文档内容
备战2024年高考阶段性检测名校重组卷（新高考）
复数与平面向量
本试卷22小题，满分150分。考试用时120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．（2023·辽宁鞍山·统考二模）已知 ，则z对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】先利用复数的除法化简，再利用复数的几何意义求解.
【详解】解： ，
在复平面对应的点为 ，
所以 在复平面对应的点在第四象限.
故选：D.
2．（2023·广东茂名·统考一模）在 中， ， ，若点M满足 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得：
.
故选：A.
3．（2023·山东泰安·统考二模）若 （ 为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用复数的四则运算求出复数 ，然后利用复数求模的公式即可计算.【详解】由 可得 ，
所以 ，
故选： .
4．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知平面向量 满足 ， ，
且 与 的夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为平面向量 满足 ， ，且 与 的夹角为 ，
则 ，则 ，即
解得 ，
所以 .
故选：D
5．（2023·山东青岛·统考二模）已知 为坐标原点，复数 ， ，
分别表示向量 ， ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的几何意义确定向量 ， ， 的坐标，再根据向量垂直的坐标运
算即可求得 的值，从而可得 的值.
【详解】由题意可得， ，所以
又 ，所以 ，所以则 .
故选：C.
6．（2023·山西运城·统考三模）已知向量 满足 ，且 ，则
实数 （ ）
A．1或 B．-1或 C．1或 D．-1或
【答案】D
【详解】
所以 ，
因为 ，
所以 ，
解得 或 ，
故选：D.
7．（2023春·广东韶关·高三校联考开学考试）已知单位向量 ， ，若对任意实数 ，
恒成立，则向量 ， 的夹角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ， 是单位向量，由 得： ，
依题意，不等式 对任意实数 恒成立，则 ，
解得 ，而 ，则 ，又 ，函数 在 上单调递减，因此 ，
所以向量 ， 的夹角的取值范围为 .
故选：B
8.（2023·甘肃武威·统考三模）如图所示，边长为2的正三角形ABC中，若
（ ）， （ ），则关于 的说法正确的是（ ）
A．当 时， 取到最大值 B．当 或1时， 取到最小值
C． ，使得 D． ， 为定值
【答案】D
【分析】先由条件利用 表示向量 ，根据数量积的运算性质求 ，由此判
断各选项.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
因为 为边长为 的等边三角形，
所以 ，
所以 ，
所以 ， 为定值，D正确；A，B，C错误.故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023·山东潍坊·统考二模）在复数范围内关于 的实系数一元二次方程
的两根为 ，其中 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根据实系数一元二次方程中韦达定理可求出 判断B，再由韦达定理判断A，根
据复数的乘法及共轭复数判断C，再由复数除法判断D.
【详解】因为 且实系数一元二次方程 的两根为 ，
所以 ，可得 ，故B正确；
又 ，所以 ，故A错误；
由 ，所以 ，故C错误；
，故D正确.
故选：BD
10.（2023·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）“圆幂定理”是平面几何中关于圆
的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点
分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且
，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是（ ）A． 为定值
B． 的取值范围是
C．当 时， 为定值
D． 时， 的最大值为12
【答案】ACD
【解析】如图，设直线PO与圆O于E，F．则
，故A正确．
取AC的中点为M，连接OM，
则
，
而
故 的取值范围是 故B错误；当 时，
，故C正确．
当 时，圆O半径 取AC中点为 ， 中点为 ，
则
，
最后等号成立是因为 ，
不等式等号成立当且仅当 ，故D正确．
故选:ACD.
11.（2023·浙江温州·统考三模）已知复数 ，下列命题正确的是（ ）
A． B．若 ，则
C． D．若 ，则 为实数
【答案】AC
【分析】根据复数的模长公式、共轭复数的定义以及复数的乘方，结合举反例，可得答案.
【详解】对于A，设 ，
则
，故A正确；
对于B，当 时， ，故B错误；
对于C，设 ， ， ， ，故C正确；
对于D，设 ， ， ，当 或 时， ，故D错误.
故选：AC.
12．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）如图所示，设 ， 是平面内相交成
角的两条数轴， 、 分别是与 ， 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标
系 为 斜坐标系，若 ，则把有序数对 叫做向量 的斜坐标，记
为 .在 的斜坐标系中， ， .则下列结论中，错误的
是（ ）
A． B．
C． D． 在 上的投影向量为
【答案】BCD
【解析】由题意得： ， ，
对于A项， ，
由题意得： ，故A正确；
对于B项， ，，故B
不正确；
对于C项，
，
故C项不正确；
对于D项， 在 上的投影向量为： ，
又 ， ，
，故D不正确.
故选：BCD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.（2023·上海浦东新·统考三模）已知复数 满足 ，则 __________．
【答案】
【分析】设 ，根据 得到方程组，求出 ，分两种情况计算
出答案，从而求出 .
