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"命题点1 集合、常用逻辑用语与不等式 ２ ８１
命题点 1 集合、常用逻辑用语与不等式
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集合是高考常考内容，常用逻辑用语主要内容有充分条件、必要条件及全称（存在）量词命题，在近几年高考中考查相对较
少，不等式问题主要涉及性质、解法和应用，通常具有入手角度宽、思维空间大、解题方法活等特点．
命题方向：
．集合问题，多借助不等式的解集、函数的定义域和值域考查集合的交、并、补运算，偶尔涉及子集个数等问题．理解集合的关
１
键是抓住集合元素的属性，特别要分清点集和数集；能够借助图示法来描述集合间的基本关系和集合的交、并、补运算．总之，我
们要把集合作为一种语言来学习，只要能够理解集合的语言表达了什么即可．
．常用逻辑用语问题，主要是融合各模块易混点进行充分性、必要性的判断．对于充分、必要条件的判断问题，必须明确题目
２
中的条件和结论分别是什么，它们之间的互推关系是怎样的；对含有一个量词的命题进行真假判断，要学会用特值检验．
．不等式问题主要集中在不等式的性质，一元二次不等式与其他知识点的交汇，运用基本不等式求最值等方面．不等式恒成
３
立问题与能成立问题要注重等价转化，可根据条件，对自变量的取值或者参数取值进行合理分类，利用分类讨论方法分别讨论不
等式恒成立时所对应的情况．
预测探究
识透高频考点 ａ ２ ｂ ２
Ｄ．（ －１） ＋（ －１） ＞２
７．（ 广东湛江一模， ）已知全集Ｕ为实数集Ｒ 集合 Ａ
１．（ 山西长治二中一模， ）已知集合Ａ ｘ ｘ２ ｘ Ｂ ２０２４ １２ ， ＝
２０
ｘ
２４
ｘ Ｕ Ｒ 则图中
２
阴影部分表示
＝｛
的集
｜
合
＋
为
２ －８＜０
Ａ
｝，
｛
ｘ
｜
ｘ２
≤４｝，
Ｂ
＝｛
ｘ
｜ｌｏｇ２
ｘ
＞２｝，
则Ａ
∪∁Ｕ
Ｂ
＝
（
－∞
，
４
］ ．
＝｛ ｜｜ ｜≤２｝， ＝ ， （ ） ８．（ 湖南长沙长郡中学一模， ）已知集合Ａ ｘ Ｎ ｙ
6 ２０２４ １２ ＝｛ ∈ ｜ ＝
ｘ Ｂ 则Ａ Ｂ的真子集的个数
# " ｌｏｇ２（ －１）｝， ＝｛－２，－１，１，２，３，４｝， ∩
为 ．
７
９．（ 山东济宁模拟， ）设集合 Ａ ｘ ｘ２ ｘ Ｂ
２０２４ １２ ＝｛ ｜ － －６＜０｝， ＝
Ａ．（－４，－２） Ｂ．（－２，２） ｘ ａ ｘ ａ 若Ａ Ｂ 则实数ａ的取值范围是 ［ ， ） ．
｛ ｜－ ≤ ≤ ｝， ⊆ ， ３ ＋∞
Ｃ．［－２，２） Ｄ．［－２，２］ 悟透新型考法
２．（ 湖南部分学校大联考（二）， ）已知集合Ａ ｘ ｘ２
２０２４ １ ＝｛ ｜ ＜１｝，
Ｂ ＝｛ ｘ ｜ ｘ３ ＜１｝， 则 （ Ｃ ） １．（ ２０２４ 山东威海二模， ２ ）在研究集合时 ， 用 ｃａｒｄ（ Ａ ） 来表示有
限集合Ａ中元素的个数．集合Ｍ Ｎ ｘ ｘ ｍ 若
Ａ． Ａ ∩ Ｂ ＝ Ｂ Ｂ． Ａ ∪ Ｂ ＝ Ａ ＝｛１，２，３，４｝， ＝｛ ｜ ＞ ｝，
