文档内容
期末押题重难点检测卷（基础卷）
考试范围：第11-15章
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023上·湖南永州·八年级统考期中）代数式 ， ， ， ， 中分式有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查分式的定义，分母中含有字母的式子就叫做分式；注意 是一个具体的数，不是字母．
【详解】解：分式有 ，共1个，
故选A．
2．（2023上·山东威海·七年级统考期中）下列说法正确的是（ ）
A．角的平分线是角的对称轴 B．一个轴对称图形不一定只有一条对称轴
C．两个全等的图形一定关于某条直线对称 D．两个成轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧
【答案】B
【分析】本题主要考查了轴对称的性质和判断，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义，“如果一个平面图
形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”．
【详解】解：A．角的平分线所在的直线是角的对称轴，故A错误；
B．一个轴对称图形不一定只有一条对称轴，故B正确；
C．两个全等的图形不一定关于某条直线对称，故C错误；
D．轴对称图形的对称点不一定在对称轴的两侧，还可以在对称轴上，故D错误．
故选：B．
3．（2023上·河北廊坊·八年级校考期中）如图，在 中， ， 是 的角平分线，若
， ，则点 到 的距离为（ ）A．9 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】本题考查的是角平分线的性质定理的应用，本题过 作 于 ，再证明 ，从而
可得答案．
【详解】解：如图，过 作 于 ，
∵ ， 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点 到 的距离为4．
故选D
4．（2023上·广西玉林·八年级统考期中）小芳有两根长度为 和 的木条，她想钉一个三角形木框，
桌上有下列长度的几根木条，她应该选择的木条长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是三角形的三边关系，已知两边长求出第三边的范围即可求解，熟知三角形任意两边
之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
【详解】解：设木条的长度为 ，
则 ，即 ，
符合的数值为 ．
故选D．
5．（2023上·江苏南通·八年级校联考期中）已知 ，则代数式 的值为（ ）A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了平方差公式因式分解及代数式求值，将代数式 适当变形，再将整体
代入计算即可．
【详解】解：
，
．
故选：C ．
6．（2023上·广西桂林·八年级校考期中）若关于x的方程 有增根，则 （ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【分析】本题考查含参数的分式方程．将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根，得到 的值，代入
整式方程进行求解．
【详解】解： ，
去分母，得： ，
整理，得： ，
∵方程有增根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选：A．7．（2023上·河南信阳·八年级统考期中）如图，等腰三角形 底边 的长为 ，面积是 ，腰
的垂直平分线 交 于点 ，若 为 边上的中点， 为线段 上一动点，则 的周长最
短为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、轴对称—最短路线问题，连接 ，由
等腰三角形的性质结合三角形的面积得出 ，再根据 是线段 的垂直平分线，可得点 关于
直线 的对称点是点 ，从而得到 的长为 的最小值，熟练掌握等腰三角形的性质是解答此
题的关键．
【详解】解：如图，连接 ，
，
是等腰三角形，点 是 边的中点，
，
，
，
是线段 的垂直平分线，
点 关于直线 的对称点是点 ，
的长为 的最小值，的周长最短 ，
故选：A．
8．（2023上·全国·八年级专题练习）如图， 、 是 边 、 上的点， 沿 翻折后得
到 ， 沿 翻折后得到 ，且点 在 边上， 沿 翻折后得到 ，且点
在边 上，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理．根据折叠的性质以及三角形内角和定理得出
， ，将已知数据代入，即可求解．
【详解】解：如图所示，
依题意， ，
∴
，
即 ，
， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
9．（2023上·河北石家庄·八年级统考期中）老师上课提出问题：“某超市的一种瓶装饮料每箱售价为
元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销
售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶?”以下为四位同学列出的方程，正确的是（ ）
甲：设该品牌的饮料每瓶是 元，则
乙：设该品牌饮料每箱 瓶，则
丙：设该品牌的饮料每瓶是 元，则
丁：设该品牌饮料每箱 瓶，则
A．甲、丁 B．甲、乙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙
【答案】C
【分析】根据题意可设这种饮料的原价每瓶是 元，则根据等量关系“九折购买的饮料数量比 元购买的
