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第六章 平面向量及其应用
（B 能力卷）
班级______ 姓名_______ 考号______
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个
选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．已知向量 ，向量 ，则 与 的夹角大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】D
【详解】
向量 ，向量 ，
，
，且 ，
的夹角为 .
故选：D.
2．已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：因为 ， ， ，所以 ，
故 ．
故选：C.
3．已知菱形 中，满足 ， ，若点G在线段BD上，则 的
最小值是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ， ，即 ，
∴ ，
连接 交 于 ，则 为 ， 的中点，
，
所以 ，①
又在 中， ，②
由①②可得， ，所以 ，即 为等边三角形，
以 为坐标原点， ， 所在的直线为 轴， 轴建立平面直角坐标系，
故 ，
设 ，故 ，
所以 ，
所以当 时， 有最小值为 .
故选：A．
4．在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边
长求三角形的面积．若三角形的三边分别为a，b，c，则其面积
，这里 ．已知在 中，内角A，B，C所对的
边分别为a，b，c， ， ，则 的面积最大值为（ ）．
A． B． C．10 D．12
【答案】D
【详解】依题意， ，则 ，
所以 ， ，
所以 的面积最大值是12.
故选：D
5．已知向量 ，且 ， ，则 （ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【详解】
向量 ，由 得： ，即 ，
由 得： ，即 ，于是得 ， ， ，
所以 .
故选：B
6．已知 的内角 的对边分别为 ，设 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
在 中，由 及正弦定理得：
，
即 ，由余弦定理得： ，而 ，解得
，
由 得 ，显然 ，则 ， ，
所以 .
故选：C
7．已知△ABC的三边为a，b，c，且 ，△ABC面积为S，且 ，则面
积S的最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
，所以
，即 ，显然A为锐角，
，解得
由 ，得 ，当 时，取等号
，即 .
故选：C
8．锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：因为在锐角 中， ，
所以 ，得 ，则
所以 ，
令 ，则 ，
所以函数 在 单调递减，在 单调递增，又 ， ，
所以 的最小值为 .
二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个
选项中有多项是符合题目要求的，多选或错选不得分）
9．对于任意向量 ， ， ，下列命题中不正确的是（ ）
A．若 ，则 与 中至少有一个为 B．向量 与向量 夹角的范围是
C．若 ，则 D．
【答案】AB
【详解】
A：当 与 中都不是 ， 时，也能得到 ，所以本命题不正确；
B：当两个平面向量反向平行时，它们的夹角为 ，所以本命题正确；
C：因为 ，所以有 ，所以本命题正确；
D： ，所以本命题正确，
故选：AB
10．设 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，
则 的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】AC
【详解】
∵
∴由正弦定理得 ，
∵
∴ ，即
∴ 或 ，即该三角形为等腰三角形或直角三角形.
故选：AC.
11．已知 ， ， ，点M满足 且
，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】
， 三点共线且 为 中点，
， ，
，
三点共线且 为 上靠近A的三等分点，
， ，
，
，
， ，A正确，B错误；
，
C正确；
，D不正确.
故选：AC.
12．东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾
股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正
方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形 拼成的一个大等边三角形 .对于图2.下列结论正确的是（ ）
A．这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形
B．若 ， ，则
C．若 ，则
D．若 是 的中点，则三角形 的面积是三角形 面积的7倍
【答案】ABD
【详解】
解：对于A选项，根据题意，图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形
拼成的一个大等边三角形 ，故 ， ，所以这三个全等的钝角
三角形不可能是等腰三角形，故A选项正确；
对于B选项，由题知，在 中， ， ， ，所以
，所以由正弦定理得 解得
，因为 ，所以 ，故B选项正确；
对于C选项，不妨设 ，所以在 中，由余弦定理得
，代入数据得 ，所以
，所以 ，故C选项错
误；
对于D选项，若 是 的中点，则
，所以
，故D选项正确.