Ｍ Ｎ 则实数ｍ的取值范围为 Ａ
Ａ Ｂ Ｂ Ａ ｃａｒｄ（ ∩ ）＝２， （ ）
Ｃ． ⊆ Ｄ． ⊆
３．（ ２０２４ 湖北武汉 ５ 月模拟训练， １ ）设集合 Ａ ＝［０， ａ ］， Ｂ ＝（２， Ａ．［２，３） Ｂ．［２，３］
３）， 若Ａ ∩ Ｂ ＝⌀， 则 （ Ａ ） Ｃ．（２，３） Ｄ．（２，＋∞）
２．（ 安徽池州教学质量统一监测， ）对于数列 ａ 若点
ａ ａ ａ ａ ２０２４ ４ ｛ ｎ｝，
Ａ．０＜ ≤２ Ｂ．０＜ ＜２ Ｃ．０＜ ＜３ Ｄ．０＜ ≤３
( ) （ ｎ ， ａ ｎ） 在函数ｙ ＝ ｃｑｘ 的图象上 ， 其中ｑ ＞０ 且ｑ ≠１， 则 “ ｑｃ ＞１”
４．（ 浙江杭州二中模拟， ）θ π π 是 θ ３的 Ａ
２０２４ １ ∈ ３ ， ２ ｓｉｎ ＞ ２ （ ） 是 “｛ ａ ｎ｝ 为递增数列 ” 的 （ Ａ ）
充分不必要条件 充要条件
Ａ． Ａ．
必要不充分条件 充分不必要条件
Ｂ． Ｂ．
充要条件 必要不充分条件
Ｃ． Ｃ．
既不充分也不必要条件 既不充分也不必要条件
Ｄ． Ｄ．
３．（ 江西南昌适应性测试（一）， ）在平面直角坐标系中 集
５．（ 江苏南通第二次调研， ）设ｘ ｙ １ ｙ 则ｘ ２０２４ ６ ，
２０２４ ５ ＞０， ＞０， ｘ ＋２ ＝２， ＋ 合Ａ ｘ ｙ ｋｘ ｙ ｋ 集合Ｂ ｘ ｙ ｙ ｋｘ ．已知点
＝｛（ ， ）｜ － ＋ ＝０｝， ＝｛（ ， ）｜ ＝ －１｝
Ｍ Ａ 点Ｎ Ｂ 记ｄ表示线段ＭＮ长度的最小值 则ｄ的最大
１ 的最小值为 Ｃ ∈ ， ∈ ， ，
ｙ （ ） 值为 Ｄ
（ ）
３
Ａ． Ｂ．２ ２ Ａ．２ Ｂ． ３
２
Ｃ．１ Ｄ． ２
３ { }
Ｃ． ＋ ２ Ｄ．３
２ ４．（多选）（ 辽宁辽阳一模，）已知集合Ａ ｘ １２ Ｎ ｘ Ｎ
６．（多选）（
２０２４
湖北武汉部分重点中学第二次联考，
１１
）已知
２
ａ ２０２４ ９ ＝ ｘ
＋１
∈ ， ∈ ，
ｂ 则下列关系中正确的是 ＡＢＤ Ｂ ｘ ｘ２ ｘ 则 ＢＣＤ
＝３ ＝６， （ ） ＝｛ ｜ －６ ＜７｝， （ ）
ａ ｂ Ａ Ｂ
Ａ． ＋ ＞４ Ａ． ∩ ＝｛１，２，３，５｝
ａｂ Ａ Ｂ
Ｂ． ＞２ Ｂ． ∪ ＝（－１，７）∪｛１１｝
ａ２ ｂ２ ｘ ｙ ｘ Ａ ｙ Ｂ
Ｃ． ＋ ＜８ Ｃ．１２∉｛ － ｜ ∈ ， ∈ ｝
２ ８２ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
ａ Ａ ｙ ｙ ｘ２ ａｘ Ｒ ｆ ｘ ｘ ｘ 表示不超过ｘ的最大整数 例如 ．
Ｄ．∃ ∈ ，｛ ｜ ＝ｌｇ（ － ＋９）｝＝ （ ）＝［ ］，［ ］ ， ［－３ ５］＝－４，
５．（ 山东日照三模， ）设ｍ Ｒ 为虚数单位．若集合Ａ ． ．下列命题中正确的有 ＢＤ
２０２４ １２ ∈ ，ｉ ＝ ［２１］＝２ （ ）
ｍ ｍ Ｂ 且Ａ Ｂ 则ｍ ． ｘ Ｒ ｆ ｘ ｘ
｛１，２ ＋（ －１）ｉ｝， ＝｛－２ｉ，１，２｝， ⊆ ， ＝ １ Ａ．∃ ∈ ， （ ）＝ －１
ｘ Ｒ ｎ Ｚ ｆ ｘ ｎ ｆ ｘ ｎ
