北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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命题点 2 函数及其性质
预测说明
函数部分是高中数学的核心知识,其应用性与创新性是当前高考考查的热点,高考命
题主要围绕函数的概念与性质、基本初等函数、函数与方程、函数模型的应用等核心
知识展开,应注重数形结合、转化与化归等数学思想以及构造函数、解方程的训练.
命题方向:多以几类基本初等函数的图象为基础,结合函数性质考查函数零点和不等
式等问题,也常与导数相结合进行考查,综合性较强.新高考命题加重了对函数性质的考查,
对学生的数学抽象和逻辑推理素养提出了更高的要求,同时新题型考题模式下以函数新
定义为载体设置的题目体现了层次更为丰富、角度更为多元的命题特征,更能考查学生
辩证思维和深度思考的能力.
预测探究
识透高频考点
1.(2024广东湛江一模,1)已知函数f(x)=
( 2x− a )
cos x是偶函数,则实数a= ( B )
2x
A.1 B.-1 C.2 D.-2
3
{ m e2x−3+4x,x≥ ,
1 2
2.(2024皖豫名校联盟5月联考,6)已知函数f(x)= 的图象关于直
3
2e3−2x+m x+m ,x<
2 3 2
3
线x= 对称,则m +m +m = ( B )
2 1 2 3
A.8 B.10 C.12 D.14
3.(2024江苏南京师大附中5月模拟,6)已知定义在区间(-m,m)(m>0)上,值域为R的函数
f(x)满足:①当0<x<m时, f(x)>0;②对于定义域内任意的实数a、b均满足: f(a+b)=
f(a)+f(b)
.则 ( D )
1−f(a)f(b)
A.f(0)=1
B.∀x ,x ,-m<x <x <m, f(x )>f(x )
1 2 1 2 1 2
C.函数f(x)在区间(0,m)上单调递减
D.函数f(x)在区间(-m,m)上单调递增
4.(2024湖南长沙雅礼中学二模,4)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数,对任意x∈R都有
f(x+1)=f(1-x),若f(-3)=-2,则f(2 023)等于( A )
A.2 B.-2 C.0 D.-4
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5.(2024湖北黄冈中学二模,6)已知函数f(x)的定义域为R, f(x)=g(x-1)+2,若函数g(x)为奇函
23
数,g(x+1)为偶函数,且f(2)=1,则∑❑g(k)=( B )
k=1
A.-1 B.0 C.1 D.2
6.(2024江苏南京金陵中学、海安中学、南京外国语学校三模,6)定义:一对轧辊的减薄率
输入该对的面带厚度−输出该对的面带厚度
= .如图所示,为一台擀面机的示意图,擀
输入该对的面带厚度
面机由若干对轧辊组成,面带从一端输入,经过各对轧辊逐步减薄后输出.已知擀面机每对
轧辊的减薄率都为0.2(轧面的过程中,面带宽度不变,且不考虑损耗).有一台擀面机共有
640000
10对轧辊,所有轧辊的横截面面积均为 mm2,若第k对轧辊有缺陷,每滚动一周在
π
面带上压出一个疵点,在擀面机输出的面带上,疵点的间距为L,则 ( D )
k
A.L=1 600×0.210-k mm B.L=1 600×0.2k-10 mm
k k
C.L=1 600×0.810-k mm D.L=1 600×0.8k-10 mm
k k
7.(2024广东茂名二模,7)若f(x)为R上的偶函数,且f(x)=f(4-x),当x∈[0,2]时, f(x)=2x-1,则函
数g(x)=3|sin(πx)|-f(x)在区间[-1,5]上的所有零点的和是( A )
A.20 B.18
C.16 D.14
8.(2024江苏徐州适应性测试,8)若定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=f(4), f(2x+1)是奇
(1) 1
函数, f = ,则 ( D )
2 2
A. ∑❑ 17 f ( k− 1) =- 1 B. ∑❑ 17 f ( k− 1) =0
2 2 2
k=1 k=1
C. ∑❑ 17 kf ( k− 1) =- 17 D. ∑❑ 17 kf ( k− 1) = 17
2 2 2 2
k=1 k=1
9.(多选)(2024湖南岳阳教学质量监测(二),10)已知函数f(x)的定义域为R,对任意x,y∈R都
(x+ y) (x−y)
有2f f =f(x)+f(y),且f(1)=-1,则下列说法正确的是 (BCD)
2 2
A. f(-1)=1
( 1)
B. f x+ 为奇函数
2
C. f(x)-f(2-x)=0
D. f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=-1
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10.(多选)(2024福建福州4月质检,11)已知函数f(x)=ax(ex+e-x)-ex+e-x恰有三个零点x ,x ,x ,
1 2 3
且x <x <x ,则 (ACD)
1 2 3
A.x +x +x =0
1 2 3
B.实数a的取值范围为(0,1]
C.ax +1>0
1
D.ax +a>1
3
{
2x,x<0,
( (π))
11.(2024江苏南通适应性考试,12)已知函数f(x)= ( π) 则f f =
sin 2x+ ,x≥0, 2
6
√2
.
