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第 3 节 平面向量的数量积及平面向量的应用
考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量
积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运
算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直
关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简
单的力学问题与其他一些实际问题.
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量 a 和 b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝
θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a与b的数量
积(或内积)a·b＝ | a | | b |cos __θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)数量积的几何意义：数量积 a·b等于 a的长度|a|与b在a的方向上的投影 | b |
cos__θ 的乘积.
2.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
3.已知非零向量a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，a与b的夹角为θ
1 1 2 2结论 符号表示 坐标表示
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a · b ＝ 0 x x ＋ y y ＝ 0
1 2 1 2
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤ | a | | b | |x x ＋y y |≤
1 2 1 2
1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为
钝角⇔a·b<0且a，b不共线.
2.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.( )
(2)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(
)
(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].
(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不
一定相等.
2.已知向量a＝(1，1)，b＝(2，4)，则(a－b)·a＝( )
A.－14 B.－4 C.4 D.14
答案 B
解析 由题意得a－b＝(－1，－3)，
则(a－b)·a＝－1－3＝－4.
3.已知AB＝(2，3)，AC＝(3，t)，|BC|＝1，则AB·BC＝( )A.－3 B.－2 C.2 D.3
答案 C
解析 因为BC＝AC－AB＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，所以|BC|＝＝1，解得t＝
3，所以BC＝(1，0)，
所以AB·BC＝2×1＋3×0＝2.
4.(2022·江南名校模拟)已知平面向量a，b，满足|a|＝|b|＝1，若(2a－b)·b＝0，则
向量a，b的夹角为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由(2a－b)·b＝0，可得a·b＝b2＝.
设向量a，b的夹角为θ，
则cos θ＝＝.
又θ∈[0，π]，所以向量a，b的夹角为.
5.已知AB＝(－1，2)，点C(2，0)，D(3，－1)，则向量AB在CD方向上的投影为
________；向量CD在AB方向上的投影为________.
答案 － －
解析 因为CD＝(1，－1)，向量AB在CD方向上的投影为＝－，同理CD在AB方
向上的投影为＝－.
6.(2021·全国甲卷)已知向量 a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若 a⊥c，则 k＝
________.
答案 －
解析 由题意得c＝(3，1)＋(k，0)＝(3＋k，1).又a⊥c，所以a·c＝3(3＋k)＋1×1
＝10＋3k＝0，得k＝－.
考点一 向量数量积的基本概念及运算
1.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角的余弦值为sin ，则b·(2a－b)
等于( )
A.2 B.－1 C.－6 D.－18
答案 D
解析 由题意知cos〈a，b〉＝sin＝sin＝－sin ＝－，
所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×2×＝－3，
b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.
2.若向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4，1)共线，则m·n＝( )
A.0 B.4 C.－ D.－
答案 D
解析 由题意得(2k－1)×1－4×k＝0，解得k＝－，即m＝，
所以m·n＝－2×4＋×1＝－.
3.(2020·北京卷)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP＝，则
|PD|＝__________；PB·PD＝__________.
答案 －1
解析 法一 ∵AP＝(AB＋AC)，
∴P为BC的中点.
以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知 A(0，0)，B(2，0)，
C(2，2)，D(0，2)，P(2，1)，
∴|PD|＝＝.
易得PB＝(0，－1)，PD＝(－2，1)，
∴PB·PD＝(0，－1)·(－2，1)＝－1.
法二 如图，在正方形ABCD中，由AP＝(AB＋AC)得点P为BC的中点，
∴|PD|＝＝.
PB·PD＝PB·(PC＋CD)＝PB·PC＋PB·CD＝－PB2＋0＝－1.
感悟提升 解决向量数量积的运算问题的三个思路
(1)直接使用定义(已知两个向量的模与夹角)或利用数量积的坐标公式求解.(2)把两个向量各自用已知的向量表示，再利用运算律和定义计算.
(3)建立平面直角坐标系，把求解的两个向量用坐标表示，再利用坐标计算法，
即若a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则a·b＝x x ＋y y .
