ，则 ，
，由 与 共线，
则 ，
整理得 ，则直线 的斜率 ，
的值为1 .
19．
【详解】（1）因为 是等差数列，
所以 ，公差 ，
所以 ，从而 ，
，
（2）由 .知 ， ，
又 是公比为2的等比数列，
所以 ，解得 ， ，所以 ，
从而 时， ， 也适合此式，
所以
（i）集合 中恰有2个元素，
不等式 ，为 ，所以 ，因此不等式 恰有两个正整数解．
设 ，
， ，
时， ，即 ， 时， ，因此 ， ，
所以数列 从第2项开始是递减，
又 ， ， ，
所以不等式 恰有两个正整数解，则 ．不等式 的解为 或 ．
实数 的取值范围是 ．
（ii）若对 ，都有 ，
，
所以 ，
不等式 为 ，从而， ，
为偶数时， ，数列 的偶数项中最小值是 ，所以 ，为奇数时， ，数列 的奇数项中最小值是 ，所以 ， ，
综上 ，即 的范围是 ．
20．
【详解】（1）由 ，知 .
由已知可得，y=f (x)在 处的切线 经过 ，且斜率为 .
故有 ，代入函数表达式知 ，从而 .
故 ， .
（2）设 ，则 .
故对 有 ，对 有 ，从而 在 上递减，在 上递增，故对
任意 均有 .
回到原题，当 时，有 .
根据题意， 在x∈(0,+∞)时首先要有定义，故 要有意义，从而首先有 .
此时，原不等式 等价于 .
一方面，若 对x∈(0,+∞)恒成立，则特别地，该不等式对 成立，代入得
，即 .
从而由 知 ，解得 或 ，结合 知 .
另一方面，若 ，则对任意x∈(0,+∞)，有
.故 对x∈(0,+∞)恒成立.
综上， 的取值范围是 .
（3）若 有零点，记 是 的零点，则 ，即 .
由于对任意 均有 ，故
.
从而 ，即 ，这就得到
.
所以 ，故 .
