北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
版
专题五 平面向量与复数
5.1 平面向量
考点1 平面向量的概念及运算
1.(2023北京,3,4分,易)已知向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),则|a|2-|b|2= ( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
答案 B 由题知{ a+b=(2,3), 则{a=(0,2),
a−b=(−2,1), b=(2,1),
所以|a|2-|b|2=4-5=-1.
2.(2022全国乙文,3,5分)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|= ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案
D 由题意知a-b=(4,-3),
所以|a-b|= =5,故选D.
√42+(−3) 2
3.(2022新高考Ⅰ,3,5分)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记⃗CA=m,⃗CD=n,则⃗CB= ( )
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
答案
B 由题意可知,
⃗DA=⃗CA−⃗CD
=m-n,又BD=2DA,所以
⃗BD=2⃗DA
=2(m-n),所以
⃗CB=⃗CD+⃗DB=n-2(m-n)=3n-2m,故选B.
4.(2015课标Ⅰ理,7,5分)设D为△ABC所在平面内一点,⃗BC=3⃗CD,则( )
1 4 1 4
A.⃗AD=- ⃗AB+ ⃗AC B.⃗AD= ⃗AB- ⃗AC
3 3 3 3
4 1 4 1
C.⃗AD= ⃗AB+ ⃗AC D.⃗AD= ⃗AB- ⃗AC
3 3 3 3
4 4 1 4
答案 A ⃗AD=⃗AB+⃗BD=⃗AB+⃗BC+⃗CD=⃗AB+ ⃗BC=⃗AB+ (⃗AC-⃗AB)=- ⃗AB+ ⃗AC.故选A.
3 3 3 3
5.(2014课标Ⅰ文,6,5分)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则⃗EB+⃗FC=( )
1 1
A.⃗AD B. ⃗AD C.⃗BC D. ⃗BC
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答案 A 设 =a, =b,则 =-1b+a, =-1a+b,从而 + =( 1 )+( 1 )=1
⃗AB ⃗AC ⃗EB ⃗FC ⃗EB ⃗FC − b+a − a+b
2 2 2 2 2
(a+b)=⃗AD,故选A.
6.(2015课标Ⅰ文,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量⃗AC=(-4,-3),则向量⃗BC=( )
A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4)
答案 A 根据题意得⃗AB=(3,1),∴⃗BC=⃗AC-⃗AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A.
7.(2014北京文,3,5分)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=( )
A.(5,7) B.(5,9)
C.(3,7) D.(3,9)
答案 A 由a=(2,4)知2a=(4,8),所以2a-b=(4,8)-(-1,1)=(5,7).故选A.
8.(2014广东文,3,5分)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=( )
A.(-2,1) B.(2,-1) C.(2,0) D.(4,3)
答案 B b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).故答案为B.
9.(2014福建理,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是( )
A.e=(0,0),e=(1,2) B.e=(-1,2),e=(5,-2)
1 2 1 2
C.e=(3,5),e=(6,10) D.e=(2,-3),e=(-2,3)
1 2 1 2
答案 B 设a=ke+ke,
1 1 2 2
A选项,∵(3,2)=(k 2 ,2k 2 ),∴
{k
2
=3,
无解.
2k =2,
2
B选项,∵(3,2)=(-k+5k,2k-2k),
1 2 1 2
{−k +5k =3, {k =2,
∴ 1 2 解之得 1
2k −2k =2, k =1.
1 2 2
故B中的e,e 可把a表示出来.
1 2
同理,C、D选项同A选项,无解.
10.(2015课标Ⅱ理,13,5分)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ= .
1
答案
2
λ 1 1
解析 由于a,b不平行,所以可以以a,b作为一组基底,于是λa+b与a+2b平行等价于 = ,即λ= .
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11.(2015北京理,13,5分)在△ABC中,点M,N满足⃗AM=2⃗MC,⃗BN=⃗NC.若⃗MN=x⃗AB+y⃗AC,则x=
,y= .