参透创新情境 Ｂ．∀ ∈ ， ∈ ， （ ＋ ）＝ （ ）＋
ｘ ｙ ｆ ｘ ｆ ｙ ｆ ｘｙ
１．（ 河北大数据应用调研联合测评（ ）， ）德国数学家康托 Ｃ．∀ ， ＞０， （ｌｇ ）＋（ｌｇ ）＝ （ｌｇ（ ））
尔
２
在
０２
其
４
著作 集合论 中给出正交集合的
Ｖ
定义
３
若集合Ａ和Ｂ是 Ｄ．∃
ｎ
∈
Ｎ
，
ｆ
（ｌｇ１）＋
ｆ
（ｌｇ２）＋
ｆ
（ｌｇ３）＋…＋
ｆ
（ｌｇ
ｎ
）＝９２
《 》 ： ４．（ 北京朝阳一模， ）设Ａ Ｂ为两个非空有限集合 定义
全集Ｕ的子集 且无公共元素 则称集合Ａ Ｂ互为正交集合 规 ２０２４ １５ ， ，
， ， ， ， Ａ Ｂ
定空集是任何集合的正交集合．若全集Ｕ ＝｛ ｘ ｜１＜ｌｏｇ２（ ｘ ＋１）≤３， Ｊ （ Ａ ， Ｂ ）＝１－ ｜
｜
Ａ ∩
∪
Ｂ ｜
｜
， 其中 ｜ Ｓ ｜ 表示集合Ｓ的元素个数．某学校
ｘ Ｎ Ａ ｘ ｘ２ ｘ ｘ Ｎ 则集合Ａ关于集合Ｕ的正 甲 乙 丙 丁四名同学从思想政治 历史 地理 物理 化学 生
∈ ｝， ＝｛ ｜ －７ ＋１０＜０， ∈ ｝， 、 、 、 、 、 、 、 、
交集合Ｂ的个数为 Ｂ 物这 门高中学业水平等级性考试科目中自主选择 门参加
（ ） ６ ３
考试 设这四名同学的选考科目组成的集合分别为Ｓ Ｓ Ｓ
２．
Ａ
（多
．８
选）（ 江苏
Ｂ．
泰
１６
州姜堰中学阶
Ｃ．
段
３２
性测试， ）对
Ｄ．６
任
４
意Ａ Ｂ Ｓ ．已
，
知Ｓ 物理 化学 生物 Ｓ 地理 物理 化学
１， ２，
Ｓ
３，
２０２４ １０ ， ４ １＝｛ ， ， ｝， ２＝｛ ， ， ｝， ３＝
Ｒ 记Ａ Ｂ ｘ ｘ Ａ Ｂ ｘ Ａ Ｂ 并称Ａ Ｂ为集合Ａ 思想政治 历史 地理 给出下列四个结论
⊆ ， ＝｛ ｜ ∈ ∪ ， ∉ ∩ ｝， ， ｛ ， ， ｝， ：
Ｂ的对称差．例如 若Ａ Ｂ 则Ａ Ｂ 若Ｊ Ｓ Ｓ 则Ｓ 思想政治 历史 生物
： ＝｛１，２，３｝， ＝｛２，３，４｝， ＝｛１， ① （ ２， ４）＝１， ４＝｛ ， ， ｝；
．下列命题中 为真命题的是 ＡＢ 若Ｊ Ｓ Ｓ Ｊ Ｓ Ｓ 则Ｓ 地理 物理 化学
４｝ ， （ ） ② （ １， ２）＝ （ １， ４）， ４＝｛ ， ， ｝；
若Ａ Ｂ Ｒ且Ａ Ｂ Ｂ 则Ａ 若Ｓ 思想政治 物理 生物 则 Ｊ Ｓ Ｓ Ｊ Ｓ Ｓ
Ａ． ， ⊆ ＝ ， ＝⌀ ③ ４＝｛ ， ， ｝， （ １， ４）＜ （ ２， ４）＝
若Ａ Ｂ Ｒ且Ａ Ｂ 则Ａ Ｂ Ｊ Ｓ Ｓ
Ｂ． ， ⊆ ＝⌀， ＝ （ ３， ４）；
若Ａ Ｂ Ｒ且Ａ Ｂ Ａ 则Ａ Ｂ 若Ｊ Ｓ Ｓ Ｊ Ｓ Ｓ Ｊ Ｓ Ｓ 则 Ｓ 思想政治 地
Ｃ． ， ⊆ ⊆ ， ⊆ ④ （ １， ４）＞ （ ２， ４）＝ （ ３， ４）， ４＝｛ ，
Ｄ． 存在Ａ ， Ｂ ⊆ Ｒ ， 使得Ａ Ｂ ≠∁Ｒ Ａ ∁Ｒ Ｂ 理 ， 化学 ｝ ．
３．（多选）（ 河南开封第二次质检， ）高斯是德国著名的数 其中所有正确结论的序号是 ．
２０２４ １１ ①③
学家 近代数学奠基者之一．用其名字命名的高斯取整函数为
，
