文档内容
专题 14 平面向量的数量积及其应用
【考纲要求】
1、理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系．
2、掌握数量积的坐标表达式，进行平面向量数量积的运算．
3、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
4、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
一、平面向量数量积的概念
【考点总结】
一、向量数量积的定义及性质
1.向量的数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，
即a·b＝|a||b|cos θ.
规定零向量与任一向量的数量积为0.
2.向量的数量积的性质
设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角.
(1)a⊥b⇔a·b＝0.
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
(3)a·a＝|a|2或|a|＝＝.
(4)cos θ＝.
(5)|a·b|≤|a||b|.
二、向量的数量积的几何意义
(1)投影的概念
如图241所示：OA＝a，OB＝b，过B作BB 垂直于直线OA，垂足为B，则OB＝|b|cos θ.
1 1 1
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影.
图241
(2)数量积的几何意义：
a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.
2.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
二、面向量数量积的坐标表示
【考点总结】
一、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1.平面向量数量积的坐标表示：
设向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，a与b的夹角为θ.
1 1 2 2
数量积 a·b＝xx＋yy
1 2 1 2
向量垂直 a⊥b⇔xx＋yy＝0
1 2 1 2
2.向量模的公式：设a＝(x，y)，则|a|＝.
1 1
3.两点间的距离公式：若A(x，y)，B(x，y)，则AB＝.
1 1 2 2
4.向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，a与b 夹角为θ，则
1 1 2 2
cos θ＝＝.
【题型汇编】
题型一：平面向量数量积的概念
题型二：平面向量数量积的运算
题型三：平面向量数量积的坐标表示
【题型讲解】
题型一：平面向量数量积的概念
一、单选题
1．（2022·四川成都·三模（理））在 中，已知 ， ， ，则向量 在 方
向上的投影为（ ）．
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用三角形内角和及正弦定理求得 、 ，再根据向量投影的定义求结果.
【详解】
由题设 ，则 ，可得 ，所以向量 在 方向上的投影为 .
故选：C
2．（2022·山西临汾·三模（理））已知 ABC的外接圆圆心为O，且 ， ，则
△
向量 在向量 的方向上的投影为（ ）
A． B．－1 C．1 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平面加法的几何意义，结合三角形外心的性质、平面向量数量积的几何意义进行求解即可.
【详解】
由 ，
所以 ABC的外接圆圆心O是边 的中点，即 ABC是以 为斜边的直角三角形，
△ △
因为 ，所以 ，在直角三角形ABC中，
，即
因此向量 在向量 的方向上的投影为 ，
故选：C
3．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知平面向量 是非零向量， ， ，则向量 在
向量 方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由垂直关系可构造方程求得 ，由投影定义可求得结果.【详解】
由 得： ，解得： ；
向量 在向量 方向上的投影为 .
故选：B.
4．（2022·四川省宜宾市第四中学校二模（文）） 中， ， ， ，则 在
方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用余弦定理求出 的长，再利用平面向量数量积的几何意义可求得结果.
【详解】
由余弦定理可得 ，即 ，解得 ，
因此，则 在 方向上的投影为 .
故选：A.
5．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））非零向量 ， ， 满足 ， 与 的夹角为 ， ，
则 在 上的正射影的数量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用垂直的向量表示，再利用正射影的数量的意义计算作答.【详解】
非零向量 ， ， 满足 ，则 ，即 ，又 与 的夹角为 ，
，
所以 在 上的正射影的数量 .
故选：D
6．（2022·河南·模拟预测（理））已知向量 ， ，且 在 上的投影为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 在 上的投影为 可求得 ，再根据三角函数的二倍角公式求得答案．
【详解】
由题意得： 在 上的投影 ，
即 ，
故 ，
故选：B
二、多选题
1．（2022·辽宁·二模）下列关于向量 ， ， 的运算，一定成立的有（ ）．
A． B．C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由数量积的运算律，向量模的几何意义，数量积的定义判断各选项．
【详解】
A是向量数量积中乘法与加法的分配律，A正确；
B．设 ， ，则 ， 三点不共线时， ，
所以 ，
反向时， ， ，
同向时， ， ，
所以 成立，B正确；
C． ，C正确；
当 与 不共线时，一般 与 也是不共线的向量，不可能相等．D错．
故选：ABC．
题型二：平面向量数量积的运算
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题（理））已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵ ，
又∵
∴9 ，
∴
故选：C.