三、填空题（每小题5分，共计20分）
13．已知平面向量 ， ，若 ，则 ______．【答案】 或
【详解】
， ，
，解得： 或 ，
故答案为： 或
14．已知 ， ， ，则 ________．
【答案】
【详解】
,由 得 ， .所以
故答案为： .
15．已知向量 和 的夹角为150°，且 ， ，则 在 上的投影为
___________.
【答案】 或
【详解】
由 ，得 ，
因为向量 和 的夹角为150°，且 ，
所以 ，得 ，
，
所以 或 ，
当 时， 在 上的投影为 ，
当 时， 在 上的投影为 ，
综上， 在 上的投影为 或 ，
故答案为： 或
16．已知平面向量 ， ， ，其中 ， 是单位向量且满足 ，
，若 ，则 的最小值为___________.
【答案】【详解】
又 ， 是单位向量且
上式
令 ， 代入上式整理得：
关于x的方程 有实数解
整理得： ，解得
四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，共70分）
17．在①( b－c)cos A=acosC ，②sin(B+C)= －1+2sin2 ， ③ acosC= b－c
，这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．
在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知______________．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 a=2 ，且△ ABC 的面积为 2，求 b+c ．
【答案】（1）选①∵
∴ sin cos = sinCcos + sin cosC= sin( + C) = sin
∴cos
∵ ∈ ,∴ =
选②∵sin( ) = − 1 + 2sin2 ,∴sin = −cos
∴sin( + A) = 1
∵A ∈ ∴A =
选③∵
∴∴
∵A ∈ ,∴A =
（2）∵ ,∴
又∵
∴ 即
18．已知坐标平面内 ， ， ， ， ．
（1）当 ， ， 三点共线时，求 的值；
（2）当 取最小值时，求 的坐标，并求 的值．
【答案】（1）∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
当 ， ， 三点共线时，有 ，
，
解得 ．
（2）∵ ， ，
∴
，
∴当 时， 取得最小值 ，此时 ，
∴ ， ， ， ，
∴ ．
19．如图，测量河对岸的塔高 时，可以选取与塔底 在同一水平面内的两个测量基点
与 .现测得 ， ， .在点 测得塔顶 的仰
角为50.5°.（1）求 与 两点间的距离（结果精确到 ）；
（2）求塔高 （结果精确到 ）.
参考数据：取 ， ， .
【答案】（1）在 中， ，
由正弦定理得 ，
则
（2）由正弦定理得 ，
则 .
故塔高
20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b， c，从以下三个条件中任选一个：
① ；② ；③ ，解答如
下的问题.
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC 为锐角三角形，且 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）选择条件①： 由 ，得 ，
由正弦定理可得， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，又 ，∴ ．
选择条件②：由正弦定理可得， ，又 ，
∴ ，
化简整理得 ，由 ，故 ，
又 ，∴ ．
选择条件③：由已知得， ，
由余弦定理，得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
由正弦定理，有 ，
∵ ，∴ .，
又 ，∴ ．
（2）∵ ，
∴ ．
∵△ABC为锐角三角形，∴ ,
则 ，
∴ ,
∴ ．
21．如图，扇形OPQ的半径为1，圆心角为 ，平行四边形ABCD的顶点C在扇形弧上，
D在半径OQ上，A，B在半径OP上，记平行四边形ABCD的面积为S， ．（1）用 表示平行四边形ABCD的面积S；
（2）当 取何值时，平行四边形ABCD的面积S最大？并求出这个最大面积．
【答案】（1）
过点 作 交 于点 ，
在 中 ， ，所以
在 中， ，所以
由正弦定理可得 ，所以
所以
（2）因为 ，所以
所以当 即 时， 取得最大值
22．在 中，角 的对边分别是 ， 的面积为 .
（1）若 ， ， ，求边 ；
（2）若 是锐角三角形且角 ，求 的取值范围.
【答案】（1）∵ ，∴ ，又 ，则 或
当 时， ；
当 时，
∴ 或（2）由正弦定理得， ，
∵ 是锐角三角形，
∴ ， ， ；∴ ， ， ；
∴
∴ ，∴
∴ 的取值范围为 .
