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第 3 节 平面向量的数量积及平面向量的应用
考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量
积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运
算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直
关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简
单的力学问题与其他一些实际问题.
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量 a 和 b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝
θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a与b的数量
积(或内积)a·b＝ | a | | b |cos __θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)数量积的几何意义：数量积 a·b等于 a的长度|a|与b在a的方向上的投影 | b |
cos__θ 的乘积.
2.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
3.已知非零向量a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，a与b的夹角为θ
1 1 2 2结论 符号表示 坐标表示
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a · b ＝ 0 x x ＋ y y ＝ 0
1 2 1 2
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤ | a | | b | |x x ＋y y |≤
1 2 1 2
1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为
钝角⇔a·b<0且a，b不共线.
2.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.( )
(2)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(
)
(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].
(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不
一定相等.
2.已知向量a＝(1，1)，b＝(2，4)，则(a－b)·a＝( )
A.－14 B.－4 C.4 D.14
答案 B
解析 由题意得a－b＝(－1，－3)，
则(a－b)·a＝－1－3＝－4.
3.已知AB＝(2，3)，AC＝(3，t)，|BC|＝1，则AB·BC＝( )A.－3 B.－2 C.2 D.3
答案 C
解析 因为BC＝AC－AB＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，所以|BC|＝＝1，解得t＝
3，所以BC＝(1，0)，
所以AB·BC＝2×1＋3×0＝2.
4.(2022·江南名校模拟)已知平面向量a，b，满足|a|＝|b|＝1，若(2a－b)·b＝0，则
向量a，b的夹角为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由(2a－b)·b＝0，可得a·b＝b2＝.
设向量a，b的夹角为θ，
则cos θ＝＝.
又θ∈[0，π]，所以向量a，b的夹角为.
5.已知AB＝(－1，2)，点C(2，0)，D(3，－1)，则向量AB在CD方向上的投影为
________；向量CD在AB方向上的投影为________.
答案 － －
解析 因为CD＝(1，－1)，向量AB在CD方向上的投影为＝－，同理CD在AB方
向上的投影为＝－.
6.(2021·全国甲卷)已知向量 a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若 a⊥c，则 k＝
________.
答案 －
解析 由题意得c＝(3，1)＋(k，0)＝(3＋k，1).又a⊥c，所以a·c＝3(3＋k)＋1×1
＝10＋3k＝0，得k＝－.
考点一 向量数量积的基本概念及运算
1.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角的余弦值为sin ，则b·(2a－b)
等于( )
A.2 B.－1 C.－6 D.－18
答案 D
解析 由题意知cos〈a，b〉＝sin＝sin＝－sin ＝－，
所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×2×＝－3，
b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.
2.若向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4，1)共线，则m·n＝( )
A.0 B.4 C.－ D.－
答案 D
解析 由题意得(2k－1)×1－4×k＝0，解得k＝－，即m＝，
所以m·n＝－2×4＋×1＝－.
3.(2020·北京卷)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP＝，则
|PD|＝__________；PB·PD＝__________.
答案 －1
解析 法一 ∵AP＝(AB＋AC)，
∴P为BC的中点.
以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知 A(0，0)，B(2，0)，
C(2，2)，D(0，2)，P(2，1)，
∴|PD|＝＝.
易得PB＝(0，－1)，PD＝(－2，1)，
∴PB·PD＝(0，－1)·(－2，1)＝－1.
法二 如图，在正方形ABCD中，由AP＝(AB＋AC)得点P为BC的中点，
∴|PD|＝＝.
PB·PD＝PB·(PC＋CD)＝PB·PC＋PB·CD＝－PB2＋0＝－1.
感悟提升 解决向量数量积的运算问题的三个思路
(1)直接使用定义(已知两个向量的模与夹角)或利用数量积的坐标公式求解.(2)把两个向量各自用已知的向量表示，再利用运算律和定义计算.
(3)建立平面直角坐标系，把求解的两个向量用坐标表示，再利用坐标计算法，
即若a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则a·b＝x x ＋y y .
1 1 2 2 1 2 1 2
考点二 向量数量积的性质及应用
角度1 夹角与垂直
例1 (1)已知向量a＝(1，1)，2a＋b＝(4，2)，则向量a，b的夹角为( )
A. B. C. D.
(2)(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与 b垂
直的是( )
A.a＋2b B.2a＋b
C.a－2b D.2a－b
答案 (1)C (2)D
解析 (1)设向量a和b的夹角为θ，因为a＝(1，1)，2a＋b＝(4，2)，所以b＝
(4，2)－2(1，1)＝(2，0)，所以cos θ＝＝＝.又0≤θ≤π，所以θ＝.
(2)易知a·b＝|a||b|cos 60°＝，
则b·(a＋2b)＝≠0，b·(2a＋b)＝2≠0，
b·(a－2b)＝a·b－2b2＝－≠0，b·(2a－b)＝0.
