文档文本内容
专题五 平面向量与复数 １ ０３
5.2 复数
学生用书P237
B C D ER, J;
B CJ+ , BF, C;F
,0 B CJ D EJ⇔B DC E
+
+
F0;+J [ B CJ+ , @[B CJ,
[ B CJ B C
+ D [ B CJ+DBCJ, @[ [ BCJ
P55 [ B CJ L+%; B C
+
L F0;
B CR, J;
@[ B CJ [ D EJ B C D ER
[d[ B CJ d D EJ BdD CdE J
+D0" [e[ B CJ D EJ BDCE CD BE J
[ B CJ BD CE CDBE
J D EJ
[ D EJ D E D E
+D0
P55
[ [ [ [[[ [[
D0+ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [
*3@ [e[ [ [ [ e[ [ e[ [ [ [ [ [
JO JJO JO JJO JO JO JO JO ON
学生用书P237
题型 复数的四则运算及几何意义 为椭圆 当常数等于 ＡＢ 时 点Ｚ的轨迹为线段 当常数小于
； ｜ ｜ ， ；
ＡＢ 时 点Ｚ的轨迹不存在
1.在进行复数的代数运算时 记住以下结论 可提高计算速度． ｜ ｜ ， ；
， ，
．若 ｚ ｚ ｚ ｚ 常数 则当常数大于 ＡＢ 时 不存在 当常
æ ö３ ｅ ｜ － １｜－｜ － ２｜＝ ， ｜ ｜ ， ；
（１）（１±ｉ） ２ ＝±２ｉ， １ １ ＋ － ｉ ｉ ＝ｉ， １ １ － ＋ ｉ ｉ ＝－ｉ，è ç － ２ １ ± ２ ３ ｉø ÷ ＝１ ． 数等于 ｜ ＡＢ ｜ 时 ， 为一条射线 ； 当常数小于 ｜ ＡＢ ｜ 时 ， 为双曲线的
一支．
ｂ ａ ａ ｂ ａ ｂ Ｒ ．
（２）－ ＋ ｉ＝ｉ（ ＋ ｉ）（ ， ∈ ）
2. 从几何意义理解复数的模 例 （多选）（ 广东江门一模， ）下列说法正确的是 ＡＣＤ
（１） ２０２４ ９ （ ）
若复数ｚ ａ ｂ ａ ｂ Ｒ 在复平面内对应的点为Ｚ ａ ｂ 则 ｚ ｚ ｚ ２ ｚ Ｃ
＝ ＋ ｉ（ ， ∈ ）， （ ， ）， Ａ． · ＝｜ ｜ ， ∈
｜ ｚ ｜＝ ａ２ ＋ ｂ２ ， 表示点Ｚ （ ａ ， ｂ ） 到原点的距离． Ｂ．ｉ ２０２４ ＝－１
若 ｚ ｚ Ｃ 则 ｚ 的最小值为
设复数ｚ ａ ｂ ｚ ｃ ｄ ａ ｂ ｃ ｄ Ｒ 在复平面内对应 Ｃ． ｜ ｜＝１， ∈ ， ｜ －２｜ １
（２） １＝ ＋ ｉ， ２＝ ＋ ｉ（ ， ， ， ∈ ）
的点分别是Ａ ａ ｂ Ｂ ｃ ｄ Ｄ． 若 －４＋３ｉ 是关于ｘ的方程ｘ２ ＋ ｐｘ ＋ ｑ ＝０（ ｐ ， ｑ ∈ Ｒ ） 的根 ， 则ｐ ＝８
（ ， ）， （ ， ），
解析 由复数运算的常用结论知ｚ·ｚ ｚ ２， 中说法正确．
ｚ ｚ ＡＢ ａ ｃ ２ ｂ ｄ ２ 则 ｚ ｚ 的几何意义 ＝｜ ｜ Ａ