一箱饮料的数量多2瓶”，或“一箱加2瓶的饮料九折后的价格是 元”；若设每箱有 瓶，则根据“购
买一箱加2瓶时，每瓶的价格和每瓶九折后的价格相等”分别列出方程即可．
【详解】解：设这种饮料的原价每瓶是 元，则有 ；
设该种饮料每箱有 瓶，则有 ，
故选C．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．
10．（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）若有两个整式
， ．下列结论中，正确的有（ ）
①当 为关于 的三次三项式时，则 ；②当多项式 乘积不含 时，则 ；
③ ；
④当 能被 整除时， ；
⑤若 或 时，无论 和 取何值， 值总相等，则 ．
A．①②④ B．①③④ C．③④⑤ D．①③④⑤
【答案】C
【分析】求出 ，可得当 时， 为关于 的三次三项式，此时 ，故说法①错
误；求出 ，再由多项式 乘积不含 ，可得 ，解得： ，故说法②错误；当 时，
可得 ，当 时，可得 ，故③说法正确；设 ，可得
，从而得到 ，故④说法正确；根据当 或 时，无
论 和 取何值， 值总相等，可得 且 ，故⑤说法正确，即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
当 时， 为关于 的三次三项式，此时 ，故说法①错误；
∵多项式 乘积不含 ，
∴ ，解得： ，故说法②错误；
当 时， ，
即 ，
当 时， ，即 ，
∴ ，故③说法正确；
∵ 能被 整除，
∴可设 ，
∵
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，故④说法正确；
当 时， ，
当 时， ，
∵当 或 时，无论 和 取何值， 值总相等，
∴ 且 ，
解得： ，故⑤说法正确；
故选：C
【点睛】本题考查了整式的加减与乘法，熟练掌握整式混合运算法则是解题关键．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期中）若等腰三角形的两边长分别为 ，则它的第三条边长为
．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分类讨论后利用三角形的三边关系检验是
解题关键．
【详解】解：若等腰三角形的两边长分别为4、2、2，
∵ ，不能构成三角形，不符合题意；
若等腰三角形的两边长分别为4、4、2，
此时能构成三角形故第三条边长为4
故答案为：4
12．（2023上·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，点A，E，C在同一直线上， ，
，则 的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查全等三角形的性质，根据 ，得到 ，利用 ，即可
求得 的长．掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：3．
13．（2023上·广东东莞·八年级校联考期中）如图，经测量， 处在 处南偏西 方向上， 处在 处
南偏东 方向上， 处在 处北偏东 方向上，则 ．
【答案】 / 度
【分析】本题考查了方向角和三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，先分别求出 和
的度数，再根据三角形内角和定理求出 度数即可．
【详解】解： 根据题意知： ， ，
，
处在 处的北偏东 方向，
，
处在 处的南偏西 的方向， 处在 处的南偏东 方向，
，．
故答案为： ．
14．（2023上·广西桂林·八年级校考期中）已知 （ 且 ）， ， ，…，
，则 等于 （用含 的代数式表示）．
【答案】
【分析】本题主要考查了与实数运算有关的规律探索，通过求出 的值得到规律 这
一列数是每三个数为一个循环， ， ， 依次出现，是解题的关键．
【详解】解： ，
，
，
，
……，
以此类推，可知， 这一列数是每三个数为一个循环， ， ， 依次出现，
∵ ，
∴ 与 表示的数相同，
∴ ，
故答案为： ．
15．（2023上·天津滨海新·八年级校考期中）如下图，乐乐将 分别沿 、 翻折，顶点A、B均
落在点O处，且 与 重合于线段 ，若 ，则 ．【答案】 / 度
【分析】此题考查折叠的性质，三角形内角和定理，正确理解折叠的性质得到 是解题的关
键．根据折叠得 ， ，利用 求出 ，再根据三角形的内角
和求出 的度数．
【详解】解：由折叠得 ， ，
∵ ,
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
16．（2023上·江苏宿迁·八年级南师附中宿迁分校校考期中）如图，在 中， ，
D是 的中点，点E在边 上一动点，将 沿 翻折，使点A落在点 处，当 时，则
．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，分当 在 上方，
时，当 在 下方， 时，两种情况，先利用平行线的性质得到 ，再由折叠的性质
求出 的度数，再根据三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：如图，当 在 上方， 时，∴ ，
∵ ，
∴ ，
由翻折可知： ，
∴ ．
如图，当 在 下方， 时，
∴ ，
∴
由翻折可知： ，
∴ ．
故答案为： 或 ．
17．（2023上·山东临沂·九年级统考期中）若 是方程 的一个根，则 的值为
．
【答案】2023
【分析】本题考查了代数式求值，方程的根的意义，将原式中 转换为 ，再将
整理为 ，根据 是方程 的一个根，代入得到 ，再根据
可得 ，即可解答，考虑对 中的 ，进行降次是解题的关键．
【详解】解： 是方程 的一个根，，