1 1
答案 ;-
2 6
解析 由⃗AM=2⃗MC知M为AC上靠近C的三等分点,由⃗BN=⃗NC知N为BC的中点,作出草图如下:
1 1 2 1 1
则有⃗AN= (⃗AB+⃗AC),所以⃗MN=⃗AN-⃗AM= (⃗AB+⃗AC)- ·⃗AC= ⃗AB- ⃗AC,
2 2 3 2 6
1 1
又因为⃗MN=x⃗AB+y⃗AC,所以x= ,y=- .
2 6
1 2
12.(2013江苏,10,5分)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD= AB,BE= BC.若⃗DE=λ⃗AB+λ⃗AC
1 2
2 3
(λ,λ 为实数),则λ+λ 的值为 .
1 2 1 2
1
答案
2
1 2 1 2 1 2
解析 ⃗DE=⃗DB+⃗BE= ⃗AB+ ⃗BC= ⃗AB+ (⃗AC-⃗AB)=- ⃗AB+ ⃗AC,
2 3 2 3 6 3
1 2 1
∵⃗DE=λ⃗AB+λ⃗AC,∴λ=- ,λ= ,故λ+λ= .
1 2 1 2 1 2
6 3 2
13.(2021全国乙文,13,5分)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ= .
8
答案
5
解题指导:利用“若a=(x,y),b=(x,y),则a∥b xy=xy”解题.
1 1 2 2 1 2 2 1
8 ⇔
解析
由已知a∥b得2×4=5λ,∴λ= .
5
解题关键:记准两平面向量共线的充要条件是解这类问题的关键.
14.(2017山东文,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ= .
答案 -3
解析 本题考查向量平行的条件.
∵a=(2,6),b=(-1,λ),a∥b,
∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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15.(2016课标Ⅱ文,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m= .
答案 -6
m 4
解析 因为a∥b,所以 = ,解得m=-6.
3 −2
易错警示 容易把两个向量平行与垂直的条件混淆.
评析 本题考查了两个向量平行的充要条件.
π
16.(2014陕西,13,5分)设0<θ< ,向量a=(sin 2θ,cos θ),b=(cos θ,1),若a∥b,则tan θ= .
2
1
答案
2
π 1
解析 ∵a∥b,∴sin 2θ×1-cos2θ=0,∴2sin θcos θ-cos2θ=0,∵0<θ< ,∴cos θ>0,∴2sin θ=cos θ,∴tan θ= .
2 2
6.2 平面向量的数量积及其应用
考点2 平面向量的夹角与模
1.（2023全国甲文，3）已知向量 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
则 ， ，
所以 ，故选：B.
2.（2023全国乙文，6）正方形 的边长是2， 是 的中点，则 （ ）
A. B. 3 C. D. 5
【答案】B
【解析】方法一：以 为基底向量，可知 ，北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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则 ，
所以 ；
方法二：如图，以 为坐标原点建立平面直角坐标系，
则 ，可得 ，
所以 ；
方法三：由题意可得： ，
在 中，由余弦定理可得 ，
所以 .
故选：B.
3.(2022全国乙理,3,5分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=√3,|a-2b|=3,则a·b=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案 √3
C 由|a-2b|=3,可得|a-2b|2=a2-4a·b+4b2=9,又|a|=1,|b|= ,所以a·b=1,故选C.
4.(2015山东理,4,5分)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则⃗BD·⃗CD=( )
3 3 3 3
A.- a2 B.- a2 C. a2 D. a2
2 4 4 2北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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1 3
答案 D ⃗BD·⃗CD=(⃗BC+⃗CD)·⃗CD=⃗BC·⃗CD+⃗CD2= a2+a2= a2.
2 2
2√2
5.(2015重庆理,6,5分)若非零向量a,b满足|a|= |b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为( )
3
π π 3π
A. B. C. D.π
4 2 4
答案 A ∵(a-b)⊥(3a+2b),∴(a-b)·(3a+2b)=0⇒3|a|2-a·b-2|b|2=0⇒3|a|2-|a|·|b|·
cos <a,b>-2|b|2=0.
