文档文本内容
专
题
六
平
面
向
量
／
６９
６．２ 平面向量的数量积及其应用
§
与ｅ的夹角 则
，
ｅ ａ ａ ｅ ａ θ．
（１） · ＝ · ＝｜ ｜ｃｏｓ
ａ ｂ ａ ｂ ．
（２） ⊥ ⇔ · ＝⑦ ０
考点一 平面向量的数量积
当ａ与ｂ同向时 ａ ｂ ａ ｂ
（３） ， · ＝｜ ｜｜ ｜；
１．两个向量的夹角 当ａ与ｂ反向时 ａ ｂ ａ ｂ ．
， · ＝－｜ ｜｜ ｜
特别地 ａ ａ ａ ２ ａ ａ２．
， · ＝｜ ｜ ；｜ ｜＝
ａ·ｂ
θ ．
（４）ｃｏｓ ＝⑧ ａ ｂ
｜ ｜｜ ｜
ａ ｂ ａ ｂ ．
（５）｜ · ｜≤｜ ｜·｜ ｜
考点二 平面向量数量积的应用
１．已知ａ ｘ ｙ ｂ ｘ ｙ 则
＝（ １， １）， ＝（ ２， ２），
证明垂直问题 常用向量垂直的充要条件
（１） ， ：
ａ ｂ ａ ｂ ｘ ｘ ｙ ｙ ．
⊥ ⇔ · ＝０⇔⑨ １ ２＋ １ ２＝０
求夹角问题 利用夹角公式
（２） ， ：
２．平面向量的数量积的有关概念 ａ ｂ ｘ ｘ ｙ ｙ
θ · １ ２＋ １ ２ ．
ｃｏｓ ＝
｜
ａ
｜｜
ｂ
｜
＝⑩ ｘ２
１＋
ｙ２
１
· ｘ２
２＋
ｙ２
２
求线段的长度 向量的模 ａ ａ ａ ｘ２ ｙ２或 ＡＢ
（３） ： ｜ ｜＝ · ＝ １＋ １ ｜ ｜
→ＡＢ ｘ ｘ ２ ｙ ｙ ２ Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ ．
＝｜ ｜＝ （ ２－ １） ＋（ ２－ １） （ （ １， １）， （ ２， ２））
２．向量中常用的结论
在 ＡＢＣ中 Ａ Ｂ Ｃ所对的边分别为ａ ｂ ｃ．
△ ，∠ ，∠ ，∠ ， ，
æ →ＡＢ →ＡＣ ö
易错警示 （１） 若ａ ， ｂ ， ｃ （ ｂ ≠０） 为实数 ， 则ａｂ ＝ ｂｃ ⇒ ａ ＝ ｃ ； 但 （１） 在Ａ→Ｉ ＝ λ è ç →ＡＢ ＋ →ＡＣ ø ÷的条件下 ， 存在λ使得Ｉ为 △ ＡＢＣ
｜ ｜ ｜ ｜
对于向量就不适用 即ａ ｂ ｂ ｃ ／ ａ ｃ ｂ ．
， · ＝ · ⇒ ＝ （ ≠０） 的内心 ａ→ＰＡ ｂＰ→Ｂ ｃＰ→Ｃ ０ Ｐ为 ＡＢＣ的内心．
数量积的运算不适合乘法结合律 即 ａ ｂ ｃ不一定等 ； ＋ ＋ ＝ ⇔ △
（２） ， （ · ）
于ａ ｂ ｃ ． （２）｜
→ＰＡ
｜＝｜
Ｐ→Ｂ
｜＝｜
Ｐ→Ｃ
｜⇔
Ｐ为
△
ＡＢＣ的外心．
（ · ）
３．平面向量数量积的性质 →ＧＡ Ｇ→Ｂ Ｇ→Ｃ ０ Ｇ为 ＡＢＣ的重心．
（３） ＋ ＋ ＝ ⇔ △
设ａ
、
ｂ都是非零向量
，
ｅ是与ｂ方向相同的单位向量
，
θ是ａ
（４）
→ＰＡ
·
Ｐ→Ｂ
＝
Ｐ→Ｂ
·
Ｐ→Ｃ
＝
Ｐ→Ｃ
·
→ＰＡ
⇔
Ｐ为
△
ＡＢＣ的垂心．
２θ ， θ ２ ５，又 ｍ ａ ｂ， ｍ （ ａ ｂ）２
ｃｏｓ ＝１ ∴ ｃｏｓ ＝ ∵ ＝ ５ －３ ∴ ｜ ｜＝ ５ －３
５
考法一 求向量模的方法 ａ２ ｂ２ ａ·ｂ ２ ５ ，故选 ．
＝ ５ ＋９ －６ ５ ＝ ５＋９－６ ５×１×１× ＝ ２ Ａ
例１
（１）
（２０２０河南部分重点中学３月模拟，８）已知单位
（ ）由 ａ ｂ ，得 ａ ｂ ２ ，即ａ２ ｂ２