2．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））已知平面向量 ， 满足 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由平面向量垂直与数量积的关系，以及数量积的定义，分配律，即可求出．
【详解】
由 ，得 ，
解得 ．
故选：A．
3．（2022·黑龙江·大庆中学二模（理））已知平面向量 ， 满足 ， ，且 与 的夹角为 ，
则 （ ）
A． B． C． D．3
【答案】A【解析】
【分析】
根据向量数量积的定义及运算性质即得．
【详解】
∵ ， ，且 与 的夹角为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A.
4．（2022·广东·一模）若向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
A． B．2 C．2 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平面向量数量积的运算性质可求得 的值.
【详解】
由题意可得 .
故选：B.
5．（2022·广西南宁·一模（文））若两个向量 满足 ，则 与 的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
依据向量夹角的余弦公式即可求得 与 的夹角.【详解】
，又
则 ，即 与 的夹角是
故选：C
6．（2022·山东烟台·一模）若非零向量 ， 满足 ， ，则向量 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
依据向量夹角公式即可求得向量 与 的夹角.
【详解】
由 ，可得
则 ，则
又 ，则
故选：B
7．（2022·北京·潞河中学三模）已知菱形 的边长为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将 分别用 表示，再根据数量积的运算律即可得出答案.
【详解】解： ，
则 .
故选：A.
8．（2022·山东济南·三模）已知单位向量 、 、 ，满足 ，则向量 和 的夹角为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将 两边平方再根据向量数量积的运算法则即可求解．
【详解】
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
故选：A．
9．（2022·河北邯郸·二模）若向量 ， 满足 ， ，且 ，则向量 与 夹角的余弦
值为（ ）.A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可.
【详解】
因为 ，且 ，
所以 ，
因为 ，
所以向量 与 夹角的余弦值为 ，
故选：D
10．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知非零向量 、 满足 ， ，则向量
与向量 夹角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据 ，设 ， ，根据 求出 ，再根据平面向量的夹角公式计算
可得解.
【详解】因为 ，所以可设 ， ，则 ， ，
因为 ，所以 ，即 .
则 ，
故选：A.
11．（2022·北京·人大附中三模）在 中， ，点 是 的中点，则 （ ）
A． B．7 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分别利用 表示出 ，直接求出 .
【详解】
在 中，点 是 的中点，所以 , ,
所以 .
故选：A
二、多选题
1．（2022·江苏·海安高级中学二模）关于平面向量 ，下列说去不正确的是（ ）
A．若 ，则 B．
C．若 ，则 D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
令 时可判断A；利用 ，可判断B；由 可知 与 的模长相等，但不一定为0可判断C； 与 共线的向量， 与 共线，可判断D．
【详解】
时， ， 与 可任取，故A错；
，故B对；
可知 与 的模长相等， 不一定为0，∴ ，故C错；
与 共线的向量， 与 共线的向量．
∴ ，D错．
故选：ACD.
2．（2022·福建龙岩·一模）在 中，已知 ，且 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算性质、余弦定理逐一判断即可.
【详解】
因为 ，所以 是线段 的三等分点，且 两点相邻，
由平面向量的加法的几何意义可知： ，故选项A正确；
，化简得：
，故选项B不正确；
因此 ，而 ，所以 ，化简得：
，因为 ，所以由余弦定理可知：
，
即 ，
所以 ，进而 ，因此选项CD都正确，
故选：ACD
3．（2022·重庆实验外国语学校一模）设平面向量 ， ， 均为非零向量，则下列命题中正确的是
（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则 与 同向
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】CD
【解析】
【分析】
由已知结合向量数量积的性质及向量共线定义分别检验各选项即可判断．
【详解】
当 时，显然 不一定成立，A错误；
若 ，则向量夹角 或 ， 与 同向或反向，B错误；
若 ，两边平方得， ，即 ，C正确；
若 ，则 或 ，则 ，D正确．
故选：CD．
三、填空题
1．（2022·全国·高考真题（理））设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】
设 与 的夹角为 ，依题意可得 ，再根据数量积的定义求出 ，最后根据数量积的运算律计算
可得．
【详解】
解：设 与 的夹角为 ，因为 与 的夹角的余弦值为 ，即 ，
又 ， ，所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
题型三：平面向量数量积的坐标表示
一、单选题
1．（2022·青海西宁·一模（文））设向量 =（3，k)， =（－1，3），已知 ，则k=（ ）
A．2 B．1 C．－2 D．－1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量数量积坐标运算与垂直定义即可求解．
【详解】
因为 ，则 ，解得
故选：B
2．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校一模（文））已知向量 ， ，若 ，则
（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两向量垂直计算出参数 的值，再根据向量的计算规则求解即可得出结果.