2√2 8 2√2 √2
又∵|a|= |b|,∴ |b|2- |b|2·cos <a,b>-2|b|2=0.∴cos <a,b>= .∵<a,b>∈[0,π],
3 3 3 2
π
∴<a,b>= .选A.
4
6.(2015重庆文,7,5分)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为( )
π π 2π 5π
A. B. C. D.
3 2 3 6
答案 C 因为a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0,
得到a·b=-2|a|2,设a与b的夹角为θ,则cos θ= a·b =−2|a|2 =-1,又0≤θ≤π,所以θ=2π,故选C.
|a||b| 4|a|2 2 3
7.(2015课标Ⅱ文,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案 C 因为2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)· a=(1,0)·(1,-1)=1×1+0×(-1)=1.故选C.
8.(2015四川理,7,5分)设四边形ABCD为平行四边形,|⃗AB|=6,|⃗AD|=4.若点M,N满足⃗BM=3⃗MC,⃗DN=2
⃗NC,则⃗AM·⃗NM=( )
A.20 B.15 C.9 D.6
3 1 1 1 1
答案 C 依题意有⃗AM=⃗AB+⃗BM=⃗AB+ ⃗BC,⃗NM=⃗NC+⃗CM= ⃗DC- ⃗BC= ⃗AB- ⃗BC,所
4 3 4 3 4
以
⃗AM
·
⃗NM
=(⃗AB+ 3
⃗BC
)·(1
⃗AB−
1
⃗BC
)=1 ⃗AB2- 3 ⃗BC2=9.故选C.
4 3 4 3 16
9.(2015广东文,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,⃗AB=(1,-2),⃗AD=(2,1),则
⃗AD·⃗AC=( )
A.5 B.4 C.3 D.2北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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答案 A ∵四边形ABCD是平行四边形,∴⃗AC=⃗AB+⃗AD=(3,-1),∴⃗AD·⃗AC=2×3+1×(-1)=5.选A.
10.(2014课标Ⅱ,理3,文4,5分)设向量a,b满足|a+b|=√10,|a-b|=√6,则a·b=( )
A.1 B.2 C.3 D.5
答案 A ∵|a+b|=√10,∴a2+2a·b+b2=10.①
又|a-b|=√6,∴a2-2a·b+b2=6.②
①-②,得4a·b=4,即a·b=1,故选A.
11.(2014大纲全国文,6,5分)已知a、b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案 B (2a-b)·b=2a·b-|b|2=2×1×1×cos 60°-12=0,故选B.
12.(2014大纲全国理,4,5分)若向量a、b满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=( )
√2
A.2 B.√2 C.1 D.
2
答案 B 由题意得
{ (a+b)·a=a2+a·b=0,
⇒-2a2+b2=0,即-2|a|2+|b|2=0,又|a|=1,∴|b|= .故选B.
√2
(2a+b)·b=2a·b+b2=0
13.(2016课标Ⅲ,3,5分)已知向量 =(1 √3), =(√3 1),则∠ABC=( )
⃗BA , ⃗BC ,
2 2 2 2
A.30° B.45° C.60° D.120°
答案 A cos∠ABC= ⃗BA·⃗BC =√3,所以∠ABC=30°,故选A.
|⃗BA|·|⃗BC| 2
思路分析 由向量的夹角公式可求得cos∠ABC的值,进而得∠ABC的大小.
14.(2022新高考Ⅱ,4,5分)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则t= ( )
A.-6 B.-5 C.5 D.6
答案 C 由题意可得c=(3+t,4),
由<a,c>=<b,c>得cos<a,c>=cos<b,c>,
3(3+t)+4×4 3+t
即 = ,解得t=5,故选C.
5√(3+t) 2+42 √(3+t) 2+42
15.(2022北京,10,4分)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则
⃗PA·⃗PB的取值范围是 ( )
A.[-5,3] B.[-3,5]
C.[-6,4] D.[-4,6]