1 1 2 2 1 2 1 2
考点二 向量数量积的性质及应用
角度1 夹角与垂直
例1 (1)已知向量a＝(1，1)，2a＋b＝(4，2)，则向量a，b的夹角为( )
A. B. C. D.
(2)(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与 b垂
直的是( )
A.a＋2b B.2a＋b
C.a－2b D.2a－b
答案 (1)C (2)D
解析 (1)设向量a和b的夹角为θ，因为a＝(1，1)，2a＋b＝(4，2)，所以b＝
(4，2)－2(1，1)＝(2，0)，所以cos θ＝＝＝.又0≤θ≤π，所以θ＝.
(2)易知a·b＝|a||b|cos 60°＝，
则b·(a＋2b)＝≠0，b·(2a＋b)＝2≠0，
b·(a－2b)＝a·b－2b2＝－≠0，b·(2a－b)＝0.
因此b⊥(2a－b).
角度2 平面向量的模
例 2 (1)(2022·南昌模拟)设 x，y∈R，a＝(x，1)，b＝(2，y)，c＝(－2，2)，且
a⊥c，b∥c，则|2a＋3b－c|＝( )
A.2 B. C.12 D.2
(2)已知a，b是单位向量且 a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值是
________.
答案 (1)A (2)＋1
解析 (1)因为a⊥c，所以a·c＝－2x＋2＝0，解得x＝1，则a＝(1，1).
因为b∥c，所以4＋2y＝0，解得y＝－2，
则b＝(2，－2)，
所以2a＋3b－c＝(10，－6)，
则|2a＋3b－c|＝2.(2)法一 由a·b＝0，得a⊥b.
如图所示，分别作OA＝a，OB＝b，作OC＝a＋b，则四边形OACB是边长为1的
正方形，所以|OC|＝.
作OP＝c，则|c－a－b|＝|OP－OC|＝|CP|＝1.
所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上.
由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P 处时，|OP|取得最大值＋1.故|c|
1
的最大值是＋1.
法二 由a·b＝0，得a⊥b.
建立如图所示的平面直角坐标系，则OA＝a＝(1，0)，OB＝b＝(0，1).
设c＝OC＝(x，y)，
由|c－a－b|＝1，
得(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以点C在以(1，1)为圆心，1为半径的圆上.
所以|c| ＝＋1.
max
法三 易知|a＋b|＝，
|c－a－b|＝|c－(a＋b)|≥||c|－|a＋b||＝||c|－|，
由已知得||c|－|≤1，
所以|c|≤1＋，故|c| ＝＋1.
max
感悟提升 1.两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为 0，若a＝(x ，y )，b
1 1
＝(x ，y )，则a⊥b a·b＝0 x x ＋y y ＝0.
2 2 1 2 1 2
2.若题目给出向量的坐标，可直接运用公式 cos θ＝求解.没有坐标时可用公式cos
⇔ ⇔θ＝.研究向量夹角应注意“共起点”，注意取值范围是[0，π].
3.向量模的计算主要利用a2＝|a|2，把向量模的运算转化为数量积运算，有时借助
几何图形的直观性，数形结合，提高解题效率.
训练1 (1)(2022·太原质检)已知平面向量a＝(4，－2)，b＝(1，－3)，若a＋λb与
b垂直，则λ＝( )
A.－2 B.2
C.－1 D.1
(2)已知e ，e 是两个单位向量，且|e ＋e |＝，则|e －e |＝________.
1 2 1 2 1 2
答案 (1)C (2)1
解析 (1)∵a＋λb与b垂直，
∴(a＋λb)·b＝a·b＋λb2＝4＋6＋10λ＝0，解得λ＝－1.
(2)法一 由|e ＋e |＝，两边平方，
1 2
得e＋2e ·e ＋e＝3.
1 2
又e ，e 是单位向量，所以2e ·e ＝1，
1 2 1 2
所以|e －e |2＝e－2e ·e ＋e＝1，
1 2 1 2
所以|e －e |＝1.
1 2
法二 如图，设AB＝e ，AD＝e ，又e ，e 是单位向量，所以|AB|＝|AD|＝1，以
1 2 1 2
AB，AD为邻边作平行四边形 ABCD，连接AC，BD，所以AC＝e ＋e ，DB＝e
1 2 1
－e ，因为|e ＋e |＝，即|AC|＝，所以∠ABC＝120°，则∠DAB＝60°，所以|DB|
2 1 2
＝1，即|e －e |＝1.
