北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
6.2 平面向量的数量积及其应用
考点一 平面向量的数量积
1.(2015山东理,4,5分)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则⃗BD·⃗CD=( )
3 3 3 3
A.- a2 B.- a2 C. a2 D. a2
2 4 4 2
1 3
答案 D ⃗BD·⃗CD=(⃗BC+⃗CD)·⃗CD=⃗BC·⃗CD+⃗CD2= a2+a2= a2.
2 2
2.(2015课标Ⅱ文,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案 C 因为2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1×1+0×(-1)=1.故选C.
3.(2015四川理,7,5分)设四边形ABCD为平行四边形,|⃗AB|=6,|⃗AD|=4.若点M,N满足⃗BM=3⃗MC,⃗DN=2
⃗NC,则⃗AM·⃗NM=( )
A.20 B.15 C.9 D.6
3 1 1 1 1
答案 C 依题意有⃗AM=⃗AB+⃗BM=⃗AB+ ⃗BC,⃗NM=⃗NC+⃗CM= ⃗DC- ⃗BC= ⃗AB- ⃗BC,所
4 3 4 3 4
以
⃗AM
·
⃗NM
=(⃗AB+ 3
⃗BC
)·(1
⃗AB-
1
⃗BC
)=1 ⃗AB2- 3 ⃗BC2=9.故选C.
4 3 4 3 16
4.(2015广东文,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,⃗AB=(1,-2),⃗AD=(2,1),则
⃗AD·⃗AC=( )
A.5 B.4 C.3 D.2
答案 A ∵四边形ABCD是平行四边形,∴⃗AC=⃗AB+⃗AD=(3,-1),∴⃗AD·⃗AC=2×3+1×(-1)=5.选A.
5.(2014课标Ⅱ,理3,文4,5分)设向量a,b满足|a+b|=√10,|a-b|=√6,则a·b=( )
A.1 B.2 C.3 D.5
答案 A ∵|a+b|=√10,∴a2+2a·b+b2=10.①
又|a-b|=√6,∴a2-2a·b+b2=6.②
①-②,得4a·b=4,即a·b=1,故选A.
6.(2014大纲全国文,6,5分)已知a、b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案 B (2a-b)·b=2a·b-|b|2=2×1×1×cos 60°-12=0,故选B.
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7.(2018上海,8,5分)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且|⃗EF|=2,则
⃗AE·⃗BF的最小值为 .
答案 -3
解析 本题主要考查数量积的运算以及二次函数的最值问题.设E(0,m),F(0,n),又A(-1,0),B(2,0),
∴⃗AE=(1,m),⃗BF=(-2,n).
∴⃗AE·⃗BF=-2+mn,又知|⃗EF|=2,∴|m-n|=2.
①当m=n+2时,⃗AE·⃗BF=mn-2=(n+2)n-2=n2+2n-2=(n+1)2-3.
∴当n=-1,即E(0,1),F(0,-1)时,⃗AE·⃗BF取得最小值-3.
②当m=n-2时,⃗AE·⃗BF=mn-2=(n-2)n-2=n2-2n-2=(n-1)2-3.
∴当n=1,即E(0,-1),F(0,1)时,⃗AE·⃗BF取得最小值-3.
综上可知,⃗AE·⃗BF的最小值为-3.
8.(2014重庆文,12,5分)已知向量a与b的夹角为60°,且a=(-2,-6),|b|=√10,则a·b= .
答案 10
解析 由a=(-2,-6),得|a|= =2 ,
√(-2) 2+(-6) 2 √10
∴a·b=|a||b|cos<a,b>=2√10×√10×cos 60°=10.
考点二 平面向量数量积的应用
1.(2019课标Ⅱ文,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=( )
A.√2 B.2 C.5√2 D.50
答案 A 本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量模的计算;考查数学运算的核心素养.
∵a=(2,3),b=(3,2),∴a-b=(-1,1),∴|a-b|= = ,故选A.
√(-1) 2+12 √2
一题多解 ∵a=(2,3),b=(3,2),∴|a|2=13,|b|2=13,a·b=12,则|a-b|= = = .故
√a2-2a·b+b2 √13-2×12+13 √2
选A.