，
将 变形可得 ，
将 代入可得 ，
再将 可得原式 ，
故答案为：2023．
18．（2023上·重庆渝北·八年级校考期中）若关于x的一元一次不等式组 的解集为 ；
关于x的分式方程 的解为非负整数．则满足条件的整数m的值之和是为 ．
【答案】12
【分析】本题考查一元一次不等式组和分式方程的解，根据不等式组的解求出m的范围，再根据分式方程
的解求出m的值是求解本题的关键；
先根据不等式组的解找到 满足的条件，再根据分式方程的解求出 ．
【详解】解： ，
由①得： ，
由②得： ．
∵不等式组的解集是 ，
∵方程的解为非负整数，且 ，∵ 是3的倍数，
故答案为：12．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（2023上·河北石家庄·八年级校联考期中）分式计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了分式的乘法计算，异分母分式减法计算，分式的混合计算，熟知相关计算法则是
解题的关键．
（1）根据分式的乘法计算法则求解即可；
（2）先通分，然后把分子合并同类项即可得到答案；
（3）先计算括号内的分式减法，再把除法变成乘法进行求解即可．
【详解】（1）解：
；（2）解：
；
（3）解：
．
20．（2023上·海南海口·八年级海南华侨中学校考期中）把下列多项式分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4) （十字相乘法）
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)【分析】本题考查了因式分解．选择合适的方法进行因式分解是解题的关键．
（1）直接提公因式即可；
（2）利用公式法进行因式分解即可；
（3）综合提公因式、公式法进行因式分解即可；
（4）利用十字相乘法进行因式分解即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ；
（4）解； ．
21．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图的网格中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，
请根据下列提示作图：
(1)先将 向下平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度得到 （ 与 ， 与 ， 与 分
别对应）；
(2)连接 、 ，直接写出以 、 、 为顶点的三角形的面积____________；
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查了平移作图，利用网格求三角形面积，熟练掌握平移的性质是解题关键．
（1）根据平移的性质，分别找出对应点D、E、F，再依次连接即可；
（2）利用割补法即可求出 的面积
【详解】（1）解：如图， 即为所求作；（2）解： ，
故答案为：3．
22．（2023上·广西桂林·八年级校考期中）某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛，
某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套少10元，用400元在
甲商店租用服装的数量与用500元在乙商店租用服装的数量相等．
(1)求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？
(2)租用100套以上服装，乙商店给以每套打八折后再减200元的优惠，若该参赛队伍准备花费5000元租用
一定数量的服装，则在哪家店租的套数最多？请说明理由．
【答案】(1)在甲，乙两个商店租用的服装每套各40元，50元
(2)在乙商店租的套数最多，理由见解析
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，
找出等量关系，列出方程求解．
（1）设甲商店租用服装每套x元，则乙商店租用服装每套 元，根据题意，列出方程求解，再检验
即可；
（2）先根据数量 总价 单价，求出在甲商店可租用套数；设在乙商店可租用y ，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设在甲商店租用的服装每套x元，则在乙商店租用的服装每套 元，
由题意得， ，
解得 ，
检验，当 时， ，
∴ 是原方程的解，
∴ ，答：在甲，乙两个商店租用的服装每套各40元，50元；
（2）解：在乙商店租的套数最多，理由如下：
在甲商店可租用套数： 套，
∵ ，
∴在乙商店最少可以租100套，
∴在有优惠方案的基础上，设在乙商店可租用 套，
，
解得： ，
∵ ，
∴在乙商店租的套数最多．
23．（2023上·江苏南通·八年级校联考期中）已知：在 中， ， ．
(1)如图，点D在 边上，点E在 边上， ， 与 交于点F．求证： ；
(2)若点D是 边上的一个动点，点E是 边上的一个动点，且 ， 与 交于点F．当
是等腰三角形时，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2) 或
【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，
(1)证明 ，得出 ，根据等腰三角形判定即可得出答案；
(2)先求出 ，由(1)得出 ，设 ，则
， ， ，
分三种情况：①当 时，②当 时，③当 时，求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，在 与 中
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