1 2
考点三 平面向量的综合应用
角度1 平面向量与平面几何
例3 (1)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝
0，则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.正三角形 D.等腰直角三角形
(2)已知A，B是半径为的⊙O上的两个点，OA·OB＝1，⊙O所在平面上有一点C满足|OA＋OB－OC|＝1，则向量OC的模的取值范围是________.
答案 (1)A (2)[－1，＋1]
解析 (1)因为(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，所以CB·(AB＋AC)＝0，即
CB⊥(AB＋AC)，所以△ABC的中线和底边垂直，所以△ABC是等腰三角形.
(2)以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，A(，0).
由OA·OB＝1，|OA|＝|OB|＝，得∠AOB＝，于是B，设C(x，y)，则＋＝1.
问题转化求圆＋＝1上一点到原点距离的取值范围.
原点到圆心的距离为，又圆的半径为1，所以|OC|的取值范围为[－1，＋1].
角度2 平面向量与解三角形
例4 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，
sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝sin 2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且CA·(AB－AC)＝18，求c.
解 (1)m·n＝sin A·cos B＋sin B·cos A
＝sin(A＋B)，
在△ABC中，A＋B＝π－C，0<C<π，
所以sin(A＋B)＝sin C，所以m·n＝sin C.
又m·n＝sin 2C，
所以sin 2C＝sin C，cos C＝.
又因为C∈(0，π)，故C＝.
(2)由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得2sin C＝sin A＋sin B，
由正弦定理得2c＝a＋b.
因为CA·(AB－AC)＝18，
所以CA·CB＝18，即abcos C＝18，ab＝36.
由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab，
所以c2＝4c2－3×36，c2＝36，所以c＝6.感悟提升 1.以平面几何为载体的向量问题有两种基本解法：
(1)基向量法：恰当选择基底，结合共线定理、平面向量的基本定理进行向量运
算.
(2)坐标法：如果图形比较规则，可建立平面直角坐标系，把有关点与向量用坐
标表示，从而使问题得到解决.
2.解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已
知条件，将其转化为三角函数中的有关问题.
训练2 (1)在边长为2的等边三角形ABC中，D是BC的中点，P是线段AD上一
动点，则AP·CP的取值范围是( )
A. B.
C.[－1，0] D.[－1，1]
(2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交
于点O.若AB·AC＝6AO·EC，则的值是________.
答案 (1)B (2)
解析 (1)画出图形如图所示，分别以DC，DA所在直线为x，y轴建立平面直角
坐标系，
故A(0，)，C(1，0).
设P(0，t)(t∈[0，])，
则AP·CP＝(0，t－)·(－1，t)＝t2－t.
根据二次函数的性质可知，
当t＝0或t＝时，AP·CP取得最大值0，
当t＝时，AP·CP取得最小值，为－×＝－，
故AP·CP的取值范围是.故选B.(2)法一 如图，过点D作DF∥CE交AB于点F，由D是BC的中点，可知F为
BE的中点.
又BE＝2EA，则知EF＝EA，从而可得AO＝OD，则有AO＝AD＝(AB＋AC)，EC
＝AC－AE＝AC－AB，
所以6AO·EC＝(AB＋AC)·
＝AC2－AB2＋AB·AC＝AB·AC，
整理可得AB2＝3AC2，所以＝.
法二 以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示.
设E(1，0)，C(a，b)，
则B(3，0)，D.
O.
∵AB·AC＝6AO·EC，
⇒
∴(3，0)·(a，b)＝6·(a－1，b)，
即3a＝6，
∴a2＋b2＝3，∴AC＝，∴＝＝.
极化恒等式
一、极化恒等式
1.极化恒等式：设a，b为两个平面向量，则a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]
极化恒等式表示平面向量的数量积运算可以转化为平面向量线性运算的模，如果
将平面向量换成实数，那么上述公式也叫“广义平方差”公式.
2.极化恒等式的几何意义：平面向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，即a·b＝(|AC|2－|BD|2).
3.极化恒等式的三角形模式：在△ABC中，若M是BC的中点，则AB·AC＝Com2－
bin
BC2.
二、极化恒等式的应用
1.求数量积
例1 设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于( )
A.1 B.2 C.3 D.5
答案 A
解析 ∵a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]
＝×(10－6)＝1，∴a·b＝1.
2.求最值
例2 如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原
点)上滑动，则OC·OB的最大值是________.
答案 2
解析 如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON.
则OC·OB＝OM2－.