①｜ １－ ２｜＝｜ ｜ ＝ （ － ） ＋（ － ） ， ｜ １－ ２｜ ， ２０２４ （ ４）５０６ ， 中说法错误．
是复平面内复数ｚ ｚ 对应的点Ａ Ｂ的距离． ∵２０２４÷４＝５０６ ∴ ｉ ＝ ｉ ＝１ Ｂ
１， ２ ，
设复数ｚ对应的点是Ｚ 设ｚ ｘ ｙ（ｘ，ｙ Ｒ），则 ｘ２ ｙ２ ，即ｘ２ ｙ２ ， 复数ｚ对应
② ， ＝ ＋ ｉ ∈ ＋ ＝１ ＋ ＝１ ∴
若 ｚ ｚ ｒ ｒ 则点Ｚ的轨迹为圆 的点（ｘ，ｙ）在圆ｘ２ ｙ２ 上， ｚ ｘ ｙ 表示圆上点与点
ａ． ｜ － １｜＝ ， ＞０， ； ＋ ＝１ ｜ －２｜＝｜ －２＋ ｉ｜
．若ｒ ｚ ｚ ｒ ｒ ｒ 则点Ｚ的轨迹为圆环 但不包括 （ ， ）的距离，则 ｚ ， 中说法正确．
ｂ １＜｜ － １｜＜ ２（０＜ １＜ ２）， ， ２ ０ ｜ －２｜ｍｉｎ＝２－１＝１ Ｃ
边界 把ｘ 代入ｘ２ ｐｘ ｑ 得（ ）２ ｐ（ ） ｑ ，
； ＝－４＋３ｉ ＋ ＋ ＝０ －４＋３ｉ ＋ －４＋３ｉ ＋ ＝０
．若 ｚ ｚ ｚ ｚ 则点Ｚ的轨迹为线段ＡＢ的垂直平分线 { ｐ ｑ ，
ｃ ｜ － １｜＝｜ － ２｜， ； 则 ｐ ｑ （ ｐ ） ，则 ７－４ ＋ ＝０
．若 ｚ ｚ ｚ ｚ 常数 则当常数大于 ＡＢ 时 点Ｚ的轨迹 ７－４ ＋ ＋ ３ －２４ ｉ＝０ ｐ ，
ｄ ｜ － １｜＋｜ － ２｜＝ ， ｜ ｜ ， ３ －２４＝０
１ ０４ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
{ｐ ， ｚ ，例如ｚ ，ｚ ， 中命题错误；
解得 ＝８ 中说法正确． ＝± ３ ２＝１＋ｉ ３＝１－ｉ Ａ
ｑ ，Ｄ 由ｚ ｚ ｚ ｚ 可得ｚ （ｚ ｚ ） ，因为ｚ ，所以ｚ ｚ ，即
＝２５ Ｂ． １ ２＝ １ ３ １ ２－ ３ ＝０ １≠０ ２－ ３＝０
故选 ｚ ｚ ， 中命题正确；
ＡＣＤ． ２＝ ３ Ｂ
因为 ｚ ｚ ｚ ｚ ， ｚ ｚ ｚ ｚ ，ｚ ｚ ，ｚ ，所以 ｚ
创新考法 Ｃ． ｜ １ ２｜＝｜ １｜｜ ２｜ ｜ １ ３｜＝｜ １｜｜ ３｜ ２＝ ３ １≠０ ｜ ２｜
ｚ ｚ ，所以 ｚ ｚ ｚ ｚ ，故 中命题正确；
＝｜ ２｜＝｜ ３｜ ｜ １ ２｜＝｜ １ ３｜ Ｃ
例 （多选）（ 浙江温州期末， ）设ｚ ｚ ｚ 为复数 ｚ ． 取ｚ ，ｚ ，显然满足ｚ ｚ ｚ ２，但ｚ ｚ ， 中命题
２０２４ ９ １， ２， ３ ， １≠０ Ｄ． １＝１＋ｉ ２＝１－ｉ １ ２＝｜ １｜ １≠ ２ Ｄ
下列命题中正确的是 ＢＣ 错误．故选
（ ） ＢＣ．
若 ｚ ｚ 则ｚ ｚ 风向解读
Ａ． ｜ ２｜＝｜ ３｜， ２＝± ３
若ｚ ｚ ｚ ｚ 则ｚ ｚ 本题考查复数的运算性质，不再是单纯考查复数的基础运算
Ｂ． １ ２＝ １ ３， ２＝ ３
若ｚ ｚ 则 ｚ ｚ ｚ ｚ 或基本概念，体现新高考“反套路”的新趋势，复习过程中不
Ｃ． ２＝ ３， ｜ １ ２｜＝｜ １ ３｜
若ｚ ｚ ｚ ２ 则ｚ ｚ 能只关注一类题型，需要各类题型均有涉猎．