由（1）知， ， ，
∴ ，
设 ，
则 ， ，
，
∵ 是等腰三角形，故分三种情况讨论：
①当 时，此时 ，
∴ ，
得 ，
即 ；
②当 时，此时 ，
∴ ，
得 ，
即 ；
③当 时，此时 ，
∴ ，不符题意，舍去；
综上所述， 或 ．
24．（2023上·山西临汾·八年级校联考期中）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔
裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同
一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为 ，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪
刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形．(1)【知识生成】
请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）：
方法一：__________________；
方法二：__________________；
(2)【得出结论】
根据（1）中的结论，请你写出代数式 ， ， 之间的等量关系为____________；
(3)【知识迁移】
根据（2）中的等量关系，解决如下问题：
已知实数a，b满足： ， ，求 的值．
【答案】(1)方法一： ；方法二：
(2)
(3)
【分析】（1）观察图形很容易得出运用大正方形的面积减去四个矩形的面积，即 ，图②中
的阴影部分的正方形的边长等于 ，即面积为 ；
（2）根据（1）中表示的面积是同一个图形的面积，两个式子相等，即可列出等量关系；
（3）由（2）中的等量关系即可求解．
本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在
一起，要学会观察．
【详解】（1）方法一： ；
方法二： ，故答案为： ；
（2）代数式 ， ， 之间的等量关系为：
；
故答案为：
（3）由（2）可得 ．
∴ 或 ．
25．（2023上·广西桂林·八年级校考期中）【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般
是利用“作差法”，即要比较代数式 ， 的大小，只要作出差 ，若 ，则 ；若
，则 ；若 ，则 ．
【解决问题】
（1）若 ，则 ______0（填“ ”“ ”或“ ”）；
（2）已知 ， ，当 时，比较 与 的大小，并说明理由；
（3）小王和小张的加油习惯不同，小王每次加300元的油（油箱未加满），而小张每次都把油箱加满．现
实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为 元/升，第二次油价为 元/升
．
①小王两次加油的平均单价为______元/升，小张两次加油的平均单价为______元/升（用含 ， 的代数式
表示，化简结果）；
②请通过计算判断，小王和小张的两种加油方式中，哪种平均单价更低？
【答案】（1） ；（2） ，理由见解析；（3）① ， ；②小王加油的平均单价低
【分析】本题考查分式的基本性质，异分母分式减法计算，解题关键是掌握分式的基本性质，通过题干方
法作差求解．
（1）先求出 ，再根据除法的计算法则即可求解；
（2）化简 ，由 可得 ，进而求解；（3）①根据加油量 费用 油的单价，平均单价 两次加油花的钱 两次加油的总量列代数式即可；②用
小王的平均油价减去小张的平均油价，如果大于0则小张的省钱，如果小于0则小王的省钱，等于0则费
用一样；
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2） ，理由如下：
∵ ， ，
∴
，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，即 ；
（3）①小王两次所加油的平均单价为：元/升；
设小张油箱加满能加a升．
∴小张两次加油的平均单价为 元/升；
故答案为： ， ；
②
∵ ， ，
∵ 时，
∴ ，即 ，
答：小王加油的平均单价低．
26．（2023上·福建泉州·八年级统考期中）在 中， ， ，点O是 的中点，
点P是射线 上的一个动点（点P不与点C、O、B重合），过点C作 于点E，过点B作
于点F，连接 ， ．
【问题探究】如图1，当P点在线段 上运动时，延长 交 于点G．
（1）求证： ；
（2）求 与 的数量关系并说明理由．【拓展延伸】
（3）①如图2，当P点在线段 上运动， 的延长线与 的延长线交于点G．
求证： ；
②当P点在射线 上运动时，若 ， ，直接写出 的面积，不需证明．
【答案】（1）见解析；（2）相等，见解析；（3）①见解析；②4或25
【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，
（1）根据 证明三角形全等即可；
（2）结论： ，证明 ，推出 ，利用全等三角形的性质证明即可；
（3）①首先由 得到 ， ，然后证明出 ，得到 ，
，可得结论；
②分两种情形：点 在线段 上，点 在线段 的延长线上，分别求解即可．
解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
【详解】（1）证明： ， ，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
；
（2）解： ，
理由： ， ，
，
，
是 的中点，
，
在 和 中，
，，
，
，
，
．
（3）解：① ，
， ，
， ，
，
，
， ，
，
，
， ，
，
，
；
②如图2中，当 ， 时， ，
．
如图3中，当 ， 时， ，
．
综上所述，满足条件的 的面积为4或25．