2.(2017课标Ⅱ理,12,5分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则⃗PA·(⃗PB+⃗PC)的
最小值是( )
3 4
A.-2 B.- C.- D.-1
2 3
答案 B 设BC的中点为D,AD的中点为E,则有⃗PB+⃗PC=2⃗PD,
则⃗PA·(⃗PB+⃗PC)=2⃗PA·⃗PD
=2(⃗PE+⃗EA)·(⃗PE-⃗EA)=2(⃗PE2-⃗EA2).
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而 =(√3) 2 =3,
⃗AE2
2 4
当P与E重合时,⃗PE2 有最小值0,故此时⃗PA·(⃗PB+⃗PC)取最小值,
3 3
最小值为-2⃗EA2=-2× =- .
4 2
方法总结
在求向量数量积的最值时,常用取中点的方法,如本题中利用⃗PA·⃗PD=⃗PE2-⃗EA2
可快速求出最
值.
一题多解 以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系,如图,
则A(-1,0),B(1,0),C(0, ),设P(x,y),取BC的中点D,则D(1 √3). ·( + )=2 · =2(-1-x,-y)·
√3 , ⃗PA ⃗PB ⃗PC ⃗PA ⃗PD
2 2
(1 -x, √3 - y )=2 [ (x+1)· ( x- 1) + y· ( y- √3)] =2 [ ( x+ 1) 2 + ( y- √3) 2 - 3] .
2 2 2 2 4 4 4
因此,当x=-1,y=√3时, ·( + )取得最小值,为2×( 3)=-3,故选B.
⃗PA ⃗PB ⃗PC -
4 4 4 2
3.(2016课标Ⅱ理,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( )
A.-8 B.-6 C.6 D.8
答案 D 由题可得a+b=(4,m-2),又(a+b)⊥b,∴4×3-2×(m-2)=0,∴m=8.故选D.
4.(2016四川文,9,5分)已知正三角形ABC的边长为2√3,平面ABC内的动点P,M满足|⃗AP|=1,⃗PM=⃗MC,
则|⃗BM|2的最大值是( )
43 49
A. B.
4 4
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37+6√3 37+2√33
C. D.
4 4
答案 B 以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),C(2√3,0),B(√3,3).
设P(x,y),∵|⃗AP|=1,∴x2+y2=1,
∵⃗PM=⃗MC,∴M为PC的中点,
∴M(x+2√3 y),
,
2 2
∴| |2=(x+2√3 ) 2 +( y ) 2 =x2 +y2 -3y+9=1-3y+9=37-3y,
⃗BM -√3 -3
2 2 4 4 4 4
49
又∵-1≤y≤1,∴当y=-1时,|⃗BM|2取得最大值,且最大值为 .
4
思路分析 由△ABC为正三角形,|⃗AP|=1,考虑到用建立平面直角坐标系的方法来解决向量问题.
评析 本题考查了向量的坐标运算,运用了转化与化归思想.
5.(2015福建文,7,5分)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于( )
3 5 5 3
A.- B.- C. D.
2 3 3 2
3
答案 A c=a+kb=(1+k,2+k).由b⊥c,得b·c=0,即1+k+2+k=0,解得k=- .故选A.
2
2√2
6.(2015重庆理,6,5分)若非零向量a,b满足|a|= |b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为( )
3
π π 3π
A. B. C. D.π
4 2 4
答案 A ∵(a-b)⊥(3a+2b),∴(a-b)·(3a+2b)=0⇒3|a|2-a·b-2|b|2=0⇒3|a|2-|a|·|b|·cos <a,b>-2|b|2=0.
2√2 8 2√2 √2
又∵|a|= |b|,∴ |b|2- |b|2·cos <a,b>-2|b|2=0.∴cos <a,b>= .∵<a,b>∈[0,π],
3 3 3 2
π
∴<a,b>= .选A.
4
7.(2015重庆文,7,5分)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为( )
π π 2π 5π
A. B. C. D.
3 2 3 6
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答案 C 因为a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0,
得到a·b=-2|a|2,设a与b的夹角为θ,则cos θ= a·b =-2|a|2 =-1,又0≤θ≤π,所以θ=2π,故选C.
|a||b| 4|a|2 2 3
8.(2014大纲全国理,4,5分)若向量a、b满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=( )
√2
A.2 B.√2 C.1 D.