因此b⊥(2a－b).
角度2 平面向量的模
例 2 (1)(2022·南昌模拟)设 x，y∈R，a＝(x，1)，b＝(2，y)，c＝(－2，2)，且
a⊥c，b∥c，则|2a＋3b－c|＝( )
A.2 B. C.12 D.2
(2)已知a，b是单位向量且 a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值是
________.
答案 (1)A (2)＋1
解析 (1)因为a⊥c，所以a·c＝－2x＋2＝0，解得x＝1，则a＝(1，1).
因为b∥c，所以4＋2y＝0，解得y＝－2，
则b＝(2，－2)，
所以2a＋3b－c＝(10，－6)，
则|2a＋3b－c|＝2.(2)法一 由a·b＝0，得a⊥b.
如图所示，分别作OA＝a，OB＝b，作OC＝a＋b，则四边形OACB是边长为1的
正方形，所以|OC|＝.
作OP＝c，则|c－a－b|＝|OP－OC|＝|CP|＝1.
所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上.
由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P 处时，|OP|取得最大值＋1.故|c|
1
的最大值是＋1.
法二 由a·b＝0，得a⊥b.
建立如图所示的平面直角坐标系，则OA＝a＝(1，0)，OB＝b＝(0，1).
设c＝OC＝(x，y)，
由|c－a－b|＝1，
得(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以点C在以(1，1)为圆心，1为半径的圆上.
所以|c| ＝＋1.
max
法三 易知|a＋b|＝，
|c－a－b|＝|c－(a＋b)|≥||c|－|a＋b||＝||c|－|，
由已知得||c|－|≤1，
所以|c|≤1＋，故|c| ＝＋1.
max
感悟提升 1.两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为 0，若a＝(x ，y )，b
1 1
＝(x ，y )，则a⊥b a·b＝0 x x ＋y y ＝0.
2 2 1 2 1 2
2.若题目给出向量的坐标，可直接运用公式 cos θ＝求解.没有坐标时可用公式cos
⇔ ⇔θ＝.研究向量夹角应注意“共起点”，注意取值范围是[0，π].
3.向量模的计算主要利用a2＝|a|2，把向量模的运算转化为数量积运算，有时借助
几何图形的直观性，数形结合，提高解题效率.
训练1 (1)(2022·太原质检)已知平面向量a＝(4，－2)，b＝(1，－3)，若a＋λb与
b垂直，则λ＝( )
A.－2 B.2
C.－1 D.1
(2)已知e ，e 是两个单位向量，且|e ＋e |＝，则|e －e |＝________.
1 2 1 2 1 2
答案 (1)C (2)1
解析 (1)∵a＋λb与b垂直，
∴(a＋λb)·b＝a·b＋λb2＝4＋6＋10λ＝0，解得λ＝－1.
(2)法一 由|e ＋e |＝，两边平方，
1 2
得e＋2e ·e ＋e＝3.
1 2
又e ，e 是单位向量，所以2e ·e ＝1，
1 2 1 2
所以|e －e |2＝e－2e ·e ＋e＝1，
1 2 1 2
所以|e －e |＝1.
1 2
法二 如图，设AB＝e ，AD＝e ，又e ，e 是单位向量，所以|AB|＝|AD|＝1，以
1 2 1 2
AB，AD为邻边作平行四边形 ABCD，连接AC，BD，所以AC＝e ＋e ，DB＝e
1 2 1
－e ，因为|e ＋e |＝，即|AC|＝，所以∠ABC＝120°，则∠DAB＝60°，所以|DB|
2 1 2
＝1，即|e －e |＝1.
1 2
考点三 平面向量的综合应用
角度1 平面向量与平面几何
例3 (1)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝
0，则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.正三角形 D.等腰直角三角形
(2)已知A，B是半径为的⊙O上的两个点，OA·OB＝1，⊙O所在平面上有一点C满足|OA＋OB－OC|＝1，则向量OC的模的取值范围是________.
答案 (1)A (2)[－1，＋1]
解析 (1)因为(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，所以CB·(AB＋AC)＝0，即
CB⊥(AB＋AC)，所以△ABC的中线和底边垂直，所以△ABC是等腰三角形.
(2)以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，A(，0).
由OA·OB＝1，|OA|＝|OB|＝，得∠AOB＝，于是B，设C(x，y)，则＋＝1.
问题转化求圆＋＝1上一点到原点距离的取值范围.
原点到圆心的距离为，又圆的半径为1，所以|OC|的取值范围为[－1，＋1].
角度2 平面向量与解三角形
例4 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，
sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝sin 2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且CA·(AB－AC)＝18，求c.
解 (1)m·n＝sin A·cos B＋sin B·cos A
＝sin(A＋B)，
在△ABC中，A＋B＝π－C，0