Ｄ． １ ２＝｜ １｜ ， １＝ ２
解析 由复数模的概念可知，由 ｚ ｚ 不一定能得到ｚ
Ａ． ｜ ２｜＝｜ ３｜ ２
ａ ｂ ａ ｂ
学生用书P62 Ａ． ＝１， ＝－２ Ｂ． ＝－１， ＝２
ａ ｂ ａ ｂ
ｚ Ｃ． ＝１， ＝２ Ｄ． ＝－１， ＝－２
１．（ 新课标 ， ， 分，易）若 则ｚ Ｃ ７．（ 课标 理， ， 分，中）设复数ｚ ｚ 满足 ｚ ｚ ｚ
２０２４ Ⅰ ２ ５ ｚ
－１
＝１＋ｉ， ＝ （ ） ２０２０ Ⅱ １５ ５ １，２ ｜ １｜＝｜ ２｜＝２，１
ｚ 则 ｚ ｚ ．
Ａ．－１－ｉ Ｂ．－１＋ｉ Ｃ．１－ｉ Ｄ．１＋ｉ ＋２＝ ３＋ｉ， ｜ １－２｜＝ ２ ３
２．（ 新课标 ， ， 分，易）已知ｚ 则 ｚ
２０２４ Ⅱ １ ５ ＝－１－ｉ， ｜ ｜＝ 考点 2 复数的运算 学生用书P62
Ｃ
（ ）
１．（ 新高考 ， ， 分，易） Ｂ
２０２０ Ⅱ ２ ５ （１＋２ｉ）（２＋ｉ）＝ （ ）
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ． ２ Ｄ．２
３．（ 全国甲理， ， 分，易）若ｚ 则 ｚ ｚ Ａ Ａ．－５ｉ Ｂ．５ｉ
２０２４ １ ５ ＝５＋ｉ， ｉ（ ＋ ）＝ （ ）
Ｃ．－５ Ｄ．５
Ａ．１０ｉ Ｂ．２ｉ Ｃ．１０ Ｄ．２ ２．（ 新高考 ， ， 分，易） Ｄ
２０２２ Ⅱ ２ ５ （２＋２ｉ）（１－２ｉ）＝ （ ）
考点 1 复数的概念 学生用书P62
Ａ．－２＋４ｉ Ｂ．－２－４ｉ Ｃ．６＋２ｉ Ｄ．６－２ｉ
３．（ 新高考 ， ， 分，易）若 ｚ 则ｚ ｚ Ｄ
１．（ 新课标 ， ， 分，易）在复平面内 对应的 ２０２２ Ⅰ ２ ５ ｉ（１－ ）＝１， ＋ ＝ （ ）
２０２３ Ⅱ１ ５ ，（１＋３ｉ）·（３－ｉ）
点位于 Ａ Ａ．－２ Ｂ．－１ Ｃ．１ Ｄ．２
（ ） ４．（ 新高考 ， ， 分，易）已知ｚ 则ｚ ｚ Ｃ
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 ２０２１ Ⅰ ２ ５ ＝２－ｉ， （ ＋ｉ）＝ （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
Ａ．６－２ｉ Ｂ．４－２ｉ Ｃ．６＋２ｉ Ｄ．４＋２ｉ
２．（ 新高考 ， ， 分，易）在复平面内 复数２－ｉ 对应的点
２０２１ Ⅱ １ ５ ， １－３ｉ ５．（ 新高考 ， ， 分，易） ２－ｉ Ｄ
２０２０ Ⅰ ２ ５ ＝ （ ）
位于 Ａ １＋２ｉ
（ ）
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．ｉ Ｄ．－ｉ
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
６．（ 新课标 ， ， 分，易）已知ｚ １－ｉ 则ｚ ｚ Ａ
３．（ 课标 理， ， 分，易）复数 １ 的虚部是 Ｄ ２０２３ Ⅰ ２ ５ ＝ ， － ＝ （ ）