【详解】设 ，则 ，
所以 ，解得 ，
当 时， ，故 ，
；当 时， ，故 ，
故答案为：-8
14．（2023春·广东汕头·高三统考开学考试）已知向量 ，若 在 方向上
的投影向量为 ，则 的值为__________.
【答案】
【解析】因为 在 上的投影向量为 ，
所以 ，则 ，
因为 ， ，
所以 ，
从而 ，
解得 .
故答案为： .
15．（2023·广东广州·统考二模）在等腰梯形 中，已知 ， ， ，
，动点E和F分别在线段 和 上，且 ， ，当
__________时，则 有最小值为__________．
【答案】
【解析】因为在等腰梯形 中，已知 ， ， ， ，可
知 ，
所以 ， ，， ，
则
.
当且仅当 ，即 时取等号，即最小值 ．
故答案为： ； .
16．（2023·山东济宁·统考二模）已知向量 、 不共线，夹角为 ，且 ， ，
，若 ，则 的最小值为________．
【答案】
【分析】依题意作出如下图形，令 ， ，根据平面向量线性运算法则及椭圆
的定义得到点 的轨迹，求出其轨迹方程，由 的取值范围，得到 时， 的
值最小，此时点 的坐标为 ，再代入椭圆方程计算可得.【详解】如图 及 为平行四边形， ， ，
令 ， ，则 ， ，
因为 ，即 ，
由椭圆的定义可知点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆其中 、 ，
所以其轨迹方程为 ，
因为 ，所以当 ，即 时， 的值最小，
此时点 的坐标为 ，
将点 的坐标代人椭圆 得 ，
解得 ．
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤。
17.（2023天津市南开区下学期期末考试）已知复数z＝﹣2+i，zz＝﹣5+5i（其中i为虚数
1 1 2
单位）（1）求复数z；
2
（2）若复数z ＝（3﹣z ）[（m2﹣2m﹣3）+（m﹣1）i]所对应的点在第四象限，求实数m
3 2
的取值范围．
【解析】（1）∵复数z＝﹣2+i，zz＝﹣5+5i，
1 1 2
∴
（2）z＝（3﹣z）[（m2﹣2m﹣3）+（m﹣1）i]
3 2
＝i[（m2﹣2m﹣3）+（m﹣1）i]
＝﹣（m﹣1）+（m2﹣2m﹣3）i，
∵复数z 所对应的点在第四象限，
3
∴ ，
解得﹣1＜m＜1．
∴实数m的取值范围是﹣1＜m＜1．
18. （2023吉林辽源友好学校联考） 已知平面向量 , , ,且 与 的夹
角为 .
(1)求 ;
(2)求 ;
(3)若 与 垂直,求 的值.
【解析】(1) , ,
.
(2) ,∴ .
(3)若 与 垂直,则 ,
即 ,∴ ,即 ,∴
.
19.（2022广东省大联考下学期期中）已知复数z满足 ，z2的虚部为2.(1)求复数z；
(2)设 在复平面上的对应点分别为A､B､C，求△ABC的面积.
【解析】(1)设 ，
①，
的虚部为 ，所以 ②，
由①②解得 或 .
所以 或 .
(2)当 时， ， ，
所以 ，
，
所以△ABC的面积为 .
当 时， ， ，
所以 ，
，所以△ABC的面积为 .
20. （2023四川遂宁射洪月考）已知 , , .
(1)若 , , 三点共线,求实数 的值;
(2)证明:对任意实数 ,恒有 成立.
【解析】(1) , ,∵ , , 三点共线,
∴ ,∴ .
(2) , ,
∴ ,∴恒有 成立.
21.（2023安徽黄山市高三上学期第一次质检） 如图,已知 外接圆的圆心 为坐标原点,且 在 内部, , .
(1)求 ,求 ;
(2)求 面积的最大值.
【解析】(1)由题知 ,故圆的半径为 ,所以 ,
所以
.
(2)由(1)知,外接圆的半径为 ,因为 ,所以
在 中,由正弦定理可得: ,
解得: ,在 中,由余弦定理可得: ,
化简可得: ,由基本不等式可知 ,
即 ,所以解得 ,当且仅当 时取等,
所以 .故 面积的最大值为 .
22. （2023广东五校高三上学期联考）已知 ,
(1) 时,求 的取值范围;
(2)若存在 ,使得 ,求 的取值范围.【解析】(1) 时, ,
由于 ,所以 ,所以 .
(2)由题意得,存在 ,使得 ,
令 ,
因为 ,所以 ,即 ,
则 ,所以 ,
当 时,方程为 ,此时不存在 使得方程有解,
当 时, , ,
则 时,函数 在 上单调递减,此时
,
时,函数 在 上单调递减,此时
,
综上, 的取值范围为 .
