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专题 14 平面向量的数量积及其应用
【考纲要求】
1、理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系．
2、掌握数量积的坐标表达式，进行平面向量数量积的运算．
3、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
4、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
一、平面向量数量积的概念
【考点总结】
一、向量数量积的定义及性质
1.向量的数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，
即a·b＝|a||b|cos θ.
规定零向量与任一向量的数量积为0.
2.向量的数量积的性质
设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角.
(1)a⊥b⇔a·b＝0.
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
(3)a·a＝|a|2或|a|＝＝.
(4)cos θ＝.
(5)|a·b|≤|a||b|.
二、向量的数量积的几何意义
(1)投影的概念
如图241所示：OA＝a，OB＝b，过B作BB 垂直于直线OA，垂足为B，则OB＝|b|cos θ.
1 1 1
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影.
图241
(2)数量积的几何意义：
a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.
2.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
二、面向量数量积的坐标表示
【考点总结】
一、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1.平面向量数量积的坐标表示：
设向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，a与b的夹角为θ.
1 1 2 2
数量积 a·b＝xx＋yy
1 2 1 2
向量垂直 a⊥b⇔xx＋yy＝0
1 2 1 2
2.向量模的公式：设a＝(x，y)，则|a|＝.
1 1
3.两点间的距离公式：若A(x，y)，B(x，y)，则AB＝.
1 1 2 2
4.向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，a与b 夹角为θ，则
1 1 2 2
cos θ＝＝.
【题型汇编】
题型一：平面向量数量积的概念
题型二：平面向量数量积的运算
题型三：平面向量数量积的坐标表示
【题型讲解】
题型一：平面向量数量积的概念
一、单选题
1．（2022·四川成都·三模（理））在 中，已知 ， ， ，则向量 在 方
向上的投影为（ ）．
A． B．2 C． D．
2．（2022·山西临汾·三模（理））已知 ABC的外接圆圆心为O，且 ， ，则
△
向量 在向量 的方向上的投影为（ ）
A． B．－1 C．1 D．
3．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知平面向量 是非零向量， ， ，则向量 在向量 方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川省宜宾市第四中学校二模（文）） 中， ， ， ，则 在
方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））非零向量 ， ， 满足 ， 与 的夹角为 ， ，
则 在 上的正射影的数量为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·河南·模拟预测（理））已知向量 ， ，且 在 上的投影为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
1．（2022·辽宁·二模）下列关于向量 ， ， 的运算，一定成立的有（ ）．
A． B．
C． D．
题型二：平面向量数量积的运算
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题（理））已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．22．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））已知平面向量 ， 满足 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·黑龙江·大庆中学二模（理））已知平面向量 ， 满足 ， ，且 与 的夹角为 ，
则 （ ）
A． B． C． D．3
4．（2022·广东·一模）若向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
A． B．2 C．2 D．4
5．（2022·广西南宁·一模（文））若两个向量 满足 ，则 与 的夹角是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·山东烟台·一模）若非零向量 ， 满足 ， ，则向量 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·北京·潞河中学三模）已知菱形 的边长为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2022·山东济南·三模）已知单位向量 、 、 ，满足 ，则向量 和 的夹角为( )
A． B． C． D．9．（2022·河北邯郸·二模）若向量 ， 满足 ， ，且 ，则向量 与 夹角的余弦
值为（ ）.
A． B． C． D．
10．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知非零向量 、 满足 ， ，则向量
与向量 夹角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022·北京·人大附中三模）在 中， ，点 是 的中点，则 （ ）
A． B．7 C． D．
二、多选题
1．（2022·江苏·海安高级中学二模）关于平面向量 ，下列说去不正确的是（ ）
A．若 ，则 B．
C．若 ，则 D．
2．（2022·福建龙岩·一模）在 中，已知 ，且 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·重庆实验外国语学校一模）设平面向量 ， ， 均为非零向量，则下列命题中正确的是
（ ）A．若 ，则 B．若 ，则 与 同向
C．若 ，则 D．若 ，则
三、填空题
1．（2022·全国·高考真题（理））设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则
_________．
题型三：平面向量数量积的坐标表示
一、单选题
1．（2022·青海西宁·一模（文））设向量 =（3，k)， =（－1，3），已知 ，则k=（ ）
A．2 B．1 C．－2 D．－1
2．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校一模（文））已知向量 ， ，若 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·湖南岳阳·一模）已知向量 ，向量 ，则 与 的夹角大小为
（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
4．（2022·安徽省含山中学三模（理））若向量 ，且 ，则 的值为
（ ）
A． B．2 C． D．
5．（2022·江西赣州·二模（理））已知点A（0，3），点B（3，0），若点C满足 ，则（ ）
A．0 B．36 C．-18 D．-36
6．（2022·山东枣庄·一模）在长方形 中， ， ，点 满足 ，点 满足
，则 （ ）
A．1 B．0.5 C．3 D．1.5
7．（2022·陕西汉中·二模（文））已知向量 ， ，则下列关系正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
8．（2022·四川·仁寿一中二模（理））已知向量 ， ，若 ，则实数
（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·四川攀枝花·二模（文））平面四边形 中， ，且 为正三
角形，则 （ ）
A． B． C． D．3
10．（2022·陕西·西北工业大学附属中学二模（理））已知向量 ， ，且 .若点
的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．11．（2022·江苏·金陵中学二模）设平面向量 ，若 则 （ ）
A． B． C． D．
12．（2022·宁夏中卫·三模（理））已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A．5 B．6 C． D．
13．（2022·江西·南昌市实验中学一模（理））在平行四边形 中， ， ， ，
且 ，则 .
A．5 B．6 C．7 D．10
二、多选题
1．（2022·山东青岛·一模）已知向量 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则 与 的夹角为锐角
2．（2022·广东韶关·一模）已知向量 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则向量 可以表示平面内任一向量
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则 与 的夹角是锐角
3．（2022·湖南·雅礼中学一模）已知向量 ， ，则下列命题正确的是
（ ）
A．若 ，则B．若 在 上的投影为 ，则向量 与 夹角为
C．与 共线的单位向量只有一个为
D．存在 ，使得
4．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知正方形 的对角线长为 ， 是它的内切圆一条弦，点 为正
方形 四条边上的一个动点，当弦 的长度最大时， 不可能为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·山东潍坊·一模）已知向量 ，将 绕原点O旋转﹣30°，30°，60°到 的位
置，则（ ）.
A． B．
C． D．点 坐标为
三、解答题
1．（2022·云南·二模（文））△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，D是AC的中点，已知平
面向量 、 满足 ， ， ．
(1)求A；
(2)若 ， ，求△ABC的面积．
2．（2022·广东汕头·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆 与抛物线
交于点M，N（异于原点O），MN恰为该圆的直径，过点E（0，2）作直线交抛物线于
A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．
(1)求证：点P的纵坐标为定值；(2)若F是抛物线C的焦点，证明： ．