２０２０ Ⅲ ２ ５ （ ） ２＋２ｉ
１－３ｉ
Ａ．－ｉ Ｂ．ｉ Ｃ．０ Ｄ．１
３ １ １ ３
Ａ．－ １０ Ｂ．－ １０ Ｃ． １０ Ｄ． １０ ７．（ 全国乙理， ， 分，易）设ｚ ２＋ｉ 则ｚ Ｂ
４．（ 全国乙文， ， 分，易） ２ ３ Ｃ ２０２３ １ ５ ＝ １＋ｉ ２ ＋ｉ ５， ＝ （ ）
２０２３ １ ５ ｜２＋ｉ ＋２ｉ ｜＝ （ ）
Ａ．１－２ｉ Ｂ．１＋２ｉ Ｃ．２－ｉ Ｄ．２＋ｉ
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ． ５ Ｄ．５ ｚ
５．（ 全国甲理， ， 分，易）设ａ Ｒ ａ ａ 则ａ ８．（ 全国甲理， ， 分，易）若ｚ 则 Ｃ
２０２３ ２ ５ ∈ ，（ ＋ｉ）（１－ ｉ）＝２， ＝ ２０２２ １ ５ ＝－１＋ ３ｉ， ｚｚ ＝ （ ）
Ｃ －１
（ ）
Ａ．－１＋ ３ｉ Ｂ．－１－ ３ｉ
Ａ．－２ Ｂ．－１ Ｃ．１ Ｄ．２
６．（ 全国乙理， ， 分，易）已知ｚ 且ｚ ａｚ ｂ 其中 １ ３ １ ３
２０２２ ２ ５ ＝１－２ｉ， ＋ ＋ ＝０， Ｃ．－ ＋ ｉ Ｄ．－ － ｉ
ａ ｂ为实数 则 Ａ ３ ３ ３ ３
， ， （ ）
学生用书P63 ２．（ 河北唐山一模， ）已知 为虚数单位 复数ｚ ２ 则ｚ
２０２４ １ ｉ ， ＝ ，
１．（ 浙江金丽衢十二校第二次联考， ）若复数ｚ满足ｚ ｚ １＋ｉ
２０２４ ２ ＋２ ＝ ｚ Ｄ
则 ｚ 为 Ｃ · ＝ （ ）
３－２ｉ， ｜ ｜ （ ）
Ａ．１＋ｉ Ｂ．１－ｉ Ｃ． ２ Ｄ．２
Ａ．２ Ｂ． ２ Ｃ． ５ Ｄ．５ ３．（ 湖南衡阳名校联合体联考一， ）已知复数 ｚ ａ ｂ
２０２４ ２ ＝（ ＋ ｉ）ｉ
专题五 平面向量与复数 １ ０５
ａ ｂ Ｒ 为虚数单位 的共轭复数为ｚ 则ｚ为纯虚数的充
（ ， ∈ ，ｉ ） ， ３ ｚ
分必要条件为 Ｄ Ｃ． ｉ－ ＜０
（ ） ５
Ａ．
ａ２
＋
ｂ２
≠０ Ｂ．
ａｂ
＝０ ｚ １ 为纯虚数
Ｄ． ＋
ａ ｂ ａ ｂ ５
Ｃ． ＝０， ≠０ Ｄ． ≠０， ＝０
５．（多选）（ 河北衡水部分学校二模， ）已知ｚ Ｃ ｚ是ｚ的
４．（ 湖南师大附中模拟（二）， ）已知ｚ是虚数 ｚ２ ｚ是实 ２０２４ ９ ∈ ，
２０２４ ２ ， ＋２
共轭复数 则 ＡＢ
数 则ｚ的 Ｂ ， （ ）
， （ ）
实部为 实部为 若ｚ １＋３ｉ 则ｚ －４－３ｉ
Ａ． １ Ｂ． －１ Ａ． ＝ ， ＝
虚部为 虚部为 １－３ｉ ５
Ｃ． １ Ｄ． －１ 若ｚ为纯虚数 则ｚ２
５．（ 湖南岳阳质检（三）， ）若虚数单位 是关于ｘ的方程 Ｂ． ， ＜０
２０２４ ２ ｉ 若ｚ 则ｚ
ａｘ３ ｂｘ２ ｘ ａ ｂ Ｒ 的一个根 则 ａ ｂ Ｃ Ｃ． －（２＋ｉ）＞０， ＞２＋ｉ
＋ ＋２ ＋１＝０（ ， ∈ ） ， ｜ ＋ ｉ｜＝ （ ） 若Ｍ ｚ ｚ 则集合Ｍ所构成区域的面积为
Ｄ． ＝｛ ｜｜ ＋３ｉ｜≤３｝， ６π
