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第六章 平面向量及其应用
6.2.4向量的数量积
一、基础巩固
1．设 、 、 是非零向量，则下列说法中正确是（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【详解】
由题意得，对于A中， 表示与 共线的向量，
表示与 共线的向量，所以不正确；
对于B中， 时，此时 ，
而 ，所以不正确；
对于C中，若 ，
而此时 与 不一定是相等向量，所以不正确；
对于D中，因为 、 、 是非零向量，
若 ，则 是正确.2． 中，A（1，2），B（3，2），C（-1，-1），则 在 方向上的投影是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由题意可得 ， ，
所以 在 方向上的投影是 .
3．在正方形 中， 为 边上一点，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ，
故 ．
4．已知向量 ， 满足 ， ，且向量 ， 的夹角为 ，若 与 垂直，则实数 的值
为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
根据 与 垂直得到（ ）· =0，
所以 .
5．已知向量 的夹角是 ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
向量 的夹角是 ， ，∴ .
∴ ，
.
∴ .
6．设 是直线 的一个方向向量， 是直线 的一个法向量，设向
量 与向量 的夹角为 ，则 为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【详解】
由题意， 是直线 的一个方向向量，则 ，
是直线 的一个法向量， ，
则 ，
故 ，
7．已知向量 ， 满足： ， ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【详解】
因为 ，所以 ，则 ，又 ，则
，所以 ，所以 .
8．已知 ， 为单位向量，且 ，则 在 方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由已知得 ，即 ，解得 ，所以 在 方向上的投影为 ，
9．（多选）下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ）
A． ， ,若 ,则
B．单位向量 ， ，则
C．若 且 ，则
D．若点 为 的重心，则
【答案】AC
【详解】
对于选项A：因为 ，则 ，解得： ，故选项A不正确；
对于选项B： ，所以
，故选项B正确；
对于选项C：根据向量的几何意义可知若 且 ，则 不一定成立，故选项C不正确；
对于选项D：若点 为 的重心，取 的中点 ，则
，故选项D正确，
10．下列说法中正确的是（ ）
A． B．若 且 ，则
C．若 非零向量且 ，则 D．若 ，则有且只有一个实数 ，使得
【答案】AC
【详解】由 ， 互为相反向量，则 ，故A正确；
由 且 ，可得 或 ，故B错；
由 ，则两边平方化简可得 ，所以 ，故C正确；
根据向量共线基本定理可知D错，因为要排除 为零向量.
11．（多选） 是边长为 的等边三角形，已知向量 ， 满足 ， ，则下列
结论中正确的是（ ）
A． 为单位向量 B． C． D．
【答案】ACD
【详解】
是边长为 的等边三角形，已知向量 ， 满足 ， ，则 ，
，所以 ，即 是单位向量，A正确；
由 ， 得，， ，故 ， 夹角为 ，故B错误；
因为 ，所以 ，C正确；
，故D正确．
12．（多选）已知平面向量 ， ， 满足 .若 ，则 的值可能为
（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】BCD
【详解】， ，则
， ， ，
所以 的值可能为
二、拓展提升
13．己知 ， 的夹角为 ，
（1）求 的值;
（2）求 与 夹角.
【答案】（1） ；（2） .
【详解】
（1） 由题意得 ， ，
∴ ，
∴
（2） ，
∴
又 ，
∴
又 ，∴ ，
又
∴ 与 夹角为
14．已知向量 与向量 的夹角为 ，且 ， ， .
（1）求 的值
（2）记向量 与向量 的夹角为 ，求 .
【答案】（1） ；（2） .
【详解】
解：（1）由 ，所以 .
（2）因为
所以
所以 .
15已知向量 与向量 的夹角为 ，且 ， .
（1）求 ；（2）若 ，求 .
【答案】（1） ；（2） 或 .
【详解】
解：（1）∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ .
（2）∵ ，
∴ ，
整理得： ，
解得： 或 .