2
答案 B 由题意得
{ (a+b)·a=a2+a·b=0,
⇒-2a2+b2=0,即-2|a|2+|b|2=0,又|a|=1,∴|b|= .故选B.
√2
(2a+b)·b=2a·b+b2=0
9.(2016课标Ⅲ,3,5分)已知向量 =(1 √3), =(√3 1),则∠ABC=( )
⃗BA , ⃗BC ,
2 2 2 2
A.30° B.45° C.60° D.120°
答案 A cos∠ABC= ⃗BA·⃗BC =√3,所以∠ABC=30°,故选A.
|⃗BA|·|⃗BC| 2
思路分析 由向量的夹角公式可求得cos∠ABC的值,进而得∠ABC的大小.
10.(2016北京,4,5分)设a,b是向量.则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 D 当|a|=|b|=0时,|a|=|b|⇔|a+b|=|a-b|.
当|a|=|b|≠0时,|a+b|=|a-b|⇔(a+b)2=(a-b)2⇔a·b=0⇔a⊥b,推不出|a|=|b|.同样,由|a|=|b|也不能推出a⊥b.故选D.
解后反思 由向量加法、减法的几何意义知:当a、b不共线,且|a|=|b|时,a+b与a-b垂直;当a⊥b时,|a+b|=|a-b|.
1
11.(2016山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>= .若n⊥(tm+n),则实数t的值为( )
3
9 9
A.4 B.-4 C. D.-
4 4
n2
答案 B 因为n⊥(tm+n),所以tm·n+n2=0,所以m·n=- ,又4|m|=3|n|,
t
m·n 4m·n 4 1
所以cos<m,n>= = =- = ,所以t=-4.故选B.
|m|·|n| 3|n|2 3t 3
12.(2016课标Ⅰ,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .
答案 -2
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解析 由|a+b|2=|a|2+|b|2可得a·b=0,∴a·b=m+2=0,∴m=-2.
思路分析 由|a+b|2=|a|2+|b|2得a·b=0,然后利用数量积的坐标表示得到关于m的方程,解方程求得m.
13.(2018北京文,9,5分)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),则m= .
答案 -1
解析 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算.
∵a=(1,0),b=(-1,m),∴a2=1,a·b=-1,
由a⊥(ma-b)得a·(ma-b)=0,
即ma2-a·b=0,
即m-(-1)=0,∴m=-1.
14.(2017课标Ⅰ理,13,5分)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .
答案 2√3
解析 本题考查向量数量积的计算.
1
由题意知a·b=|a|·|b|cos 60°=2×1× =1,则|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4a·b=4+4+4=12.
2
所以|a+2b|=2√3.
15.(2017课标Ⅰ文,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m= .
答案 7
解析 本题考查向量数量积的坐标运算.
∵a=(-1,2),b=(m,1),∴a+b=(m-1,3),又(a+b)⊥a,
∴(a+b)·a=-(m-1)+6=0,解得m=7.
16.(2016课标Ⅰ文,13,5分)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x= .
2
答案 -
3
2
解析 因为a⊥b,所以x+2(x+1)=0,解得x=- .
3
易错警示 混淆两向量平行与垂直的条件是造成失分的主要原因.
17.(2016山东文,13,5分)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(ta+b),则实数t的值为 .
答案 -5
解析 因为a⊥(ta+b),所以a·(ta+b)=0,即ta2+a·b=0,又因为a=(1,-1),b=(6,-4),所以|a|=√2,a·b=1×6+(-1)×(-4)=10,
因此可得2t+10=0,解得t=-5.
评析 本题主要考查向量的数量积运算,向量的模以及两向量垂直的充要条件等基础知识,考查学生的运算
求解能力以及方程思想的应用.
18.(2016北京文,9,5分)已知向量a=(1,√3),b=(√3,1),则a与b夹角的大小为 .
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π
答案
6
a·b 1×√3+√3×1 √3
解析 ∵cos<a,b>= = = ,
|a|·|b| 2×2 2
π
∴a与b夹角的大小为 .
