北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
6.2 平面向量的数量积及其应用
应用创新题组
1.(2022届湖北黄石9月调研,6 探索创新情境)P为双曲线x2-y2=1左支上任意一点,EF为圆C:(x-2)2+y2=4
的任意一条直径,则⃗PE·⃗PF的最小值为( )
A.3 B.4 C.5 D.9
答案 C 如图,圆C的圆心的坐标为(2,0),半径r=2,⃗PE·⃗PF=(⃗PC+⃗CE)·(⃗PC+⃗CF)=(⃗PC+⃗CE)·(⃗PC-
⃗CE)=|⃗PC|2-|⃗CE|2=|⃗PC|2-4,则当点P位于双曲线左支的顶点(-1,0)时,⃗PE·⃗PF最小,最小值为5.故选C.
2.(2022届西安中学第一次月考,11 数学探究)在△ABC中,
⃗AC2
-
⃗AB2
=2
⃗AM
·
⃗BC
,那么动点M的轨迹必
通过△ABC的( )
A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心
答案 C 取BC的中点O,则⃗AC2-⃗AB2=(⃗AC+⃗AB)·(⃗AC-⃗AB)=2⃗AO·⃗BC=2⃗AM·⃗BC,即(⃗AO-⃗AM
)·⃗BC=⃗MO·⃗BC=0,所以⃗MO⊥⃗BC,所以动点M在线段BC的中垂线上,故动点M的轨迹必通过△ABC的
外心,故选C.
3.(2022届黑龙江八校期中,7 探索创新情境)在△ABC中,若
⃗AB
⊥(
⃗AB
-2
⃗AC
),
⃗AC
⊥(
⃗AC
-2
⃗AB
),则
△ABC的形状为( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
答案 C ∵⃗AB⊥(⃗AB-2⃗AC),∴⃗AB·(⃗AB-2⃗AC)=0,即⃗AB2=2⃗AB·⃗AC,∵⃗AC⊥(⃗AC-2⃗AB),∴⃗AC·(
⃗AC-2⃗AB)=0,即⃗AC2=2⃗AB·⃗AC,∴⃗AB2=⃗AC2,∴AB=AC.由⃗AB2=2⃗AB·⃗AC化简得|⃗AB|2=2|⃗AB||⃗AC|
1 π
cos A,∴cos A= ,∵A∈(0,π),∴A= ,∴△ABC为等边三角形,故选C.
2 3
4.(2022届山西长治第二中学月考,7 解法创新)在Rt△ABC中,∠C=90°,CB=2,CA=4,P在边AC的中线BD
上,则⃗CP·⃗BP的最小值为( )
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1
A.- B.0 C.4 D.-1
2
答案 A 依题意,以C为坐标原点,分别以AC,BC所在的直线为x轴,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则B(0,2),D(2,0),所以直线BD的方程为y=-x+2,
因为点P在线段BD上,所以可设P(t,2-t)(0≤t≤2),所以⃗CP=(t,2-t),⃗BP=(t,-t),所以⃗CP·⃗BP=t2-t(2-t)=2t2-2t=2
( 1) 2 -1,当t=1时, · 取得最小值-1,故选A.
t- ⃗CP ⃗BP
2 2 2 2
5.(2021吉林调研三,11)已知A、B为平面上的两个定点,且|⃗AB|=2,该平面上的动线段PQ的端点P和Q,满
足|⃗AP|≤5,⃗AP·⃗AB=6,⃗AQ=2⃗PA,则动线段PQ所形成图形的面积为( )
A.36 B.60 C.72 D.108
答案 B 根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),则⃗AB=(2,0),设P(x,y),所以⃗AP
=(x,y),由|⃗AP|≤5得x2+y2≤25,又⃗AP·⃗AB=6,所以2x=6,即x=3,所以y2≤16,即-4≤y≤4,因此,动点P在线段x=3
且-4≤y≤4上运动,即|MC|=8,设Q(x,y),因为⃗AQ=2⃗PA,所以(x,y)=2(-x,-y),即x=-2x=-6,y=-2y,因此动点Q
0 0 0 0 0 0
1
在线段x=-6上,且-8≤y≤8上运动,所以|ND|=16,所以动线段PQ所形成图形为图中阴影部分,其面积为 ×8×3+
2
1
×16×6=12+48=60.故选B.
2
6.(2020全国卷24省4月联考,14)已知点O为坐标原点,向量⃗OA=(1,2),⃗OB=(x,y),且⃗OA·⃗OB=10,则|⃗OB|的
最小值为 .
答案 2√5
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解析 ∵ =(1,2), =(x,y),且 · =10,∴x+2y=10,而| |= 表示的几何意义是点(x,y)与原
⃗OA ⃗OB ⃗OA ⃗OB ⃗OB √x2+ y2
点(0,0)的距离,即原点O与直线x+2y=10上的点的距离,∴| → |的最小值为点O到直线x+2y-10=0的距离,即|
OB
| = |-10| =10=2 .
⃗OB min √5
√12+22 √5
π
7.(2022届湘豫名校联盟11月联考,15 解法创新)已知在△ABC中,AB=3,BC=4,∠ABC= ,平面内有动点E
3
满足|BE|=2|AE|,则数量积⃗BC·⃗BE的最大值是 .
答案 16
解析 如图,根据已知条件建立恰当的坐标系,其中OA=1,则各点坐标分别为A(1,0),B(4,0),C(2,2√3),设动点
E(x,y),
{x=2cosθ,
则由|BE|=2|AE|得√(x-4)2+ y2=2√(x-1)2+ y2,化简得x2+y2=4,令 (θ为参数),则⃗BC·
y=2sinθ
=(-2,2 )·(x-4,y)=2 y-2x+8=4 sin θ-4cos θ+8=8sin( π)+8,所以 · 的最大值为16.
⃗BE √3 √3 √3 θ- ⃗BC ⃗BE
6
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