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第一章 集合与常用逻辑用语、不等式、复数（提高卷）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知集合 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
,
则 ,
故选：A
2．（2022·全国·模拟预测（理））若复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由 得： ，
， .
故选：B.
3．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室一模（理））若“ ，使得 ”是假命题，则实数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
解：因为“ ，使得 ”是假命题，
所以“ ，使得 ”是真命题，
所以 ，解得 .
所以实数 的取值范围是 .
故选：B
4．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）设实数 ，则“ ”成立的一个必要不充分条件是
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
解：由 ，即 ，即 ，所以 ，
即不等式 的解集为 ，
因为 ，所以“ ”成立的一个必要不充分条件可以是 ；
故选：D．
5．（2022·全国·高三专题练习）目前，我国的水环境问题已经到了刻不容缓的地步，河道水质在线监测
COD传感器针对水源污染等无组织污染源的在线监控系统，进行24小时在线数据采集和上传通讯，并具
有实时报警功能及统计分析报告，对保护环境有很大帮助.该传感器在水中逆流行进时，所消耗的能量为
，其中 为传感器在静水中行进的速度(单位： )， 为行进的时间(单位： )， 为常数，如果
待测量的河道的水流速度为 ，则该传感器在水中逆流行进 消耗的能量的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题意，该传感器在水中逆流行进 所用的时间 ，则所消耗的能量 .
方法一：
，当且仅当 ，即 时等号成立，此时 取得最小
值120 .
方法二：
，求导得 ，令 ，得 ，当 时，
， 单调递减；当 时， ， 单调递增，所以当 时， 取
得最小值，为 .
故选：B.
6．（2022·北京八中高二阶段练习）若“ ，使得 成立”是假命题，则实数 可能
的值是（ ）．
A．1 B． C．3 D．
【答案】A因为“ ，使得 成立”是假命题，
所以 ，都有 成立是真命题，
即 ， 恒成立，
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，比较可知，只有1满足条件，
故选：A.
7．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高一期中）已知 ， ， ， ， ，则
（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
设 ， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
即 ，所以
.
故选：D.
8．（2022·上海市控江中学高一期末）设a，b是实数，集合 ，
，且 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
集合 ，
或
又 ，所以 或
即 或 ，即
所以 的取值范围为
故选：D
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·广东广州·三模）若 ，其中 为虚数单位，则下列关于复数 的说法正确的是
（ ）
A． B． 的虚部为
C． D． 在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】AD
设 ，则 ， ，则 ，即得 ，即
，
，A正确； 的虚部为 ，B错误； ，C错误； 在复平面内对应的点为 ，
位于第四象限，D正确.
故选：AD.
10．（2022·湖南·一模）下列选项中，与“ ”互为充要条件的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
的解为 ，
对于A，因为 为 的真子集，故A不符合；
对于B，因为 等价于 ，其范围也是 ，故B符合；
对于C， 即为 ，其解为 ，故C符合；
对于D， 即 ，其解为 ，
为 的真子集，故D不符合，
故选：BC.
11．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）下列说法中正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C． ，“ 恒成立”是“ ”的充分不必要条件D．若 ，则 的最小值为
【答案】AD
对于A，因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，故A正确；
对于B，因为 ，所以 ，
所以 ，即 .故B 不正确；
对于C， ， 恒成立等价于 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 时， 取得最小值为 ，即 .
所以 ，“ 恒成立”是“ ”的充要条件，故C不正确.
对于D,因为 ， ，
= ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 时， 取得最小值为 ，故D正确.
故选：AD.
12．（2022··一模）已知 ， 且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最大值为 B． 的最大值为
C． 的最小值为 D． 的最大值为
【答案】BC
， 且 ， ，对于A，利用基本不等式得 ，化简得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的最大值为 ，故A错误；
对于B， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的最大值为 ，故B正确；
对于C， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的最小值为 ，故C正确；
对于D，
利用二次函数的性质知，当 时，函数单调递减；当 时，函数单调递增，
， ，故D错误；
故选：BC
三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.
）
13．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）已知集合 ，若 ，则所有实
数m组成的集合是__________.
【答案】
∵ ， ，∴ ，
∴ ，或 或 ，∴ 或 或 ，
∴所有实数m组成的集合是 .
故答案为： .
14．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知复数 ，且 在复平面内对应的点在第四象限，写
出 的一个整数值为______.
【答案】0(答案不唯一)因为 ，
所以复数 在复平面内对应的点为 ，
则 解得 ．又 为整数， 可取–3，–2，–1，0，1，2，3.
故答案为：0．（答案不唯一， 为–3，–2，–1，0，1，2，3均可）
15．（2022·全国·高三专题练习）一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词
如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人
中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的
是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________.