6
1
19.(2015浙江,13,4分)已知e,e 是平面单位向量,且e·e= .若平面向量b满足b·e=b·e=1,则|b|= .
1 2 1 2 1 2
2
2
答案 √3
3
1
解析 令e 与e 的夹角为θ,∴e·e=|e|·|e|cos θ=cos θ= ,又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.因为b·(e-e)=0,所以b与
1 2 1 2 1 2 1 2
2
1 2
e、e 的夹角均为30°,从而|b|= = √3.
1 2
cos30° 3
1
20.(2014课标Ⅰ理,15,5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若⃗AO= (⃗AB+⃗AC),则⃗AB与⃗AC的夹角为
2
.
答案 90°
1
解析 由⃗AO= (⃗AB+⃗AC)可知O为BC的中点,即BC为圆O的直径,又因为直径所对的圆周角为直角,所
2
以∠BAC=90°,所以⃗AB与⃗AC的夹角为90°.
21.(2014湖北文,12,5分)若向量⃗OA=(1,-3),|⃗OA|=|⃗OB|,⃗OA·⃗OB=0,则|⃗AB|= .
答案 2√5
解析 | |=| - |= ,
⃗AB ⃗OB ⃗OA √⃗OA2+⃗OB2-2⃗OB·⃗OA
∵| |=| |= = , · =0,
⃗OA ⃗OB √12+(-3) 2 √10⃗OA ⃗OB
∴|⃗AB|=√20=2√5,故答案为2√5.
22.(2014湖北理,11,5分)设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),则实数λ= .
答案 ±3
解析 |a|=3√2,|b|=√2,a·b=3×1+3×(-1)=0.因为(a+λb)⊥(a-λb),所以(a+λb)·(a-λb)=|a|2-λ2|b|2=18-2λ2=0.故λ=±3.
23.(2013课标Ⅰ,理13,文13,5分)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t= .
答案 2
解析 解法一:∵b·c=0,
∴b·[ta+(1-t)b]=0,ta·b+(1-t)·b2=0,
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又∵|a|=|b|=1,<a,b>=60°,
1
∴ t+1-t=0,t=2.
2
解法二:由t+(1-t)=1知向量a、b、c的终点A、B、C共线,在平面直角坐标系中设a=(1,0),b=(1 √3),
,
2 2
则c=(3 √3).
,-
2 2
把a、b、c的坐标代入c=ta+(1-t)b,得t=2.
评析 本题考查了向量的运算,利用三点共线的条件得到c的坐标是解题关键.
24.(2012课标,理13,文13,5分)已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=√10,则|b|= .
答案 3√2
解析 |2a-b|=√10两边平方得
4|a|2-4|a|·|b|cos 45°+|b|2=10.
∵|a|=1,∴|b|2-2√2|b|-6=0.
∴|b|=3√2或|b|=-√2(舍去).
评析 本题考查了向量的基本运算,考查了方程的思想.通过“平方”把向量转化为向量的数量积是求解的
关键.
25.(2012安徽文,11,5分)设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m),若(a+c)⊥b,则|a|= .
答案 √2
解析 a+c=(3,3m),
∵(a+c)⊥b,
∴(a+c)·b=0,
∴3m+3+3m=0,
1
∴m=- ,
2
∴a=(1,-1),
∴|a|= = .
√12+(-1) 2 √2
评析 本题主要考查向量的基本运算,考查了向量垂直的充要条件.
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26.(2011课标,文13,5分)已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k=
.
答案 1
解析 由题意知|a|=1,|b|=1,<a,b>≠0且<a,b>≠π.
由a+b与向量ka-b垂直,得(a+b)·(ka-b)=0,
即k|a|2+(k-1)|a||b|·cos<a,b>-|b|2=0,
(k-1)(1+cos<a,b>)=0.又1+cos<a,b>≠0,
∴k-1=0,k=1.
评析 本题考查向量的模、向量的数量积等相关知识,考查学生的运算求解能力,属中等难度试题.