2
12.(2024湖南长沙一中二模,14)设f(x)=|log x+ax+b|,记函数y=f(x)在区间[t,t+1](t>0)上的最
2
a 1
大值为M(a,b),若对任意a>0,b∈R,都有M(a,b)≥ +1,则实数t的最大值为 .
t t 2 3
参透创新情境
{−1,x<0,
1.(2024湖南长沙一中三模,14)已知函数sgn(x)= 0,x=0, 关于函数f(x)=sgn(x-π)sin x有
1,x>0,
如下四个命题:
[π ] ( 1)
①f(x)在 ,π 上单调递减;②f(lg 2)=-f lg ;
2 2
③f(x)的值域为[-1,1];④f(x)的图象关于直线x=π对称.
其中所有真命题的序号是 ②③④ .
2.(2024湖北武汉部分重点中学第二次联考,14)欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不
超过正整数n,且与n互质的正整数的个数(公约数只有1的两个正整数称为互质整数),例
n2 9
如:φ(3)=2,φ(4)=2,则φ(8)= 4 ;若b = ,则b 的最大值为 .
n φ(2n ) n 4
3.(2024广东五粤名校联盟第一次联考,19)设X,Y为任意集合,映射f:X→Y.定义:对任意
x ,x ∈X,若x ≠x ,则f(x )≠f(x ),此时的f为单射.
1 2 1 2 1 2
(1)试在R→R上给出一个非单射的映射;
(2)证明: f是单射的充分必要条件是:给定任意其他集合Z与映射g,h:Z→X,若对任意z∈Z,
有f(g(z))=f(h(z)),则g=h;
(3)证明: f是单射的充分必要条件是:存在映射φ:Y→X,使对任意x∈X,有φ(f(x))=x.
新定义理解 以新定义为载体,考查充分必要条件的证明
解析 (1)由题意不妨设f(x)=x2,当x ,x (x ,x 不为0)互为相反数时, f(x )=f(x )满足题意.
1 2 1 2 1 2
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(2)证明:一方面若f是单射,且f(g(z))=f(h(z)),则g(z)=h(z),即g=h(否则若g(z)≠h(z),有
f(g(z))≠f(h(z)),矛盾),
另一方面,若对任意z∈Z,由f(g(z))=f(h(z))可以得到g=h,
我们用反证法证明f是单射,假设f不是单射,即存在g(z)≠h(z),有f(g(z))=f(h(z)),
又由f(g(z))=f(h(z))可以得到g=h,即g(z)=h(z),这就产生了矛盾,
所以f是单射,综上所述,命题得证.
(3)证明:一方面若f是单射,则由x ≠x 可得f(x )≠f(x ),
1 2 1 2
同理存在单射φ,使得f(x ), f(x )∈Y, f(x )≠f(x ),有φ(f(x ))=x ≠x =φ(f(x )),
1 2 1 2 1 1 2 2
另一方面,若存在映射φ:Y→X,使对任意x∈X,
有φ(f(x))=x,
我们用反证法来证明f是单射,
若f不是单射,即存在x ≠x ,有f(x )=f(x ),
1 2 1 2
又若f(x )≠f(x ),则由题意φ(f(x ))=x =x =φ(f(x )),这与x ≠x 产生矛盾,
1 2 1 1 2 2 1 2
所以此时f是单射,综上所述,命题得证.
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