【答案】乙
四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假，若同真，即丙偷的，而四人有两人说的是真话，甲、丙说
的是假话，甲说“乙、丙、丁偷的”是假话，即乙、丙、丁
没偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“乙、丙、丁三人之中”，丙说
“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话， 可知犯罪的是乙.
16．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数 ( ， ， 均为正数)过点 ，值域为
，则 的最大值为______；实数 满足 ，则 取值范围为_______.
【答案】
因为二次函数 ( ， ， 均为正数)过点 ，
，
开口向上且值域为 ，
，
，
，
，
，
，即 ，当且仅当 时等号成立.
即 ，当且仅当 时等号成立，的最大值为 (当且仅当 时最大)，
，
，
，即 ，
，
，
，
，当且仅当 时，即 时，等号成立.
又 时， ，
，
故答案为： ；
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字
说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·全国·高一课时练习）已知复数 ，其中 ，i为虚数单位．
(1)若z为实数，求m的值；
(2)若z为纯虚数，求 的虚部．
【答案】(1) (2)8
(1)解：若z为实数，则 ，解得 ．
(2)解：由题意得 解得 ，
∴ ，故 ，
∴ 的虚部为8．
18．（2022·江苏·高二课时练习）为了保证某隧道内的行车安全，交通部门规定，隧道内的车距d（单位：
m）正比于车速v（单位：km/h）的平方与自身长l（单位：m）的积，且车距不得小于半个车身长．而当
车速为60（km/h）时，车距为1.44个车身长．当车速多大时，隧道的车流量最大？(车流量 与车速成正
比，与车头间距离为反比)【答案】
由题意得： ， ，
当 ， 时，解得 ，
，
因为两车间距为 ，则两辆车头间的距离为 ，
由题意可知车流量 与车速成正比，与车头间距离为反比，
可设为 为比例系数，
故 ，
而 ，当且仅当 时取等号，
即 ，当且仅当 时取等号， 取到最大值，
在交通繁忙时，应规定车速为 ，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量 最多.
19．（2022·安徽省怀宁中学高二阶段练习）不等式 对一切实数x恒成立的k的取值集合为
A，集合
(1)求集合A；
(2)若___________，求实数m的取值范围.
在①“ ”是“ ”的充分条件；②“ ”是“ ”的必要条件这两个条件中任选一个补
充在第（2）问中，并给出解答.
注：如果选择多个条件分别作答，则按第一种情况解答给分
【答案】(1) (2)
(1)当 时， 显然恒成立，当 时不等式 对一切实数x都成立，
则 ，解得 ，综上可得 ；
(2)选①②都有 又 ，即 在 上恒成立，
令 ，则 ，解得 ，所以m的取值范围为 ；20．（2022·天津·汉沽一中高三阶段练习）不等式 的解集是 ，关于x的不等式
的解集是 .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
(3)设 实数x满足 ，其中 ，命题 实数x满足 .若p是q的必要不充分
条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1) ；(2) (3)
(1)由 的解集是 ，解得： .
当m=1时， 可化为 ，解得 .
所以 .
(2)因为 ，所以 .
由（1）得： .
当 时，由 可解得 .要使 ，只需 ，解得： ；
当 时，由 可解得 .不符合 ，舍去；
当 时，由 可解得 .要使 ，只需 ，解得： ；
所以， 或 .
所以实数 的取值范围为： .
(3)设关于x的不等式 （其中 ）的解集为M，则 ；
不等式组 的解集为N，则 ；
要使p是q的必要不充分条件，只需NM，即 ，解得： .
即实数a的取值范围 .
21．（2022·辽宁·东港市第二中学高一开学考试）已知 ， 的值域为 ；不等式
的解集为 .
(1)求集合 、 ；(2)当 时，是否存在实数 ，使得 是 的必要不充分条件？若存在求出实数 的取值范围，
若不存在请说明理由.
【答案】(1)答案见解析(2)不存在，理由见解析
(1) 为增函数，
时，
即 ，
由
当 时，
当 时，
当 时， ，
故 ，当 时， ，当 时， ，当 时， .
(2)当 时，集合
若存在实数m，使得 是 的必要不充分条件，则集合N为集合M的真子集；
因为 ，所以 即 ，解得
所以，不存在实数m，使得 是 的必要不充分条件.
22．（2022·湖北·洪湖市第一中学高一阶段练习）某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为600万元，
除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式.设年产量为x（ ， ）台，若年
产量不足70台，则每台设备的额外成本为 万元；若年产量大于等于70台不超过200台，则每
台设备的额外成本为 万元.每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的
电子设备能全部售完.
(1)写出年利润W（万元）关于年产量x（台）的关系式；
(2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？
【答案】(1) ；
(2)当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.
(1)当 ， 时，
；当 ， 时，
.
∴. ；
(2)①当 ， 时，
，
∴当 时，y取得最大值，最大值为1200万元.
②当 ， 时，
，
当且仅当 ，即 时，y取得最大值1320，
∵ ，
∴当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.