1
27.(2015福建理,9,5分)已知⃗AB⊥⃗AC,|⃗AB|= ,|⃗AC|=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且⃗AP=
t
⃗AB + 4⃗AC ,则 · 的最大值等于( )
⃗PB ⃗PC
|⃗AB| |⃗AC|
A.13 B.15 C.19 D.21
答案 A 以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B(1 )
,0
t
(t>0),C(0,t),P(1,4), · =(1 )·(-1,t-4)=17-( 1)≤17-2×2=13
⃗PB ⃗PC -1,-4 4t+
t t
( 1 ),故 · 的最大值为13,故选A.
当且仅当t= 时,取“=” ⃗PB ⃗PC
2
28.(2019浙江,17,6分)已知正方形ABCD的边长为1.当每个λ(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ⃗AB+λ⃗BC+λ⃗CD
i 1 2 3
+λ⃗DA+λ⃗AC+λ⃗BD|的最小值是 ,最大值是 .
4 5 6
答案 0;2√5
解析 本题考查平面向量的坐标表示及坐标运算,在向量的坐标运算中涉及多个未知数据以此来考查学生
的数据处理能力,数学运算及数据分析的核心素养.
如图,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),
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∴⃗AB=(1,0),⃗BC=(0,1),⃗CD=(-1,0),⃗DA=(0,-1),⃗AC=(1,1),⃗BD=(-1,1),
故|λ⃗AB+λ⃗BC+λ⃗CD+λ⃗DA+λ⃗AC+λ⃗BD|
1 2 3 4 5 6
=|(λ-λ+λ-λ,λ-λ+λ+λ)|
1 3 5 6 2 4 5 6
= .(*)
√(λ -λ +λ -λ ) 2+(λ -λ +λ +λ ) 2
1 3 5 6 2 4 5 6
显然(*)式中第一个括号中的λ,λ 与第二个括号中的λ,λ 的取值互不影响,∴只需讨论λ 与λ 的取值情况即
1 3 2 4 5 6
可,
当λ 与λ 同号时,不妨取λ=1,λ=1,
5 6 5 6
则(*)式即为
√(λ -λ ) 2+(λ -λ +2) 2
,
1 3 2 4
∵λ,λ,λ,λ∈{-1,1},∴λ=λ,λ-λ=-2(λ=-1,λ=1)时,(*)式取最小值0,当|λ-λ|=2(如λ=1,λ=-1),λ-
1 2 3 4 1 3 2 4 2 4 1 3 1 3 2
λ=2(λ=1,λ=-1)时,(*)式取最大值2√5,
4 2 4
当λ
5
与λ
6
异号时,不妨取λ
5
=1,λ
6
=-1,则(*)式即为
√(λ -λ +2) 2+(λ -λ ) 2
.
1 3 2 4
同理可得最小值仍为0,最大值仍为2√5,
综上,最小值为0,最大值为2√5.
解题关键 本题未知量比较多,所以给学生的第一感觉是难,而实际上注意到图形为规则的正方
形,λ(i=1,2,3,4,5,6)的取值只有两种可能(1或-1),这就给建系及讨论λ的值创造了条件,也是求解本题的突破
i i
口.
29.(2019课标Ⅲ文,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos<a,b>= .
√2
答案 -
10
解析 本题考查平面向量夹角的计算,通过向量的坐标运算考查学生的运算求解能力,体现运算法则与运算
方法的素养要素.
由题意知cos<a,b>= a·b =
2×(-8)+2×6
=-√2.
|a|·|b| √22+22×√(-8) 2+62 10
30.(2019北京文,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m= .
答案 8
解析 本题考查两向量垂直的充要条件和向量的坐标运算,考查了方程的思想方法.
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北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
∵a⊥b,∴a·b=(-4,3)·(6,m)=-24+3m=0,
∴m=8.
易错警示 容易把两向量平行与垂直的条件混淆.
31.(2017北京文,12,5分)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则⃗AO·⃗AP的最大值为
.
答案 6
解析 解法一:⃗AO·⃗AP表示⃗AP在⃗AO方向上的投影与|⃗AO|的乘积,当P在B点时,⃗AO·⃗AP有最大值,此
时⃗AO·⃗AP=2×3=6.
解法二:设P(x,y),则⃗AO·⃗AP=(2,0)·(x+2,y)=2x+4,由题意知-1≤x≤1,∴x=1时,⃗AO·⃗AP取最大值6,∴⃗AO·
⃗AP的最大值为6.
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