５
ａ·ｂ ，而 ａ
２ ｜ ＋ ｜＝１ ｜ ＋ ｜ ＝１ ＋ ＋２ ＝１ ｜ ｜＝
向量ａ ， ｂ的夹角为θ ， 且 ｔａｎ θ ＝ １ ， 若向量ｍ ＝ ５ ａ －３ ｂ ， 则 ｜ ｍ ｜＝ ｜ ｂ ｜＝１ ，故 ａ·ｂ ＝－ １ ， ｜ ａ － ｂ ｜ ＝ ｜ ａ － ｂ ｜ ２ ＝ ａ２ ＋ ｂ２ －２ ａ·ｂ ＝
２ ２
（ ） ．
１＋１＋１＝ ３ 或
Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ． ２６ Ｄ． ２ ２６ 答案 （ ）Ａ （ ）
（２０２０ 课标Ⅰ理，１４，５ 分）设 ａ ｂ 为单位向量 且 １ ２ ３
（２） ， ， 方法总结 向量的长度即向量的模 通常有以下求解方法
ａ ｂ 则 ａ ｂ ． ， ：
｜ ＋ ｜＝１， ｜ － ｜＝
ａ ａ ａ
解析 （ ） ａ与ｂ为单位向量， ａ ｂ ，又θ为ａ （１）｜ ｜＝ · ； １ ∵ ∴ ｜ ｜＝｜ ｜ ＝１
ａ ｂ ａ２ ａ ｂ ｂ２
与ｂ的夹角，且 θ １ ， θ为锐角，且 θ θ，又 ２θ （２）｜ ± ｜＝ ±２ · ＋ ；
ｔａｎ ＝ ∴ ｃｏｓ ＝２ｓｉｎ ｓｉｎ ＋ 若ａ ｘ ｙ 则 ａ ｘ２ ｙ２．
２ （３） ＝（ ， ）， ｜ ｜＝ ＋
经典例题教师用书
A
版
高
考
数
学
／
７０
例 平面向量ａ与ｂ的夹角为 ° ａ ｂ 则
４５ ， ＝（１，１），｜ ｜ ＝２， π π π ２π
ａ ｂ 等于 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
｜３ ＋ ｜ （ ） ６ ４ ３ ３
解题导引 先求出两向量ａ ａ ｂ的数量积ａ ａ ｂ 再
Ａ．１３＋６ ２ Ｂ．２ ５ Ｃ． ３０ Ｄ． ３４ （１） ， ＋ ·（ ＋ ），
解题导引 ａ ａ ｂ
求向量ａ ｂ的模 ａ ｂ 最后利用 ａ ａ ｂ ·（ ＋ ） 求解．
＋ ｜ ＋ ｜， ｃｏｓ〈 ， ＋ 〉＝ ａ ａ ｂ
由ａ ｂ 及 ａ ｂ °得 ａ 及ａ ｂ的值 ｜ ｜·｜ ＋ ｜
＝（１，１），｜ ｜＝２ 〈 ， 〉＝４５ ｜ ｜ ·
先由ａ ｂ 求出实数λ的值 再写出ａ ｂ的坐标 利
（２） ⊥ ， ， ＋ ３ ，
利用 ａ ｂ ａ ｂ ２求得结果
→ ｜３ ＋ ｜＝ （３ ＋ ） ａ ｂ ａ
用向量夹角公式 向量坐标形式 θ （ ＋ ３ ）· 求出余弦
解析 依题意得 ａ ，ａ·ｂ ° ， ａ ｂ （ ）ｃｏｓ ＝ ａ ｂ ａ
｜ ｜＝ ２ ＝ ２×２×ｃｏｓ４５ ＝２ ∴ ｜３ ＋ ｜ ＋ ３ ｜｜ ｜
｜＝
（
３
ａ
＋
ｂ）２
＝ ９
ａ２
＋６
ａ·ｂ
＋
ｂ２
＝ １８＋１２＋４＝ ３４
，选
Ｄ
． 值
，
从而得出夹角．
ａ·（ａ ｂ）
答案 Ｄ 解析 （ ） 由题意得 〈ａ，ａ ｂ〉 ＋
１ ｃｏｓ ＋ ＝ ａ · ａ ｂ ＝
｜ ｜ ｜ ＋ ｜
例 （２０１８四川双流中学期中，９）已知平面向量→ＰＡ
，
→ＰＢ满足
ａ２
＋
ａ·ｂ
２５－６ １９．故选 ．
｜ →ＰＡ ｜＝｜ →ＰＢ ｜＝１， →ＰＡ · →ＰＢ ＝－ １ ， 若 ｜ →ＢＣ ｜＝１， 则 ｜ →ＡＣ ｜ 的最大值为 ｜ ａ ｜ · ａ２ ＋ ｂ２ ＋２ ａ·ｂ ＝ ５× ２５＋３６－１２ ＝ ３５ Ｄ