【详解】
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ．
故选：C.
3．（2022·湖南岳阳·一模）已知向量 ，向量 ，则 与 的夹角大小为
（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】D
【解析】
【分析】
计算可得 ，利用数量积公式计算即可得出结果.
【详解】
向量 ，向量 ，
，
，且 ，
的夹角为 .
故选：D.
4．（2022·安徽省含山中学三模（理））若向量 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
依据向量数量积的定义去求 的值
【详解】
则
故选：C
5．（2022·江西赣州·二模（理））已知点A（0，3），点B（3，0），若点C满足 ，则
（ ）
A．0 B．36 C．-18 D．-36
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用向量的坐标表示以及数量积的运算律即可得结果.
【详解】
因为 ， ，
所以 ，由 ，得 ，
所以 ，
故选：D.6．（2022·山东枣庄·一模）在长方形 中， ， ，点 满足 ，点 满足
，则 （ ）
A．1 B．0.5 C．3 D．1.5
【答案】A
【解析】
【分析】
先建立直角坐标系，由 和 求出 坐标，再写出 ，按照数量积的坐标运算
求解即可.
【详解】
如图，以 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，则 ，
由 知 ，
由 知 ，则 ，故 .
故选：A.
7．（2022·陕西汉中·二模（文））已知向量 ， ，则下列关系正确的是（ ）.A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据垂直的数量积表示计算后即可判断．
【详解】
由题意 ， ，
，所以 ，
， ，
只有C正确．
故选：C．
8．（2022·四川·仁寿一中二模（理））已知向量 ， ，若 ，则实数
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平方的方法化简 ，结合向量的数量积运算求得 .
【详解】
由 两边平方并化简得 ，
所以 .
故选：B
9．（2022·四川攀枝花·二模（文））平面四边形 中， ，且 为正三角形，则 （ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意证得 ，以点 为原点，建立平面直角坐标系，求得向量 的坐标，结合向量数量
积的坐标运算公式，即可求解.
【详解】
在 中，因为 ，可得 ，
所以 ，所以 ，
又因为 为正三角形，所以 ,
以点 为原点，以 分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系，
可得 ，则 ，
所以 .
故选：C.
10．（2022·陕西·西北工业大学附属中学二模（理））已知向量 ， ，且 .若点
的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出点 的轨迹为动直线，从而可求定点.
【详解】
因为 ，故 ，整理得到： ，
故定点为： .
故选：A.
11．（2022·江苏·金陵中学二模）设平面向量 ，若 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据 求得 ，再根据向量模的坐标表示求得正确答案.
【详解】
由于 ，所以 ，
，
.
故选：A
12．（2022·宁夏中卫·三模（理））已知向量 ， ，若 ，则 （ ）A．5 B．6 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用 解出 ，再由 的坐标求出模长即可.
【详解】
∵ ，∴ 即 ，∴ ．
故选：A.
13．（2022·江西·南昌市实验中学一模（理））在平行四边形 中， ， ， ，
且 ，则 .
A．5 B．6 C．7 D．10
【答案】D
【解析】
【分析】
建立坐标系，求出各向量坐标，再计算数量积．
【详解】
如图所示：
以A为原点建立坐标系，则 ， ， ，
∵ ，∴ ，即 ，∴ ， ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系可使计算较简单，属于中档题．
二、多选题
1．（2022·山东青岛·一模）已知向量 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则 与 的夹角为锐角
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据向量垂直、平行、模、夹角的坐标运算对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】
A选项， ， ，A选项正确.
B选项， ， ，B选项错误.
C选项， ，C选项错误.
D选项， ， ， 为锐角，D选项正确.
故选：AD
2．（2022·广东韶关·一模）已知向量 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则向量 可以表示平面内任一向量B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则 与 的夹角是锐角
【答案】BC
【解析】
【分析】
A选项，根据平行得到k的范围；B选项，根据条件得到两向量垂直，进而求出k的值；C选项，列出不等
式，求出k的范围；D选项，举出反例.
【详解】
当 与 不共线， 可以表示平面内任一向量，所以 ，
解得: 且 A错误；
若 ，则 ，所以 ，得： ，B正确；
若 ，有 ，解得： ，C正确；
当 时， 与 平行，夹角不是锐角， 错误.
故选： .