因为OM≤ON＋NM＝AD＋AB＝，
当且仅当O，N，M三点共线时取等号，所以OC·OB的最大值为2.
3.求模长
例3 已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c满足(a－c)·(b－c)＝
0，则|c|的最大值是( )
A.1 B.2 C. D.
答案 C
解析 设OA⊥OB，且OA＝a，OB＝b，OC＝c，
D为线段AB的中点，
显然OD＝，|DC|2＝＝＝，上式表明，DC是
有固定起点，固定模长的动向量，点C的轨迹是以为半径的圆，因此，|c|的最大
值就是该轨迹圆的直径.
4.求数量积最值(或取值范围)
例4 (2022·郑州调考)已知等边△ABC内接于圆O：x2＋y2＝1，且P是圆O上一
点，则PA·(PB＋PC)的最大值是( )
A. B.1 C. D.2
答案 D
解析 设D为BC的中点，M为AD的中点，易知|DM|＝，
则PA·(PB＋PC)＝2 PA·PD
＝2×[(PA＋PD)2－(PA－PD)2]
＝[(2PM)2－(2DM)2]
＝2(PM2－DM2)＝2，
当点P在AD的延长线与圆的交点处时，|PM| ＝，所以PA·(PB＋PC)≤2×＝2.
max
故选D.1.在等腰三角形ABC中，点D是底边AB的中点，若AB＝(1，2)，CD＝(2，t)，
则|CD|＝( )
A. B.5 C.2 D.20
答案 A
解析 由题意知AB⊥CD，∴1×2＋2t＝0，
∴t＝－1，∴|CD|＝＝.
2.设向量a＝(1，1)，b＝(－1，3)，c＝(2，1)，且(a－λb)⊥c，则λ等于( )
A.3 B.2 C.－2 D.－3
答案 A
解析 由题意得a－λb＝(1＋λ，1－3λ).
又∵(a－λb)⊥c，c＝(2，1)，
∴(a－λb)·c＝0，即2(1＋λ)＋1－3λ＝0，
∴λ＝3.
3.(2021·青岛调研)如图所示，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD
＝4，CD＝8.若CE＝－7DE，3BF＝FC，则AF·BE＝( )
A.11 B.10 C.－10 D.－11
答案 D
解析 以A为坐标原点，建立直角坐标系如图.
则A(0，0)，B(4，0)，E(1，4)，F(5，1)，所以AF＝(5，1)，BE＝(－3，4)，则
AF·BE＝－15＋4＝－11.
4.a，b为平面向量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于
( )
A.－ B.－ C. D.答案 B
解析 设b＝(x，y)，
则有a－2b＝(2，4)－(2x，2y)
＝(2－2x，4－2y)＝(0，8)，
所以解得
故b＝(1，－2)，|b|＝，|a|＝2，
cos 〈a，b〉＝＝＝－，故选B.
5.已知e ，e 是两个单位向量，λ∈R时，|e ＋λe |的最小值为，则|e ＋e |等于(
1 2 1 2 1 2
)
A.1 B. C.1或 D.2
答案 C
解析 设向量e ，e 的夹角为θ，则e ·e ＝cos θ，因为|e ＋λe |＝＝，且当λ＝－
1 2 1 2 1 2
cos θ时，|e ＋λe | ＝＝，得cos θ＝±，故|e ＋e |＝＝1或.
1 2min 1 2
6.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c满足(a－c)·(2b－c)＝
0，则|c|的最大值是( )
A. B.2 C. D.
答案 C
解析 ∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0，
且(a－c)·(2b－c)＝2a·b－c·(a＋2b)＋c2＝0，∴c2＝c·(a＋2b)，
∴|c|2＝|c|·|a＋2b|cos〈c，a＋2b〉，
∴|c|＝|a＋2b|cos〈c，a＋2b〉
＝cos〈c，a＋2b〉.
∵cos〈c，a＋2b〉∈[－1，1]，
∴|c|的最大值是.
7.(2021·全国甲卷)若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________.
答案 3
解析 由|a－b|＝5得(a－b)2＝25，
即a2－2a·b＋b2＝25，
结合|a|＝3，a·b＝1，
得32－2×1＋|b|2＝25，所以|b|2＝18，|b|＝3.