２ æ ö
（ ）设ａ ｂ与ａ的夹角为θ， ａ （ ， ），ｂ çλ， ３÷，ａ
（ ） ２ ＋ ３ ∵ ＝ －１ ３ ＝è ø
３
Ａ． ２－１ Ｂ． ３－１ Ｃ． ２＋１ Ｄ． ３＋１
ｂ， λ ３ ，解得λ ，
解析 因为 →ＰＡ Ｐ→Ｂ ，→ＰＡ·Ｐ→Ｂ １ ，所以 ＡＰＢ ⊥ ∴ －１× ＋３× ＝０ ＝ ３
｜ ｜＝｜ ｜＝１ ＝－ ｃｏｓ∠ ＝ ３
２ ａ ｂ （ ， ） （ ， ），
∴ ＋ ３ ＝ －１＋３ ３＋１ ＝ ２ ４
１ ，即 ＡＰＢ ２π，所以 →ＡＢ ，如图，建立平面
－ ∠ ＝ ｜ ｜ ＝ １＋１＋１ ＝ ３ （ａ ｂ）·ａ （ ）
２ ３ θ ＋ ３ ２× －１ ＋４×３ ２，
直角坐标系，则Ａç æ ３， ö ÷，Ｂç æ ３， ö ÷，由题设知点Ｃ（ｘ，ｙ）在以 ∴ ｃｏｓ ＝ ｜ ａ ＋ ３ ｂ ｜｜ ａ ｜ ＝ ２ ２ ＋４ ２ × （ －１ ）２ ＋３ ２ ＝ ２
è－ ０ø è ０ø
２ ２ θ ［ ， ］， θ π，故选
æ ö ∵ ∈ ０ π ∴ ＝ Ｂ．
点Ｂç ３， ÷为圆心， 为半径的圆上运动，结合图形可知，点 Ｃ ４
è ０ø １ 答案 （ ）Ｄ （ ）Ｂ
２ １ ２
（ｘ，ｙ）运动到点Ｄ时， →ＡＣ 最大， →ＡＣ Ａ→Ｄ →ＡＢ 经典例题教师用书
｜ ｜ ｜ ｜ｍａｘ＝｜ ｜＝｜ ｜＋１＝ ３＋
，故选 ． 例 （２０１７江西七校联考，１３）已知向量 ａ ｂ
１ Ｄ ＝（１， ３）， ＝
ｍ 且ｂ在ａ方向上的投影为 则向量 ａ 与 ｂ 的夹角为
（３， ）， －３，
．
解题导引
由ｂ在ａ方向上的投影为 求得
－３ 由ｂ的坐标求得 ｂ
ｍ的值 → ｜ ｜
ａ ｂ
利用 ａ ｂ · 求得结果
→ ｃｏｓ〈 ， 〉＝ ａ ｂ
答案 Ｄ ｜ ｜｜ ｜
解析 ｂ在ａ方向上的投影为 ， ｂ 〈ａ，ｂ〉 ，又
∵ －３ ∴ ｜ ｜ｃｏｓ ＝－３
考法二 求平面向量夹角的方法 ａ ２ （ ）２ ， ａ·ｂ ａ ｂ 〈ａ，ｂ〉 ，又ａ·ｂ
｜ ｜＝ １ ＋ ３ ＝２ ∴ ＝｜ ｜｜ ｜ｃｏｓ ＝－６ ＝１
例２ （２０２０课标Ⅲ理，６，５分）已知向量ａ ｂ满足 ｍ， ｍ ，解得ｍ ，
（１） ， ×３＋ ３ ∴３＋ ３ ＝－６ ＝－３ ３
ａ ｂ ａ ｂ 则 ａ ａ ｂ
｜ ｜＝５，｜ ｜＝６， · ＝－６， ｃｏｓ〈 ， ＋ 〉＝ （ ） 则ｂ （ ， ）， ｂ ２ （ ）２ ， 〈ａ，ｂ〉
＝ ３ －３ ３ ∴ ｜ ｜＝ ３ ＋ －３ ３ ＝６ ∴ ｃｏｓ ＝
３１ １９ １７ １９ ａ·ｂ
Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ． －６ １ ， 〈ａ，ｂ〉 ， ａ与ｂ的夹角为 ２ ．
３５ ３５ ３５ ３５ ａ ｂ ＝ ＝－ ∵０≤ ≤π ∴ π
（２０２０山东潍坊６月模拟，４）已知向量ａ ｂ ｜ ｜｜ ｜ ２×６ ２ ３
（２） ＝（－１，３）， ＝
æ ö 答案 ２
π
è çλ ， ３ ø ÷ ， 若ａ ⊥ ｂ ， 则ａ ＋ ３ ｂ与ａ的夹角为 （ ） ３
３