Ａ． ２ Ｂ．２ Ｃ． ５ Ｄ．５ ６．（多选）（ 山东青岛第一次适应性检测， ）已知复数ｚ 下
ａ ２０２４ １０ ，
６．（ 黑龙江齐齐哈尔一模， ）已知ａ Ｒ 若ｚ ＋ｉ 为纯虚 列说法正确的是 ＡＣ
２０２４ ２ ∈ ， ＝ （ ）
２ｉ－１ 若ｚ ｚ 则ｚ为实数
数 则ａ Ｂ Ａ． － ＝０，
， ＝ （ ） 若ｚ２ ｚ２ 则ｚ ｚ
Ｂ． ＋ ＝０， ＝ ＝０
１ 若 ｚ 则 ｚ 的最大值为
Ａ． ２ Ｂ．２ Ｃ．１ Ｄ． Ｃ． ｜ －ｉ｜＝１， ｜ ｜ ２
２
若 ｚ ｚ 则ｚ为纯虚数
７．（ 河北部分学校联考， ）已知复数ｚ ２ ｚ 则 ｚ Ｄ． ｜ －ｉ｜＝｜ ｜＋１，
２０２４ ２ １＝ ， ２＝２ｉ， ｜ １－ ７．（多选）（ 山东泰安一轮检测， ）已知复数ｚ ｗ 则下列说
１＋ｉ ２０２４ ９ ， ，
ｚ Ｂ 法正确的是 ＡＣＤ
２｜＝ （ ） （ ）
若ｚ ｗ 则ｚ ｗ
Ａ．１０ Ｂ． １０ Ｃ． ２ Ｄ．１ Ａ． ＝ ， ＝
８．（
２０２４
辽宁辽阳一模，
２
）复数ｚ
＝（２－ｉ）（｜４－３ｉ｜＋ｉ）
的共轭复
Ｂ．
若ｚ
＝３＋ｉ，
ｗ
＝－２ｉ，
则ｚ
＋
ｗ在复平面内对应的点在第二象限
数为 Ａ 若ｚ２ 则ｚ ｚ
（ ） Ｃ． ＝１， ＝
若 ｚ 复数ｚ在复平面内对应的点为Ｚ 则直线ＯＺ Ｏ
Ａ．１１＋３ｉ Ｂ．５１＋２３ｉ Ｃ．９＋３ｉ Ｄ．４９＋２３ｉ Ｄ． ｜ －２｜＝１， ， （
９．（
２０２４
浙江
Ｚ２０
名校联盟第二次联考，
２
）已知
１＋２ｉ
是关于ｘ
为原点 斜率的取值范围为
é
êê ３ ３
ù
úú
的实系数一元二次方程ｘ２
－２
ｘ
＋
ｍ
＝０
的一个根
，
则ｍ
＝（
Ｄ
）
） ë－
３
，
３
û
８．（多选）（ 山东泰安三模， ）已知ｚ满足 ｚ ２ ３ ｚ
Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ ２０２４ １０ ｜ ＋ｉ －ｉ ｜＝｜ ｜，
１０．（ 山东潍坊一模， ）已知 是虚数单位 若复数ｚ满足 且ｚ在复平面内对应的点为 ｘ ｙ 则 ＡＣ
２０２４ １２ ｉ ， （ ， ）， （ ）
ｚ ｘ ｙ ｘ ｙ
ｚ 则 ｉ ． Ａ． － －１＝０ Ｂ． ＋ ＋１＝０
（２＋ｉ） ＝ｉ， ＝
２－ｉ ５ ｚ 的最小值为 ２ ｚ 的最小值为 １
Ｃ．｜ ｜ Ｄ．｜ ｜
学生用书P63 ２ ２
９．（多选）（ 湘豫名校联考模拟（三）， ）一般地 对于复数
１．（ 江西重点中学协作体联考， ）在复平面内 复数ｚ对应 ２０２４ １１ ，
２０２４ ２ ， ｚ ａ ｂ 为虚数单位 ａ ｂ Ｒ 在平面直角坐标系中 设 ｚ
的点在第三象限 则复数ｚ ２０２４对应的点在 Ｃ ＝ ＋ ｉ（ｉ ， ， ∈ ）， ， ｜ ｜
， ·（１＋ｉ） （ ） Ｏ→Ｚ ｒ ｒ 经过点Ｚ的终边的对应角为θ 则根据三角
第一象限 第二象限 ＝｜ ｜＝ （ ≥０）， ，
Ａ． Ｂ． 函数的定义可知ａ ｒ θ ｂ ｒ θ 因此ｚ ｒ θ θ