8.(2021·广东六校联考)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(，1)在以原点O为
圆心的圆上.已知圆O与y轴正半轴的交点为P，延长AP至点B，使得∠AOB＝
90°，则BP·OA＝________，|BP＋OA|＝________.
答案 2 2
解析 由题意可得圆O的半径r＝＝2，
所以P(0，2)，则直线AP的方程为y－2＝(x－0)，
即y＝－x＋2.
设B，
则OA＝(，1)，OB＝.
由∠AOB＝90°，可得OA·OB＝0，
所以x－x＋2＝x＋2＝0，解得x＝－，
所以B(－，3)，
所以BP＝(，－1)，
所以BP·OA＝×＋(－1)×1＝2，
|BP＋OA|＝|(，－1)＋(，1)|＝|(2，0)|＝2.
9.(2022·太原模拟)已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AD＝1，BC＝
2，M是AB边上的动点，则|MC＋MD|的最小值为________.
答案 3
解析 以BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标
系，设A(0，a)，M(0，b)，且0≤b≤a，
由于BC＝2，AD＝1.∴C(2，0)，D(1，a).
则MC＝(2，－b)，MD＝(1，a－b)，
∴MC＋MD＝(3，a－2b).
因此|MC＋MD|＝，
∴当且仅当a＝2b时，|MC＋MD|取得最小值3.
10.已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π].
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
解 (1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，所以－cos x＝3sin x.
若cos x＝0，则sin x＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，
故cos x≠0，于是tan x＝－.
又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)
＝3cos x－sin x＝2cos.
因为x∈[0，π]，所以x＋∈，
从而－1≤cos≤.
于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.
11.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且C＝2A，cos A＝.
(1)求cos C，cos B的值；
(2)若BA·BC＝，求边AC的长.
解 (1)cos C＝cos 2A＝2cos2 A－1＝2×－1＝，
所以sin C＝，sin A＝，
所以cos B＝－cos(A＋C)＝sin Asin C－cos Acos C＝×－×＝.
(2)因为BA·BC＝，
所以accos B＝，即ac＝24①.
又＝，C＝2A，
所以c＝2acos A＝a②.
由①②解得a＝4，c＝6，
所以b2＝a2＋c2－2accos B＝16＋36－2×4×6×＝25，
所以b＝5，即边AC的长为5.
12.△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足AO＝(AB＋AC)，|AO|＝|AC|，则
BA在BC方向上的投影等于( )
A.－ B. C. D.3
答案 C
解析 △ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足AO＝(AB＋AC)，所以点O在
BC上且O为BC的中点，如图，所以BC是△ABC外接圆的直径.
故∠BAC＝90°.
因为|CO|＝|AO|＝|AC|，
所以△OAC是等边三角形，
所以∠ACB＝60°，所以∠ABC＝30°.
在Rt△ABC中，|AB|＝|BC|sin 60°＝.
所以BA在BC方向上的投影为
|BA|·cos ∠ABC＝|BA|·cos 30°
＝×＝，故选C.
13.(2022·安徽五校联盟质检)已知点O是△ABC内部一点，且满足OA＋OB＋OC
＝0，又AB·AC＝2，∠BAC＝60°，则△OBC的面积为( )
A. B.3 C.1 D.2
答案 C
解析 由AB·AC＝2，∠BAC＝60°，
可得AB·AC＝|AB||AC|cos ∠BAC＝|AB||AC|＝2，
所以|AB||AC|＝4，
所以S ＝|AB||AC|sin ∠BAC＝3.
△ABC
又OA＋OB＋OC＝0，所以O为△ABC的重心，
所以S ＝S ＝1.
△OBC △ABC
14.已知平面单位向量e ，e 满足|2e －e |≤.设a＝e ＋e ，b＝3e ＋e ，向量a，b
1 2 1 2 1 2 1 2
的夹角为θ，则cos2θ的最小值是__________.
答案
解析 因为单位向量e ，e 满足|2e －e |≤，
1 2 1 2
所以|2e －e |2＝5－4e ·e ≤2，即e ·e ≥.
1 2 1 2 1 2
因为a＝e ＋e ，b＝3e ＋e ，a，b的夹角为θ，
1 2 1 2
所以cos2θ＝＝
＝＝.
不妨设t＝e ·e ，则t≥，cos2θ＝，
1 2
又y＝在上单调递增，
所以cos2θ≥＝，
所以cos2θ的最小值为.