3．（2022·湖南·雅礼中学一模）已知向量 ， ，则下列命题正确的是
（ ）
A．若 ，则
B．若 在 上的投影为 ，则向量 与 夹角为
C．与 共线的单位向量只有一个为D．存在 ，使得
【答案】BD
【解析】
【分析】
对A：由向量垂直的坐标表示即可求解判断；对B：根据投影的定义即可求解判断；对C：与 共线的单
位向量为 即可判断；对D：根据向量 与 共线同向时，满足 即可判断.
【详解】
解：向量 ， ，
对A：因为 ，所以 ，所以 ，故选项A错误；
对B：因为 在 上的投影向量为 ，即 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
因为 ，所以向量 与 夹角为 ，故选项B正确；
对C：与 共线的单位向量有两个，分别为 和 ，故选项C错误；
对D：当 时， ，此时向量 与 共线同向，满足 ，所以存在 ，
使得 ，故选项D正确；
故选：BD.
4．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知正方形 的对角线长为 ， 是它的内切圆一条弦，点 为正方形 四条边上的一个动点，当弦 的长度最大时， 不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，分析出 为圆的直径，设 ，则 满足 .利用向量坐标化
计算出 .对照四个选项,即可得到答案.
【详解】
因为正方形 的对角线长为 ，所以边长为 .
建立如图示的平面直角坐标系，则正方形的内切圆的方程为
当弦 的长度最大时， 为圆的直径.设 ，则 ,且 .
当点P在CD上时，可设 .则 ，所以
.
因为 ，所以 .即 .
当点P在AB上时，可设 .
则 ，所以
.
因为 ，所以 .即 .
当点P在BC上时，可设 .
则 ，所以
.
因为 ，所以 .即 .
当点P在AD上时，可设 .则 ，所以
.
因为 ，所以 .即 .
综上所述： .
对照四个选项, 不可能为：AD.
故选：AD.
5．（2022·山东潍坊·一模）已知向量 ，将 绕原点O旋转﹣30°，30°，60°到 的位
置，则（ ）.
A． B．
C． D．点 坐标为
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据向量的夹角判断A，再由全等三角形可判断B，根据向量的数量积的定义判断C，根据向量的模相等
判断D.
【详解】
因为 绕原点O旋转﹣30°，30°，60°到 ，
所以 与 的夹角为 ，故 ，A选项正确；
由题意知， ,所以 ，即 ，故B正确；因为 , ,
所以由数量积的定义知 ，故C正确；
若点 坐标为 ，则 ，故D不正确.
故选：ABC
三、解答题
1．（2022·云南·二模（文））△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，D是AC的中点，已知平
面向量 、 满足 ， ， ．
(1)求A；
(2)若 ， ，求△ABC的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先利用正弦定理角化边得到 ，再借助余弦定理即可求出A；
（2）先利用余弦定理得到 ，再化简为 ，即可求出 ，再利用三角
形面积公式求解即可.
(1)
∵ ， ， ，
∴ ．
∴ ，即 ．∴ ．
∵ ，
∴ ．
(2)
在△ABD中，由 ， 和余弦定理，得
．
∵D是AC的中点，
∴
∴ ，化简得 ，即 ．
∵ ，
∴ ，解得 ．
∴ ．
∴△ABC的面积为 ．
2．（2022·广东汕头·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆 与抛物线
交于点M，N（异于原点O），MN恰为该圆的直径，过点E（0，2）作直线交抛物线于
A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．
(1)求证：点P的纵坐标为定值；
(2)若F是抛物线C的焦点，证明： ．【答案】(1)证明过程见解析；
(2)证明过程见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据圆和抛物线的对称性，结合导数的几何意义进行求解证明即可.
（2）转化为证明向量 分别与向量 的夹角相等,应用向量夹角余弦公式，即可证明结论.
(1)
由对称性可知交点坐标为(1，1)，(-1，1)，
代入抛物线方程可得2p=1，
所以抛物线的方程为x2=y，
设A ，B ，
所以 ，
所以直线AB的方程为 ，
即 ，
因为直线AB过点C(0，2)，
所以 ，所以 ①.
因为 ，所以直线PA的斜率为 ，直线PB的斜率为 ，
直线PA的方程为 ，
即 ，
同理直线PB的方程为 ，
联立两直线方程，可得P
由①可知点P的纵坐标为定值-2.
(2)， ，
注意到两角都在 内，
可知要证 ， 即证 ，
， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
同理 式得证.
【点睛】
关键点睛：根据导数的几何意义求出切线方程是解题的关键.