第三象限 第四象限 ＝ ｃｏｓ ， ＝ ｓｉｎ ， ＝ （ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ），
Ｃ． Ｄ． 我们称此种形式为复数的三角形式 ｒ称为复数ｚ的模 θ称为
２．（ 湖南九校联盟第二次联考， ）关于复数ｚ与其共轭复数 ， ，
２０２４ ３ 复数ｚ的辐角．为使所研究的问题有唯一的结果 我们规定 适
ｚ 下列结论正确的是 Ｄ ， ，
， （ ） 合 θ 的辐角θ的值叫做辐角的主值．已知复数ｚ满足 ｚ
在复平面内 表示复数ｚ和ｚ的点关于虚轴对称 ０≤ ＜２π ｜
Ａ． ， ｒ ｒ ｚ 为ｚ的实部 θ为ｚ的辐角的主值 则
ｚ ｚ －１｜≤ ， ∈（０，１），Ｒｅ（ ） ， ，
Ｂ． · ＞０ ＡＢＤ
ｚ ｚ必为实数 ｚ ｚ必为纯虚数 （ ）
Ｃ． ＋ ， －
Ｄ．
若复数ｚ为实系数一元二次方程ａｘ２
＋
ｂｘ
＋
ｃ
＝０
的一根
，
则ｚ
Ａ．｜
ｚ
－ ２０２４ｉ｜
的最大值为ｒ
＋４５
也必是该方程的根 ｚ 的最小值为 ｒ
Ｂ．｜ － ２０２４ｉ｜ ４５－
３．（多选）（
２０２４
江苏徐州新高考适应性测试，
９
）已知复数ｚ在
Ｃ．ｃｏｓ
θ
≤ １－
ｒ２
æ ö ( )
复平面内对应的点为
è
ç
－
１
，
３
ø
÷
，
则
（
ＡＣＤ
） Ｄ．Ｒｅ
１
ｚ ≥
１
ｚ （１－
ｒ２
）
２ ２ Ｒｅ（ ）
ｚ ｚ ｚ ｚ２ ｚ ｚ２０２４ ｚ
Ａ．｜ ｜＝１ Ｂ． ＋ ＝１ Ｃ． ＋ ＋１＝０ Ｄ． ＝ 学生用书P64
４．（多选）（ 湖南长沙长郡中学一模， ）已知 为虚数单位
２０２４ ９ ｉ ，
１． 创新知识交汇 （ 广东湛江二模， ）若复数ｚ ｘ ｙ
复数ｚ ２ 下列说法正确的是 ＡＢＣ ２０２４ ４ ＝（２ ＋ ｉ）
＝ ３ ， （ ） ｘ ｙ ｘ ｙ Ｒ 的实部为 则点 ｘ ｙ 的轨迹是
ｉ（３＋ｉ ） ·（２ －４ ｉ）（ ， ∈ ） ４， （ ， ）
Ａ
ｚ １０ （ ）
Ａ．｜ ｜＝ 直径为 的圆 实轴长为 的双曲线
５ Ａ． ２ Ｂ． ２
复数ｚ在复平面内对应的点位于第四象限 直径为 的圆 虚轴长为 的双曲线
Ｂ． Ｃ． １ Ｄ． ２
１ ０６ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
２． 概念深度理解 （多选）（ 浙江杭州二模， ）已知关于ｘ的
２０２４ ９
方程ｘ２ ｔｘ ｔ 的两复数根为ｚ 和ｚ 则 ＡＢＣ
＋ ＋１＝０（－２＜＜２） １ ２， （ ）
ｚ ｚ ｚ ｚ
Ａ． １＝ ２ Ｂ． １· ２＝１
ｚ æｚ ö
ｚ ｚ １ ç １ ÷
Ｃ．｜ １｜＝｜ ２｜ Ｄ．ｚ ＝èｚ ø
２ ２
３． 多想少算 （多选）（ 安徽合肥一六八中学适应性测试
２０２４
（三）， ）若 ｚ ｚ 则 ＢＣ
９ ｜ －１｜＝｜ ＋１｜， （ ）
ｚ Ｒ ｚ ｚ
Ａ． ∈ Ｂ．｜ －１｜＝｜ ＋１｜
ｚ ｚ ｚ ｚ ｚ２
Ｃ． ＋ ＝０ Ｄ． · ＝
